PROBLÈME GÉNÉRAI

Etant donnés deux axes A et A, non situés dans un même plan et faisant entre eux tut angle ê, construire deux surfaces <f» et <t>, fixées, la première à l'pxe A et la seconde à l'axe A„ et telles quelles se conduisent l'une l'autre eu imprimant aux axes A et A, des vitesses qui soient dans un rapport constant. Ces surfaces <t> et 4>, étant les enveloppes d'une surface 2 se mouvant parallèlement à elle-même le long d une droite K.

Imaginons les deux axes A et A,, désignons par I leur plus courte distance, et par o et o, les points en lesquels cette plus courte distance 4 >crce les axes A et A,.

Prenons sur / un point m tel que l’on ait = ^, u et u, étant les vitesse* angulaires des axes A et A,.

Par l menons deux plans Q et Q, respectivement perpendiculaires aux axe» A et A, , et traçons dans chacun de ces plaus un cercle, le premier G situé dans le plan Q et ayant son centre au point o et pour rayon om ; le second C, situé dans le plan Q , et ayant sou centre au point o, et pour rayon o,iu.

Imaginons en m nu anneau fixe dans l'espace et deux fils F et F, enroulés , le premier sur le cercle G , le second snr le cercle C, , et tous deux passés dans l'anneau fixe.

A partir de Panneau , dirigeons les deux fils parallèlement à une droite K située dans un plau L parallèle aux deux axes A et A,, et désignons par a l'angle que A et K «font entre eux; dès lors, K fera avec A, un angle a, qui sera égal à (180“ — a — §) [1],

Supposons une surface i liée aux deux fils F et F, et entraînée parallèlement à elle-même et le long de K pendant que les deux fils F et

F, s’euroulent ou se déroulent ensemble sur les cercles C et C,.

Gela posé, si la surface £ parcourt sur la droite K une longueur -I, c’est que le fil F sc sera enroulé sur le cercle G d'un arc qui , rectifié, sera égal à I, et qu’en même temps le fil F, se sera enroulé sur le cercle

G, d’un arc qui, rectifié, sera aussi égal à I.

Par conséquent, désignant par p le rayon om. et par p, le rayon o, m, on aura

et si I on suppose que 27 :p — 1 , on aura

Par conséquent la surface £ parcourra une longueur égale à I sur la droite K pendant que l’axe A fera un tour entier de révolution sur lui-

méme , et cette même surface 5 parcourra une longueur égale à ~ . I

(i) 1x5 trois droites A, A, et K étant parallèles an plan Z, en les projetant sur re plan Z, on aura un triangle , dont les angles seront précisément les angles a, 1 , et C.

ou à I, sur la droite K pendant que l'axe A, tera un tour entier de révolution sur lui-méme.

En vertu de la solution du problème Jimilnmenlal donnée ci-dessus, il uous sera facile de construire la surface <t> enveloppe de l'espace parcouru par la surface 2 autour de l’axe A , et la surface <!>, enveloppe de l’espace parcouru par la même surface 2 autour de l’axe A,.

Nous pourrons donc, pour une positiou 2 de la surface enveloppée, construire la caractéristique jut de 4>, et ft, de <1>, , et si les deux courbes jx et [x, sc coupeut en un point z, les trois surfaces 2, 4> et 4>, seront tangentes l'une à l’autre en ce point z.

Faisant enrouler les fils F et F' sur les cercles C et C, en imprimant aux axes A et A, un mouvement de rotation , la surface 2 passera en la nouvelle position 2'\ nous pourrons construire pour 2' les caractéristiques homologues ji' et u.\ et le point z' en lequel elles se coupeut; et ainsi de suite. Tous les points z, z', z", z" détermineront une courbe ij< qui sera le lieu des points de contact successifs des surfaces <1* et <>,, pendant que les axes A et A, tourneront, sur eux-mêmes, avec les vitesses respectives v et

Or il est évident, d'apres ce qui précède, que le problème propose n aura de solution qu’autant que la courbe ÿ existera.

Mais le mode de solution que nous avons employé ne nous permet pas de reconnaître dans quels cas cette courbe >{; existera ou n'existera pas; en d autres termes , nous ne pouvons pas , par les considérations développées ci-dessus, parvenir à reconnaître les conditions géométriques auxquelles la surface 2 doit satisfaire , quant à son mode de génération , ou , en d’antres termes, quant à sa forme, pour que la courbe tp existe.

Le second mode de solution que nous allons développer ci-après uous permettra de résoudre cette partie importante de la question.