PROBLÈME FONDAMENTAL

Etant donné un axe A tournant uniformément sur lui-méme avec une vitesse v, et entraînant une surface 2 se mouvant parallèlement à elle-même et aussi uniformément et avec une vitesse u le long d’une droite K , faisant avec l'axe A un angle a, déterminer la nature géométrique des courbes décrites pendant le mouvement par chacun des points de celte surface.

La solution de ce problème fondamental dépend des considérations suivantes :

Imaginons un axe vertical A; un plan P perpendiculaire à cet axe et le coupant eu un point o; traçons dans le plan P un cercle C du rayon p et ayant sou centre au point o.

Coucevous ensuite un fil F enroulé sur le cercle C.

Le fil F étant fixé par une de ses extrémités en un point a du cercle C et enroulé sur un arc am de ce cercle, pourra, en le supposant tendu à partir du point ni, prendre cinq positions différentes :

i". Ltrc tendu dans le plan P et tangentiellemcnt au cercle C;

2 °. Etre tendu dans le plan P et être sécant au cercle C au point m ;

3". Être tendu hors du plan P de manière à ce que sa direction passe', par un point fixe s situé sur Taxe A;

4°. Etre tendu hors du plan P et de manière à ce que sa direction soit parallèle à Taxe A.

5°. Etre tendu hors du plan P et de manière à ce que sa direction ne coupe pas Taxe A et fasse avec cet axe un angle constant a.

Premier cas. Supposons que le plan P soit mobile autour de l’axe A , et que le cercle G soit une rondelle fixée à ce plan P; supposons qu’au point m soit placé un anneau fixe dans l espace, et que le fil F soit passé dans cet anneau : cela posé, un point x du fil F décrira sur le plan P une courbe t? pendant le mouvement de rotation autour de l’axe A , du système formé du plan P et du cercle C, et cela aura lieu en supposant que le fil F passé dans l'anneau fixe ne change pas de direction, et qu'aiusi il reste toujours tangent au cercle C. On sait que cette courbe t? sera une développante parfaite du cercle G.

Deuxième ras. Le système étant le même que dans le premier cas, et en supposant que la direction du fil F coupe le cercle G sous un angle constant, on sait que la courbe o' décrite par le point t du fil F, sera une développante rallongée du cercle D, ayant son centre au point o et pour rayon la perpendiculaire abaissée du point o sur le fil F.

Troisième cas. Si l’on suppose que le cercle C est fixé à l’axe A , et que l’on fasse mouvoir une droite X s’appuyant sur le cercle G et passant par un point fixe s situé sur l’axe A, on engendrera une surface conique de révolution A avant le point s pour sommet et l’axe A pour axe de révolution.

Gela posé , si l’on suppose que l’on ait placé au point m du cercle G un anneau fixe dans l’espace, et que le fil F enroulé sur le cercle C soit

passerions cet anneau, en faisant tourner l’axe A sur lui-même, il entraînera le cercle C et la surface A, et le fil F étant à partir du point in plié et dirigé le long de la génératrice X du cône, tin point a' de ce fil décrira sur le cône A une courbe d, et l’on sait que cette courbe est une spirale dont la projection sur le plan 1* (le plan P étant le plan du cercle C) est une spirale d'Archimède ayant le point o, centre du cercle C, pour origine.

Quatrième cas. Si l’on suppose que la droite X est dirigée parallèlement à l’axe A, elle engendrera un cylindre H qui sera de révolution, dont Taxe sera l’axe A , et dont la section droite sera le cercle C.

Le fil F passé dans l’anneau fixe étant plié au point m et dirigé à partir de ce poiut le long de la droite X, un point a de ce fil décrira sur le cylindre B, supposé tourner autour de l’axe A , une courbe o'; et l’on sait que cette courbe est une hélice cylindrique circulaire.

Cinquième cas. Si l’on suppose que la droite X se meuve en s'appuyant sur le cercle G et en faisant un angle constant a avec l'axe A , elle engendrera une surface gauche H , nommée Ityperbolo'ide à une nappe de révolution , et le fil F passé dans l'anneau fixe étant plié au point m et dirigé à partir de ce point le long de la droite X, un point .1 de ce fil décrira sur l'hyperboloide II , suppose tourné autour de l’axe A , une courbe à, A laquelle nous donnerons le nom de dévelop/iante Inpcrbo- Idtdiquc circulaire.

Les propriétés géométriques de cette courbe n'ont point encore été étudiées, car c’est pour la première fois que cette courbe se présente dans les recherches géométriques.

D’apres ce qui précède, on voit que les courbes décrites par le point .r du fil F peuvent être désignées, en venu du mode de génération qui lions les a données , sous le nom de :

i”. Développante pla ne-circulaire (cette courbe étant tracée sur un plan);

2 °. Développante eonique-circulaire (cette courbe étant tracée sur un cône);

3°. Développante cylindrique-circulaire (cette courbe étant tracée sur un cylindre);

4°. Développante hyperboloïdique-circulaire (cette courbe étant tracée sur un hypcrboloïde).

On sait <|ue les développantes planes sont de trois espèces :

Développante parfaite, développante raccourcie, développante rallongée.

Les développantes hyperboloïdiques vont nous fournir les mêmes variétés.

Des développantes hyperboloïdiques.

Le cercle C peut être le cercle de gorge de l'hyperboloïde H, ou être un parallèle de cette surface.

L’hyperboloïde étant doublement réglé, par un point m du cercle C passent deux génératrices X et Y de systèmes differents.

On peut donc supposer que le fil F passé dans l'anneau fixe et étant plié au point m , soit dirigé à partir de ce point ou suivant X ou suivant Y.

Dès lors on voit que l'on doit obtenir des courbes différentes suivant le cas que l’on examine.

PftKXÏKR CSS.

Le cercle C étant le cercle de gorge de l’hyperboloïde .

Prenant le plan P du cercle C pour plan horizontal de projection, on voit que dans le cas on ce cercle C est le cercle de gorge de l hyperboloïde H, les deux génératrices droites X et Y, qui se croisent au point m, se projettent sur ce plan P, suivant une seule et même droite qui est tangente en m au cercle C.

Ainsi X* et Y * ne sont qu'une seule et même droite tangente en m au cercle G.

Cela posé, concevons deux fils F et F' enroulés sur le cercle C, ruais en sens inverse, de telle façon que lorsque le cercle C tourne autour de l'axe A, le fil F s'enroulant sur le cercle C, le fil F' se déroule de dessus ce cercle, et vire versa.

Supposons que le point x du fil F ne soit autre que le point m du ecrdc C, et que le fil F en se déroulant soit dirigé suivant la portion de la droite X située au-dessous <lu plan P, et que le point x' du fil F' étant encore le point m, lorsque ce fil F' se déroulera, il se trouve dirigé suivant la partie de la droite X située au-dessus du plan P.

Cela posé , en déroulant le fil F, le point m de ce fil décrira sur la surface II, et au-dessous du plan P, une courbe d partant du point ni et infinie à partir de ce point. En déroulant le fil F', le point m de ce fil décrira sur la surface H et au-dessus du plan P, une courbe d, partant du point m et infinie à partir de ce point.

l/es deux courbes d et d, seront réunies l’une à l’autre nu point m et ne formeront qu’une seule et même courbe.

d et d, se projetteront sur le plan P suivant deux branches d* et dj ayant le point m pour origine sur le cercle C.

Si au lieu de diriger les fils F et F' suivant la droite X , on les avait dirigés suivant la droite Y, on aurait obtenu deux branches d' et d' dont les projections d' 1 et di* se seraient confondues avec d* et dj, car tout est évidemment symétrique par rapport au plan P et par rapport au plan méridien passant par le point m.

Maintenant examinons la nature géométrique de la courbe d*d'\

Je dis que la courbe d*dj n'est autre qu’une développante raccourcie du cercle C.

Et en effet, la droite X faisant avec l’axe A un angle a, fait avec le plan P un angle complémentaire de a.

Dès lors,' si un point x du fil F parcourt sur la droite X une longueur I, c'est que ce fil se sera déroulé ou enroulé sur le cercle G d’un arc y dont la longueur rectifiée est égale à I.

Et comme la droite I se projette sur le plan P suivant une longueur I* = I siua, I* sera plus petit que I, par conséquent la courbe d*dj sera une développante raccourcie du cercle G, puisqu'elle en serait une développante parfaite, si I* égalait 1, en d'autres termes si l’angle a était droit. Proposons-nous maintenant la solution du problème suivant :