IV

Résolvons maintenant la question la plus importante, lorsque l'on veut déduire de la théorie précédente la construction d’un engrenage.

Les deux axes A et A, ayant leur plus courte distance égale à l et faisant entre eux un angle ê, ta surface enveloppe de l'espace parcouru par ta surface 2 se mouvant autour de l'axe A, se mettra-t-elle toujours en contact avec la surface <J>, enveloppe de l’espace jmreouru par la même surface 2 se mouvant autour de l'axe A,, quelle que soit cette surface 2 et quelle que soit la longueur de la plus courte distance l, par des points 2 , z', z "formant dès lors la courbe

L’équation ( 9 ) est celle d’une surface A lieu des diverses caractéristiques p. de la surface suivant lesquelles les surfaces <P et 2 se mettent successivement en contact à mesure que $ tourne uniformément autour de Taxe A avec une vitesse v, et que 2 se meut parallèlement à ellemême et uniformément le long de 1 a droite K et avec une vitesse u.

Quelle que soit la valeur attribuée à l, la surface A reste invariable puisque l’équation (g) est indépendante de la quantité I.

I /(•quation - — f (> , y) de la surface 2 est aussi indépendante de cette quantité /.

Mais lequatiou (ta), qui est celle d’une surface A,, lieu des diverses caractéristiques a, de la surface <1*, suivant lesquelles les surfaces <I>, et 2 se mettent successivement en contact à mesure que <£, tourne uniformément autour de Taxe A, avec une vitesse u,, et que 2 se meut parallèlement à elle-méine et uniformément le long de la droite K et avec une vitesse u; mais, dis-je, léqualion (ta) n’est point indépendante de la quantité /. Et comme le facteur dans lequel l entre est ( y' — l), on voit qu'en faisant varier /, on fera mouvoir la surface A, parallèlement à elle-même le long de l’axe des y, ou, en d’autres termes, le long de la plus courte distance / existant entre les axes A et A, , et qu’en même temps A, entraînera avec elle l’axe A ( , de sorte que les axes A et A, se rapprocheront en faisaut entre eux le même angle o, et leur plus courte distance étant toujours comptée sur l'axe des y. Dès lors, puisque la surface A reste invariable en sa position, quelque valeur que l’on attribue à I, et que A, se meut parallèlement à ellc-mémc le long de l’axe des y à mesure que l'on change la valeur de /, et de telle sorte évidemment que A, s'éloigne de l’axe A lorsque l’on augmente / et se rapproche de l’axe A lorsque l'on diminue i, et que la courbe |, lieu des contacts successifs des surfaces <I> et <!>, , n’est autre que l'intersection des surfaces A et A,; on voit que cette courbe § changera de forme et de position dans l'espace à mesure que l’on fera varier la quantité l.

Or, en faisant varier /, on ne change en rien les surfaces 4> et 4>, ; par conséquent en supposant la surface <1> fixe, si l'on rapproche l'axe A, de l’axe A , et qu'en même temps que ce rapprochement a lieu , I on fasse tourner la surface <!>, autour de l’axe A,, on conçoit qu'on doit pouvoir arriver à mettre les deux surfaces <l> et 4>, en contact.

Cela dit, concevons l’axe A et l'axe A,; leur plus courte distance I coupe l’axe A an point o et l’axe A, au point o,. Prenons sur l deux points n et n„ menons par ;i un plan Y et par n, un plan Y„ ces deux plans étant parallèles à la fois aux axes A et A, et dès lors parallèles à la droite K le long de laquelle la surface 2 se ment. Menons maintenant deux autres plans X et X, parallèles à la fois à la droite K et à la plus courte distance / et équidistants du plan passant par l et K , et placés l'un

en-dessas et l’autre au-dessous de K. Ces quatre plans intercepteront sur la surface 2 une aire finie que je désigne par 2,.

Cela posé :

■ °. Si la surface A coupe l'aire 2, successivement et pendant le trajet de 2 le long de la droite K, alors cette aire 2, engendrera une aire enveloppe Ç>' qui sera une portion de la surface indéfinie 4>;

a”. Si de même la surface A, coupe l’aire 2, successivement et pendant le trajet de 2 le long de la droite R, alors cette aire i, engendrera une aire enveloppe <&,' qui sera une portion de la surface indéfinie <!>,;

3°. Et si A et A, se coupent suivant une courbe £ qui perce elle-même l’aire 2, successivement et pendant le trajet de 2, le long de la droite K, alors il est évident que les deux aires 4>' et se conduiront, en se mettant successivement en contact par les divers points z', z",i” situés sur la ligne f.

Or il peut arriver que les conditions exprimées dans les articles i° et 2 ° se trouvent satisfaites, sans que la condition exprimée dans l’article 3” le soit; alors les aires et , ne pourront se mettre en contact, et partant ne pourront se conduire.

Mais si la surface A coupe l’aire 2, suivant des courbes qui se rapprochent de l’axe A à mesure que 2, se mouvant sur la droite K se rapproche de la plus courte distance /; et si la surface A, coupe l’aire 2, suivant des courbes qui se rapprochent de l’axe A, à mesure que 2, se mouvant sur la droite K se rapproche de cette même plus courte distance l, alors la condition exprimée dans l’article 3® sera toujours satisfaite, la courbe § coupera l’aire 2, pendant un trajet i plus ou moins long de cette aire 2, se mouvant sur la droite K , et dés lors les aires <t>' et pourront se toucher, et par conséquent se conduire pendant ce trajet i; et l’on pourra augmenter ou diminuer la longueur du trajet i en rapprochant les axes A et A„ ou en les éloignant l’un de l’autre.

Pour mieux faire comprendre ce qui précède, prenons un cas particulier, celui pour lequel la surface 2 est un plan P.

Les quatre plans X, X,, Y, Y, intercepteront sur le plan P un parallélogramme P,.

Désignons on par p et o,n, par p , , et supposons que l’on a

v et v, étant les vitesses angulaires des axes A et A,.

Désignons par X' l'angle que Il p fait avec la plus courte distance / des axes A et A„ et par X[ l’angle que H p fait avec cette même droite l ; on sait, i* que la surface <1> est un héliçoïde développable ayant pour arête de rebroussement une hélice E tracée sur un cylindre J ayant A pour axe et son rayon R égal à (p. siu a . cos X');

Et 2 ° que la surface <I>, est aussi un héliçoïde développable, ayant pour arête de rebroussement une hélice E, tracée sur un cylindre J, ayant A, pour axe et son rayon R, égal à [p, sin(a — ë) cosXj]. '

I^s plans L et I () , perpendiculaires au plan P et tangents , le premier nu cylindre J et le second au cylindre J,, ne sont autres, dans le cas qui nous occupe, que les formes particulières que prennent les surfaces A et A, en vertu de ce que l’enveloppée générale 2 est une surface particulière P.

Ces plans L et L, se coupent suivant une droite Ç qui sera le lieu des contacts successifs des surfaces iudéfinies 4> et <!>,.

Or il peut évidemment arriver que cette droite £, ne passe pas au travers du prisme indéfini compris entre les quatre plans X, X„ Y, Y, ; et toutefois le plan Ii coupera toujours ce prisme indéfini suivant un parallélogramme O, et l’enveloppée P le coupera suivant un parallélogramme P,.

Ce contact entre les portions 'V et 4>j des surfaces indéfinies <I> et <!>, qui seront les enveloppées finies du parallélogramme P,, ne pourra doue exister tant que la droite % , qui est située dans le plan L, ne passera pas à travers du parallélogramme O.

Or la droite § peut varier de position dans l’espace, tout en restant perpendiculaire au plan P, et se rapprocher de l’axe A, en supposant que l’on rapproche l’axe A, de l’axe A , eu le portant parallèlement à lui-même de A, eu A’ : tout en faisant ce transport de l’axe A,, on peut faire tourner la portion de surface autour de cet axe A, ; et même, si cela est nécessaire, faire glisser en même temps cette surface <l» j le long de l’axe A, en imprimant ainsi deux mouvements à la surface 4>i, l’un de rotation, l’autre de translation , et de telle sorte qu’en la nouvelle position du système il n’y ait rien de changé que la longueur l de la plus courte distance; dès lors la droite ç étant passée en f aura une longueur O interceptée par le parallélogramme O, et cette longueur G sera plus ou moins grande suivant la nouvelle position A' en laquelle l’axe A, aura été transporté; et les deux surfaces finies et 4>’ se mettront, en tour-

liant respectivement autour de l'axe A et de l'axe A,, successivement en contact par des points i', i", a", qui seront successivement placés sur la portion de droite G, et la longueur de cette droite G pourra être considérée comme la mesure du trajet pendant lequel les surfaces finies <l>' et <l>' pourront se conduire uniformément.

De l'exécution mécanique de l'engrenage extérieur et intérieur.

Etant donnes l’axe A et l'axe A,, leur plus courte distance /, et la droite R, concevons que la surface 2 s'étant mue parallèlement à elle-même le long de la droite K, ait pris les positions 2, 2', 2", 2', équidistantes entre elles; la distance entre deux positions étant égale à A, et cette distance h étant mesurée parallèlement à la droite K.

Le cercle G du rayon p aura sa circonférence art p égale à mh, et nous supposerons que h soit tel que m se trouve un nombre entier.

Cela posé, chaque surface 2, 2', 2", 2", engendrera une surface enveloppe <P, <!>', <P", <P", et l’on aura ainsi m surfaces enveloppes <î> placées sur le pourtour du cercle C, et toutes ces surfaces seront augulairement équidistantes.

Le cercle C, du rayon p, aura sa circonférence 2 rts, égale à m,h, et m, sera un nombre entier, eu admettant que £- = et que ce rapport

— est un nombre commcnsurable.

Cela posé, chaque surface 2, 2', 2", 2* engendrera une surface enveloppe 'P, , 4>“, <P*, et l’on aura ainsi m, surfaces enveloppes 'P, pla-

cées sur le pourtour du cercle C,, et toutes ces surfaces «P, seront angulaircment équidistantes.

Et si nous admettons que le système étant en repos, les couples de surfaces <P et 4, , <P' et <Pj, <P" et 4>“ se trouvent eu contact, il s'ensuivra qu'eu faisant mouvoir les axes A et A, avec les vitesses respectives v et v, les surfaces <P et <P t , <P' et <P', <P" et <P, se conduiront uniformément eu l'estant en contact pendant un trajet plus ou moins long , et que lorsque <P et «P, se quitteront (immédiatement après, ou un peu après, ou un peq avant, suivant la longueur du trajet pendant lequel «P et <P, peuvent être

en contact), les surfaces <l>" et 4»* se mettront en contact , et ainsi de suite.

On voit donc, évidemment, que nous venons de construire un véritable engrenage composé de deux roues dentées, et dans lequel les axes ne sont pas situés dans un même plan.

Il s’agit maintenant de réaliser, de matérialiser en un mot, ces diverses conceptions théoriques.

La surface ‘P étant l'enveloppé de la surface 2 , il faut transformer la surface 2 en un outil qui puisse découper sur lç pourtour d'un troue cylindrique tin creux terminé par cette surface 4>.

Or, lorsque la matière est terminée par une surface 2, on ne considère qu’une seule face de cette surface ; pour considérer l’autre face, il faut prendre Yempreinte (le la matière façonnée suivant la formel. Dans nos conceptions géométriques nous ne nous inquiétons pas des deux faces d’une surface, mais lorsqu’on veut matérialiseriez idées lhéoriques,i\ faut y avoir égard .

Ainsi la surface 1 étant fixée en une position particulière sur la droite K , si nous menons deux plans parallèles entre eux , l’un U passant par l’axe A, et l’autre (I, passant par l’axe A,, ces deux plans étant dès lors parallèles à la droite K, la surface 4» sera l’enveloppe de la surface 2 tournée vers le plan O, et la surface <1>, sera l'enveloppe de la surface de 2 tournée vers le plan U,.

Dès lors si nous engendrons la surface 4> au moyen d’un outil V terminé par la face convexe de 2, nous devrons engendrer la surface 4>, au moyen d’un outil V, terminé par la face concave de 2 ; eu d’autres termes, l’outil V sera l 'épreuve dont l'outil V, sera la contre-épreuve, ou l'outil V sera le relief dont l’outil V, sera le creux.

Cela dit, pour nous procurer les diverses surfaces 2, 2', 2*, 2", parallèles entre elles et échelonnées à des distances égales sur la droite K , nous prendrons pour Y outil V une vis triangulaire, et pour l’outil V, l’écrou de cette vis.

Nous placerons l'axe de la vis V dans la direction de la droite K , ou , en d’autres termes, parallèle à la droite K, et cette vis V taillera sur le pourtour de la rondelle cylindrique C, les diverses surfaces <t>, <t>', 4'", <t | ". Ensuite nous placerons l’axe de l’écrou dans la direction de la droite K, et cet écrou V, taillera sur le pourtour de la rondelle cylindrique C, les diverses surfaces <[>,, 4>’, <I>j, «J)).

Et en effet, une vis se trouve composée d’un certain nombre de spires

équidistantes entre elles , la distance h entre deux spires consécutives étant mesurée parallèlement à l'axe de la vis; de plus nous savons par la pratique des arts qu’une vis triangulaire étant transformée en taraud, ou outil propre à tailler au moyen d’entailles faites sur les surfaces inférieure et supérieure de chaque filet, taille parfaitement une rondelle cylindrique, et que c’est par ce moyen que l’on construit l'engrenage connu sous le nom à' engrenage à vis sans fin.

De plus, en remarquant le travail de la vis pendant quelle taille la rondelle, on s’assure facilement que lorsque la vis a été enfoncée dans la rondelle à denter de toute la hauteur ii du triangle générateur du filet devis, la surface 4> obtenue sur la rondelle est touchée par la surface 2, qui termine le blet de vis, suivant des conrbcs qui vont en se rapprochant de l'axe A de la rondelle, à mesure que la vis tournant sur son axe, la spire 1 se rapproche de la droite l qui est la plus courte distance existant entre l’axe A de la rondelle et l'axe de la vis.

De plus, on sait que pour que la vis puisse tailler la rondelle, il n’est pas nécessaire que l’axe A de la rondelle et l’axe de la vis soient à angle droit; ces deux axes peuvent faire entre eux un angle aigu. Seulement il faudrait, par l’expérience, déterminer la limite de langle aigu sous lequel la vis pourrait encore tailler avec facilité, car on sait très-bien que lorsque l’axe de la vis est parallèle à l’axe A de la rondelle, cette rondelle ne peut plus être taillée par la vis.

Remarquons encore qu’un filet de vis est terminé par deux surfaces, l'une dite supérieure et l'autre inférieure.

Si nous désignons la nappe supérieure par £ et la nappe inférieure par 2, les diverses spires J, j', j " donneront naissance sur la rondelle C aux surfaces enveloppes <1>, 4>', <l>”, et les diverses spires 1, 2', Z" donneront naissance sur la même rondelle C aux surfaces enveloppes n , n ', n ".

De sorte que la vis étant enfoncée dans la rondelle C de toute la hauteur 2 i de son triangle générateur, ou, en d’autres termes, de la saillie ai du filet, suivant que Ion fera tourner la vis de droite à gauche ou de gauche à droite, la rondelle dentée C sera toujours conduite uniformément ; seulement elle tournera dans un sens, ou en sens contraire, suivant le sens de la rotation imprimée à la vis.

Ainsi la rondelle C se trouve, par un moyen mécanique simple, transformée en roue dentée; et l’on sait qu’il faut , pour que la roue C porte ni

dénis, que le rayon de la rondelle, avant quelle soit attaquée par la vis, soit égal à f + i, it.q étant égal à mh ; m étant le nombre des dents et li le pas du filet de la vis et ai la profondeur de ce filet.

Ainsi, tailler et denter une roue au moyen d’une vis n’offre aucune difficulté; depuis longtemps les mécaniciens savent résoudre ce problème.

Voyons maintenant comment nous devrons nous servir de l’écrou de la vis, pour tailler et denter la rondelle C,.

L'axe de l’écrou devra faire un angle droit, ou un angle plus ou moins aigu, avec l'axe A, de la rondelle G,.

Si le diamètre de C, est plus petit que le diamètre de l’écrou, on pourra loger la rondelle C, dans l’intérieur de l'écrou, et en la pressant successivement contre les filets de l’écrou à mesure que, par le travail, ces filets auront entaillé la surface extérieure de la rondelle et auront pénétré dans lintérieur de cette rondelle, on arrivera facilement à tailler et à denter la roue C,.

Mais si le diamètre de la rondelle G, est plus grand que le diamètre de l'écrou , alors il faudra évider la rondelle C, et lui donner la forme d’un anneau ; ensuite envelopper cet anueau par l'écrou , et en pressant l’écrou contre la surface extérieure de cet anneau, on parviendra i tailler et à denter cette surface extérieure.

il faudra ensuite monter l’anneau sur un axe A, pour former la roue dentée C,.

Le rayon de la rondelle C, devra être égal à p, -+■ i, a no, étant égal ni, étant le nombre de dents que la roue C, doit porter, h le pas du filet de l’écrou et ai la profondeur de ce filet.

Chaque dent de la roue C, sera terminée à droite par une surface 4>,, et à gauche par une surface n,. I>a surface 4», sera l’enveloppe de la surface x terminant supérieurement le filet de l’écrou, et la surface n, sera l’enveloppe de la surface 1 terminant inférieurement le même filet de l’écrou. Il en sera de même pour les dents obtenues par la rondelle C lorsqu’on taille cette rondelle au moyen de la vis triangulaire, ainsi qu'il a été dit ci-dessus.

L’exécution mécanique de l’idée que je viens de développer, constituera une machine nouvelle et destinée à tailler un engrenage ; l’une des roues étant dentée au moyen d’une vis triangulaire, l'autre roue étant dentée au moyen de l'écrou de cette vis.

Evidemment l’exécution d’une semblable machine est possible.

Examinons maintenant comment on devra mettre en présence les roues C et C„ taillées et dentées au moyen de cette machine, pour former un engrenage (i);

L’axe de la vis pourra faire avec l'axe A de la rondelle à denter C un angle arbitraire a. Cet angle une fois choisi, l’axe de l'écrou devra faire avec l’axe A, de la rondelle à denter C, un angle égal à (a — é), ë étant l’angle que les deux axes A et A, devront faire entre eux.

Ainsi les deux axes devant être parallèles, l’angle ë sera nul, et l axe de l’écrou devra faire avec l’axe A, le même angle a que l’axe de la vis fait avec l'axe A.

Il sera donc facile de mettre en présence les roues C et C, , car il suffira de les monter l’une à côté de l’autre, de manière à ce que les axes A et A, fassent entre eux l’angle voulu ê, et puis de rapprocher les axes jusqu a cfc que les dents des deux roues se mettent en contact, et ce contact devra nécessairement avoir lieu, puisque les conditions exprimées à la fin du § I sont remplies , savoir, que les courbes des contacts successifs de la vis avec chacune des dents de la roue Cse rapprochent de l'axe A à mesure que la vis tourne, et que la même chose a lieu évidemment pour l’écrou, puisque cela a lieu pour la vis.

On pourra donc construire un engrenage extérieur composé de deux roues dentées et aptes à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes parallèles, ou entre deux axes faisant entre eux un angle ë, lequel poura varier, depuis l'angle nul jusqu a l’angle droit.

On voit aussi qu’ayant construit une roue dentée C, on pourra disposer autour de cette roue une suite de pignons C,, C a , C,, de rayons différents, ou, en d’autres termes, portant un nombre différent de dents, et ainsi G, un nombre m,, C, un nombre m„ C, un nombre fti 3 , et telles que leurs axes A,, A„ A, ne soient pas situés dans un même plan avec l’axe A de la ioue centrale C, et telles encore que

les axes A et A, fassent entre eux un angle ë,

A et A, ë 3

A et A, ë.

ces angles ë,, ë,, ë, étant égaux ou inégaux entre eux.

(i) Et remarquons que les cercles des ravonsp et p, seront les cercles primitif* de l'engrenai».

Si l'on considère la roue centrale C et deux pignons C, et Cj, il pourra arriver que les axes A, et A 2 se coupent, mais l'axe A ne coupera . ni l'axe A, ni Taxe A a .

Dans ce cas, on transmettrait le mouvement entre deux axes A, et A, qui se coupent, au moyen d une troisième roue C dont l’axe A ne serait point situé dans un même plan , soit avec Taxe A,, soit avec l’axe A,.

Dans le système particulier d’engrenage qui nous occupe, on voit donc que le mouvement de rotation entre deux axes parallèles, ou non situés dans un même plan, peut être obtenu au moyen de deux roues dentées; que le mouvement de rotation entre deux axes qui se coupent peut être obtenu au moyen de trois roues dentées, l’une d’elles faisant l’office de roue intermédiaire.

Nous allons démontrer maintenant que l’on peut obtenir la transmission du mouvement de rotation entre deux axes qui se coupent au moyen de deux roues dentées seulement.

Les engrenages construits au moyen d’une vis triangulaire et de son écrou, jouissent d’une propriété remarquable et qui n’appartient • qu’à eux. Cette propriété consiste, en ce que, si l’on a denté extérieurement une roue M au moyen de l’écrou (l’axe de l’écrou étant dirigé perpendiculairement A l’axe A de la roue M) on peut, an moven de la vis triangulaire, denter extérieurement , une roue M, (l’axe de la vis étant perpendiculaire à l’axe A, de la roue M,) et que les roues M et M,, mises en présence, pourront être placées l’une par rapport à l’autre de telle manière que les axes A et A, soient parallèles, ou que ees axes A et A, fassent entre eux un angle que l’on peut faire varier de grandeur, ces axes A et A, étant d'ailleurs , toujours, situés dans un meme plan.

El en effet {fig. 24), désignons par B l’axe de la vis, et par V cette vis; si l’on fait tourner la vis V autour de son axe B, dans le sens indiqué par la flècbe les spires de la vis pénétreront dans la rondelle M fixée à l’axe A, et forceront cette rondelle M à tourner autour de son axe A et dans le sens indiqué par la flècbe a.

Or une spire 1 de la vis V étant considérée comme surface eitvelnp/iée, donnera sur la rondelle M une surface enveloppe <l>, et les deux surfaces •J* et S seront à chaque instant du mouvement en contact par une caractéristique ix, et cette caractéristique /x changera de forme et de position à chaque instant du mouvement.

Mais si on laisse la vis V fixe et que l'on fasse tourner I axe A dans un plan Z perpendiculaire à l'axe B de la vis, et que l’on suppose que 1 axe A tourne dans un sens inverse de celui de la vis (et ainsi, comme l'iudique la flèche a t ) le point o pied sur l’axe A de la plus courte distance u b existant entre les axes A et B, décrira dans le plan Z un cercle J ayant pour rayon la plus courte distance ob , et ayaut pour centre le point b pied sur l'axe B tic cette plus courte distance. Dés lors on voit que si , en même temps que l'axe A est transporté en A', on fait tourner l’axe A' sur lui-mème dans le sens indiqué par la flèche a, la surface ‘l> prendra dans l’espace une position'!»' en laquelle elle se mettra en contact avec la spire X restée immobile par une caractéristique u.', qui 11e sera autre que celle que l’on aurait obtenue si, ramenant l’axe A' en A, on faisait tourner

la vis V autour de son axe B de l’angle o'bo et dans le sens indiqué par la flèche a,.

Par conséquent, en supposant que la rondelle M soit complètement taillée par la vis V (les axes de la vis et de la rondelle étant pendant le travail de la taille en la position A et B) on pourra, la taille achevée, faire tourner l’axe A de la rondelle M dans le plan L et autour de la droite B comme axe, et en même temps faire tourner la rondelle autour ' de son axe A , et l'axe A étant arrivé en A’, la vis V conduira la roue de la même manière qu’avant. Il en sera de même pour la rondelle taillée par l'écrou.

Gela dit, quand on a une vis triangulaire, on peut concevoir deux cylindres concentriques et ayant pour base, l'un le cercle G, et l’autre le cercle C, {ji'J- a 5 et 26); le cylindre à base G contient l’hélice tranchante, et le cylindre à base C, contieut l’hélice en creux.

Lorsque l'on emploie la vis comme outil taraudeur, le travail de la taille de la roue dentée est terminé lorsque la vis est enfoncée ci fond dans la rondelle M, et alors les dents de la rondelle M sont terminées intérieurement par une courbe en creux et extérieurement par une courbe tranchante.

La courbe en creux de la rondelle M est produite par l’hélice saillante de la vis, et la courbe tranchante de la rondelle M est produite par l’hélice en creux de la vis.

Lorsque l’ou taille extérieurement une rondelle M„ au moyen de l’écrou, ou trouve des résultats analogues ; seulement il faut remarquer

que I hélice en creux dans l'écrou n'esl autre que l'hélice saillante dans la vis et réciproquement que l’hélice saillante de l’écrou n'est autre que Ihélice en creux de la vis.

De sorte que (fig. a 5) pour la rondelle M taillée par la vis, la courbe en creux C a un rayon plus grand qucla courbe saillante C,, et (fit]. 26) pour la rondelle M, taillée par l'écrou, la courbe en creux C,' a un rayon plus petit que la courbe saillante C'.

Cela posé, si (fig. 27) on suppose les deux rondelles M et M, en présence, la vis ayant taillé la rondelle M sur une étendue mnm', et l'écrou ayant taillé la rondelle M, sur une étendue nrnn', on pourra incliner les axes A et A, sous l’angle ë, puisque les rondelles pourront se mettre en contact par un des points situés sur l'étcDduc représentée par uni.

Ainsi, la vis V sera en contact avec la surface $ de la rondelle M suivant une courbe jj. qui sera située sur l'éteudue mm' de la spire 2 convexe; l’écrou sera en contact avec la surface 4», de la rondelle M, , suivant une courbe j t, qui sera située sur l étendue nn ' de la spire 2 concave; par conséquent les deux courbes p. et a, auront un point commun : situé sur l'étendue tint' de la spire 2 ; et comme on a vu ci-dessus qu'il pouvait arriver que la courbe Ç, lieu des points des contacts successifs : , s', 1", 11e rencontrât pas la portion de surface 4» enveloppe de la portion de surface 2 qui remplit l'office d 'enveloppée, on voit que l'angle § ne peot varier qu'entre certaines limites que la pratique indiquera toujours.

Ainsi il est bien démontré que deux roues dentées, l'une par une vis triangulaire et l’autre par l’écrou de cette vis, qui sont l’outil taraudeur étant placé de manière à ce que sou axe soit perpendiculaire à celui de la rondelle à tailler, peuvent former â volonté un engrenage cylindrique ou un engrenage conique, et que le point s, en lequel les axes A et A, se coupent dans ce dernier cas (fig. 27), peut varier de position, car il suffit de faire tourner l’une des roues autour de la position qu'occupait l'axe H de l’outil taraudeur; mais l’axe A, ne pourra jamais tourner autour de l'axe H que d'un angle assez petit , car si cet angle était un peu grand, les surfaces <t> et «t 1 , des dents en présence ne pourraient plus se mettre en contact.

Ainsi, lorsque les axes (fig. 28) A cl A, sont parallèles, la vis dont

I axe U est perpendiculaire à l’axe A taille la rondelle cylindrique M eu s’enfonçant successivement dans le sens indiqué parla flèche a, c’est-àdire perpendiculairement à l’axe A, ou normalement à la surface cylindrique qui termine la rondelle M ; de même l’écrou , dont l’axe U est perpendiculaire à l’axe A,, taille la rondelle cylindrique M, en s’enfonçant successivement dans le sens indiqué par la flèche a,, c’est-à-dire perpendiculairement à l’axe A, ou normalement à la surface cylindrique qui termine la roudelle M,.

Mais lorsqu’on voudra exécuter un engrenage conique dont les axes A et A, seront tels qu'ils comprennent entre eux un angle Ê assez grand , on devra prendre une rondelle conique M , , et enfoncer la vis contre cette rondelle, non perpendiculairement à l’axe Aj, mais dans le sens indiqué par la flèche a , c’est-à-dire normalement à la surface conique qui termine la rondelle M , ; et alors on voit , par la fig. 28 , que les surfaces et <!>,, obtenues pour les dents des roues M et M,, se conduiront, les axes A et A, étant parallèles, et que les surfaces <1* et *P,, obtenues pour les dents des roues M et M, , se conduiront aussi, les axes A et A, se coupant sous uu angle donné ë qui pourra être plus ou moins aigu , qui pourra même être égal à un angle droit.

Évidemment il en sera de même pour l’engrenage destiné à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes A et A, non situés dans un même plan. Et dès lors on voit que les deux roues dentées, destinées à former ce dernier engrenage, étant mises en présence, on peut , l’une restant fixe, faire tourner l'autre autour de la position qu’occupait l’axe B de son outil taraudeur et faire varier ainsi (entre certaines limités toutefois) l'angle que les axes A et A, font entre eux et de plus la grandeur de leur plus courte distance.

Ces propriétés remarquables, dont jouissent seuls les engrenages que je viens de décrire et dont ils peuvent seuls jouir, puisque ces propriétés dépendent essentiellement de la forme toute spéciale de l’enveloppée 1, doivent, il me semble, rendre ces nouveaux engrenages de précision très-utiles dans la pratique des arts mécaniques et les faire préférer aux engrenages de fVithe.

L’engrenage extérieur étant suffisamment décrit par ce qui précède, occupons-nous de la construction de l’engrenage intérieur.

A la première vue , on serait porté à croire que l’engrenage intérieur

doit être construit par les mêmes procédés mécaniques que ceux au moyen desquels l'engrenage extérieur a été obtenu , et qu'ainsi il suffira de denter la surface intérieure de l anncau au moyen de l'écrou, ainsi qu'on avait denté sa surface extérieure, lorsqu'on voulait obtenir l'engrenage extérieur.

Mais avec un peu de réflexion , on est promptement amené à reconnaître que l’écrou , dans ce cas, ne pourrait tailler des dents, car à mesure qu'il travaillerait et qu’on l'enfoncerait dans l’anneau, il détruirait le travail précédent, et, eu définitive, on n'obtiendrait qu'une surface cylindrique concave et non une suite de dents.

Un exemple très-simple peut faire concevoir qu’il doit, en effet, en être ainsi.

•Supposons que l’on veuille construire en relief deux surfaces cylindriques, l’une convexe et l’autre concave. On pourra toujours considérer la surface convexe comme l’enveloppe d’un outil plan d'une largeur arbitraire ; mais la surface concave ne pourra être considérée que comme l'enveloppe d’un outil plan d’une largeur infiniment petite, en d'autres termes, que comine étant eugeudrée par une ligne droite. De sorte que si par hasard la surface concave ne peut pas être engendrée mécaniquement par une ligne droite, et que l’on ne puisse employer comme outil qu'un plan d une largeur donnée , il faudra, pour obtenir cette surface concave . construire la surface convexe et prendre la contre-épreuve de cette surface convexe pour obtenir la surface concave demandée.

Tel est, en effet, le moyen qu'il faudra employer pour obtenir l'engrenage intérieur destiné à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes uou situés dans un même plan, du momeut que vous vouiez employer comme outils une vis triangulaire et son écrou.

(1 est évident que si l’écrou ou la vis, en travaillant la surface intérieure d’un anneau, pouvait denter cette surface, la forme de la surface de la dent obtenue serait la face concave de la surface <1>, ou 4>, dont on obtient la surface convexe en dentant la surface extérieure du même anneau au moyen de l’écrou ou de la vis.

On devra donc, pour construire l’engrenage intérieur, employer le procédé suivant :

i°. Denter la surface extérieure de la petite roue intérieure C au moyen de la vis; puis denter la surface extérieure de la roue C, au

moyen tic l’écrou, tout comme si l'on voulait exécuter un engrenage extérieur; et enfin prendre la contre- épreuve C., de la roueC,; retourner sens dessus dessous la roue Cj et la présenter à la roue C;

2 ". Ou douter la surface extérieure de la petite roue intérieure C au moyen de l'écrou; puis douter la surface extérieure de la roue C, au moyen de la vis; prendre la contre-épreuve C, de la roue C, ; retourner sens dessus dessous la roue C, et la présenter à la rôtie C.

Expliquons maintenant , de peur de quelque confusion , ce que nous entendons par retourner sens dessus dessous In roue C,, et pourquoi il faut faire cette opération du retournement pour que les roues Cj et C puissent être mises en présence, ou, en d’autres termes, pour que ces deux roues puissent se mettre en contact.

Plaçons (fig. a 3) la vis V dans l'intérieur du cercle C,, son axe Z faisant avec l’axe A, du cercle C| un angle quelconque *. La vis V exécutera idéalement une surface ‘1>, , fixée au cercle C,. Menons un plan Y tangent au cercle C, et parallèle aux axes A, et Z, et traçons dans ce plan Y tangent en a au cercle C, une droite xy taugente en a ù ce cercle C, ; puis faisons tourner le cercle C, autour de la droite xy comme axe de rotation pour le placer en C,; le cercle C, ayant tourné d'un angle égal à deux angles droits pour prendre la position C 2 . La vis V exécutera idéalement une surface <1>j fixée au cercle C,, et il est évident que les deux surfaces 4>, et <l>, seront telles que la surface «1», viendra sc superposer sur la surface >l>„ lorsqu'on la fera tourner autour de l’axe xy, en même temps que l’on retourne le cercle G,, pour le superposer sur le cercle C,. Or la surface î> 2 peut s’exécuter réellement au moyen de la vis V, tandis que la surface 4> n quoique existant idéalement, ne peut pas être obtenue en relief par le travail de la vis V.

La surface <1> 2 est convexe ; si la surface <1', pouvait être obtenue réellement, elle serait concave; il faut donc évidemment prendre la contreépreuve de la roue G, dentée extérieurement, et la retourner pour mettre cette contre-épreuve en la position C,, et obtenir ainsi, en relief, le travail idéal de la vis V.

Dans tous les engrenages il faut que les dents de chaque roue soient circulai rement équidistantes. On est donc obligé d'avoir recours à une machine à diviser, machine qui sert à partager un cercle en un nombre donné de parties égales.

Dans l'engrenage décrit dans ce chapitre, on n’a pas besoin d’avoir recours à une machine à diviser, parce que la vis et son écrou servent en même temps et de machine à diviser, espaçant également les dents entre clics, et de hache donnant à chaque dent la forme convenable.

Des engrenages à crémaillère.

Si après avoir denté une roue C au moyeu d'une vis V, on suppose que la vis V tourne sur son axe B, elle entraînera la roue dentée C et la forcera à tourner autour de son axe A; alors on aura l’engrenage dit

à vis sans Jin.

Mais si l'on suppose que c'est la roue C qui tourne autour de son axe A, elle entraînera la vis V et la fera marcher le long de son axe B, sans pouvoir la faire tourner autour de cet axe B. On aura dès lors un engrenage qui devra prendre le nom d'engrenage à crémaillère.

La crémaillère sera droite ou oblique suivant que l’axe B de la vis V fera un angle droit ou un angle aigu avec l'axe A de la roue C.

Ce qui vient d'être dit par rapport à la vis V pourra, évidemment, cire dit par rapport à son écrou V'.

On voit donc que l'on pourra construire deux espèces d’engrenages à crémaillère, soit droite, soit oblique : dans l’une la crémaillère sera une portion longitudinale de vis, dans l’autre elle sera une portion longitudinale d'écrou.

En résumé, on voit que l'on peut au moyen d'une vis et d'un écrou tailler deux roues qui, mises en présence, donneront :

i“. Un engrenage cylindrique (les deux axes étant parallèles);

2 °. Un engrenage conique (les deux axes se coupant sous un angle aigu ou sous un angle droit);

3°. Un engrenage hypcrboloidique (les deux axes n'étant pas situés dans un même plan, et faisant entre eux un angle aigu plus ou moins grand, et même faisant entre eux un angle droit);

4°. Un engrenage à crémaillère droite ou oblique;

5°. Un engrenage à vis sans lin ou à écrou sans fin.

On voit encore qu’une roue C taillée par l écrou, pourra conduire en même temps ■

i°. Une roue C, dont l'axe A, sera parallèle à l’axe A de la roue U ;

2 °. Une roue C, dont l'axe A a coupera l’axe sous uu angle aigu plus ou moins grand et même sous un angle droit.

3°. Une roue C a dont l’axe A, ne sera pas situé dans un même plan avec Taxe A , et fera avec lui un angle aigu plus ou moins grand, et meme un angle droit.

Ainsi par ce système on peut transmettre le mouvement de rotation d’un axe A à autant d’axes A,, A a , A, , A,,..., que l'on voudra, et quelle que soit la direction (dans l’espace) de chacun d'eux par rapport à cet axe central A.