TROISIÈME PROBLÈME

Comtr iu lion de la tangente en un jioint ,r d'une hyjHibotoidiqùe rirrulaire.

développante

Kn admettant que l’on sache construire la tangente à une développante plane parfaite ou imparfaite d'un cercle, la solution du problème proposé sera la suivante :

Au point a de la courbe à double courbure d (développante hyperboloïdique), on construira le plan T tangent à l’byperboloïde de révolution H sur lequel celte courbe J est tracée.

Au point .r* de d 4 , projection de la courbe à sur le plan Q du cercle de gorge de l’hyperboloide II , on construira la tangente 5* de d 4 , et menant par 5 4 un plan V perpendiculaire au plan Q ou parallèle à 1 axe A de l'hyperboloïde H, les plaus V et T se couperont suivaut une

droite 5, qui sera la tangente demandée.

Propriété remarquable de la développante hyperboloidique parfaite.

Lorsque la courbe 22 ) est une développante hyperboloidique

parfaite, et que dès lors sa projection d 4 sur le plan du cercle fï est une développante parfaite du cercle B*, projection sur le plan du cercle C du cercle de gorge B de rhyperboloide II, cette courbe jouit d’une propriété remarquable, et qui sera utile lorsque nous nous occuperons de la théorie générale des engrenages pour lesquels le frottement est de roulement.

Si au point .r* de d 4 on construit le cercle osculaleur y, le centre tic ce cercle sera en q*, puisque d 4 est la développante parfaite du cercle B 4 . Des lors le cylindre O qui aura ses génératrices parallèles à l’axe A cl pour section droite le cercle 7 , dont nous représenterons le rayon a 4 </ 4

par R, sera oscillateur en a* à la courbe d A et, par suite, osculatcur en jc à la courbe d; par conséquent pour le point .r, l'élément curviligne c/d de la courbe d se projette suivant un élément curviligne c/y du cercle y; et connue le point x doit être considéré comme animé de deux vitesses, l'une de translation et parallèle à l’axe A, et I autre de rotation autour de eet axe A , et que le point x décrit des angles égaux autour de l'axe A, pendant qu’il s'élève parallèlement a cet axe A de quantités égales, on doit en conclure que l'élément curviligne c/d de la courbe d se confond avec l’élément curviligne c/E dune hélice E tracée sur le cylindre O.

Pour construire cette hélice E, il nous suffira de connaître son pas, car nous connaissons déjà sou rayon, ou, en d'autres termes, le cylindre O de révolution sur lequel elle est tracée.

Remarquons que les arcs élémentaires c/C du cercle Ci et c/y du cercle y, mesurent des angles égaux ayant l'un son sommet au centre du cercle C, et l'autre son sommet au centre du cercle y. On pourra donc rem-

placer dans les calculs par

rirc.C rire. 7 ‘

Or on a

et l’on a ( fuj. 22)

cire, y : cire. C : : R : p ;

'xx* — xp.cosa; xp = cire. C ,.

t.r* = (circ.C) cosa,

et comme ou aura

(circ.C) = £-. (cire, y),

xx* = cosa . (cire. 7) = in.p cosa; et si Ion représente x.» par /1, et jr cosa par rotang ti, on aura

h — (cire. y)cotnngjuL.

De sorte <|ue 1 hélice E, tracée sur le cylindre O, aura son pas égal à h, et coupera les génératrices de ce cylindre O sous l’angle tt; et comme on a

h — 2K.jS.COS*,

et cotaug fL = cos *,

on en conclut que , quel que soit R ou le cercle y, le pas /» sera constant et que l'inclinaison jx changera avec U ou avec le cercle y.

Ainsi l’on peut conclure de ce qui précède, qu’en chaque point .v de la courbe d, l’are élémentaire de cette courbe pourra être remplacé par l’arc élémentaire d’une hélice cylindrique E, dont le pas h sera constant quel que soit le point .r considéré' sur la courbe d, mais dont l'inclinaison u. sur les génératrices de son cylindre O, variera avec le rayon R de ce cylindre, ou, en d'autres termes, avec le rayon de courbure R de la courbe d*.

Du rayon de courbure de la développante hyperbotoidique parfaite.

La courbe e?*, projection de la courbe d , est une développante parfaite du cercle B*; tous les rayons de courbure de la courbe à seront parallèles au plan du cercle de gorge B de l’hypcrboloide 11 ; car le rayon de courbure X de la courbe d pour le point x sera celui de l’hélice E osculatrice au point x à la courbe à. Or, le cercle y du rayon R étant la projection de l’hélice E, on aura

X — R cos’p,^

et comme

B-cusa cotp = ,

on aura

p. cos a

et par suite

^ VV cos\a + R* ’

yjÊËùî*

} R.p*co^«

A — c'en»** ■+• R’’

Et comme le pas h de l'hélice E est constant pour tous les points de la

courbe <7 et égal à f > . cos a . , on aura

Il sera donc facile pour chaque point x de la courbe çf de construire le ravon de courbure)., puisque l’expression de ce rayon X ne renferme plus que la quantité constante h et la quantité variable R qui est le rayon du cercle oscillateur de d* au point x*.

En vertu de tout ce qui précède, il est facile maintenant de parvenir à déterminer la surface 4', enveloppe de l’espace parcouru par une surface. 2, se mouvant parallèlement à elle-même et uniformément, avec une vitesse u , le long d une droite R , laquelle fait avec un axe A un angle a, cet axe A tournant uniformément sur lui-même et avec une vitesse u, et par conséquent de résoudre le problème fondamental dont nous reproduisons, en partie, l’énoncé, ainsi qu’il suit :

Construction des caraclérislujues de la surface <I> enveloppe de l'espace parcouru par la surface 2.

Imaginons dans l'espace un axe A tournant uniformément sur lui— même avec une vitesse v; une droite K faisant avec l’axe A un angle a et ayant avec cet axe une plus courte distance représentée par r.

Concevons ensuite une surface 2 se motivant parallèlement à ellemême et le long de K, avec une vitesse constante u.

Cela posé, désignons par k le point de la surface 2 par lequel passe la droite R- Ce point k parcourant sur R une longueur I pendant que 1 axe A fait un tour entier de révolution sur lui-même.

On aura

27T .p = I , d’ofl