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Menons par les divers points x', x", x", .. . de la surface 2 des droites R', R'', R ‘Y parallèles à R.

Désiguous par r', r", r", les plus courtes distances de l’axe A à ces diverses droites R', R", KY

Les points x', a”, x' décriront des développantes hyperboloidiqucs <?', à", à", qui se projetteront sur les plans Q\ Q", Q”, perpendiculaires

à l'axe A, et passant respectivement par les plus courtes distances r', r', r", suivant des développantes planes parfaites ou imparfaites des cercles B', B", B', tracées respectivement sur ces plans Q', Q", Q", avec les rayons respectifs r\ r ", r*; les centres de ces cercles B', B", B" étant , d’ailleurs, tous situés sur l’axe A.

Or les projections des courbes <?', tf ”, i" seront des développantes planes et parfaites circulaires lorsque l'on aura

p sin St = r',, ou = r", ou = r";

elles seront des développantes plaucs et imparfaites circulaires et rallongées lorsque l’on aura

psinst < r 1 , ou < r*, ou < r";

et elles seront des développantes planes et imparfaites circulaires et raccourcies lorsque l’on aura

p sin a > r', ou > r", ou > r".

Nous pouvons donc énoucer ce qui suit : ,

Si l’ou coupe la surface 2 par un plan 'L parallèle aux droites A et K suivant une courbe Ç, et si la distance du plan Z à l’axe A est représentée par r.

Tous les points de la courbe £ décriront des développantes hyperboloidiques qui se projetteront sur un plan Q perpendiculaire à l’axe A, suivant des développantes planes parfaites du cercle B tracées sur le plan Q avec le rayon r, le centre du cercle étant sur l’axe A , si l’on a

o sin a = r;

tous les poiuts de la courbe ç décriront des développantes byperboloidiques qui se projetteront sur le plan Q suivant desédéveloppantes planes imparfaites et rallongées du cercle B, si l’on a -,

S ; V ’ 41 fc

p sma < r; ” * . i . »

et tous les points de la courbe Ç décriront des développantes liyprr-

bolmdiqucs qui se projetteront sur le plan Q suivant des développantes planes imparfaites et raccourcies du cercle B, si l’on a

p sin a > r.

Ainsi il n'existera qu’un plan Z pour lequel tous les points situés sur ce plan et la surface 2 décriront des courbe^ dont la projection sur le plan Q sera une développante parfaite circulaire;

Et tous les points de la surface 2 situés au-delà de ce plan Z par rapport à l’axe A, décriront des courbes dont la projection sur le plan Q sera une développante imparfaite circulaire et raccourcie.

Et tous les points de la surface 2, situés en deçà de ce plan Z et ainsi entre le plan Z et le plan Z, mené par l’axe A et parallèlement au plau Z, décriront des courbes dont la projection sur le plan Q sera une développante imparfaite circulaire et rallongée.

Tout ce qui précède étant bien compris, il nous sera facile d’arriver à la détermination des caractéristiques de la surface <t> enveloppe de l'espace parcouru par la surface 2.

Et en effet, concevons l'axe A, la droite K et la surface 2; menons un plan Z parallèle à la fois aux droites A et K et coupant la surface 2 suivant une courbe g.

Désignons par r la plus courte distance existant entre Taxe A et le plan Z

Chaque point de la surface 2 parcourant une longueur I parallèlement à la droite K pendant que l’axe A fait un tour entier de révolution sur lui-même, on a

Concevons donc un cylindre U ayant l'axe A pour axe de révolution , et pour section droite un cercle du rayon p; ce cylindre U coupera les droites K', K", K*, menées par les divers points .r', x", .v* de la courbe g et parallèlement à la droite K en des points //, p ", p

Menons par ces points />', /)", p’ des plans Q', Q", Q", parallèles entre eux et perpendiculaires à l’axe A, et coupant cet axe en les points I/, b", b“; traçons sur ces plans Q', Q", Q', les cercles C ' , C* , C ' , ayant leur centre placé respectivement en les points b', b ", b“, et ayant tous même rayon p.

Supposons que l’on place en //,//’, p ' des anneaux et que l’on enroule

des fils F' sur G', F" sur C", F* sur C”, et que chacun de ces fils soit passé dans l'anneau qui lui correspond et tendu à partir des points p', />", p”, le long des droites K', K", K".

Concevons que chaque droite K', K", R', tourne autour de Taxe A, chacune engendrera un hyperhûjoide à une nappe et de révolution , dont l'axe commun sera A.

Désignons ces hypcrbolotdes par IJ', H*, H*.

Lorsque l’on supposera que Vanneau pf glisse shr le cercle C', entraînant avec lui la droite K', le point .r' du fil F', lequel point a' appartient à la courbe f, décrira sur l’hypcrboloïde II' une développante byperboloidique à'.

Et si l'on suppose que tous les anneaux p\ p", p” se meuvent uniformément cl en même temps, tous les points x\ x ", .r' décriront des courbes à', <f", d"; et l’enveloppe de toutes ces courbes ne sera autre que la surface <I>. Or, comme l’enveloppée £ doit être tangente en chacune de scs positions à l’enveloppe (|>, on voit que les points des courbes (?', d", d' qui appartiendront à la fois aux surfaces £ et <l> seront ceux pour lesquels chaque courbe d', d", d~ sera tangente à la surface 2.

Par conséquent, si l’on conçoit un plan tangent T mené à la surface £ eu chacun des divers points de la courbe ij, et si I on conçoit une tangente 5 menée en chacun des points .r' de d’, x“ de d”, x " de d", le point y de £ qui appartiendra en même temps à la surface £ et à la surface <1> sera celui pour lequel l’un des plans T passera par l’unp des tangentes 0, ou contiendra l’une de ces droites 5.

Ainsi pour déterminer le point y on devra construire la courbe t intersection de la surface développable A engendrée par le plan T roulant sur la courbe £ et tangentiellement à la surface £ et de la surface réglée n donnée par les diverses tangentes fl menées aux courbes d, d', & etc. aux points eu lesquels ces courbes coupent respectivement la courbe £. (Il est évident que les deux surfaces A et ri ayant pour directrice commune la courbe £, doivent se couper suivant une autre courbe qui sera celle désignée ci-dessus par e.)

Les deux courbes | et c se couperont eu un point y qui sera le point demandé, car il est évident que pour ce point les deux surfaces A et n seront tangentes l’une à Vautre.

Il sera toujours facile, par les méthodes graphiques de la géométrie descriptive, de trouver ce point y, en d’autres termes, de construire ses projections.

Maintenant, si l’on imagine une suite de plans Z', Z”, Z" parallèles au plan Z et coupant 2 suivant les courbes £', f, en opérant ainsi nue nous l’avons indiqué ci-dessus , on trouvera les divers points » ' sur \',y“ sur f, y" surf, qui appartiendront à la surface 2 et à la surface 4*.

I.a courbe jx, lieu des points y, y', y", y ”, sera dès lors une carar- . téristique de la surface <T>.

Si l’on suppose maintenant que la surface 2, se transporte parallèlement à eHe-même et le long de R en 2', on pourra opérer pour 2' comme on l’a fait pour 2, -et l’on trouvera une nouvelle caractéristique jx’ de 4*.

Ç)n peut doue se procurer autant de caractéristiques p, a', p“ de la suçface 4> que l’on voudra.

Dès lors cette surface <1» est complètement connue, déterminée; on pourra toujours, au moyen d’une épure, construire en relief cette surface 4>.

Passons maintenant à la solution du problème suivant qui sera un problème général, dont, plus tard, nous déduirons, comme cas particuliers, les engrenages qui font le sujet principal de ce chapitre.