OX

5. Dans le cas des axes non situés dans un même plan, fiq. 3, construisons la plus courte distance oo, entre les deux axes; prenons sur cette plus courte distance un point jr tel que l’on ait

menons par cette plus courte distance un plan P perpendiculaire a l'axe A, et un plan P, perpendiculaire à l’axe A, ; traçons dans le plan P un cercle C ayant le point o pour centre et o.r pour rayon , et dans le plan P, un cercle C, ayant le point o, pour centre et o,.r pour rayon.

Ces deux cercles se croiseront au point jr; ils auront en ce point des tangentes différentes 9 et 0,.

Si les axes A et A, tournent sur eux-mêmes avec les vitesses respectives v et v, , le premier dans le sens indiqué par la flèche a, et le second dans le sens indiqué par la flèche a, , les deux cercles C et C, rouleront l’un sur l’autre.

Dans les deux premiers cas les cercles 0 et C, roulent directement I on sur l’autre, parce qu'ils ont une tangente commune; dans le troisième cas les cercles C et C, roulent angulairement l’un sur l’autre, parce qu’ils ont des tangentes différentes.

Ces cercles C et C, sont dits, dans les trois cas, les cercles primitifs de l'engrenage.

Cela posé, on peut donner du problème deux sohitions distinctes :

Première solution. On peut supposer que la surface <J> de la dent de la roue fixée à l’axe A est connue, et alors on a à chercher la surface <l>, qui doit terminer la dent de la roue fixée à l'axe A, ; dans ce mode de solution, la surface 4>, est Yem>eloppe de 1 enveloppée ■J*.

Seconde solution. On peut imaginer une surface 1 sc mouvant dans l'espace suivant une certaine loi déterminée par les conditions du problème, et construire les surfaces et <1>, qui doivent terminer, la première la dent de la roue fixée à l'axe Â, et la seconde la dent de la roue fixée à l’axe A, ; dans ce mode de solution , les surfaces 4> et 4>, sont deux surfaces enveloppes ayant la même enveloppée 2.

Premier mode rjinéral de solution.

Concevons la surface <1> fixée au cercle C et d'une manière invariable.

Concevons que pendant que l'axe A tourne sur lui-même avec la vitesse v , un point du cercle C décrive sur ce cercle C, dans un temps /, uu arc qui mesure un angle a, et qu'un point du cercle C ( , pendant que l'axe A, tourne sur lui-même avec la vitesse v„ décrive sur ce cercle C,, et dans le même temps t, un arc qui mesure un angle ë.

F kj. i. — Cas des axes jtaraUèles.

Si l'on fait tourner l’axe A autour de l'axe A, , il engendrera un cylindre de révolution ayant pour section droite uu cercle C, tracé dans le plan P et ayant le point o, pour centre et oo, pour rayon.

Si le point o se meut sur le cercle C, dans le sens indiqué par la flèche et dès lors en un sens inverse du mouvement de Taxe A,, et s’il décrit sur ce cercle C a un arc mesurant un angle ë, la surface <1> sera transportée en une position <!>'; et si eu cette position la surface ‘I>' tourne autour de la droite A', position que l’axe A est venu prendre , d'un angle a et dans le sens indiqué par la (lècbe a, elle prendra une position 1

Si l'on transporte en <1>", en lui faisant décrire autour de l’axe A, un second angle ê, et que l’on fasse tourner 4>”, autour de la nouvelle position A* de Taxe A , d’un nouvel angle a , <K prendra la positiou <P“; et ainsi de suite. L'enveloppe de l’espace parcouru par la surface 4> sera la surface cherchée et cette surface '!>, sera tangente aux diverses positions 4>, de Venvcloppée <!'.

Et connue l 'enveloppe et sou enveloppée sont en général tangentes l une à l'autre suivant une ligne qui est dite caractéristique de l’envcloppe et qui n’est autre que l’intersection de deux enveloppées successives oti infiniment voisines, il s'ensuit que les dents de 1 engrenage sc

mettront successivement en contact par une portion de ligne courbe ou droite, suivant la forme géométrique de la surface enveloppée , et sa position par rapport aux axes A et A,.

Fig. 2 . —Cas des axes gui se coupent.

Si l’on fait tourner l’axe A autour de l’axe A, , il engendrera une surface conique de révolution ayant pour base le cercle C,, ayant le point o, pour centre et oo, pour rayon; et l'on obtiendra 1 enveloppe <l>, par une construction semblable à celle employée dans le cas des axes parallèles.

Fig. 3. — Cas des axes non situés dans un même plan.

Si l’on fait tourner l’axe A autour de l’axe A, , il engendrera une surface hyperboloidc à une nappe et de révolution, ayant pour cercle de gorge le cercle C, tracé dans le plan P, , et ayant le point o, pour centre et la plus courte distance oo, pour rayon. Et l’on obtiendra encore l’enveloppe <J>, par une construction semblable à celle employée dans les deux cas précédents.

Ainsi nous avons trois espèces d’engrenages :

i°. L’engrenage cylindrique;

3°. L’engrenage conique ;

3“. L’engrenage hyperboloïdique.

Et dans chacun de ces eugrenages, la surface <1> qui termine In dent de la roue fixée à l’axe A, conduit uniformément la surface <t>, qui termine la dent de la roue fixée à l'axe A, , ces deux surfaces 4> et 4>, se mettant successivement en contact par une ligne courbe uu droite, suivant la nature géométrique de la surface et sa position dans l’espace, par rapport aux axes A et A, de l’engrenage.

Second mosle général île solution, fig. 4-

Concevons deux axes A et A, arbitrairement placés, dans l’espace, I un par rapport à l’autre. Ayant construit les deux cercles primitifs C et C, ainsi que nous l’avons dit ci-dessus, imaginons un plan Q de position arbitraire dans l’espace, mais passant par le point x, et traçons dans ce plan Q un cercle D, passant par ce même point x, mais ayant pour centre un point quelconque b du plan Q ; imaginons enfin un axe B passant par le centre b du cercle D et perpendiculaire au plan Q de ce cercle.

Cela fait, enroulons un fil F, sur le cercle C du point /jusqu’au point x, puis, sur le cercle D du point x au point k.

Enroulons un second fil F,, sur le cercle G, du point/, jusqu au point r , puis, sur le cercle I) du point j: an point k.

Il est évident que si je lais tourner le cercle D autour de son axe B. dans le sens indique par la lléclie </ 3 , les axes A et A, tourneront sur euxrnémes avec les vitesses respectives v et v, , et que les cercles C etC, rouleront l'un sur l'autre en tournant, le premier dans le sens indiqué par la fléché u, et le second dans le sens indiqué par la flèche a,. Et ces cercles rouleront directement l'un sur l’autre, s ils ont même tangente aux point .r, et rouleront aiujulairement l'un sur l’autre, s’ils ont en ce même point x des tangentes différentes, ainsi qu'il a été dit ci-dessus.

Cela posé, concevons une surface £ fixée d’une manière invariable au cercle L), et concevons qu'a Taxe A soit fixée une niasse de matière M et qu aussi se trouve fixée à Taxe A, une masse de matière M,. Pendant que le cercle l) tournera autour de son axe B, les masses M et Mj tourneront uniformément autour des axes A et A,, le rapport de leurs vitesses angulaires étant constant et égal è ; en même temps la surface £ se mouvra dans l’espace, entrainée quelle est par le cercle D.

Et si l’on considere-la surface £ comme un outil, cet outil £ fera successivement son logctneut soit dans la masse M, soit dans la masse M, ; et les logements successifs que L’on obtiendra en faisant mouvoir le cercle D, formeront une surface ■!> fixée à l’axe A et une surface <P, fixée a l’axe A,, et ces deux surfaces enveloppes, qui évidemment auront lune et lautre la surface £ pour enveloppée commune, seront telles, que supprimant le cercle D et la surface £, elles se conduiront uniformément

l,a surface £ se met .à chaque instant du mouvement en contact avec la surface , par une caractéristique ç, et cette surface £ se met aussi a chaque instant du mouvement eu coutact avec la surface «Ig , par une caractéristique 4, ; en général, les courbes ~ et ç, seront des lignes différentes et distinctes, et comme elles sont toutes deux tracées sur la surface £, en général elles se couperont en un point; par conséquent, d apres ce second mode de construction, on peut dire que les dents de l’engrenage ne se toucheront que par un point.

On voit donc, par ce qui précédé, d’ou proviennent les engrenages de Jorce et de précision, appelant engrenage de force celui pour lequel deux dents sout eu contact par une Iv/nc, et engrenage de précision celui

pour lequel deux dents sont en contact par un point. Et en même temps on voit que le second mode de solution n’est autre que le premier mode, lorsque l'on suppose que le cercle D se confond avec lun des cercles C ou C,.

Maintenant nous pouvons très-facilement descendre de cette théorie générale aux cas particuliers.

Car, i° dans le second mode, la surface X peut être une surface quelconque; on peut doue prendre pour surface 2 un plan /, et dès lors, comme l’enveloppe de l'espace parcouru par un plan est toujours une surface développable, les deux surfaces 4» et 4>, seront développables, et dès lors d’une construction plus facile dans la pratique.

Le plan Q, sur lequel est tracé le cercle D, peut faire avec le plan du cercle C, un angle arbitraire et en même temps la trace de ce plan Q sur le plan du cercle C peut faire avec le rayon ox de ce cercle G tin angle arbitraire ë'; on peut donner à chacun de ces angles a' et ë', suivant que l’on considère l’un des trois cas, aies parallèles, axes qui se coupent, axes non situés dans un même plan, une valeur parüctdierc et telle quelle amène des simplifications dans la construction pratique de I engrenage.

On peut en dire autant pour le cercle I) , car ou peut prendre sou centre b partout où l'on veut sur son plan Q, on pourra donc lui donner une position particulière et telle quelle permette de construire avec plus de simplicité l'épure qui doit servir à construire le relief.

On peut aussi tracer le cercle D avec un rayon plus ou moins grand; le rayon du cercle D peut même être infini; et dès lors ce cercle I) devient une ligne droite L,/îÿ. 5, passant par le point .v et pouvant avoir dans l'espace une direction arbitraire par rapport aux axes A et A,.

Car, 2 “ dans le premier mode, on peut prendre pour la surface 4» ou l’enveloppée <t>, qui termine la dent fixée à l'axe A, toute surface que I on voudra ; on pourra donc prendre pour 4> un plan y et même donner à ce plan y une position toute particulière, et ainsi le faire passer par l'axe A.

Dès lors la surface 4>, sera une surface développable, puisqu elle sera l enveloppc de l’espace parcouru par un plan y.

Cela dit, examinons comment la construction des engrenages particuliers mais géométriques adoptés dans la pratique et décrits dans les Traités publiés par les divers auteurs qui se sont occupés de la question inipor-

tante des engrenages théoriques, dérive tout naturellement de l'un ou de l’autre des deux modes de solution générale que nous venons d'exposer.

Les divers auteurs qui se sont occupés de la théorie des engrenages ont décrit (i) :

i Les engrenages cylindriques extérieur et intérieur (les axes A et A, sont alors parallèles).

Ces engrenages sont tels que les surfaces et <1', sont cylindriques, les génératrices de ces cylindres étant parallèles aux axes A et A,.

Premier système. La section droite de la surface 4> est une épicycloide plane ainsi que la section droite de la sut face 4>,.

Pour l’engrenage extérieur, l’une de ces épicycloïdes est extérieure et I autre est intérieure;

Pour l'engrenage intérieur, l’une et l'autre de ces épicycloïdes sont intérieures ou extérieures.

La construction de ces engrenages rentre dans le second mode général, car en effet cela revient à prendre pour la surface enveloppée 1 un plan y parallèle à la fois aux axes A et A, ; à supposer que le cercle D est situé sur le plan I’ qui contient les cercles primitifs C et C,, et que ce cercle D a au point x même tangente 0 avec les cercles C et C,.

Dés lors la surface enveloppe de l’espace parcouru par le plan y sera une surface cylindrique.

Chacune des surfaces 4» et 4», sera donc un cylindre; il suffira donc de connaître la section droite de 4> ou de 4>, pour que cette surface 4> ou 4*, soit complètement déterminée.

Or il est évident que cette section droite sera la courbe enveloppe de 1 espace parcouru sur le plan P par la trace du plan y sur ce même plan P. Et l’on sait que cette courbe enveloppe est une épicycloide plane, etc.

Deuxième système. La section droite de la surface 4>, est une cpicyeloide plane, tandis que la section droite de la surface 4> est un rayon du cercle C, cette surface 4> étant un plan passant par l’axe A.

Pour l’cngreuagc extérieur, l’épicvcloïdc est extérieure;

(i! Pour bien comprendre ce qui va suivre, on doit avoir présent à l’esprit ce que Hichctte a écrit Sur les divers systèmes iVcngrrnaçn, dans son Traité des Machiner.

Pour l’engrenage intérieur, lepicycloïde est intérieure.

On obtient ainsi l’engrenage cylindrique dit engrenage cylindrique à flancs'.

La construction de ces engrenages rentre dans le premier mode général; car, en effet, cela revient à considérer la surface 4> comme étant l'enveloppée, et à prendre un plan y pour cette enveloppée, en assujettissant ce plan y à passer par l’axe A ; et il est évident qu'au lieu du premier mode on aura le second mode général si l’on suppose que le cercle l) n est autre que le cercle primitif C.

Troisième sy stème. La section droite de la surface <J> est un cercle à, dont le centre il est placé sur le cercle primitif C; la section droite de la surface , est une courbe parallèle à lepicycloïde décrite par le point d, en supposant que le cercle C roule sur le cercle C, ; on obtient alors l'engrenage dit engrenage cy lindrique à lanterne.

Pour l’engrenage extérieur, lepicycloïde décrite par le point d est extérieure;

Pour l’engrenage intérieur, l’épicycloide décrite par le point d est intérieure.

La construction de ces engrenages rentre dans le premier mode général; car, en effet, cela revient à considérer la surface 4> comme étant 1 enveloppée , et à prendre pour <P une surface cylindrique ayant le cercle d pour section droite.

Quatrième système. I>a section droite de chacune des surfaces <!> et 4>, est une développante parfaite de cercle.

La construction de ces engrenages rentre dans le second mode général; car, en effet, cela revient à considérer 1 enveloppée 1 comme étant un plan y parallèle aux axes A et A, ; à supposer que le cefcle D a un rayon infini, et que dès lors il n'est autre qu’une droite I. passant par le point x; et à concevoir, de plus, que cette droite L est située dans le plan P qui contient les cercles primitifs C et C, ; cette droite L coupant au point x les deux cercles primitifs C et C, , et le plan y étant perpendiculaire à cette droite L.

II. Les engrenages coniques extérieur et intérieur ( les axes A et A, se coupent alors en uA point s).

Ces engrenages sont tels que les surfaces <î* et <J>, sont des cônes ayant pour sommet commun le point s, en lequel se coupent les axes A et A,;

Premier système. La courbe directrice du cône 4> est une épicycloïde sphérique; celle du cône 4», est une épicycloïde plane, tracée sur le plan du cercle G,. Pour l’engrenage extérieur, l’une des épicycloides, celle «pii est sphérique, est extérieure et l'autre est intérieure.

Pour l’engrenage intérieur: l’une et l’autre des épicycloides, et la sphérique et la plane, sont intérieures ou extérieures.

La construction de ces engrenages rentre dans le second mode général; car, en effet, cela revient à tracer le cercle D dans le plan du cercle primitif C,; et, de plus, à supposer que les trois cercles D, C et C, ont au point x meme tangente 9. Et enfin, à considérer la surface enveloppée 2 comme étant un plan y, assujetti à passer constamment par le point s.

Deuxième système. I>a courbe directrice du cône 4> est une épicycloïde sphérique, celle du cône 4>, étant nn rayon (et dès lors une droite) du cercle C,.

Pour l’engrenage extérieur, lepicycloïde sphérique est extérieu rc ;

Pour l’engrenage intérieur, l’épicycloïde sphérique est intérieure.

On obtient ainsi l’engrenage dit, engrenage conique n flancs.

La construction de ces engrenages rentre dans le premier mode général; car, en effet, cela revient à supposer que le cercle 1) se confond avec le cercle C,, que l’enveloppée 2 n’est autre que la surface <t>,, et que cette enveloppée 4>, est un plan y passant constamment par l’axe A,.

Troisième système. La surface directrice du cône 4*, est une sphère A, ayant son centre b, situé sur le cercle primitif C, , et ce cône 4>, a pour sommet le point s en lequel les axes A et A, se coupent. La surface directrice du cône 4> est une surface canal engendrée par la sphère A, pendant que son centre b, décrit une épicycloïde sphérique, en supposant que le cercle C, roule sur le cercle C.

Pour l’engrenage extérieur, l’épicycloïdc sphérique est extérieure;

Pour l’engrenage intérieur, l'épicycloidc sphérique est intérieure.

On obtient ainsi l’engrenage conique dit engrenage conique à lanterne.

La construction de ces engrenages rentre dans le premier mode général; car, en effet, cela revient à considérer la surface 4>, comme une enveloppée fixée au cercle C, , cette enveloppée 4>, étant un cône ayant le point s pour sommet, et étant de révolution puisqu'il enveloppe la sphère A,.

Quatrième système. La courbe directrice de chacune des surfaces coniques $ et , est une développante sphérique.

la construction de ces engrenages rentre dans le second mode général ; et, en effet , cela revient à considérer le cercle D comme ayant son centre au point s, et à supposer que son plan Q passe par la droite B, fij. 3, laquelle divise l'angle des axes en deux parties dout le rapport des sinus est inverse de celui des vitesses des axes; ensuite à prendre pour l'enveloppée 1 un plan ^ passant par le point s et perpendiculaire au plan Q.