CHAPITRE IY

Théorie géométrique des engrenages h frottement de roulement.

Pendant longtemps on a cru que l’on ne pouvait pas construire un engrenage dans lequel le frottement fût de roulement, en même temps que le rapport des vitesses des axes était constant. Le Mémoire publié par Euler, dans lequel il avait démontre que, pour les engrenages cylindriques, le frottement est toujours de glissement lorsque le rapport des vitesses des axes est constant , avait contribué à maintenir cette erreur; et cela parce qu’on n'avait pas vu qu’Euler établissait, par le fait, la condition que le point de contact des deux courbes qui se conduisaient ne sortait pas du plan de ces courbes; et qu'il pouvait bien arriver qu’en prenant deux courbes à double courbure, leur point de contact se mouvant dès lors dans l’espace, le frottement de glissement se trouvât transformé en frottement de roulement, en assujettissant le point de contact â parcourir dans l'espace une certaine ligne courbe ou droite.

Les engrenages cylindriques et coniques à frottement de roulement ont été exécutés pour la première fois par Withe; ces engrenages sont des engrenages de précision , parce que deux dents en prise ne se touchent que par un point.

On ne peut pas construire d’engrenages de force pour lesquels le frottement soit de roulement.

Nous allons développer les principes sur lesquels repose la théorie des engrenages de cette espèce.

Concevons deux axes A et A, ayant dans l’espace et l’un par rapport à l’autre une position arbitraire ; ainsi :

i “. Ces deux axes pourront être parallèles ;

a". Ils pourront se couper en comprenant entre eux un angle aigu ou droit ;

3°. Ils pourront netrc point situés dans un même plan, et faire entre eux un angle variant depuis l'angle nul jusqu'à l'angle droit.

Concevons une surface <!> fixée à l’axe A et une surface «I>, fixée à l’axe A,.

Désignons par v la vitesse angulaire de l’axe A, et par v, la vitesse angulaire de l’axe A, ;

Et supposons que '!> et <t>, tournent autour de leur axe respectif, de telle sorte que l’on ait

— = constante,

Plaçons sur la surface «J> une courbe ë, et sur la surface '!>, une courbe ë,; les deux courbes ë et S, tourneront respectivement autour des axes A et A, pendant que les surfaces <P et 4>, tourneront autour de ces mêmes axes.

Chaque point x de la courbe ë décrira un cercle C dont le plan P sera perpendiculaire à l’axe A , dont le rayon sera la perpendiculaire p abaissée du point x sur l’axe A, et dont le centre sera le ppint o en lequel le plan P coupe l’axe A.

De même , chaque point .v, de la courbe ê, décrira un cercle C, dont le rayon p , sera la perpendiculaire abaissée du point x, sur l’axe A, et dont le centre sera le point o, en lequel l'axe A, est coupé par le plan P, sur lequel se trouve tracé le cercle C,.

Si les deux cercles C et C, ont un point commun y, les deux points o: et x, passeront par le point y, pendant leur mouvement de rotation ; et ces deux points x et x, passeront en même temps par ce point y,

si les arcs qui sur les cercles C et G, mesurent les angles yox et yo,x, sont égaux en longueur.

Or chacun des points x de la courbe ë arrivant ainsi à se superposer avec son homologue x, situé sur la courbe ë,, le lieu des points y de superposition sera une certaine courbe 7 .

Concevons sur la surface $ une suite de courbes ë, é', ë",... , et sur la surface 4>, une suite de courbes ë,, ë,', ë‘ , . . . , telles que les courbes ê et ë,, ë' et ë] , ë". et ë" soient homologues, et qu ainsi, en tournant autour des axes A et A,, en même temps que les surfaces < 1 > et <!>,, les points homologues de ë et ë,' viennent se superposer sur les points d une courbe 7 > 9 UR ceux <le 1 ° courbe ë" et ê“ viennent se superposer sur une courbe ■f, et ainsi de suite.

Alors on pourra dire que les deux surfaces *1» et 4», roulent l'une sur l'autre.

Ht en effet, si deux courbes ë et ë, ont leurs points homologues x et jr, qui ne se superposent pendant le mouvement de rotation que sur le point y de la courbe y, et que ces points se quittent aussitôt après leur superposition , le mouvement de rotation continuant, il est évident qu'un point de la courbe ë ne se superposera pendant le mouvement de rotation qu’avec un seul point de la courbe ë,. C'est cette manière de se comporter des deux courbes é et ë, que nous désignons par roulement; mais si un point de la courbe é se met en contact avec plusieurs points successifs de la courbe ë,, pendant le mouvement de rotation, alors nous désignons cette manière de se comporter des deux courbes ê et ë,, par glissement.

Ainsi, dans le premier cas, nous dirons que les deux courbes roulent l’une sur l’autre et qu’il se développe (pendant le mouvement de rotation autour des axes) entre les deux courbes, un frottement de roulement.

Ainsi, dans le secoud cas, nous dirons que les deux courbes glissent l’une Sur l’autre, et qu’il se développe (pendant le mouvement de rotation autour des axes), entre les deux courbes, un frottement de glissement.

On voit que dans le premier cas le lieu des superpositions des points homologues x et ac, qui appartiennent aux courbes homologues ë et ê, sera une courbe y, et ne pourra être qu’une courbe; mais que, dans le second cas, le point x de la courbe ë glissant sur un élément de la courbe ë,, le lieu des superpositions sera un élément superficiel G,, et non plus une courbe y.

D'après ce qui précède, on devra dire que les deux surfaces et <1>, roulent l’une sur l’autre lorsque, pour chaque couple de courbes ë et ë,, ë' et ë), ë" et ë), il y aura roulement; et on devra dire que les deux surfaces <!> et <!', glissent l’une sur l’autre lorsque pour chaque couple de courbes ë et ë, , ë' et 6j, ê" et ë) , il y aura glissement.

Dos deux surfaces <1> et 4>, tournent respectivement autour des axes A et A, , la première avec une vitesse angulaire t>, la seconde avec une vitesse angulaire u,. Il faudra donc, le pointa: se mouvant sur le cereleC, et le point

homologue ar, se mouvant sur le cercle C,, que l’on ait ~ = ^ lorsque les courbes é et ë, roulent l’une sur l’autre. Et cela devra avoir lieu pour

les rayons des cercles homologues décrits par tous les points homologues de chaque couple de courbes £ et £,, ë' et ë|, S" et ë"; dès lors les courbes y, y', y*, lieux des superpositions des points homologues des couples ë et o' et £’,, ë" et ë*,. formeront une surface 2 telle que si de chacun de ses points y on abaisse des perpendiculaires p sur l'axe A et p, sur l’axe A,, on aura

Si maintenant on fait tourner la surface 2 autour de l'axe A, elle engendrera la surface enveloppe <1>, et en faisant tourner la même surface autour de l’axe A,, elle engendrera la surfaces enveloppe <!>,.

Les deux surfaces 0 et f>, seront deux surface de révolution ayant pour axe de rotation, la première l’axe A et la seconde l’axe A,.

Ceci nous démontre que l’on ne peut pas construire un engrenage à frottement de roulement dont les dents soient terminées par des surfaces se mettant en contact par une ligne, puisque l’on ne trouve qu’une seule dent 4> fixée à l'axe A, et une seule dent <!>, fixée à l’axe A,.

On doit donc , pour les engrenages à frottement de roulement, ne pas considérer une dent comme étant terminée par une surface enveloppe, mais comme étant seulement une courbe.

I .t en effet , si sur la surface 1 nous prenons une courbe y, que nous fassions tourner y autour de l'axe A, nous aurons uue surface de révolution A; en faisant tourner y autour de l’axe A,, nous aurons une surface de révolution A, : ces deux surfaces A et A, se toucheront ou se couperont suivant la courbe y.

Si sur la surface A nous traçons une suite de courbes ë, ë', ë", en faisaut tourner A et A,, les courbes ê, ë', ë" laisseront sur A, pour empreintes des courbes ë, , ë j , ë” , et telles que ê et ë, , ë' et ë’ , ë" et ë” se conduiront respectivement avec un frottement de roulement, leurs points homologues venant se superposer sur la courbe y.

De sorte que les courbes ë, ê', ê" formeront les dents de la roue A, et que les courbes ë,, ë’, ê" formeront les dents de la roue A, , et le lieu des points de contacts successifs sera la courbe y. Mais ces courbes ë et ë ( échapperaient l’une à 1 autre, A la façon de deux courbes en contact, si la résistance fixée A l’axe A excédait la valeur du frottement île route-

ment; il faut donc habiller les courbes ë et ê,, et pour cela on fera glisser le long de f une courbe <? cpii engendrera une surface canal B; on fera glisser une courbe J, le long de ë,, et l’on engendrera une surface canal B,, cl l’on placera les courbes <?. et tf , par rapport aux courbes ë et ë,, de manière à ce que les surfaces B et B, puissent avoir un plan tangcul commun au point y situé sur la courbe y, les courbes 6 et ë, passant par ce point y; et de manière aussi qu’en faisant tourner B et B, autour des axes A et A,, ces surfaces aient même plan tangent aux divers points y', y", y " de la courbe y, points en lesquels viennent successivement passer, et en même temps, les courbes é et ë,, en vertu du mouvement de rotation.

Les surfaces B, B', B" formeront les dents de la roue A, et les surfaces B,, B', B' formeront les dents de la roue A,. Chaque couple de dents en présence B et B, rouleront l’un sur l’autre, en se mettant successivement en contact par un seul point, et le poiut de contact parcourra la courbe y, pendant le mouvement de rotation.

D’après ce qui précède, ou voit que théoriquement on peut construire une infinité dengrcuages, soit cylindriques, soit coniques, soit hyper holoidiques.

Kl en effet, A et A, étant donnés de position dans l’espace, on construira la surface 2, lieu des points dont le rapport des distances aux axes est inverse de celui des vitesses de ces axes.

Cela fait, on pourra prendre sur £ une courbe quelconque y, et cette courbe engendrera par son mouvement de rotation, l° autour de l’axe A la surface A; 2 0 autour de l’axe A, la surface A,.

Sur la surface A ou pourra tracer une courbe quelconque ë qui donnera pour homologue sur la surface A, une courbe ê,. On pourra ensuite engendrer les surfaces-canaux B et B, au moyen des courbes à et o\ qui peuvent être arbitraires l’une et l’autre; seulement ces courbes à et â, devront satisfaire à la condition suivante ;

Pour chaque point y de y, en lequel les courbes ë et ê, se croisent, on construira les tangentes 0 à é et 5, à ë, , et au point y on mènera une droite N perpendiculaire au plan T déterminé par les droites 0 et 6,.

Les courbes o' et à, devront avoir au point y la droite N pour normale commune . les courbes J et d , étant placées l'une à droite et l'autre à gauche du plau T.

Et cette condition se trouvant satisfaite pour chacun des points y', y", y ", de la courbe y, à mesure qu’en vertu du mouvement de rotation les deux courbes ê et 6, viendront successivement se croiser en ces points y', y", y”, onsera assuré que les surfaces-canaux U et B, se mettront successivement en contact en ces divers points j, y', y ", y ", et sans se pénétrer; ces surfaces-canaux seront en contact, parce que, en ces divers points y, y\ y”, y ", elles auront, par construction, même plan tangent; et ces surfaces ne se pénétreront pas, car si par le point y ou mène un plan sécant Q, et de direction arbitraire, il coupera la surface B suivant une courbe D, la surface B, suivant une courbe D, , le plan tangent T suivant une droite /, et qu’il est évident que les courbes 1) et D, auront même tangente / au point y, et seront placées l’une à droite et l'autre à gauche de cette tangente L

En pratique on devra choisir pour y une ligne simple, et comme ainsi que nous le démontrerons ci-après, § U : t° La surface 2 est un cylindre lorsque les axes A et A, sont parallèles, ce cylindre 2 ayant ses génératrices parallèles aux axes A et A, ; a° cette surface 2 est un cône lorsque ces axes A et A, se coupent, et ce cône 2 a son sommet au point de rencontre des axes; et 3° cette surface 2 est une hyperbolotde à une nappe et à trois axes inégaux lorsque les axes A et A, ne sont pas situés dans un même plan et que leurs vitesses v et v, sont inégales, et cette surface 2 devient un paraboloïde hyperbolique lorsque les axes netant pas situés dans un même plan , leurs vitesses sont égales, on voit que l’on pourra toujours prendre pour y une ligne droite.

On aura donc pour A et A, des surfaces de révolution qui seront :

t". Deux cylindres, lorsque les axes A et A, seront parallèles;

2 °. Deux cônes, lorsque les axes A et A, se couperont;

3*. Deux hyperboloïdes à une nappe, lorsque les axes A et A, ne seront pas situés dans un même plan.

Dans la pratique on devra prendre pour la courbe ë une ligne simple, et qui donne aussi une ligne simple pour la courbe homologue ê,.

Or, sur un cylindre, un cône et un hypcrboloide à une nappe (ces surfaces étant de révolution), il est facile de tracer mécaniquement la courbe à laquelle nous avons donné le nom de développante cylindrique, ou co-

nique, ou hyperboloidique , suivant qu’elle est tracée sur un cylindre, ou un cône, ou un hy/terboloide à une nappe ( 1 ).

Toute la difficulté mécanique consistera à donner à Y outil-burin, dont un point décrira la développante, la forme d; et de faire marcher ce burin en l'inclinant plus ou moins, de manière à ce que la condition à laquelle les deux surfaces B et B, doivent satisfaire se trouve en effet satisfaite, et que les dents B et B,, étant mises en présence, puissent dès lors se toucher par un point et continuer à se toucher par un point pendant le mouvement de rotation des axes ( 2 ).

Il sera nécessaire d'employer une machine à diviser pour l’exécution de ces sortes d’engrenages, car les courbes 6, §', ê" tracées sur la surface A devront , dans la pratique, être des développantes à double courbure, angulaircment équidistantes. Une roue cylindrique ne pourra conduire qu’une roue cylindrique. 11 en sera de même pour les roues coniques et les roues hyperbolôidiques; ainsi , une roue conique ne pourra conduire qu’une roue conique, et une roue hyperboloidique ne pourra aussi conduire qu’une roue hyperboloidique.

Dans ces sortes d’engrenages , une roue qui portera n dents pourra conduire une roue portant n, dents, le rapport étant égal au rapport inverse ~ des vitesses des axes, et cela quoique la surface 1 change de

forme et de position en même temps que l’on fait varier le rapport des vitesses des axes.

Comparons entre eux les engrenages de précision à frottement de roulement avec les engrenages de précision à frottement de glissement, nous aurons le tableau suivant :

( 1 ) Voir ce que nous avons dit sur ces courbes, page 47, Chapitre IU.

(a) Voir tes trois Mémoires que j’ai publiés dans les tonies IV et V du Journal de Mathématiques pures et appliquées, sur les engrenages de Witlie.