PROBLEME FONDAMENTAL

Etant donné » un axe A tournant uniformément sur lui-même avec une vitesse n et un plan P faisant avee l'axe A un angle y, et une droite K faisant avrr f axe A un angle a et un angle a' avee le plan P, déterminer la surfaee enveloppe de I espace parcouru par le plan P, te mouvant parallèlement à lui-même, un de ses points se mouvant uniformément sur la droite K avec une vitesse u.

Tout cp qui n été dit précédemment par rapport à une surface quelconque 1 , pourra être répété dans le cas où cette surface 2 est un plan P. Mais la surface , enveloppe de l’espace parcouru par la surface 2, est , comme on le sait, une surface développable lorsque l’enveloppée est un plan. Dés lors les diverses caractéristiques p de la surface seront , dans le cas particulier qui nous occupe, des lignes droites.

lin vertu des données du problème, on sait que le plan P décrire une surface héliçoïde développable; dès lors la surface <1> sera complètement déterminée lorsqu’on connaîtra l'hélice cylindrique et circulaire E, qui est son arête de rebroussement.

F.n supposant que le point k en lequel la droite K perce le plan P, parcourt sur cette droite K une longueur égale à 1 pendant que l’axe A fait un tour eutierde révolution sur lui-même, on aura, comme on l'a dit ci-dessus ,

Projetons la droite K sur le plan du cercle C du rayon et désignons rette projection par K*; désignons par H 1 ’ la trace du plan P sur le plan du cercle C. Les deux droites K* et H p feront entre elles un angle que je désisigne par X; je désigne enfin par v le point en lequel K* et II *' se coupent.

Cela posé, pour un tour entier de l'axe A, le point k parcourt une longueur I sur la droite K ; pendant un tour entier de l’axe A , le point v parcourra sur la droite K * une longueur égale à I sina; et la trace H p

se sera mue parallèlement à elle-même , et aura parcouru sur la perpendiculaire abaissée du centre du cercle C sur II P une longueur égale a I sina.sinX.

I/hélice E sera donc tracée sur un cylindre de révolution ayant pour axe l’axe A et pour section droite un cercle dont le rayon R sera tel que l'on aura

asR = I sina.sinX,

d’où

R = p. sina.sinX.

Le pas lt de l’hélice E variera avec l’angle a' que le plan P fera avec l’axe A, puisque l’on doit avoir

h. tanga' = I sina.sinX.

Ainsi l’axe A et la droite K ne variant pas de position, les vitesses u et u restant les mêmes ou dans le meme rapport, et ainsi ayant ^ = constante,

on voit que le rayon R est indépendant de l’angle a' que le plan P fait avec l’axe A, et qu’il ne dépend que de l’angle X que la trace H p de ce plan P fait avec K* ou de l’angle X' complémentaire de X que la trace H p fait avec une droite perpendiculaire à R*. On pourra donc écrire

R = p.sina.cosX'.

Cela posé , ayant construit le cylindre J de révolution , qui a l’axe A pour axe de rotation et R pour rayon de sa section-droite, on mènera un plan L tangent au cylindre J et perpendiculaire au plan P, lequel coupera ce plan P suivant une droite D qui sera la caractéristique de la surface héliçoïde developpable enveloppe de l’espace parcouru par le plan P, et l’enveloppe <1> et l’enveloppée P seront tangentes l’une à l'autre tout le long de la droite D.

Si nous supposons maintenant que le plan P passe en la position P, Pet P étant parallèles en vertu de la loi du mouvement, le plan P' sera coupé par le plan L, suivant la droite D' qui sera une nouvelle caractéristique de la surface <J>. Mais il faut bien remarquer que pendant que le plan P passe en P', l’axe A tourne lui-même d’un certain angle et fait tourner

autour de lui la surface 4> de ce même angle pour l'amener en la position 4*', et c’est alors 4>' et P' qui se trouvent en contact suivant D' Proposons-nous maintenant la solution du problème suivant :

H h ml domuis deux axes A et A,, non situés dans le même plan et faisant entre eur un mufle ê , construire lieux surfaces héliçdides dévelopfMibles telles quelles se conduisent t une l'autre en imprimant aux axes A cl A, îles vitesses qui soient dans im rapport constant.

Désignons par v la vitesse angulaire de l’axe A et par i>, la vitesse angulaire de l’axe A,.

Construisons la plus courte distance l des deux axes A et A,, et sur cette plus courte distance prenons un point m divisant l en deux parties qui soient entre elles dans le rapport inverse de celui des vitesses des axes, imaginons, comme nous l’avons fait précédemment, les deux cercles C et C, dont les plans respectivement perpendiculaires aux axes A et A, se coupent suivant la plus courte distance /; et enroulons sur ces cercles deux fils F et F, qui viennent passer dans un anneau fixe dans l’espace et situé au point m, et, à partir de ce point, dirigeons ces deux fils suivant une droite K perpendiculaire à la pins courte distance / et faisant un angle a avec l’axe A , et par suite un angle égal à (a — f) avec Taxe A,.

Concevons un plan 1’ coupant le plan du cercle C suivant une droite ll p , et le plan du cercle C, suivant une droite Il p .

Désignons par X' l’angle que H r fait avec la plus courte distance l et par X, l’angle que II , fait avec cette même droite l.

Ce point h en lequel la droite K perce le plan P se mouvant sur cette droite K , et y parcourant une longueur I pendant que les axes A et A, tournent sur eux-mêmes avec les vitesses respectives v et i> ( , le plan P engendrera deux surfaces héliçoides développables, l’une 4* fixée à l’axe A, et l’autre 4>, fixée à l’axe A,.

lai surface 4» aura pour arête de rebroussement une hélice E tracée sur un cylindre J avant son rayon H égal à 'a . sin a cos X', et la surface 4>, aura pour arête de rebroussement une hélice E, tracée sur un cylindre J, ayant sou rayou 11, égal à j>, sin (a — ê) . cos).,'.

Eu menant un plan I. perpendiculaire au plan P et tangent au cy-

limite J, on obtiendra la droite I) intersection des plans I, et I 1 ,

Eu menant un plan L, perpendiculaire au plan P et tangent au cylindre J,, on obtiendra la droite I),, intersection des plans I-, et P. Les deux surfaces 4» et 4>, seront tangentes au plan P, la première suivant la droite D, et la seconde suivant la droite I), ; par conséquent ces surfaces «P et <!>, seront tangentes l'une à l’autre au point z, intersection des droites I) et D,.

Si maintenant Ion suppose que les axes A et A, tournent avec leurs vitesses respectives u et u,, le plan P se mouvra parallèlement à luimême, et prendra diverses positions P', P"; les plans L et L, ne changeront pas, et Ion voit de suite que les droites D' et D,’, D" et D“, que Ion obtiendra pour chaque position nouvelle I v , P" du plan P, donneront par leur intersection des points z', z', par lesquels les surfaces •I 1 et 4>,, se mettront successivement en contact, à mesure que ces surfaces et <1>, tourneront autour des axes A et A,, étant animées, la première de la vitesse angulaire v, et la seconde de la vitesse angulaire v,.

Et il est évident que tous ces points de contact z, z', z", seront sur la droite N intersection des plans L et L„ et que cette droite N sera perpendiculaire au plan P et tangente aux cylindres J et J,. Ainsi se trouve complètement déterminé le lieu des points des contacts successifs des deux surfaces enveloppes et <l», lorsque 1 enveloppée est un plan P.

D’après ce qui précède, on voit que le problème proposé a une infinité de solutions, car les rayons Pi et II, varient à mesure que Ion fait varier les angles et X,’ ; et de plus les pas des hélices E et E, varient en faisant varier l’inclinaison du plan P, soit par rapport au plan du cercle C, soit par rapport au plan du cercle G,, ou, en d autres termes, en faisant varier l’angle que le plan P fait, soit avec Taxe A, soit avec l’axe A,.

On voit que l’angle peut rester constant pendant que l’angle X, variera; dès lors le rayon R restera constant pendant que le rayon R, variera. Et vice versa: l angle Xj peut rester constant pendant tpie l’angle X' variera, et dès lors le rayon R, restera constant pendant que le rayon R variera. On voit aussi que le fias de l’hélice E peut rester constant , R variant , etc.

Ce qui précède étant compris, on peut se proposer les questions suivantes :

Parmi tous les systèmes satisfaisant au problème proposé, peut-il en exister un pour lequel les deux surfaces héliçoides 4’ et <!>,, au lieu d'être en contact par un point, seront en contact par une génératrice droite ?

Pour que les deux surfaces et <1>, soient en contact par une génératrice droite, il faudra que les caractéristiques D et D, se confondent ; il faudra donc que les plans L et L, se confondent ; il faudra donc enfin que les deux cylindres J et J, puissent avoir un même plan tangent perpendiculaire au plan P.

Des lors le plan P étant perpendiculaire à la fois aux plans L et L,, devra être perpendiculaire à un plan Q parallèle à la fois à l’axe A et à l’axe A,.

Dans ce cas la trace H 11 du plan P sur le plan du cercle C, ainsi que la trace H 'J de ce meme plan sur le plan du cercle C,, seront parallèles entre elles et à la plus courte distance l existant entre les axes A et A,. Dès lofs les angles P et X,' seront tous deux nuis.

On aura donc

cos X* = cos X,' = i , et

R, = p, sin (a - ê); et

R = p.sina,

or comme

on voit que les deux cylindres J et J, ne seront pas tangents l’un à l autrc, à moins qu’on ne rapproche les axes A et A, jusqu a ce que leur plus courte distance devienne égale à (R -t- R,).

On retombe ainsi sur l’engrenage de force dont j’ai exposé la théorie dans le chapitre précédent, et ceci nous démontre que cet engrenage n'est qu'un cas particulier du problème général dont la solution nous occupe en ce moment.

Parmi tous les sy stèmes satisfaisant au problème proposé, peut-il en exister un pour lequel les deux surfaces héliço'ides développables <J> et , seront deux cylindres ayant leurs génératrices respectivement parallèles aux axes A et A,?

Pour que la surface 4< devienne un cylindre, il faut que la droite D soit parallèle à l’axe A; et pour qu'en même temps la surface <1>, devienne aussi un cylindre, il faut que la droite D, soit parallèle à l’axe A,.

Or l’enveloppée P contenant les deux caractéristiques D et D,, devra dès lors être parallèle aux deux axes A et A, ; ce plan P pourra affecter deux positions :

i°. Il pourra passer par la droite K et être perpendiculaire à la plus courte distance l existant entre les axes A et A,, par conséquent chacun des angles X' et X,' sera égal à un angle droit ; et dès lors on a

cos X' ss cosX,’ = o,

et aussi

Les deux cylindres J et J, se réduisent aux axes A et A,, et il est évident que dans ce cas l’engrenage ne peut exister, car les surfaces <l> et , se réduisent aux deux cylindres qui auraient pour bases les cercles 0 et C, et pour axes les axes A et A,.

Le plan P pourra être parallèle aux deux axes A et A,, en supposant que les deux droites D et D, sont respectivement parallèles aux axes A et A,, et l’on aura dès lors la droite N intersection des plans L et L,, perpendiculaire au plan P, et faisant un angle droit avec chacun des axes A et A,.

, Puisque la droite D est parallèle à l’axe A , l’héliçoide deviendra un cylindre ayant pour section droite une développante du cercle ayant K pour rayon.

Puisque la droite D, est parallèle à l’axe A,, l héliçoïdc <J>, deviendra un cylindre ayant pour section droite une développante du cercle ayant R, pour rayon.

Et l'on doit avoir

et dés lors

sin « ros '/ sin(« — C)co»)g

Et la solution, dans cc cas tout particulier, consiste à construire un engrenage cylindrique à développantes de cercle et à faire tourner l’un des axes, A, par exemple, d'un angle arbitraire autour de la droite Y, lieu des contacts des dents de l’engrenage cylindrique. Par ce moyen ou pourra donner à l’axe A, toutes les positions que l'on voudra et lui faire faire, avec l’axe fixe A, un angle variant depuis zéro jusqu’à 90".

Dans ce cas particulier les surfaces cylindriques «P et <1>, ne seront en contact par une droite que lorsque les axes A et A, seront parallèles; aussitôt que l'axe A, aura tourne autour de la droite Y d'un angle aussi petit qu'on voudra, le contact n’aura plus lieu que par un point (1).

Résolvons maintenant le problème fondamental dont nous reproduisons l’énoncé :

Etnnl donnés une surface 2 , un axe A et une droite K perçant la surface 2 en un point k et faisant avec taxe A un mujle a; construire les caractéristiques de la surface 5>, enveloppe de f espace parcouru par la suiface 2, en supposant que taxe A tourne uniformément sur lui-même avec une vitesse v, et que la surface 2 se meuve parallèlement à elle-même et uniformément, le point k de celle surface 2 parcourant la droite K avec une vitesse u.

Chaque facette élémentaire de la surface 2 étant supposée prolongée daus tous les sens, donne naissance à un plan P qui est tangent à la surface 2 en cette facette élémentaire ou point de la surface.

Si donc en un point x de la surface 2 nous concevons le plan tangent P, ce plan se mouvant dans l’espace avec la surface 2, se mouvra paral-

(i) Cet engrenage particulier a été publié dans le Bulletin de la Société d' Encouragement pour r indus trie nationale. (Planche {o 5 , année 1829.}

! élément à lui-raème, et donnera pour surface enveloppe de l'espace qu’il parcourra une surface héliqoidc développable ayant pour arête de rebroussement une hélice E tracée sur un cylindre .) ayant B pour rayon.

F,a surface 2 n’étant qa enveloppée, sera tangente à son enveloppe suivant une courbe p caractéristique de la surface <t>, et il est évident que pour chacun des points x de p la caractéristique ou génératrice droite de l’héliçoidc développable enveloppe de l’espace parcouru par le plan P tangent au point x de 2, passera par ce point x.

Dés lors la normale N de la surface 2 pour le point x sera tangente au cylindre J;

Dès lors B sera la plus courte distance existant entre l'axe A et la normale N.

Cela posé, pour construire la courbe p caractéristique de la surface 4>, courbe suivant laquelle les surfaces 4> et 2 sont tangentes, en supposant que la surface 2 soit en une position particulière , on devra employer les constructions suivantes :

Tracer sur un plan C perpendiculaire à l'axe A une droite H faisant avec la projection K* de K sur ce plan C un angle X'}

Calculer le rayon B du cylindre J au moyen de l'équation

se rappelant que

B = p . sin a cos V, 2it. p = I,

I étant la longueur parcourue sur la droite K par le point A de la surface 2 avec la vitesse u, pendant que l'axe A fait un tour entier de révolution sur lui-même avec la vitesse v;

Mener un plan L tangent au cylindre J et perpendiculaire à la droite H: ce plan L coupera la surface 2 suivant une courbe S; puis concevoir un cylindre tangent à la surface 2 et dont les génératrices soient parallèles à la droite H : ce cylindre aura pour contact avec la surface 2 une courbe f.

l/es deux courbes S et 9 se couperont en un point x pour lequel la normale N à la surface 2 sera évidemment tangente au cylindre .1. I,e point .r sera donc un point de la caractéristique p cherchée.

En faisant varier sur le plan C la direction de la droite H , et exécutant les constructions précédentes pour chacune des positions attribuées à H, on obtiendra sur la surface 2 une suite de points x, et par suite autant de points que l’on voudra de la caractéristique p. de la surface <1> enveveloppc de l'espace parcouru par la surface 2.

Ayant pour la position 2 construit la courbe fi, on fera mouvoir la surface 2 le long de la droite K , et ou la transportera en 2'.

Remarquons que toutes les courbes <p n’auront pas changé de formes, seulement elles auront été transportées parallèlement à elles-mêmes, par le transport de la surface 2 en la position 2'.

I -e plan L ne coupera plus 2' suivant une courbe identique à la courbe S suivant laquelle 2 était coupée par ce plan ; le plan L coupera la surface 2' suivant une nouvelle courbe S' qui coupera la courbe g en sa nouvelle position, en un point x' qui appartiendra à la courbe fi' suivant laquelle la surface 2' touche la surface 'P en supposant que cette surface <1> ait tourné autour de l’axe A d’une quantité angulaire déterminée par le chemin parcouru le long de K par la surface 2, pour passer de 2 en 2'.

On pourra donc très-facilement faire une épure au moyen de laquelle on puisse construire en relief la surface <1‘, puisque l’on aura les projections des diverses caractéristiques de cette surface.

Et en supposant que l’on donne deux axes A et A, non situés dans un même plan, et faisaut entre eux un angle c , ayant construit leur plus courte distance / et les deux cercles C et C, dont les rayons sont f et p„ on pourra, par rapport au plan C,, faire les constructions que nous venons de décrire pour le plan C, et il sera facile au moyen d’une épure d avoir les projections de la courbe lieu des contacts successifs des deux surfaces et <!>,.

Ainsi le problème proposé peut toujours être résolu complètement au moyen des procédés graphiques de la Géométrie descriptive.