CHAPITRE II

Théorie géométrique d'un nouvel engrenage de force destiné à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes non situés dans un même plan.

On doit se rappeler qiie j’appelle engrenage de force, celui dans lequel un certain nombre de dents sont deux à deux en contact par une ligne droite ou courbe; et engrenage de précision, celui dans lequel un certaiu nombre de dents sont deux à deux en contact par uu seul point.

Cela dit. imaginons ( fiy . 7) deux axes A et A,, l’uu A vertical et I autre A, incliné , ces deux axes comprenant entre eux un angle S plus petit qu'un angle droit, et ces deux axes n'étant point situés dans un inéme plan.

Désignons par D la plus courte distance existant entre ces deux axes; par a son pied sur l’axe A , et par o, son pied sur Taxe A,.

Prenons snr la droite D un point x , lequel sera situé entre les deux axes; désignons o.v par R et o.r, par R,, et représentons par o et u, les vitesses angulaires des axes A et A,.

delà posé, imagiuons deux cylindres, l’un U du rayon R, et ayant A pour axe de révolutiou; l'autre H, du rayon R,, et ayant A, pour axe de révolution.

Ces deux cylindres seront taugouts l’un à I autre au point x.

Le* génératrices G du cylindre II et G, du cylindre H, , lesquelles se coupent au point x , seront les génératrices de contact d’un plan T qui sera vertical et tangeut à la lois aux deux cylindres II et II,.

Cela posé, coupous tout le système par uu plan horizontal P et mené a une distance : au-dessous de la plus courte distance D. Ce plan P coupera le cylindre H sut vaut un cercle C du rayon R , et le cylindre II ,

suivant upc ellipse E, dont les demi-axes seront égaux, savoir : le demi petit-axe à R, , et le demi f;rand-axe à -~j-

Ce même plan P coupera le plan T suivant une droite X qui sera tangente en même temps au, cercle C et à l’ellipse E.

Cette droite X touchera le cercle C en uu point g, et l’ellipse E en un point g t ; ces points g et g, seront les intersections respectives du plan P et des génératrices droites G et G,.

Cela posé, traçons dans le plan P une développante c? du cercle C, laquelle aura son origine au point l) de ee cercle C et coupera la droite X en un point ni ; dés lors on aura la droite gm égale à l’arc rectifié gb.

Supposons par le point m une droite verticale Y, laquelle sera située dans le plan T, et dès lors tangente au cylindre H, en nu point y situé sur la génératrice G,.

Cela fait, si nous faisons tourner la courbe <? autour de l’axe A, elle poussera la droite Y en la faisant mouvoir dans le plan T et parallèlement à elle-même; de telle sorte que si la courbe â, tournant d’un angle a, vient prendre la position à\ le point b ayant décrit un arc bb' qui, sur le cercle C, mesure un angle égal à a, cette position d' coupera la droite X en uu point m', et tel que l’on aura

mm' — arc rectifié bb'.

Dès lors, la droite Y sera venue se placer en Y', et le point ) sera venu se placer en y' sur Y', et l’on aima

(0 mm' = yy'.sinë.

On voit donc que pour des angles de rotation égaux entre eux et à a et parcourus autour de l’axe A, la courbe <? conduira uniformément la verticale Y en lui faisant parcourir sur la droite X, et pour chaque angle de rotation a, des longueurs égales entre elles et à mm'.

Cherchons maintenant la nature géométrique de la surface régler <l>, qui, fixée au cylindre H,, sera telle que pour des angles de rotation, égaux entre eux, aittour.de Taxe A,, ses diverses génératrices droites viendront successivement se placer daus le plan T et parallèlement à

l'axe A, oa, en d autres termes, viendront successivement prendre. dans le plan T les diverses positions Y, Y',... En y réfléchissant un peu, on voit que cette surface <t>, ne peut être autre que l’héliçoïde développable formé par les tangentes à l’hélice cylindrique courbe tracée sur le cylindre H, eu pliant librement la droite Y sur ce cylindre; et comme la droite Y est parallèle à l’axe A , et que la géuéralrice G, est parallèle à l’axe A,, il s’ensuit que Y et G, se coupent sous l’angle ë, et que dès lors l’hélice £ coupe toutes les génératrices du cylindre H, sous l’angle ê.

Far conséquent, le rayon de la section droite du cylindre H, étant K,, en désignant par A le pas de l’hélice E , et parL la longueur d’une spire entière et rectifiée de cette courbe, on aura

et L

2 Tl R, tang Ç

V i -4- tang 1 S =

sin?

On voit donc, d après ce qui précède, que si :

t“. La surface <I> de la dent de la roue fixée à l’axe A est un cylindre * ayant ses génératrices parallèles à cet axe A, et pour section droite ou base la développante &;

2 *. La surface <P, de la dent de la rôtie fixée à l’axe A, est nn héliçoïde développable , ayant l’hélice ç pour arête de rebroussement ;

Les deux roues tournant respectivement autour des axes A et A,, les dents <I> et *t>, se conduiront uniformément et se mettront, à chaque instant du mouvement, en contact par une portion de ligne droite, et le contact des dents sera tel, évidemment, puisque les deux surfaces cylindrique 4> et hélicoïdale <l>, se mettent successivement en contact par leurs génératrices droites.

Il est évident que les deux roues ainsi dentées ne formeront point un engrenage à retour, c’est-à-dire que la roue fixée à l'axe A et destinée à imprimer un mouvement de rotation à la roue fixée à l’axe A, ne pourra jamais tourner que dans un sens; car si l’on compare cet engrenage à . celui que l’on exécute ordinairement pour transmettre le mouvement de rotation entre deux axes parallèles, engrenage dans lequel les dents sont terminées par des surfaces cylindriques ayant respectivement pour sections droites des développantes de cercle, on voit que ce dernier engrenage est à retour, parce que les cylindres II et H, ont deux plans tangents communs; tandis que, pour le nouvel engrenage, les cylin-

dros H et H, n’ont qu'un seul plan tangent commun , savoir, le plan T.

Cherchons maintenant quelle doit être la longueur des rayons R et R , des cylindres Il et H, , suivant que les axes A et A, auront même vitesse angulaire ou des vitesses angulaires différentes.

i". Si l’on suppose que les deux axes A et A, ont itiéme vitesse, il faudra, après un tour entier de révolution de la courbe d autour de l'axe A , que l’on ait

mm' = arc. R et jt' — h; et dés lors, en vertu de l'équation (t), on aura

3 7tR

équation qui se réduit à

îrR,

üngë

sin S,

R = R, . cos S.

L’équation (3) sera celle qui lie entre eux les rayoas R et R, des cylindres II et II, , et qui doit être satisfaite pour que les deux axes A et A, aient même vitesse angulaire.

Et comme cosë est plus petit que l'unité, il s'ensuit que l’on aura

et R, sera d'autaut plus grand que l’angle S approchera plus d’être égal à un angle droit, car l’équation (3) nous dit que lorsque S = 90°, on a cos 6 = o, et par suite R, = £.

Ainsi, d’après ce qui précède, s’étant donué la plus courte distance D existant entre les axes A et A, et l’angle 6 que ces axes font entre eux „ on devra, pour connaître la position du point x sur la droite I), ou , en d’autres termes, pour calculer les rayons R et R, des cylindres II et H„ poser l’équation

et comme lequation (3) donne

ou aura

oc par suite

2 °. Si I on veut que les vitesses angulaires des doux axes A et A, soient différentes, il faudra, en désignant les vitesses respectives des axes A et A, par v et t», , que la circonférence C du rayon R, et la longueur d'uue spire entière de l’hélice | , soient entre elles dans le rapport inverse — des vitesses des axes A et A..

On deVra donc avoir

2JrR : ùngï ^Ttang’i v, :

d’où l’on tire

R.u.tangS = H , . o, V t -t- tang 1 ê , ou

(3) R,.t>, = R.u.sinê.

Telle sera l'équation qui liera entre eux les rayons R et R, des cylindres H et H„ pour que les deux axes A et A, aient des vitesses angulaires dans

un rapport constant — .

Si nous supposous que I on ait place m dents *l> sur le cylindre H et m, dents <J>, sur le cylindre H,, on aura ,

Dés lors l’équation (3) deviendra

(4) H , = H • ~ -*in 6

i 4- co» S *

D.cos?

i co» 6 ’

Ainsi , supposant que Ton se donne la plus courte distance D entre les axes

A et A, et I angle € que ces axes font entre eux et le rapport — ou — ,

polir placer le point .v snr la droite D, ou, en d’autres termes, pour calculer les rayons R et R, des cyliudres H et H,, il faudra poser l'équation

et, en vertu de l’équation (4), on aura

H î.sinü

et

Ht , .

. D.sin*»

i -f- — .sin<5

Tracé et construction de l'engrenage extérieur.

On peut, par un tracé graphique très-siitiple, construire la longueur des rayons R et R , des cylindres H et H, , lorsque l’on connaît (fig. 8) :

i°. La longueur ab de la plus courte distance I) existant entre les axes A et A,; .

2°. L'angle ê que les deux axes A et A, doivent faire entre eux ;

3°. Le rapport — des vitesses angulaires de ces qxes , o étant la vitesse de l’axe A et v, celle de l’axe A,.

En effet, projetons les deux axes A et A, sur un plan vertical parallèle à ees deux axes, on aura (fig. 8 bis ) les deux droites A et A,, comprenant entre elles l'angle ê.

Supposons qne sur la droite X, perpendiculaire â la droite A, on prenne une longueur mm' arbitraire, et que nous désignerons par r; par le point m' élevons une droite »n' v' parallèle à la droite A et coupant la droite'Ai au point y'.

Du point y' menons une droite y'q perpendiculaire à la droite A, et coupant la droite A, au point q, et désignons y'q par r,.

Si l'on suppose que les deux axes A et A, ont même vitesse angulaire, et que r soit le rayon du cylindre H, r, sera le rayon du cylindre H,; et la plus courte distance D sera égale àr+r t .

Si les axes A et A, n’ont pas même vitesse angulaire v, on connaitra

le rapport ' de leurs vitesses; on aura donc à construire une droite r' telle que l'on ait

d’où l’on tire

r' = — r, — une certaine ligne ai.

Et au moyen de ces deux lignes mm' et cd, il sera facile de partager la droite nb en deux parties a.r et xb, telles que l’on ait (fiy. 8),

ax : r xb ; r';

des lors ou prendra or pour R et xb pour R,.

Les rayons des roues étapt connus de longueur, il faut déterminer l’épaisseur des troncs cylindriques, ou, en d’autres termes, la hauteur des rondelles sur le pourtour desquelles seront placées les dents.

Supposons {jtij. 9), comme précédemment, que la projection soit faite sur un plan parallèle aux axes A et A,.

Si ni est la hauteur de la roue fixée à l’axe A , pn = R étant le ravon de cette roue, et ly la longueur de cette même roue; et si p'n' = R, est le rayon de la roue fixée à l’axe A, , en abaissant des points n et g des perpendiculaires sur Taxe A, , on aura en p'q' la hauteur de la roue fixée à l’axe A,.

Il est évident que l’on a

püÿ > pq,

et que p'q' deviendra d’autant plus grand, pq restant constant, que la longueur /</ de la dent de la roue fixée à l’axe A sera plus grande.

Cette longueur Ig de la déni delà roue du rayon R dépendra, comme on le sait , de la nature des matériaux employés pour la construction des roues de l'engrenage.

On voit aussi que la hauteur p'q' de la roue du rayon R, sera la plus

grande lorsque l'axe A, fera avec l'axe A un angle ë égal à l’angle tng.

Cela fait, on divisera la roue du rayon R en m dents, comme on le pratique pour l'engrenage cylindrique à développantes.

Ainsi, ayant, au moyen des formules counues sur la résistance des matériaux , calculé la largeur à la racine et à I extrémité de la dent et la longueur de la deut; et ainsi connaissant {fig. 10) les largeurs cd et nb et la longueur M, et aussi la hauteur de la dent qui ne sera autre que celle pq {fig. <y) de la rondelle du rayon R ; on construira p'q', ainsi que nous l'avons expliqué ci-dessus, eu prenant bj égal à Ut.

Cela fait, pour diviser la roue du rayon R, en m, dents ( — étant

égal à , et pour tracer les dents de cette roue , on fera la construction suivante :

i°. On abaissera du point p' {fig. 9) une parallèle à la droite A, et coupant la droite gq' au point g', on aura la proportion suivante :

p'g' est à la longueur L d’une spire entière de l’hélice f, comme un arc x de la circonférence C, du rayon R, est à la circonférence entière de ce même cercle C,.

Si donc on désigne p'g' par I, on aura

Pious pourrons toujours construire L, puisque cette longueur est l’hypoténuse d'un triangle rectangle dont la base est égale à 27t. R, , et dont la hauteur est égale au pas h de l'hélice f, et que nous savons que

h ~ P eut ( l° nc toujours construire an. R, et /1 , et par suite L.

2®. En vertu du rapport qui existe entre les vitesses des axes A et A,, on aura calculé , ainsi que nous l’avons dit ci-dessus, le nombre ni de

«lents à placer sur la roue du rayou R , et cela en supposant que l'en grenage soit cylindrique; on connaîtra donc le nombre m, de dents

à placer sur la roue du rayon R, , puisque m, = m — .

la* nombre m, de dents que la roue fixée à l'axe A, doit conteuir étant connu, on divisera ( fiij . 1 1 ) le cercle G, du rayon R, en m, parties égales, l'un des points de division étant, par exemple, le point a. Ensuite on prendra sur ce cercle C, un are nn'-égtü à lare x, calculé ci-dessus. Par les poiuts « et a' on fera passer deux développantes parfaites du cercle C, , savoir: alf et a'b\ et a et n' seront les origines respectives de ces courbes.

• 3". On mènera un plan tangent au cylindre H,, dont la trace sur le plan du cercle C,, section droite de ce cylindre, sera la tangent ebb'k. l/es développantes s’arrêteront aux points b et b', et la droite bk sera la projection sur le plan du cercle G, d une génératrice G de l’béliçoido développable «pii forme la surface de la dent , et qui a l’hélice \ .pour nrtile rie rebroussement .

Ou tracera cusuite deux cercles C, et C, ayant même centre que le cercle C, et passant par les points b et b'.

On mènera la droite qq' parallèle à bb', et coupant le cercle 0 au point q' et le cercle G,’ au point q.

Les cordes Uqf et bq détermineront une face gam be de la «leut se projetant suivant le trapèze bqb'tf-, mais on pourra, et cela vaudra mieux, parce que lexécutiou en relief sera plus facile, mener par les points b et b' deux parallèles coupant bq', et déterminant une face plane avec bl>' et qq'; par la droite qq’ on mènera un .plan (} dont la trace q’p' sur le cercle'C, passera par le centre de ce cerclé G,.

Ainsi la dent sera terminée par les faces suivantes, et nous les supposons projetées sur le plan du cercle G, ; çc cercle G, étant le cercle supérieur de la rondelle sur le pourtour de laquelle sont placées les m, dents hélicoïdales <!>,.

i°. Surface héli«;oidale projetée en aba'b';

i° et 3°. Deux faces planes parallèles entre elles et perpendiculaires a * l’axe A',, et projetées en véritable grandeur en nbqp et fi'l/q'j / ;

4°. Une face plane inclinée* projetée en bqb'q' ,

5°. l'ne face plane inclinée projetée en qpq'p ■

"Au lieu de construire le plan bql/q', on aurait pn prendre pour l’une des faces de la docit, le plan tancent au cylindre H, et dont la trace est M, et dès lors la face projetée eabqt/q' se serait projetée en frfr'ïi'; et cette face aurait été normale à la surface tourbe et héliçoïdale de ta dent.

lie sorte que la nouvelle dent serait celle décrite ci-dessus, et dont on aurait retranché le prisme triangulaire biq l/i'q' ; et il est évident que l’on peut retrancher ce prisme sans nuire à la solidité de la dent , sans nuire à la résistance qu’elle doit opposer à la dent de la roue du rayon R qui doit la conduire , puisque la face bihfi' est perpendiculaire à la face héliçoïdale aba 1 !/.

Lorsqu'on mettra l’engrenage en place, il peut arriver que la dent héliçoïdale soit trop longue, de telle sorte qu’en tournantautour de l’axe Ai son extrémité b vienne rencontrer le cylindre H ; alors on recoupera cette dent au moyen d’un cylindre concentrique au cylindre H,, et ayant pour base un cercle Cj : dès lors la dent aura une sixième face qui sera cylindrique.

La deut de la roue H ne se mettra en contact avec la surface héliçoïdale abtt'b', que par une portion de cette surface héliçoïdale.

Et, en effet, si l’on projette sur le plan du cercle C, les deux courbes parcourues respectivement sur la surface héliçoïdale par les développantes qui terminent inférieurement et supérieurement la dent de la roue fixée à l’axe A , on obtiendra les courbes an et mb', fitj. 1 1 .

Et les projections an et mb' des courbes de l’espace seront des développantes raccourcies du cercle C,. En sorte que le plus petit rayon que l’on devra donner au cercle C ' 3 sera égal à la distance du point n ait centre du cercle G,.

Quant à la dent de la roue fixée à 1 axe A, on pourra la construire d’abord comme dent d’un engrenage cylindrique en lui donuant la forme dfabec , fit). to; puis transformer cette dent en menant le plan corde ad, ou bien en menant par l’axe A et le point a un plan (ja; car la portion cylindrique à développante afd est inutile, puisque l’engrenage que nous avons à constmire n’est pas à relotir.

• . De In ftose de l'engrenage.

On sait que dans les engrenages extérieurs et cylindriques à déve-

loppantes de cercle, ou peut rapprocher ou élpigner à volonté les axes entre eux en les laissant toujours parallèles, et qu'ainsi l'on peut diminuer ou augmenter à volonté le jeu qui existe entre les dents.

Cette propriété, très-utile dans la pratique, et qui facilite la pose des axes de l’engrenage, n’existe point pourjes engrenages cylindriques à épicycloides.

[je nouvel engrenage jouit aussi d’une propriété analogue.

L’angle des deux axes étant égal à é, et la plus courte distance entre ces axes étant égale à une longueur D, il faut impérieusement que, quelque position que l'on donne aux axes l’un par rapport à l’autre, ces deux conditions soient satisfaites, puisque les rayons R et R, sont calculés eu fonction de l'angle ê et de la plus courte distance D; en sorte que les axes en réalité doivent rester invariables-

Cependant la distance entre les portions d’axes appartenant aux roues dentées peut diminuer sans que les relations de position existant entre les axes considérés comme droites indéfinies soient altérées. Et, en effet, imaginons deux plans Q et Q’ parallèles entre eux, nous pouvons tracer dans le plan Q uue droite invariable A, et tracer dans le plan Q' uni 1 suite de droites parallèles entre elles A,, AJ, A" , et faisant avec la droite A un angle ë; et la plus courte distance existant entre A et A,, A et A’, , A et A“, sera toujours la même eu longueur, elle sera égale à la distance D existant entre les plans Q et Q' : mais celte plus courte distance variera de position dans l’espace, en sorte que la plus courte distance D existant entre A et A, sera égale à la plus courte distance I), existant entre A et AJ , mais ne se confondra pas avec D, elle lui sera parallèle.

On pourra donc éloigner ou rapprocher les axes A et A, du uouvel engrenage en faisant glisser l’axe A, parallèlement à lui-même dans le plan Q' qui, passant par l’axe A,, est parallèle à l’axe A.

Ainsi, lorsque par le travail les dents seront usées, on pourra diminuer le jeu existant entre les dents, en rapprochant les axes.

On peut encore arriver au même but par un autre moyen et qui devra être préféré dans la pratique, parce qu’il n’exige pas de changer la position de l’axe A, par rapport à l’axe A, ou, en d’autres termes, de déplacer l’un des axes de l'engrenage.

Et, eu effet, si l'on donne à la roue du rayon R, une hauteur plus

grande que p'q',fitj, 9, si lorsque les dents s’useront, on fait glisser la roue , ^

du rayon R, le long de l’axe A, , en la rapprochant de la position qu’occupe la plus courte distance entre ces axes, il est évident que par ce mouvement de translation la roue du rayon R, sera de la roue du rayon R.

, réellement, rapprochée ,% ,

VW

%?. Jtr

• § iv. *

Des Hivers engrenages que l’on peut construire d 'après ce nouin au système. On peut construire :

i°. Des engrenages extérieurs, et ce sont ceux qne nous venons de < décrire;

2°. Des engrenages intérieurs;

3 ". Des engrenages à crémaillère oblique.

Des engrenaijcs intérieurs.

Avant de donner quelques détails sur la construction des engrenages intérieurs, il est nécessaire d’indiquer comment, au moyen de quatre roues dentées et placées deux à deux sur les axes A et A,, on peut composer un engrenage extérieur jouissant de la propriété detre à retour. *

Supposons ( fig . 10) que la roue fixée à l’axe A porte des dents dont la forme est dfabec, cette forme étant celle que doit avoir la dent appartenant à une des deux roues d’un engrenage extérieur et dans le cas où les axes A et A, sont parallèles. Ainsi nous supposons que la dent est terminée à droite et à gauche par une surface cylindrique ayant pour section droite une développante de cercle.

Partageons chacune de ces dents par un plan milieu passant par l’axe A et par la droite Ik.

Supposons ensuite {fig. 1 2) que nous plaçons sur l axe A et à égale distance de la plus courte distance D existant entre les axes A et A, lesquels comprennent entre eux un angle ë, deux rondelles dentées: l’une au-dessus de la plus courte distance D, et portant des dents telles que H', dont la forme sera donnée comme {fig. 10), savoir, dfakl ; et l’autre au-dessous de la plus courte distance D , et portant des dents telles que B, dont la forme sera donnée comme {fig. to), savoir Ikbec.

Cela étant fait par rapport à Taxe A , considérons la surface héliçoide loppable qui a pour arête de rebroussement l’hélice f. Cette surface posée de deux nappes; et si l’on coupe cette surface par un plan S pendiculaire à l'axe A,, on aura deux branche» de développante de le dont I origine ou point de rebroussement sera le point en lequel i hélice S, est coupée par le plan S. »

Si donc [ fii/. i3) on laisse au-dessous de la plus courte distance I) la nappe inférieure, et que l’ou fasse glisser parallèlement à elle-même, et le long du cylindre H,, la nappe supérieure de l’héliçoïdc pour la , placer à une distance égale et au-dessus de cette même plus courte distance D, on pourra construire deux dents M et M' qui seront inversement symétriques.

Dès lors, si l'on met en présence les dents M et B, M' et B', et de telle manière que M et B étant en contact, M' et B' soient aussi en contact, on obtiendra évidemment un engrenage d retour.

Rien ne sera plus facile que, de mettre les dents M' et B' en contact, les dents M et B étant elles-mêmes mises d’abord en contact; car supposons que la rondelle C qui porte la dent B soit fixée d’une manière invariable à son axe A , et qu’il en soit de même de la rondelle C, qui, placée sur l’axe A,, porte la dent M. Les axes A et A, étant placés dans la position qu’ils doivent occuper l’un par rapport à l’autre, on fera tourner la rondelle C, en faisant tourner son axe A, sur lui-méme jusqu’à ce que la dent M se mette en contact avec la dent B.

Supposons ensuite que les rondelles. G' qui porte la dent B', et G,' qui porte la dent M', puissent chacune tourner librement sur son axe, sans pouvoir glisser le long de cet axe. On pourra donner à la dent B' de la rondelle C' toute position que l’on voudra, par rapport à la dent B de la rondelle G, et la rondelle C' étant fixée sur son axe A et invariablement en la position que l’on aura choisie, on pourra faire tourner la rondelle G,' sur son axe A,, cet axe restant immobile jusqu'à ce que la dent M' sc soit mise en contact avec la dent B'. La rondelle G,' étant amenée en cette position de contact , on la fixera invariablement sur son axe A,. Dès lors, il est évident que lorsque l’axe A tournera sur lui-méme, la dent B conduira la dent M , la rotation ayant lieu de gauche à droite , par exemple , et que au contraire ce sera la dent B' qui conduira la dent M' si la rotation a ticu de droite à gauche. *

Ainsi pour que le système soit à retour, il doit être composé de deux engrenages identiques , placés symétriquement l'un au-dessous et l’autre àu-dessus de la plus courte distance U existant entre les axes A et A,.

Ayant bien compris ce qui précède, il sera facile de concevoir l'engrenage ultérieur.

Imaginons deux cylindres II et II, dont l’un H est creux ou concave et l’autre H, plein ou convexe, et tous deux tangents l’un à l’autre par un seul point x, leurs axes faisant, d’ailleurs, entre eux un angle ê plus petit qu'un angle droit.

Ces deux cylindres se couperont suivant une courbe à double courbure, qui aura uu point multiple au point x.

Leur normale commune I) passera par le point x, et s'appuyant à la fois sur les axes A et A,, elle coupera l’axe A au point o et l’axe A, au point o,.

Le point x sera situé sur le prolongement de la normale commune ou plus courte distance D, et cc point x sera dés lors situé, non entre les axes A et A,, mais au-delà de l'un et l'autre de ces axes, et il sera placé sur la plus courte distance D de telle manière que l'on aura :

ox : o,x : : u, : o

v étant la vitesse angulaire de l’axe A et v, celle de l'axe A,.

I.a construction du point .v étant effectuée, ox sera le rayon R du cylindre H et o,.r sera le rayon R, du cylindre H,.

Cela posé, on voit, de suite, que lorsque les cylindres II et H, sont extérieurs l'un à l’autre comme dans le cas de l’engrenage extérieur, outre le plan T qui leur est un plan tangent commun et qui est la seule surface plane que l'on puisse leur mener tangcntiellement , il existe une infinité de surfaces réglées dont les génératrices droites seront tangentes à la fois à ces deux cylindres, et il est facile de voir que toutes ces surfaces gauches tangentes seront coupées par le plan T etcbacunesuivant une courbe.

On voit aussi, de suite, que lorsque les deux cylindres H et H, sont intérieurs l’un à l'autre (comme dans le cas de l'engrenage intérieur, qui nous occupe en ce moment), il n'existe qu’une seule surface réglée qui soit tangente en même temps à ces deux cylindres II et H, , et que cette surface n’es( autre qu’un plan T, mené au point x tangcntiellement aux deux cylindres H et II,.

Cela dit, si nous considérons deux cylindres il et H, intérieurs l'un à (autre, le cylindre H étant creux et le cylindre H, étant plein; dès lors le cylindre II enveloppant le cylindre H, et par conséquent le rayon R du cylindre II étant plus grand que le rayon II, du cylindre H,, si I on mène par la plus courte distance D, existant entre les axes A et A,, deux plans, l'un P perpendiculaire à l'axe A et coupant le cylindre II suivant un cercle C (du rayon R égal à ox), l'autre P, perpendiculaire à l'axe A, et coupant le cylindre II, suivant uu cercle C, (du rayon R, égal à o,x) , on doit voir, de suite, que ccs deux cercles s'envelopperont l'un l'autre, et n'auront qu'un seul point commun qui sera le point or, et qu'en ce point x ces deux cercles se couperont.

Cela posé, si dans le plan P on trace une développante du cercle C et ayant son origine au poiut x, cette courbe sera composée de deux branches d et d' ayant le point x pour point de rebroussement.

Si par le point x on mène une droite G parallèle à l’axe A et située dés lors dans le plan tangent unique T,, en pliant librement cette droite G sur le cylindre convexe H, , on obtiendra une hélice Ç; et il est facile de voir que la branche d conduira ou sera conduite, à volonté, par la nappe inférieure de l'héliçoïdc développable ayant l’hélice £ pour arête de rebroussement, et que la branche d' conduira ou sera conduite par la nappe supérieure de la même surface héliçoïdale, et que dans l'un et l'autre cas le point de contact existant entre la surface et la courbe parcourra la droite 5 qui est tangente au cercle C et au point x ;

Et les choses sc passeront de telle manière, que si l’on désigne par - <t> la nappe inférieure, et par 4>' la nappe supérieure de l'héliçoïdc, l'axe A, tournant dans uu sens, ce sera la branche d qui sera conduite par la nappe 4> à partir du point x; et que si l’axe A, tourne en sens inverse, ce sera la branche d' qui sera conduite par la nappe 4>' à partir du même point x.

Il doit être évident que, dans ce système, ce sera la surface convexe soit de la nappe inférieure 4», soit de la nappe supérieure <t>' de l héliçoidc qui devra terminer la dent de la rondelle fixée à Taxe A,, et que ce sera au contraire la partie concave du cylindre avant pour section droite la courbe d et la courbe d' qui terminera la dent cylindrique de la rondelle fixée à l’axe A. ,

Ainsi, si sur le cylindre II, plein ou convexe, et qui est intérieur par

rapport au cylindre creux ou concave U , on trace une hélice Ç coupant les génératrices dé ce cylindre H, sous l'angle ë (cet angle ë étant celui <pie font entre eux les axes A et A,), la surface développable formée par les diverses tangentes à la courbe terminera la dent de la rondelle fixée à l’axe A,; et cette dent aura, en la projetant sur un plan perpendiculaire à l’axe A,, la forme indiquée {fig- t 4 )> les courbes ad et Ite étant des développantes du cercle C, du rayon R,, et en perspective elle aura la forme indiquée par la fi<). 1 5 : Mais comme dans ce cas la dent fixée à l'axe A serait formée par deux surfaces cylindriques concaves ayant pour section droite, l une la branche de développante à, et l’autre la branche à' de la même développante, et que ces deux surfaces sc réuniraient par la seule droite G passant par le point .r, et qne dés lors la dent fixée à l’axe A offrirait une partie. aiguë en G, qui serait sans résistance (comme l’indique, en plan la fig. i4 et en perspective la fig. 1 5 ), on doit séparer les nappes <t» et ainsi que les branches à et d' de la développante, et laisser entre elles un espace assez grand pour que la dent fixée à l’axe A offre une résistance suffisante à son extrémité. En sorte que la dent de la rondelle fixée à l’axe A, aura en perspective la forme indiquée fig. 20, et que la dent de la rondelle fixée à l’axe A aura la forme indiquée en plan fig. 16, et en perspective^. 1 y.

II est facile de voir que l’engrenage intérieur ne diffère de l’engrenage extérieur qu'en ce que les dents cylindriques :

t“. Sont convexes pour l’engrenage extérieur {fig. 10) et concaves pour l’engrenage intérieur {fig. 16);

2°. Sont juxtaposées comme en B, B' ( fig. 1 7 ) pour l’engrenage intérieur, tandis quelles sont séparées comme en B, B' {fig. 12) pour l’engrenage extérieur.

En d'autres termes : que les dents partent du point .r situé sur la plus courte distance D existant entre les axes A et A, {fig. 17) pour l’engrenage intérieur, tandis que les dents sont placées à une distance z au-dessus et au-dessous du point x {fig. 12) pour l’engrenage extérieur. Et il est facile de voir qu’il en sera de même pour les dents de la roue fixée à l’axe A,. Seulement dans le cas où la dent cylindrique fixée A laxe A aura la forme indiquée en plan par la fig. 16, les dents héliçoidales M etM', fixées à l’axe A, {fig. 20 et 20 bis), seront séparées l’une de’l autre d une quantité ma' comptée sur le cercle C„ section droite du

cylindre H,, par tin plan passant par le point x, et l’arc nn' sera, étant . rectifié, égal en longueur à l’arc rectifié pq {fig. 16) du cercle C, section droite du cylindre H, par un plan passant par le point - !.

Ainsi, désignant l’arc pq rectifié par u et par u, l’arc rectifié nn', on devra avoir

Et comme ( fig . 16) le point arest le milieu de l’arc pq, il arrivera aussi que le même point! {fig. 20 et 20 bis) sera le milieu de l’arc nn'.

.Te crois être entré dans tous les détails nécessaires et suffisants pour que les ingénieurs-mécaniciens, habitués à tracer des engrenages cylindriques et coniques et connaissant la géométrie descriptive , puissent facilement exécuter l'épure nécessaire à la construction du nouvel engrenage, qn’il doive être intérieur ou extérieur.

Faisons remarquer que par ce nouveau système (l’engrenage étant intérieur ou extérieur) on pourra , au moyen d’une roue portant des dents cylindriques à développantes, transmettre le mouvement de rotation à autant d’axes inclinés A, , A j, A* , qu’on voudra, pourvu que l’axe A de cette roue à dents cylindriques ne rencontre aucun des axes A,, A,’, A(.

Remarquons encore que si l’on se donne deux axes A, et Aj qui se coupent, on pourra transmettre le mouvement de rotation de l’un à l’autre au moyen d'un troisième axe A, qui ne coupera ni l'axe A, ni l’axe Aj .

En sorte que les roues dentées, C, fixée à l’axe A, et C,' fixée à l’axe A| , ne se conduiront pas directement, mais la roue C, conduira la roue intermédiaire C fixée à l’axe A, et cette roue intermédiaire C conduira à son tour la roue C,' .

Lorsque les mécaniciens avaient à transmettre le mouvement de rotation entre deux axes A et A, non sitités dans un mène plan, ils plaçaient un troisième axe transverse A, , lequel coupait les deux axes donnés A et A,, et ils construisaient deux engrenages coniques; en sorte qu’ils employaient quatre roues dentées coniques, et deux de ces roues se trouvaient placées sur l'axe auxiliaire A,.

On doit voir que le problème précédent, savoir : transmettre le mouvement de rotation entre deux axes qui se coupent, se trouve dans Je nouveau système offrir une solution analogue ù celle que les mécaniciens

donnaient, au moyen du système conique, du problème de la transmission du mouvement de rotation entre deux a.\es non situés ibms un même plan. On remarquera cependant que nous n’avons besoin que de trois rones dentées, tout en combinant trois axes.

Engrenage à crémaillère oblique.

L engrenage à crémaillère est évidemment, ainsi qu'on l'a déjà dit, le passage entre l'engrenage intérieur et l'engrenage extérieur; car dans le cas de cet engrenage tout particulier, on suppose que le rayon de l’une des roues est infini; et pour passer de l’engrenage intérieur à la crémaillère, c’est le rayon du grand cercle que l'on doit évidemment supposer infini.

l’ai' conséquent les dents de la crémaillère seront terminées par des faces planes perpendiculaires à la direction de ta crémaillère, et les dents de la roue dentée seront terminées par des surfaces héliçoïdales. D'après ce qui précède, il sera facile de construire l'épure d’un engrenage à crémaillère oblique.

Nous terminerons ce chapitre par les remarques suivantes :

i°. Si nous avons toujours supposé que les dents de l’une des roues étaient terminées par des surfaces cylindriques il développantes, c’est que nous nous proposions d’indiquer les constructions les plus simples pour la pratique; car on conçoit qu’au lieu de placer dans le plan T, tangent au pointa - aux deux cylindres H et H,, une droite Y parallèle à l’axe A, on aurait pu concevoir dans ce même plan T une droite Z faisant un angle a avec l’axe .Y et faisant dès lors un angle (§ — a) avec l’axe A,, et cette droite Z étant pliée sur le cylindre H,, donnera 1 hélice , et étant pliée sur le cylindre H, donnera une seconde hélice |.

Or ces deux hélices seront les arêtes de rebroussement de deux surfaces héliçoïdales développables, l’une <P, placée sur le cylindre U,, l’autre >1> placée sur le cylindre H ; et il est évident que ces deux surfaces se conduiront uniformément en se mettant successivement en contact par une de leurs génératrices droites, la droite de contact se plaçant dans le plan T et se mouvant dans ce plan T parallèlement à elle -meme et à ladioiteZ.

Mais dans ce cas, on ne pourra plus calculer la position du point i

sur la plus courtp distance D eutre les axes A et A,, et par suite les rayons It et 11, des deux cylindres II et II,, ainsi que nous l’avons lait lorsque la droite Y est parallèle à l'axe A. Ainsi, ayant calculé les rayons II et II , pour les vitesses v et v, des axes A et A ,, en supposant que la droite Y soit parallèle à A, si dans le plan T on place une droite Z faisant avec l’axe A un angle a, les surfaces héliçoïdes <p et <1*, que l’on obtiendra se conduiront bien uniformément, mais n imprimeront plus aux axes A et A, des vitesses qui seront dans le rapport — , mais des vitesses qui seront dans un tout autre rapport.

Au reste, dans le chapitre suivant, nous serons conduit à donner la théorie générale de ces sortes d'engrenages.

3°. Faisons remarquer, en terminant ce chapitre, que la roue concave de l'engrenage intérieur n'est que la contre-épreuve ou le moule de la roue convexe de l'engrenage extérieur, et qn ainsi ( fitj. ai), tout ce qui este» blanc représentant la roue dentée extérieurement, tout ce qui est huche représentera une roue concave ou dentée intérieurement. Au reste, ce que nous venons de dire est l 'énoncé d'une propriété caractéristique des engrenages pour lesquels la dent de chacune des roues dentées est terminée pour l’une des roues par une surface <I>, et pour l’autre roue par une surface <P, , ces deux surfaces ‘P et "P, étant l’une et l’autre l'enveloppe de I espace parcouru par une surface 1 , se mouvant parallèlement à elle-même, ou, en d'autres termes, se mouvant de manière à ce qu'un de ses points parcoure avec une vitesse constante une ligne droite , pendant que l'axe de la roue à douter tourne uniformément sur luimême. C'est ce qui sera mis hors de doute dans le chapitre suivant.

3”. Nous avons vu que les rayons II et H, des deux cylindres Il et H, étaient liés entre eux par l'équation K, cosê = R lorsque les axes ont même vitesse angulaire, et que dès lors R, devenait infini lorsque l’angle S que font entre eux les axes de l'engrenage était égal à un angle droit.

11 est lacile de voir, eu y réfléchissant un peu, que l’on retombe alors sur l'engrenage à crémaillère droite, car alors l'arête de rebroussement de la surface hélicoïdale qui termine la dent fixée au cylindre H, devient un cercle qui n'est autre que la section droite de ce cylindre II,, et la surface hélicoïdale qui est tlévclofipable devient un plan perpendiculaire à l'axe A , de ce cylindre H,.

4°. Dans ce qui précède nous supposions que la surface delà dent fixée au cylindre II était cylindrique, sa section droite étant une développante de cercle; mais si l'ou suppo.se que la surface 4> de la dent fixée au cylindre H est une surface hélicoïdale développable, et si eu même temps l’ou suppose que les deux axes A et A, de l’engrenage font entre eux un angle complémentaire de celui sous lequel les génératrices droites de cette surface <l> coupent les génératrices du cylindre II , alors la surface hélicoïdale <t>, qui termine la dent fixée au cylindre H, deviendra un plan perpendiculaire à l’axe A, de ce cylindre H,, et ainsi l’on retombe évidemment sur l'engrenage à crémaillère oblique que nous avons décrit ci-dessus.

5°. On ne peut pas obtenir un engrenage dans lequel les axes font entre eux un angle droit, lorsque l’on suppose que la surface <!> de la dent fixée au cylindre H est cylindrique , mais si l'ou suppose que les dents de l une et l’autre roues sont terminées par des surfaces hélicoïdales, l’engrenage sera possible.

Et, en effet, il suffira de prendre pour les surfaces <I> et <1>, des héliçoïdes développables ayant pour arêtes de rebroussement, savoir, <1> une hélice | coupant les génératrices du cylindre H sous un angle a, et 4*, une hélice f, coupant les génératrices du cylindre H, sous un angle complémentaire de a.

Et il est évident que si les axes A et A, doivent avoir des vitesses angulaires égales, en supposant que oc = 45”, les cylindres H et H, devront avoir des rayons égaux.

Ainsi, en théorie, l'engrenage est possible : devra-t on l’admettre en pratique ? l’expérience seule peut en décider.