VI

De la nature géométrique du frottement.

Dans l'engrenage que nous venons de décrire, les dents sont deux à deux en contact par un seul point. Aussi cet engrenage ne peut-il être considéré que comme un engrenage de précision et non de force.

Le frottement développé parie travail de l’engrenage sera un frottement de glissement angulaire, lorsque les axes A et A, ne seront pas situés dans un même plan, et feront entre eux un angle c plus ou moins aigu, et un frottement de glissement direct lorsque les axes A et A, seront parallèles ou se couperont sous un angle ë aigu ou droit ; en d’autres termes, lorsque ces deux axes seront situés dans un même plan.

Et, en effet, nous avons vu précédemment que les deux surfaces <I> et <t>, qui terminent, la première la dent de la roue C fixée à l’axe A, et la seconde la dent de la roue C, fixée à l’axe A,, se mettaient successivement en contact par des points z, z' t i", i" situés sur une courbe |.

Nous avons vu que ces contacts successifs arrivaient pendant que les surfaces <1> et <1>, tournaient respectivement autour des axes A et A,, la première avec la vitesse angulaire v, et la seconde avec la vitesse angulaire u,. On voit donc que pendant que la surface «P se mouvra, la courbe t la percera en des points «, n", n", qui détermineront sur

cette surface <1> une courbe ç, et que de même pendant que la surface <1>, se mouvra , la même courbe Ç la percera en des points n,, n,', n", n qui détermineront sur cette surface «I», une courbe f,.

Or il est évident que les courbes ç et g , , en tournant respectivement

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avec les vitesses auxiliaires respectives v et v, autour des axes A et A,, se mettront en contact par les divers points ;, z\ s', s', situés sur la courbe B. Par conséquent, si l’on suppose que les surfaces 4> et <J>, n’existent plus, ou mieux, se réduisent à ces courbes y et y,, la transmission de mouvement entre les axes A et A, s’opérera par ces courbes y et y, de la même manière quelle s’opérait par les surfaces <1> et <!>,, et le frottement ne sera autre que celui qui se développera pendant que les courbes y et y, se conduiront uniformément.

Cela posé , lorsque deux courbes y et y, se meuvent dans l’espace en tournant respectivement autour de deux axes A et A, et avec des vitesses respectives v et v, et en se mettant successivement en contact , le frottement peut être de roulement ou de glissement.

Le frottement sera de roulement, si de chaque point z de contact abaissant des perpendiculaires r sur l’axe A et r, sur l’axe A,, on a

et, par conséquent, si tous les points des contacts successifs x, x', x", ou, en d’autres termes, si la courbe £, lieu géométrique des contacts, est située sur 1 hypcrboloïde à une nappe dont tous les points sont distants des deux axes A et A, dans un rapport inverse de celui des vitesses de ces axes (t). Or la courbe § ne sera pas située sur cet hypcrboloïde, et cela sera évident si nous démontrons que cela n’a pas lieu lorsque la surface 2 est un plan P.

Et en effet, il est évident que la droite N, perpendiculaire à l’enveloppée plane P, et que nous avons trouvée être le lieu des points des contacts successifs des surfaces béliqoïdes développables <1* et <!>,, n’a pas scs points satisfaisant à la condition posée ci-dessus, savoir:

jT *1

(i j Voir les Mémoires sur les engrenages de fVithc , que j’ai publie» dan» le Journal tir Mathématiques pures et appliquées y rédigé par M. Lion vu. le t tome IV, p. ? 8 1 cl 3o$, et tome V, p. i:j6.

Le frottement de notre engrenage sera donc de glissement.

De plus ce frottement sera angulaire ou direct, suivant que les axes A et A, ne seront pas situés ou seront situés dans un même plan.

Et, en effet, les deux courbes ç et y, pourront, à chaque point de contact, avoir en ce point de contact même tangente, ou des tangentes qui se croisent en ce point: dans le premier cas, le frottement est dit direct, dans le deuxième cas, le frottement est dit angulaire (t).

Or il est évident (en vertu de ce qui a été dit sur l'héliqoïde développable enveloppe de la surface parcourue par un plan se mouvant autour d’un axe) que les courbes y et y, se croiseront à chaque point de contact, ou, eu d’autres termes, que le croisement de leurs éléments rectilignes aura lieu dans le cas où la surface £ sera un plan P, les axes A et A, faisant entre eux un angle S. 11 est aussi évident que le croisement des éléments rectilignes de ces courbes aura encore lieu lorsque les axes A et A, seront situés dans un même plan, parce que les héliçoïdes développables, enveloppes de l'espace parcouru parle plan P tournant, soit autour de l'axe A, soit autour de l’axe A,, ne seront eu contact que par un seul point, que les axes A et A, soient situés ou non dans un même plan; à moins que le plan P ne soit dirigé perpendiculairement à un plan parallèle aux deux axes A et A,, auquel cas les héliçoïdes développables sont en contact par une portion de droite.

Ce qui a lieu lorsque X enveloppée £ est un plan , aura aussi nécessairement lieu lorsque cette enveloppée sera une surface héliçoïde gauche, surface de filet de vis ou d’écrou , triangulaire.

(Dans le chapitre suivant, § IV, nous reviendrons sur ce sujet, et nous entrerons dans tous les développements nécessaires.)

( 1 ) Voir U Noie publiée par M. Hachette à la fin du chapitre sur les engrenages , dans la dernière édition de son Traité sur tes Machines. Cette Note est extraite d'un Mémoire que j'ai publié en 1 8x7, et qui avait pour litre : De la nature géométrique du frottement qui peut exister entre deux courbes et deux surfaces en contact.