III

Nous allons maintenant donner la solution du problème relatif à la courbe lieu des contacts successifs des deux surfaces <P et <t> , au moyen de i’ analyse , ou plutôt , nous allons employer la langue algébrique pour

faciliter la corélation de nos raisonnements géométriques et arriver plus facilement aux faits géométriques qui eu sont la conséquence. Car dans ■tout ce qui va suivre, nous ne ferons qu’écrire au moyen de l 'analyse des déductions géométriques; nous comparerons entre elles des formula, mais sans faire réellement de calculs analytiques.

Étant donnés les deux axes A et A, faisant entre eux 1 angle S, nous prendrons l'axe A pour axe des z, la plus courte distance l existant entre ces deux axes pour axe des y, le pied o de la droite I sur l'axe A pour origine des coordonnées.

Les équations de l'axe A, seront

z = x.cotë,

Concevons maintenant un plan P dont l'équation sera y — mx -H nz + d;

la trace H** de ce plan sur le plan xy aura pour équations

y mx + p , z = o.

Le plan C, qui , passant par la plus courte distance /, est perpendiculaire à l’axe A, , aura pour équation

z = x. tang é ;

la trace H p du plan P sur le plan C, aura donc pour équations

z = x . tang ê , y = x(m 4- n tang S) 4- p-,

l’angle X' est égal à l’angle que H p fait avec l'axe des y.

Par conséquent on aura

tangX' = i

cos X' =

l'angle X; est égal à I angle que H’’ tait avec l'axe des y. On aura donc

cosx: = - - . " 1 . ^ nl3n « e ;

VUing’C -+- m* ■+■ »■ lang‘8 -4- 2 mn tangê -+- I

dés lors

R = f> sin a

(6) H, h si 1 ) (fie - g)

Si l'on mène une droite N perpendiculaire au plan P, la projection N* de N sur le plan des a y fera un angle droit avec H p , dés lors N* fera avec 1’âxc des v, lin angle X complémentaire de l’angle X', et I on aura dès lors

' T • A' «' nX = C0SV -

La projection N* de N sur le plau C, fera aussi un angle droit avec Il *’» dès lors N ‘•fera avec l’axe des y un angle X, qui sera le complément de l'angle X|, et l’on aura dès lors

W*’- . y ÿjj "<kf,

'' sin> ( = cosX;.

liela posé, l'équation de la surface 2 étant z — /(.v, y), les équations de la normale N en un point x', y', z' seront

( -’ ~ x>) ZP - *'> = °’

* i'JÙW* (y — r') -+ ÿ-, (* - 2') = O.

y'rjfefcV c * . ;?

L équation de N \ ou de la projection de N sur le plan des xy, sera

I«i perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur N* sera égale à R , ou à la plus courte distance existant entre l’axe A (ou axe des i) et la normale N.

On anra donc

*• ’ . // (m-V . ’ •■Vi-'

l'angle que la droite N* fait avec l’axe des y sera l'angle désigné par } ; on aura donc

d où

,an «> = -yjr < 1?

• '• >, . tf '

si n ). = —

Tira*

Ainsi l'équation II = p.sina.sinX s'écrira comme il suit

rf/

- V = p.sma.

T(?FW

Eu combinant celle équation (7) avec l'équation (8) z' ~ f on aura les équations de la caractéristique p. de la surface enveloppe de l’espace parcouru par la surface X, cette caractéristique p étant celle suivant laquelle la surface 4> est touchée par la surface X, X étant en la position particulière pour laquelle son équation est z =/(*■> y) « les coordonnées courantes de la caractéristique p seront représentées par z'. 5 V- -

Si maintenant on suppose que la surface X passe en la position X',, le point k de cette surface s’étant mû le long de la droite K dont les équations sont

z — .r.cota.

L'équation de la surface 2' sera

équation que l'on obtient en remplaçant dans l'équation de 2, : par : — b et x par x — u , li et a étant les coordonnées du point k' en lequel le point A vient se placer, lorsque 2 est passé en la position 2'. Et comme le point A ' est sur la droite K , on a

l> = a. cota.

L'équation delà surface 2' sera donc en définitive i - «.cota = /[(x - «).jJ,

et nous pourrons, pour abréger l'écriture, représenter /[(x — «), j| par /„ (x, y).

Pour la position S', l'équation R — p .sin a. sin ). devra donc s’écrire ainsi qu'il suit

, df m , df, i W

x HP -y dT = p.sm«

et cette équation (9), combinée avec l’équation (10) z'—a cot a=f a (x', y’), donnera les équations de la caractéristique p/ de la surface 4> suivant laquelle cette surface <l> est touchée par la surface 2' ; les coordonnées courantes étant toujours représentées para', y', z'.

tii donc on élimine a entre les équations précédentes (9) et (to), on aura une équation (1 1) /(x' t y’, z') = o, qui sera celle du lieu tjéomé- Iriijue de toutes les caractéristiques de la surface '!• suivant lesquelles cette surface <1> se trouve successivement touchée par la sur face 2, à mesure que <[> tourne unilorméincnt autour de l'axe A avec une vitesse v, et «pic 2 se meut parallèlement à elle-même et uniformément le long de la droite K avec une vitesse u.

Prenons maintenant l'équation

¥ HJ* .

fi,

R, - f>, siu (a — 6) sin?,;

pour l’écrire sous une forme analogue à celle sous laquelle nous venons d'écrire l’équation

R, sera la plus courte distance entre l’axe A, et la normale N me-

née à la surface 2 par le point de cette surface dont les coordonnées sont X\ y', \ ,'-4

L’équation de la surface X étant ^

l’équation de son plan tangent au point 7, y 1 , sera

Comparant cette équation à celle du plan P posée ci-dessus et qui est

7 = mx + m + p r s >+ •

on voit que »fc ™ V*

dx' I * £' dx'

'•x v -UÊr ’ W **

Remplaçant donc m et n par les valeurs précédentes, dans l’équation 1 5), on trouve

cos).. = sin ). , =

langC

cLx'

v/(H-tsng + (““B* - ÿrj

l’expression «luihtiffue de R,, comme pins courte distance entre l’axe A, et la normale N, sera

I /équation K, — p, $in(a — 6) sinX, devra donc s'écrire ainsi qu*il suit

p, sin'a — 6)

v/(.+un S -e)(^yT^7r^

El cette équation ( 12 ), combinée avec l'équation (t3)z' = f(x',y') de la -uirface 2, donnera les équations de la caractéristique jj. , de la surface <I>, enveloppe de l’espace parcouru par la surface 2 par rapporl à l'axe A,; et cette caractéristique ft, est celle suivant laquelle la surface <t>, est tangente à son envelopfiée 2, en la position particulière de cette rnvetopjwe , déterminée par léquation

Si maintenant 011 suppose que la surface 2 passe en la position 2‘, l'équation de 2' sera, ainsi qu'on l’a vu ci-dessus,

t — a. cota =/«(*, y);

et dès lors léquation ( 12 / devra s écrire ainsi qu'il suit

(*■' — *' cote )jp + (.r' —

= p.sin(a — ë)

„ rf/.

,an s *-jp

^/( , + tang*S) ($)’- (unge g)'

et cette équation ( 1 4 ), combinée avec léquation (iô) s' — «cet a=f u {x',y').

nous donnera les équations de la caractéristique [ i suivant laquelle la surface enveloppe <!', est touchée par son enveloppée 2'.

Si donc on élimine a entre les équations (i4) cl ( 1 5) , on aura une équation

(iC) +• (*'»/'. z ') = °

qui sera celle du lieu jéométrique de toutes les caractéristiques de la surface ‘I», , suivant lesquelles cette surface enveloppe <!', se trouve successivement touchée par son enveloppée 2, à mesure que <I>, tourne uniformément autour de l’axe A, avec une vitesse v n et que 2 se meut parallèlement à elle-même et uniformément le long’ de la droite K , avec une vitesse u.

Ët enfin les équations

(«O <K*'> y '* *') = ° et ( ,6 ) <M r '> *') — »-

seront celles de la courbe lieu géométrique des points des contacts successifs des deux surfaces <I> et se conduisant uniformément, en tournant la première autour de l’axe A avec une vitesse u, et la seconde autour de l’axe A, avec une vitesse .

Il est évident que ces équations (t i) et (16) peuvent être remplacéespar les équations (9) et (13).

Appliquons les calculs précédents à un exemple particulier, et supposons que la surface 2 est un plan P dont l’équntiou est

on aura

puisque

z — Ax -t- By -t- G ,