I. équation (3) se réduit dès lors à

(4) r A q A — ?.siua (arcy"*tj*).

Nous pouvons donc énoncer ce qui suit :

i°. Si £ sina = i , la courbe o' A sera la développante parfaite du cercle B*;

2 °. Si ° sin a > i, la courbe d A sera une développante rallongée du cercle B A ;

3°. Si ■- sin a < î , la courbe o' A sera une développante raccourcie dn cercle B A .

Proposons-nous maintenant la solution du problème suivant, qui nous conduira plus tard à celle du problème fondamental.

DEUXIÈME PltOBLÈME.

Étant donné un axe A tournant uniformément sur lui-ménic avec mu- vitesse v , et un point x dans / espace , se mouvant uniformément avec une vitesse u sur une droite K faisant avec A un angle a, déterminer ta nature géométrique de ta courbe d parcourue par le point r.

♦ - * 'fé s

D’après cet énoncé ou a

•- = constante,

et I on peut supposer que l’axe A fait un tour entier de révolution sur lui-même, pendant que le point x parcourt sur la droite K une longueur égale à I.

Gela posé, si l'on imagine un cercle C du rayon inconnu g, ayant son centre sur l’axe A et son plan P perpendiculaire à cet axe, ce cercle coupant la droite K eu un point p; et si l’on suppose en p un anneau fixe dans l'espace, et un fil K enroulé sur le corde C et passé dans l’anneau fixe, et plié le long de la droite K à partir du point p; le point x situé sur la droite R à une distance I du point p, cette distance étant mesurée sur la droite K , arrivera en p, lorsque l’axe A aura fait un tour entier de révolution sur lui-même.

Dès lors on a

atr.p = I,

g sera donc connu.

Et par suite on a

V ïwp'

Maintenant, la droite R a pour plus courte distance avec l’axe A une droite d'une longueur égale à r.

La courbe t? parcourue par le point x aura donc pour projection sur le plan Q, perpendiculaire à l’axe A et passant par la plus courte distance r, une courbe d* qui sera une développante parfaite, ou rallongée,

ou raccourcie d'uu cercle B tracé sur le plan Q, avec le rayon r et du point l> en lequel le plan Q coupe l’axe A, comme centre, suivant que l’on aura

'sina = i, ou >i, où < i.

, ’ m Vf» ^ i v «

Proposons-nous maintenant la solution du problème suivant: