Nj = 040,N

et qui se termine au point 0, de cette même surface. Je continue indéfiniment ces constructions , et je suppose que la ligne brisée 00,0.0,0, elc-» qui en résultera, ne rencontre la surface de A en aucun autre point que 0 qui est son origine, ni une seconde fois en ce point O.

De même que nous avons fait

faisons aussi

0,Q.N. == 0., 0.0, N, = 0„ OAN, = S4, etc.

et désignous par cl,, a,, etc., ce que devient relativement au» points 0,, O,, 0,, etc., et aux angles 0., 0,, 0„ etc. , la quantité a, qui se rapporte au point 0, et à l’angle 0,. Les séries de molécules calorifiques qui traverseront la surface de l’enceinte aux points 0,, 0„ 0„ etc. , suivant les directions 0,0, , 0,0., 040,> e*C- > auront pour sommes, pendant l’nnité de temps, les produits at.z, a,z , a4z, etc.; le facteur z étant le même que précédemment, puisqu’il nedépend que de la température £ commune à tous les points de l’enceinte. Une portion (1 — a.,)a,z de la chaleur et,z incidente au point 0,, suivant la direction 0,0,, sera réfléchie suivant La direction 0,0, et s’ajoutera à la chaleur a, 1 ; ce qui donnera une quantité de chaleur [a, -(-( 1 -a, )œ,Jz suivant cette dernière direction. Une portion (1 — «,)«., z de la chaleur a, z incidente au point 0. suivant la direction 0,0,, se réfléchira de même suivant la direction 0,0,; une portion (1 — <*,)( 1 — <*.)«,* de cette chaleur (1 — a.) a,z déjà réfléchie, se réfléchira une seconde fois suivant la direction 0,0 , et s'ajoutera à la quantité précédente

[a,-4-(i — a,} «J2! ce qui donnera, suivant cette dernière direction , une quantité de chaleur [a, + (i — «.)«.+ (> — a,)(i — et.) aj] *• En continuant ainsi indéfiniment, et faisant

+ (»—'*>) (>— i — a,)a4 + etc. = f ,

on aura 62 pour la somme totale, pendant l'unité de temps, de la série de molécules calorifiques qui suivent la droite 0,0; en sorte que la partie a,z de cette série, qui est émise directement par T,, se trouvera augmentée par la réflexion, dans le rapport de S à a,. Il en sera de même à l’égard de toutes les séries de molécules calorifiques dont se compose la quantité de chaleur a, P; et comme on a représenté par ÀP ce que cette chaleur devient quand on a égard à la réflexion, il s’ensuit que l’on aura A = £.

Or, d’après la valeur de S , on a évidemment

1 — 6 = (1 — «.) (» — «f.) (1 — *1) (1 — *4) etc.,

ou l’on voit d’abord que cette différence 1 — S ne peut être négative, puisque aucune des quantités et, , a,, a3, u4, etc., ne peut surpasser l’unité, ce qui rend tousses facteurs positifs. De plus, si l’on désigne par J' la plus petite de toutes les fractions a,, a,, a3, «4, etc. , qui ne sont pas zéro, et par n leur nombre, on aura

d’où l’on conclut généralement 1 — €—0, puisque 1 — «Test une fraction et que n estinfini. Il n’y aurait exception que si toutes les fractions a, , a,, alt a4, etc. , moins un nombre fini d’entre elles, étaient zéro, ou bien si elles décroissaient continuellement, à partir de l’une d’elles, et finissaient par devenir infiniment petites; car alors la limite J' 11’existerait pas; et l’on sait d’ailleurs qu’un produit d’un nombre infini de facteurs convergens vers l’unité peut avoir une valeur finie et déterminée. Mais ce serait un cas mathématique, qui n’a pas lieu dans la nature, cl dont nous pouvons faire abstraction. Nous aurons donc k = € — 1 ; ce qui fait coïncider avec la formule (3) la valeur de A exprimée par la formule (4).

La valeur de k devra être modifiée, et ne sera plus égale à l’unité.

DR LA CHALEUR. 3y

dans le cas que nous examinerons plus bris , où l’un dus points de la ligne brisée 00,0,0, etc., outre le premier, appartiendra à la surface de A.

(a4). Il sera facile de déduire, maintenant, de l’expression de A dt, celle du flux total de chaleur qui a lieu pendant l’instant dt, suivant toutes les directions, à travers l'élément ai, et qui a été représenté par Tudt (n° 17).

Pour que la formule (3) convienne à toutes les directions de la droite 00, , autour du point 0, il faut que la surface de A soit convexe en ce point; car si elle était concave, il y aurait des directions dans lesquelles la droite 00, rencontrerait la surface de A en un second point; et la température correspondante étant variable et différente def, la formule (3) n’aurait plus lieu pour les angles 8 relatifs à ces directions.

Supposons donc le corps A convexe au point 0; par ce point, menons un plan tangent h sa surface, qui laisse le corps entier d’un même côté; la valeur de r® sera la somme de celles de A, étendue à tous les élémens u, de la partie de l’enceinte située de l’autre côté, et terminée au plan tangent ; d’ailleurs, cette somme s’obtiendra par une intégrale, dans laquelle on remplacera ai, par l’élément dilférentiel de la surface do l’enceinte, qui répond au point 0, , et a, cos 8, , par la projection de cet élément différentiel sur un plan perpendicu laire à la droite 00,. Donc, si l’on décrit du point 0 comme centre, et d’un rayon égal à l’unité, une surface hémisphérique terminée au plan tangent en 0 à la surface de A, et que l’on appelle ds son élément différentiel perpendiculaire à 00, , il faudra , à cause de 00, ssh, mettre h‘ds à la place du facteur ee, cos 8, de la formule (3), puis étendre l’intégrale de cette formule à tous les élémens ds de la surface hémisphérique. Or, 6 étant l’angle compris entre la droite 00, et la normale ON , si l’on désigne par 4 l’angle que fait le plan de ON et de 00, , avec un plan fixe mené par ON , on aura

ds = sin 8 r/QiAf, ;

et pour étendre l’intégrale à toute la surface hémisphérique, il faudra la prendre depuis 4 = o et 8 = o, jusqu'à 4 = aw et 8 = îw.

De cette manière, eu supprimant le facteur m commun à A et Tu,

4o THÉORIE MATHÉMATIQUE

et observant que la formule (5) ne contient rien qui dépende de l’angle on aura d’abord

T = «e (Q — Z) cos 6 sin 6c/0.

Donc, en vertu de la formule (a) et de Z = F£, et en faisant, pour abréger ,

r a (i — <p ) cos 6 sin 6W8 = n,

il en résultera finalement

T = n (F« — Ff). (5)

(25). En vertu de cette formule, lorsque la température u sera devenue la même et égale à Ç dans toute l’étendue de A, on aura r = o, quel que soit le coefficient n; le flux de chaleur sera donc nul en tous les points de la surface de A; et conséquemment, la température Ç continuera de subsister. La fonction Ff étant indépendante des dimensions et de la matière de l'enceinte, de sa figure et de l’état de sa surface, il s’ensuit que si l’une de ces quatre choses vient à changer sans que Ç varie, le corps A conservera aussi cette température. II en sera de même si l’on transporte A d’un endroit dans un autre de l’espace vide que l’enceinte termine, ou si ou le place dans un autre espace terminé par une enceinte qui ait la température Ç de la première. Si donc A est un thermomètre, et qu’il ait atteint la température invariable de l’enceinte, il continuera de l’indiquer, quel que soit l’endroit de l’espace vide où il sera placé; ce qui aura encore lieu lorsque cet espace sera rempli d’air ou d-’un gav, quelconque, qui a pris la température de l’enceinte. Cela est conforme à l’observation , et peut être journellement vérifié. L'expérience montre aussi qùe si l’on augmente ou si l’on diminue subitement l’espace vide, le thermomètre intérieur ne s’élève ni ne s'abaisse ; mais quand cet espace renferme un gaz, celui-ci, en se comprimant ou se dilatant par le changement subit de son volume, abandonne ou absorbe de la chaleur, et le thermomètre monte ou descend d’un nombrfdc degrés différent, selon la nature du fluide, sa densité et sa température primitives, et la variation de son pdurne. Lors même que

l’enceinte s’éloigne à une distance immense de A, comme la distance des étoiles à la Terre, par exemple, son influence sur la température de A ne diminue pas; ce qui tient à ce que l'étendue à la superficie et l’intensité de la chaleur rayonnante émanée de chacun de ses points varient en raison inverse l’une de l’autre, c’est-à-dire, l’une en raison inverse et l’autre en raison directe du carré de la distance.

La formule (5) montre aussi que la loi du flux de chaleur qui a lieu à la surface de A, avant qu’il ait atteint la température Gnale, et par suite la loi de réchauffement ou du refroidissement de A , sont indépendantes en général de l'endroit que ce corps occupe dans- l’espace vide, aussi bien que de la matière, des dimensions, de la figure de l’enceinte, et du degré de réflexibililé de sa surface. Je dis en général, car cela n’a plus lieu , non plus que la formule (5), lorsque la ligne OU ,0,0 j etc. des réflexions successives rencontre une seconde fois la surface de A: dans ce cas, un même corps, que l’on place dans une enceinte fermée de toutes parts, s’échauffe ou se refroidit pins ou moins vite, et suivant des lois différentes, selon le lieu qu’il occupe dans cet espace, et quoique la température de l’enceinte soit partout la même. .m

(a6). Cette formule (5), à laquelle nous avons été conduits par la théorie, s’accorde avec l’expression du flux de chaleur qui résulte des lois expérimentales du refroidissement des corps dans le vide, trouvées par MM. Dulong et Petit; et en comparant l'une à l’autre, on en conclura la forme de la fonction Fu ou FÇ de la température variable ou constante.

D après les lois que nous citons, on a

r = Mf* — f*()- (6)

La température u est celle du corps A qui se refroidit ou s'échauffe, observée aussi près qu’il est possible de la surface, et pour laquelle on peut prendre la température qui a lieu à la limite intérieure de la couche superficielle d’où émane la chaleur rayonnante. On désigne, comme plus haut, par £ la température invariable de l’enceinte qui termine l'espace vide où le corps est placé. La quantité est un nombre peu différent de l’unité, qui est le même pour tous les corps

4a THÉORIE MATHÉMATIQUE

et pour tous les états de leur surface, et dont la valeur est

fi = 1,0077.

Enfin, le facteur A dépend de l’état de la surface de A, c’est-à-dire de sa coloration et de son degré de poli, et peut varier, par conséquent , avec le point O de cette surface , auquel l’expression de T se rapporte.

Ce facteur A ne change pas avec les températures u et £ ; mais son expression numérique dépend du zéro de l’échelle thermométrique, de telle sorte que le produit de A et de la différence pu — pt , ou la valeur de T, ne varie pas avec ce zéro qui est tout-à-fait arbitraire. C’est ce facteur qui donne la mesure du pouwir rayonnant de la surface de A, ou plus exactement de l’élément co de cette surface. Il atteint sa plus grande valeur relativement à l'état de cette surface , lorsqu’elle est entièrement dépourvue de reflexibilité; on ignore si cette valeur inaxima du pouvoir rayonnant varie avec la matière du corps A; la valeur de A est zéro, dans l'autre cas extrême où la surface est imperméable et réfléchit toute la chaleur sous tous les angles d’incidence.

Si nous faisons

A = ng,

il faudra, pour que les formules (5) et (6) coïncident, que l’on ait

F« = gf + C, Ff = g S + C;

C et g étant des quantités inconnues de chaleur, indépendantes de la matière des corps, de leur température et de l’état de leur surface: C serait la mesure du pouvoir e'missif, correspondante à u = — 00 , si la formule (6), donnée par l’expérience, s’étendait à des températures aussi basses que l’on voudra; et pour que ce pouvoir devint nul ou insensible à de très basses températures (n° 8), il faudrait alors que l’on eût C = o. Mais toutes les expériences que l’on peut faire étant relatives à des échanges de chaleur dans lesquels cette constante C disparait , aucune observation n’en pourra jamais déterminer la valeur.

C’est seulement à raison du coefficient n que le pouvoir rayonnant A pourra varier d’une surface à une autre : si des expériences

ultérieures montrent que la valeur maxima Je A varie avec la matière du corps, il en faudra conclure qu’il eu est de même à l’égard delà valeur de n, relative au cas de- la non réflexibilité ou de a = i } d’où l’on conclura alors que la quantité p devra aussi dépendre de la matière du corps A qui s’échauffe ou se refroidit ; mais , dans tous les cas, ces quantités a et Q seront indépendantes, aussi bien que A et g, des températures u et

(37). Maintenant, supposons qu’un second corps A' soit contenu dans l’enceinte vide d’air où est placé le corps A, et dont la température sera toujours regardée comme invariable et représentée par ?.

Considérons la série de réflexions successives qui aura lieu suivant la ligne brisée, partant du point 0 de la surface de A, et dont le premier côté 00, fait l’angle 8 avec la normale ON. Supposons, pour fixer les idées, que cette ligne ne rencontre la surface de A' qu’en un seul point , el que la rencontre a lieu au point 0'(fig. 5) de cette surface, entre la première et la troisième réflexion, qui sc feront, comme précédemment, aux points 0, et 0, de la surfape de l’enceiute; en sorte que la deuxième réflexion, qui avait lieu en un point 0. appartenant à cette enceinte, se fera maintenant au point 0' de la surface de A'. Parce point, j’élève la normale O'N'; les angles 0,0'N' et OjO'N' seront compris dans un même plan , et égaux : je les représenterai par 8', de sorte qu’on ait

J'appellerai aussi u' la température de A' au bout du temps t , près du point O* et à la limite intérieure de la couche superficielle, qjii émet et absorbe la chaleur rayonnante. La fraction a et la quantité de chaleur Q répondant, comme plus haut, an point 0 de la surface de A et à l’angle 8 , je désignerai par a' et (V ce qu’elles deviennent relativement au point 0' de la surface de A' et à l’angle 8'; je représenterai toujours la quantité Q par la formule (a), et je ferai de même

Q'= fW + *'(F Ç - Fié) ;

étant une quantité inconnue qui ne pourra dépendre que de la matière de A' et de l’angle 6'.

Cela posé, en conservant toutes les autres notations précédentes, on trouvera sans difficulté, par le raisonnement du n* a3 , que la quantité ArZ, comprise dans la formule (4), a pour valeur

<fZ = a,Z-f-(i — et,) a'Q' + («—*.)(«—*') <*>Z -f- ( i — a,) ( i — «OC' — <*j) a*z + etc. ;

laquelle ne diffère de celle du numéro cité qu’en ce que les quantités a, et a,Z y sont remplacées par a! et a Q1 . On aura toujours, comme dans ce numéro,

*,-+•( i — « , )®'-h( i — “,)( « — «Oa»”K » — a . )( 1 — *’X 1 — H* e*c-= * ;

d’où il résultera

kZ = Z -+• (i — *,)«'(Q' — Z);

et au moyen de cette valeur, jointe à celles de Q, Q', Z, la formule (4) deviendra

- «'(i - «,) (, - <p') (Fa'- FO].;

Cette formule s’appliquera au cas où la ligne des réflexions successives vient rencontrer la surface du ebrps A , après une première réflexion à la surface de l’enceinte : on prendra alors pour A' le corps A lui-même, et O' sera un point de la surface de A, distinct du point 0. A raison de la quantité a, contenue dans la valeur de A, on voit comment l’état de la surface de l’enceinte influera sur le flux de chaleur à la surface de A , et par suite sur la vitesse de son refroidissement. On voit aussi que la rencontre en un second point 0' de la surface de A , pouvant avoir lieu ou ne pas exister, selon la place que ce corps occupe dans l’enceinte , il en résulte que l’enceinte restant la même, le déplacement de A peut influer sur la loi de son refroidissement ou de son échauffement , jusqu’à ce que la température soit devenue partout égale à £, et que l’on ait, par conséquent, u = u, u = Ç , A=o.

On formera de même l’expression de kZ que l'on devra employer

dans la formule (4), lorsque la ligue des reflexions successives qui part du point 0 rencontrera une ou plusieurs fois la surface de A , de A' et d’autres corps contenus dans l’enceinte , après ou avant un nombre quelconque de réflexions à la surface de cette enceinte. Si , par exemple, ces rencontres n’ont lieu qu’une seule fois au point 0' de la surface de A', et avant toutes les réflexions à la surface de l’enceinte, la valeur de A sera

A = ..*.'co.W [(I 9) (Fm FO a,(l ^ (FV F0]>

w' désignant l’élément de la surface de A qui répond au point 0', h la longueur de la droite 00', fl' l’angle aigu que fait celte droite avec la normale en 0' à la surface de A', et les autres notations étant les mêmes que précédemment. Ou voit que, dans ce cas, la valeur de A dépendra encore de l’état des surfaces de A et A', à raison des fractions a. et a', mais qu’elle ne dépend plus , comme la précédente, de l’état de la surface de l’enceinte. Ce cas comprend celui que nous n’avons pas considéré dans le n" a4 » c’est-à-dire, le cas où la surface de A, étant normale au point 0, la ligue 00' vient la rencontrer en un second point 0', avant toutes les réflexions à la surface de l’enceinte.

(a8). Pour comprendre tous les cas en un seul, je suppose que les réflexions successives aient lieu en des points 0', 0", 0'", etc. (lig. G), appartenant à la surface de l’enceinte ou à des corps différemment échauffés, au nombre desquels le corps A peut être compris, et que, pour cette suite de réflexions, les quantités désignées par a et Q relativement an point 0 de la surface de A et à l’angle d’incidence 0, deviennent <*' et Q', a'' et Q", a'" et Q'", etc. La valeur de kZ relative à ce cas général sera

kZ = a'Q' + (i — *'K'Q" + (i — «') (i — *" ) a"'Q'"+ etc. ; mais comme on a toujours

a'-Hi — *0*"+ (' — *') O — «")*"' + etc. = i , on pourra écrire cette valeur de kZ sous la forme *Z==Z+a'(Q'— Z)-f-(i— *')ct"(Q"— Z)-f-(t«')(i-<x">"'(Q'"-ZH-etc.;

au moyen de quoi la formule (4) deviendra

A = ffi.- — [Q — Z — «'(g — Z) — «" (i - «') ( Q" — Z )

— a'"(i — — a") (Q'" — Z) — etc.],

et ue contiendra que des différences de quantités de chaleur. Les élémens de surface ai et ai' sont toujours ceux qui répondent au point 0 de la surface de A , d’où part la ligne des réflexions successives, et au point 0', où a lieu la première réflexion; h est la distance 00' de ces deux élémens; 0 et 8' sont les angles O'ON et OO'iV que cette droite 00' fait avec les normales extérieures ON et O'N'.

11 pourra arriver que les corps réfléchissans interceptent toute communication entre A et l’enceinte que nous avions d’abord considérée, et forment autour de A une autre enceinte fermée de toutes parts, dont la température variera d’un point à un autre et avec le temps. Mais si l’enceinte dont la température £ est (invariable, existe réellement derrière ces corps, ils finiront toujours par prendre tous cette température Ç après un temps plus ou moins considérable. Cela aurait encore lieu lor* même que cette enceinte s’éloignerait à une distance immense ; ce qui tient, ainsi qu’on l’a dit plus haut, à ce que l’étendue de l’enceinte croissant comme le carré de la distance, et l’intensité de la chaleur qui en émane décroissant suivant le même rapport, l’action échauffante ou refroidissante de l’enceinte demeure toujours la même, sa température étant supposée invariable.

D’après cela, on exprimera toujours la quantité Q par la formule ( a) ; on fera pareillement

Q' = Vu' + *'(F{ - F*'),

Q'" = F «"'+ <p'"(F£ — F«'n ) , etc. ;

u', u", li" , etc. , désignant, au bout du temps t , les températures intérieures des corps réfléchissans , très près des points 0', 0”, 0'”, etc., de leurs surfaces, et ç>", <p"', etc., étant des inconnues qui pourront dépendre de la matière de ces corps et des angles d’incidence.

De cette manière, et à cause de Z = F£, la valeur précédente de A prendra la forme :

A = ' [(i — <P)(F«— FÇ) - - <p') (F,/ -Fr)

— a“(i -«')(!— <p") (F«"— FO (7)

— «"'(! — «') (1 — *')(, — <p'") (F»/"'— FO— etc.].

(a<)). Si les températures de tous les corps réfléchissans , excepté une seule, sont invariables et égales à celles de l’enceinte, ou autrement dit, si toutes les réflexions ont lieu à la surface de l’enceinte, excepté une seule , qui sera la n f*"’ et se fera à la surface d’un corps dont la température varie, toutes les températures u', u", etc., excepté uw, seront égales à £ , et la formule (7) se réduira à

A — — jïh' — K* — (F“ ” F£)

— a<*>(i — a') (1 — «") (1 — >) (1 —«**>) (Fié*)— FO];

ce qui comprend les valeurs de a données dans le n° 27.

Il y a un autre cas particulier que l’on peut encore remarquer. 11 a lieu lorsque les élémens u et »' sont tous les deux perpendiculaires à la ligne 00' qui va de l’un à l’autre. Dans ce cas, il est évident que les points 0'', O”, etc., de rang pair, coïncideront tous avec O, et les points 0'", 0T, etc., avec 0'. On aura alors

u = u" = un = ..., a = a" ss «" =..., ?> = $>"= u! = um — u' — *' =3 ttm = a* =..., <p' = <pm — ip*... ;

la quantité comprise entre les crochets dans la formule (7) deviendra donc ,

(<— ?)(*'«— F0{'—« 0 — «X 1 — *')■+< 1 — *)\' 1 — «'/-t-etc.] } — «'( 1 -*')(Fi/-FO[ • -H « -*)( . —«')+( - -*)*( t-»')*+etc.] ;

et comme on a

« ■+•('— *)(t— a)*(i— : *')*+ etc.=[(|j)(i j,) ,

, —a(i— »')[,+(,— «)(i— »')+(>— «)•(,— a')‘+etc-3=, *

il en résultera

A = (F«-FO - (.-*') (Frf-FOJ.

(5o). Cette formule (7) servira à résoudre tous les problèmes relatifs à la Catoptriqiie de la chaleur. l‘ar des intégrations, on déduira, comme dans le n° a j, de la valeur de A celle du flux total de chaleur ro> à travers l'élément e» de la surface de A; je me bornerai à former l'expression générale de T dans le cas où la température intérieure de chacun des corps rclléchissans est la même en tous ses points : il sera alors facile de l’obtenir; mais les quantités a, a', a!', etc., <p, <p', p'', etc. , n’étant pas connues en fonctions des angles d’incidence, cette expression de T renfermera des coefliciens dépendans de l’état- des surfaces de A, de l’enceinte et des corps réfléchissans, qui ne pourront être déterminés que par l’expérience.

Je suppose d’abord que tous les corps réfléchissans aient une même température, variable avec le temps, et convergente vers la température constante £ de l’enceinte extérieure où ils sont placés; je suppose aussi qu’aucun des points O', U", O”, etc. , où se font les réflexions successives, n’appartlenu» à la surface de cette enceinte, ni à celle de A; et ces suppositions ayant lieu pour tous les points O de la surface de A, et pour toutes les directions de la droite 00', ce corps sera compris dans une autre enceinte, fermée de toutes parts, et ayant partout une même température, comme la première enceinte. Si l’on désigne par il cette température, qui sera la valeur commune de u, u", il", etc. , et qu’on fasse

*'( « —*')+*"( 1 — *‘) ( « —?")+*'"( 1 — «') ( » — *") ( 1 — ?'")+ etc . — y, la formule (7) deviendra simplement

a = -y - [(!-¥) (F« -FO - > (Fn' - FO].

Par une intégration semblable à celle du n° 34 , on eu dédqira immédiatement

r = n (F« — FO — n’ (F«' — FÇ) ,

en faisant pour abréger,

- f*'w a (i — f) cos 9 sin (M8 = n,

~ f " J y cos 8 sin 9d6d^ =ri;

et si l'on a égard à l’expression de la fonction F, trouvée dans le n° a6, et qu’on fasse aussi

ng = X, rig — X',

il en résultera

Le flux de chaleur à la surface de A dépendra donc eu général, non-seulement de la température variable ri de l’enceinte intérieure , mais de la température constante Ç de l’enceinte extérieure qui pourra être aussi éloignée qu’on voudra de la première. Son expression renferme, comme on voit, deux coefficiens X et X' qui devront être déterminés par l’expérience. Le premier est la mesure du pouvoir rayonnant de la surface de A au point O (n° a6); le second dépend en outre de l’état de la surface de l’enceinte intérieure, à raison des fractions ri, a", ri", etc., qui sont contenues généralement dans la quantité y. Pour quelles en disparaissent, il faut que toutes les inconnues <p' , <p", <p'n, etc., soient égales; auquel cas y se réduit à l’une des quantités égales i — <p', i — <p", i — p'", etc., multipliée par une série infinie dont la somme est l’unité. L’égalité de ces inconnues, relatives à une température variable de l’enceinte, exige quelles soient indépendantes des angles d’incidence, et qu’elles ne dépendent pas non plus de la matière des corps dont l’enceinte est formée, à moins qu’ils ne soient tous de la même matière. En supposant que ces conditions soient remplies, ce que l’expérience seule pourrait nous apprendre, et en outre, que la valeur commune de P’> $'"> etc. , est celle de <p qui a lieu pour le corps A, nous

aurons

y — i — <P, n1 =2 n, A' = A, et la formule précédente se réduira h

résultat semblable à la formule (6), qui répond au cas d’une température invariable de l’enceinte. '

(3i). Je suppose actuellement que les températures communes à tous les points de chaque corps réfléchissant, varient d’un corps à un autre et avec le temps. Les réflexions successives auront lieu à leurs surfaces, à celle de l’enceinte dont la température est Ç, et à la surface du corps A dont la température u sera aussi supposée la même en tous ses points.

Cela étant, du point 0 comme centre, et d’un rayon pris pour unité, je décris une surface sphérique, et je désigne par ds son élément différentiel perpendiculaire à la ligne 00' qui va de ce point 0, d’où part la ligne des réflexions successives, au point 0' où a.

lieu la première réflexion; je mets ds à la place du facteur - ^ de

la formule ("}; j’intègre ensuite cette formule par rapporta ds pour avoir la valeur de Ta»; et en supprimant le facteur o , il en résulte

r = -r- (F « — F£) /*«( i — $) cos 8r/j • \

)— (F m' — FÇ) / a«'( i — <p') cos S ds I

— (F u" — F() fa*!' (x — «')(, — <p") cos 8* / (8)

L (Fn"'— F£) / <»<»"' ( i—«/) (i— a") (i— <p"') cos 8^ ]

— etc» /

Si l’on mène par le point 0 un plan tangent à la surface de A , l’intégrale contenue dans le premier terme de cette formule devra toujours s’étendre à tous les élémens ds de la surface hémisphérique, terminée à ce plan, et à laquelle aboutissent les lignes 00' qui fout des angles aigus 8 avec la normale extérieure ON. Ce premier terme exprimera la valeur de T qui aurait lieu si le corps A était convexe au point 0, et qu’aucun autre corps ne fût renfermé dans l’enceinte avec A. En ayant égard à l’expression de la fonction F, et désignant

DE Là CHALEUR. 5«

toujours par x la mesure du pouvoir rayonnant de A au point 0 , ce premier terme sera donc A (ji** — [*/•). En mèraetems, la valeur entière de T deviendra

r=A(^“— //)— ta\^— j»{} — ta"{ fjLu’—f/) — /a1) — etc. (9) en faisant, pour abréger,

^ f *»'( 1 — ç')cos 0<A — <sr',

~ y" txjc* ( 1 — a') ( 1 — <p'0 cos âf/j = ta",

/cux"'(i — a!) (1 — a") (1 — <p'n) cos Bds = ta"1, etc.

Dans chaque cas, on fixera les limites des intégrales contenues dans les coefiiciens ta', ta", ta'", etc. , d'après les formes et les positions respectives de A et des corps réfléchissans renfermés dans l’intérieur de l’enceinte. Mais les valeurs même de ces coefiiciens, à raison des quantités inconnues dont elles dépendent, ne pourront être déterminées que par l’expérience. Elles varieront, en général , avec la position du point O à la surface de A. Lorsqu’on aura formé l’expression de T relative à un point 0 quelconque, on la multipliera par dt-e t par l’élément différentiel de cette surface; l’intégrale du produit étendue à cette surface entière exprimera la diminution totale de chaleur de A pendant l’instant dt. Tous les coefiiciens tir’ , ta" , ta1", etc., étant positifs, on voit que la vitesse du refroidissement de A sera augmentée ou diminuée par l’influence de chacun des corps réflécfaissans, scion que la température de celui-ci sera plus petite ou plus grande que celle de l’enceinte ; et pour comparer entre elles les influences de l’émission directe et des réflexioos successives de chaleur, il suffira généralement de considérer les limites des intégrales d’où dépendent les valeurs de--®1', ta', ta"’, etc. , ainsi qu’on le verra par les exemples suivaus, dans chacun desquels nous supposerons, pour ne pas compliquer la question, qu’il n’y ait qu’un seul des points qu’on a désignés par 0', 0", O"1, etc. , qni n’appartienne pas à la surface de l’encemte, ce qui réduira chacune des formules (8) et (9) à deux termes seulement.

5a THÉORIE MATHÉMATIQUE

(3a). Si À est concave au point 0 , le premier point O' appartiendra, suivant certaines directions de la ligne 00', à la surface de ce corps. On aura u = u en ce point 0' ; et tous les autres points 0* , O"', etc. , appartenant par hypothèse à la surface de l’enceinte, la formule (8) se réduira à ses deux premiers termes, savoir,

T = -t— (F u — F£) [/a(i — $) cos 8 ds — /««'( i — <p') cos 8 ds].

La première intégrale s’e'tendra toujours à toute la surface hémisphérique, terminée au plan tangent en 0 , et comprenant la normale ‘ extérieure ON; et la seconde, à la partie de cette surface comprise entre ce plan tangent et le cône tangent à la surface de A, qui a sonsommet au point 0. Eu admettant que la quantité soit indépendante de l’angle d’incidence et de la matière de A , ou seulement de l'angle d’incidence, et supposant alors que A est un corps homogène, » on aura <p' — Si l’on a de plus a! = i , les deux intégrales se réduiront à une seule, laquelle s'étendra à la portion de surface hémisphérique, comprise dans l'intérieur du cône que l’on vient d’indiquer, de sorte qu’en ayant égard à l’expression de la fonction F, et faisant

-r^/a (i — <P ) cos 6r is = <w , nous aurous simplement

Si A était convexe au point 0, il faudrait étendre jusqu’au plan langent en 0, c’est-à-dire à la surface hémisphérique entière, l’intégrale contenue dans la quantité qui coïnciderait alors avec le coeflicient A de la formule (G). Le flux de chaleur que nous considérons ne diffère donc de celui qui aurait lieu dans le cas de la convexité de A, que par le coefficient ©■ qui remplace A; et comme ces deux coefticiens dépendent d'une même intégrale, prise entre des limites différentes, qui sont moins étendues pour ur que pour A, il s’ensuit qu'on a 'ar < A , et que l’effet de la concavité de A est de ralentir , toutes choses d’ailleurs égales, la vitesse de son refroidissement.

Pour second exemple, supposons qu’il y ait avec A un autre corps

A' contenu dans l’enceinte fermée, que le premier point (y appartienne à la surface de A', et que tous les autres points 0*, O'", etc. , soient situés à la surface de l’enceinte. La formule (9) se réduira à celle-ci :

r = À (u“ — — m> (<*“'— At{) ,

dans laquelle on aura

nr' — ? -f ï«'(i — <p') cos Ms.

Pour fixer les limites de cette dernière intégrale, je mène par le point O un plan tangent et une normale extérieure ON à la surface de A 5 je conçois un cône ayant son sommet en O et circonscrit à la surface de A' ; et je désigne par s' la portion de la surface hémisphérique , comprise dans l’intérieur du cône , et située du même côté du plan tangent que la normale ON. C’est à cette portion* / de surface , dont le centre est en 0 et le rayon égal à l’unité, que l’on devra étendre l’intégrale contenue dans la valeur de •w'. Si les dimensions de A' sont très petites par rapport à sa distance de A , la surface / sera aussi très petite; ce qui rendra également très petite la valeur de <&' , et , par suite , l’influence directe de A' sur la température de A , à moins que la température u! de A' ne soit extrêmement différente de £. Mais quoique A' soit un corps d’un très petit volume, son influence sur le refroidissement de A , par la réflexion de la chaleur à la surface de l’enceinte , sera quelquefois très considérable.

En effet , prenons pour troisième exemple Je cas où c’est le second point O" qui se trouve à la surface d’un corps A", compris avec A dans l’intérieur de l’enceinte , et où tous les autres points 0', O'", etc. , appartiennent* à la surface de l’enceinte. La formule (9) se réduira alors à celle-ci :

T = A (F « — F Ç) — «r"(F«” — FÇ) ,

où l’on aura

•a r" = i/W(i — <*') (1 — <p") cos Ms.

Pour fixer les limites de cette dernière intégrale, je mène par le

point O, comme précédemment, nn plan tangent et une normale exté* rieüre ON à la surface de A ; d’après la position du point O , la figure de l’enceinte, la forme et la position de A', je détermine, dans chaque exemple, une portion S de la surface de l’enceinte qui comprenne tous les points O' pour lesquels la condition du cas que nous considérons est remplie ; et je conçois un cône circonscrit à S et ayant son sommet au point O. En appelant j" la portion de surface hémisphérique, comprise dans l’intérieur de ce- cône et située du côté du plan tangent où se trouve la normale ON, l’iutégrale contenue dans ’Sr" devra s’étendre à tous les élémens ds de a". Or, si la surface de l’enceinte est, par exemple, ccfle d’un ellipsoïde de révolution, et que A et A' soient deux corps d’un très petit volume, placés à ses deux foyers, S sera alors la surface entière de l’enceinte; par conséquent, f" sera aussi la surface hémisphérique entière ; ce qui rendra* très grande l’influence de A" sur la température de A . Eu supposant a.' =. o dans toute l’étendue de la surface de l’enceinte, et , au contraire , a''s=s i en tous les points de la surface de A"; en admettant aussi que l’inconnue <p" soit indépendante de l’angle d’incidence , et égale à 0, il en résultera <or''= A, et conséquemment

T A (P u — Fu") ;

en sorte que le flux de chaleur à la surface de A et son refroidissement seront les mêmes, dans ces hypothèses particulières, que si l’enceinte avait dans toute son étendue la température u'du très petit corps A", et un degré quelconque de réflexibilité

Pour dernier exemple, je suppose que le troisième point 0'" soit situé à la surface d’un corps A'" compris dans l’enceinte avec A , et que tous les autres points 0', 0", 0”, etc., sont situés à la surface de l’enceinte. Je réduis, en couséqucnce, la formule (9) à

r = A (Pu — KC) — — F<) ,

le coefficient «•"' ayant pour valeur

^"= — a') (1 — «")(« — $')cos6 ds.

Pour fixer les limites de cette intégrale, je mène toujours par le

point 0 une normale extérieure ON et un plan tangent à la surface de A; je détermine, dans chaque exemple, la portion S de la surface de l'enceinte où se trouvent tous les points O'.qui remplissent, avec un autre point 0" do cette même surface , la condition relative à l'expression de T que je considère ; cela fait, je circonscris à S un cùne qui ait son sommet au point 0, et j’appelle s'" la porliou de la surface hémisphérique comprise dans l’intérieur de ce cône et située du même côté que la normale ON par rapport au pian langent. L’intégrale contenue dans <w"' devra s’étendre à tous les élémens ds de s"'. Maintenant, si A et A'" sont deux très petits corps, placés aux foyers F et F' ( lig. 7 ) de deux miroirs conjugués M et M', dont les surfaces sont censées faire partie de celle de l’enceinte, S sera la surface de M , et s"' aura pour valeur cette même surface divisée par le carré du rayon de ce miroir, ou du double de sa distance focale. Elle sera donc indépendante de la distance de A'" à A ; par conséquent, le coefficient /&'" et l’influence de A"' sur la température de A, n’en dépendront pas non plus. En comparant la valeur de s à celle de s' qui avait lieu dans le second exemple de ce numéro, on voit que, malgré les deux réflexions que la chaleur subit sur la surface de l’enceinte, et qui donnent lieu aux facteurs 1 — a' et 1— .a'',par lesquels la valeur de ■or'" est affaiblie, cette influence de A'" sur le refroidissement de A , est généralement beaucoup plus grande que celle qui est exercée directement par ce même corps A"'. Ce corps étant donné, son influence par réflexion atteindra son maxinuun lorsque les miroirs M et M' n’auront qu’un pouvoir absorbant mil ou insensible , et qu’on aura , en conséquence , a! — o et al' = o. On supposera aussi a'" — 1 , afin de n’avoir pas à considérer dans la valeur complète de T, une série infinie de réflexions, semblable à celle du second exemple du u* ag. C’esf de cette manière que l’oq explique en Physique, d’après M. Pierre Prévost, la réflexion apparente du froid. Si la température de A est égale à celle de l’enceinte, et qu’on ait «"'<£, ce corps est en effet refroidi par l’action de A"' transmise par réflexion j il est au contraire échauffé quand on 1 et «®> Ç.

(33). Dans tout ce qui précède , le corps A a été placé dans une enceinte vide d’air; on va maintenant supposer celte enceinte rem-

plie d’air ou d’un gaz quejconquc ; et il s’agira de déterminer , rn ayant égard à l’absorption et à l’émission de chaleur dues à ce fluide, la valeur de la quantité A du n° âa.

Pour cela, considérons de nouveau le cône dont le sommet est un point de A très voisin du point O de sa surface, ou., si l’on veut, ce point 0 lui-même ( n“ 20) , et qui est circonscrit à l’élément a, de la surface de l’enceinte, correspondant au point 0,. Menons par ces points 0 et 0, les normales ON et 0,N, (fig. 8) aux deux surfaces , et faisons toujours

Soit M' un point quelconque de la droite 00, , situé à une distance r' de 0, , de sorte qu’on ait

Appelons m' une portion d’air de grandeur insensible et correspondante au point M', et désignons par ïi'm'dt la quantité de chaleur émise en tous sens par m' pendant l’instant di ; on aura

Tl°* 6 jr^Wm'dt (n° 9) pour la partie de cette chaleur qui attein-

kpt (h — r )

drait dans le vide l’élément « de la surface de A correspondant au point 0.

Cela posé , je prends pour m‘ la tranche très mince du cône dont il s'agit, perpendiculaire en M’ à la droite 00,. En appelant b’ sa base, r! son épaisseur, et p’ la densité de l’air au point M', on aura

m’ == fbW.

Si l’on compare cette section b' du cône à la section parallèle , faite par le point 0„ et qui est égale à u, cos 8,, on aura aussi

b' — (J— j—) «, cos 6,.

Soient, de plus, §' la température de m' au bout du temps l, et q' la mesure de son pouvoir absorbant. D’après l’équation (5) du u° i3, nous aurons

n' = ?TS';

et au moyen de cette valeur jointe à celles de wl et b', la quantité de chaleur précédente deviendra

», co» 3 co» 6,

q'f'FÇ.x'dt.

Je représente actuellement par

», CO» 9 COS 6, rfl J.

la quantité de chaleur, émise ou réfléchie, qui part de ai, pendant l’instant dt , et qui viendrait tomber tout entière sur a , s’il n’y avait pas d’air interposé entre ces deux élémens; quantité dans laquelle Je facteur Z' serait égal, dans le vide, à la fonction Ff de la température Ç de l’enceinte, d’après ce qu’on a vu précédemment. Je suppose que cette quantité de chaleur soit augmentée , à la distance r de co,, dans le rapport de p' à l’unité; en négligeant le carré de elle sera augmentée , à la distance r' -f- dans le rapport de do

p' -f- -far »' à l’unité; par conséquent, l’accroissement positif ou négatif qu’elle éprouvera en traversant ml , aura pour valeur

■>, cosScosO,

Z' % n’dt.

dr

Or, cet accroissement résulte de la chaleur envoyée par m‘ à a> pendant l’instant dt, dont on vient de former l’expression, et dont il faudra retrancher la portion de chaleur absorbée parcette même partie matérielle m1; d’ailleurs, cette portion de chaleur est égale à la chaleur incidente sur m', multipliée par l’épaisseur la densité f' et le pouvoir absorbant c[ (n* io), c’est-à-dire au produit

», cosl co»t,

4 wh*

Z'p'q'fWdt ;

en supprimant les facteurs et *'dt, communs aux

trois quantités que l’on considère, on aura donc

J’intègre celte équation, et je détermine la constante arbitraire, de sorte qu’on ait p' = i quand r' = o ; il en résulte

p'Z' = Z'e~f^ -4- .q'f’dk,

où l’on suppose que les intégrales indiquées commencent avec r ' , et l’on représente par e la base des logarithmes népériens.

Je désigne par k' la valeur de p' qui répond au point 0, c’est-àdire , à r' = h. En faisant

- f. h‘t fV** F? yp w = tn •

nous aurons

k Z' = Th! + fr'g'FÇ.

Ce sera cette valeur de kZ1 qu’il faudra mettre à la place de kZ dans la formule (4), après que la valeur de Z' aura été déterminée : h! et g1 sont des nombres abstraits, dont le premier dépendra de la distance h et de la nature du fluide dans lequel le corps A est plongé, et dont le second dépendra, en outre, des températures du fluide et de l’enceinte.

(54). Le facteur Z' de la quantité de chaleur envoyée par a», k ot, se trouve donc augmenté dans le rapport de A' à l’unité, par l’air interposé entre ces deu* élémens. En désignant par Z' ce que devient cette inconnue Z' relativement au point 0, (fig. 4) de la surface de l’enceinte et à la direction 0.0,, l ipconnue Z" sera aussi augmentée par iair dans uri rapport de k' h l’unité, déterminé par une équation semblable à la précédente ; en sorte que l’on aura

k"Z" = h" Z" + //'g"F£ , en appelant h, la distance1 0. 0,, faisant ensuite

'•V^Fg' . q'r'dr' = g"FÇ;

et supposant que q1, f', % f se rapportent, dçjus ces intégrales, à un point quelconque de la ligne 0.0,, situé à la distance r' de 0.. Si

ri

l’on désigne de même pour Z'", ce que devient l’incounue Z' relativement au point O, et à la direction 0j0„ que l’on suppose l’inconnue Z'" augmentée par l’air dans un rapport de k"' à l’unité , et que l’on fasse

JW*'

F Ç.q'r'dr' = g"TÇ ,

on aura également

h"‘Z'" -+■ h'"g"' Ff ;

et ainsi de suite.

D’un autre côté, on verra, par un raisonnement semblable à celui du n° a3, que la quantité Z' se composera d’une partie a,F£ provenant de l’émission à travers l’élément co, , et d’une partie kZ' (i — »,) provenant de la réflexion sur ce même élément : la quantité Z* se composera aussi de deux parties ei.FÇ et k"'Z"'(i — «,), qui résulteront de l’émission et de la réflexion ; et de même pour chacune des inconnues suivantes Z'", Z”, etc. On aura donc cette série infinie d’équations :

z" = «.Fr + k'"zw(i — *.) , Z'n = «jFf -4- *”Z,T(i — «j), etc. ,

à laquelle il faudra joindre la série précédente , savoir :

k'Z' — h' Z' 4- h' g Tf, k"Z" = h"Z" -h tf'g'TÇ, k"’7J" = hmZm + hy FC , etc. ;

et ces deux systèmes d’équations serviront à déterminer les deux suites d’inconnues Z', Z", Z'", etc., k, k\ k", etc.

(35). Les quantités g1, g", g'", etc. , que ces dernières équations renferment, supposent connue la température en tous les points de l’air ou du gaz contenu dans l’enceinte où le corps A est placé. Près de la surface de A, cette température sera modifiée par celle de ce corps et variera avec le temps; mais quand la surface de A

6o THÉORIE MATHÉMATIQUE

a peu detendue relativement à celle de l’enceinte, le fluide prend, à peu près dans toute sa masse, la température invariable de l’enceinte , et l’on peut supposer, sans erreur sensible dans les intégrations d’où dépendent g', g", g'", etc., que l’on a partout £' = £•

Cela étant, on aura

fe^,dr Fg' Vf>W = {efq'(dH — i)FÇ,

à cause que les intégrales indiquées doivent s’évanouir avec ri. En étendant successivement l’intégrale fq'f'dr' jusqu’à ri = A, = A,, = A. , etc., et ayant égard aux valeurs de A', A', A*, etc., on en conclura

A'g' = i — A', hy = I — A", A'V" = I — A™, etc. ; au moyen de quoi les équations (i i) deviendront

k'Z' = (Z' — Ff) A' + Ff,

k'7" = (Z" — FC) A" + FC,

A"'Z'" = (Z'" — FC) A'" + FC,

etc.

Or, on satisfait, quelles que soient les quantités A', A", A'", etc., aux équations (io) et à ces dernières équations, en prenant l’unité pour chacune des inconnues k' , k' , A*, etc., et faisant chacune des inconnues Z', Z", Z'", etc., égale à FC; ce qui est la seule solution de toutes ces équations, puisqu’elles sont linéaires, en y regardant Z', Z', Z*, etc., k'Z', k’7’ , k07“, etc. , comme les inconnues.

Dans ce cas, la valeur de k‘ Z', qu’il faudra mettre à la place de kZ dans la formule (4), sera donc FC, comme dans le cas du vide. Lors donc que le fluide, homogène ou hétérogène, dans lequel le corps A est plongé, a pris la température invariable de l’enceinte, il n’influe plus sur la valeur de A , ni sur celle du flux de chaleur Toi à travers chaque élément de la surface de A ; ce qui tient à ce que chaque partie du fluide envoie alors à cet élément une quantité de chaleur rayonnante, égale à celle qu’elle intercepte, et qui serait envoyée par l’enceinte à ce même élément. U ne s’ensuit pas que le fluide n’ait aucune influence sur le refroidissement du corps A : il

enlève on communique, comme on sait, directement par le contact, de la chaleur à cc corps; mais cet effet n étant pas relatif à la chaleur rayonnante, c’est dans un autre chapitre qu’il en sera question.

(36). Voici, en terminant celui-ci, le résultat général de l’échange de chaleur entre deux parties matérielles m et m', de grandeur insensible, appartenant à un même corps ou à des coips différens, et pouvant avoir lieu dans le second cas, après une ou plusieurs réflexions intermédiaires sur les surfaces d’autres corps.

Supposons que m réponde au point M du corps A , très voisin du point 0 de la surface (fig. 6). Soit Umdt la quantité de chaleur émise en tous sens par m pendant l’instant dt. Désignons par u l'ouverture d’un cône extrêmement aigu, ayant son sommet au point M, et comprenant la droite MO. Dans le cas du vide, la portion de Thridl qui se propagerait suivant ce cône, serait aYlmdt; supposons qu’elle soit diminuée par l’absorption due à la matière de A, en allant de M à 0, dans le rapport de p à l’unité, et ensuite par la réflexion intérieure, dans le rapport de et à l’unité, en traversant la surface de A au point 0; la portion apaUmdt de la chaleur émanée de m, se propagera alors en dehors de A, et formera un filet extrêmement mince dont j’indiquerai la direction par la droite 00'. Pour plus de généralité, je supposerai que cette ligne ne soit pas le prolongement de MO; ce qui aura lieu effectivement si la chaleur éprouve une réfraction analogue à celle de la lumière, en passaut d’un milieu dans un autre.

Soit 0' le point où la droite 00' rencontrera la surface d’un second corps A'; faisons 00'= h, et supposons qu’en parcourant cette distance h, la chaleur soit diminuée dans le rapport de II à l’unité par l'absorption dans l’air. Désignons par et' la fraction de la chaleur incidente llapjnnidt qui pénétrera dans l’intérieur de A'; le surplus (i — *' jWapiUmdt sera réfléchi, et formera encore un filet très mince dont je représenterai la direction par la ligne O’O', de sorte que les deux droites O'O et O'O" feront, avec la normale O'IN' à la surface de A', des angles OO'N' et 0"0'N' égaux et compris dans un même plan.

Soient de même 0* le point où la droite O'O' rencontre la surface d’un troisième corps A*, et h! la distance O'O'; supposons qu’en par-

tia THÉORIE MATHÉMATIQUE

courant cette distance, la chaleur soit diminuée dans le rapport de H' à l’unité par l’absorption dans l’air; appelons a" la fraction de la chaleur incidente sur la surface de A*, qui pénétrera dans l’intérieur de ce corps; la portion de chaleur réfléchie au point 0" sera (i — a")H'(i — z'ftlctp-nmdt , et sa direction, que j’indiquerai par la droite 0"0"', fera , avec la normale 0"N’' à la surface de A”, un angle égal à 0'0,'N", et compris dans le même plan.

Soient encore O'" le point où la droite 0"0'" rencontrera la surface d’un quatrième corps A'", et h" la distance 0*0"'. Supposons que la chaleur soit diminuée dans le rapport de H" à l’unité, en parcourant dans l’air cette distance ff; la chaleur incidente au point O'" de la surface de A*, savoir, H"( i — at*)H'( i — a.'Wa.pal'lmdt , se divisera en deux parties, dont l’une pénétrera dans l’intérieur de A'w, et l’autre sera réfléchie. 11 sera facile de voir ce que deviendra la seconde partie, après un nombre quelconque d’autres réflexions subséquentes; mais, pour fixer les idées, je ne prolongerai pas plus loin cette série de réflexions, et je vais considérer la portion de chaleur qui pénétrera dans l’intérieur de A'".

Je suppose que cette portion soit la fraction a.'" de la chaleur incidente ; elle formera dans l’intérieur de A"' un filet très mince dont j’indiquerai la direction par la droite 0"'M', distincte du prolongement de 0"0"', s’il y a réfraction au point 0'". Soit / la section de ce filet, perpendiculaire à sa longueur, et faite par le point M'. Je prendrai pour m' la partie de A"' qui a s' pour hase, et une très petite épaisseur x'j de sorte qu’en appelant p' la densité de A'" au point M', on aura

Je supposerai aussi que la chaleur, en parcourant la distance O^M', soit diminuée dans le rapport de p' à l’unité , par l’absorption duc à la matière de A"'. En désignant par q' la mesure du pouvoir absorbant de ni', la chaleur absorbée par cette partie matérielle se déduira de la chaleur incidente sur sa base s', en la multipliant par le produit rt'f'q’ (n* :o); si donc on la désigne par G, elle aura pour expression, d’après ce qui précède,

G = HH'H''(i — a) (i — «") aa.'" pp'n' onmdt ,

où l’on voit clairement l’origine de chacun des facteurs, et l'effet auquel il répond.

Cette portion de chaleur, émanée de m et absorbée par m’, a suivi la route indiquée par la ligne brisée M00'0"0"'M ', en formant un filet dont la section normale varie dans toute sa longueur, mais qui est toujours extrêmement petite et proportionnelle à l’ouverture conique que l’on a désignée par <j. Réciproquement, une portion de chaleur émanée de m' suivra la route indiquée par M'0"'0,'0'0M , et sera absorbée par m. Elle formera aussi uu filet très mince dont la section normale, variable d’un pointa un autre, sera proportionnelle, dans toute sa longueur, à une ouverture conique extrêmement petite que je désignerai par a' , et qui appartiendra à un cône ayant son sommet en tel point M' que l’on voudra de m' . Or, je désigne aussi par s la section normale de ce filet correspondante au point M; je prends pour m la partie de A qui a s pour base, et une très petite épaisseur a, de sorte qu’on ait

m = snf,

en appelant p la densité de A au point M : si l’on représente en outre par q la mesure du pouvoir absorbant de m, par TŸm'dt la quantité de chaleur émise en tous sens par m' pendant l’instant lit, et par G' la portion de cette chaleur qui atteindra m et sera absorbée par cette partie matérielle, nous aurons

G' = HH'Il" (i — a!) (i — <t‘) aal"pp'«fq<T'n'm'dt.

Dans ces valeurs de G et G', les neuf premiers facteurs sont les mêmes, savoir : H, H', H", p, p' , parce que l’absorption que la chaleur éprouve est égale, soit en allant d’un point à un autre’, soit en allant de ce second point au premier (n* ia); a et a.'”, parce que la chaleur est aussi diminuée dans la même proportion, en traversant sous un angle donné une même surface, de dedans en dehors ou de dehors en dedans; i — a! et r — a", parce qu’ils répondent, dans ces deux formules, à des réflexions sur les mêmes surfaces et sous des angles d’incidence qui sont égaux.

Les ouvertures coniques a et a' étant arbitraires, pourvu qu’elles soient l’une et l’autre extrêmement petites, on peut supposer quelle»

sont entre elles comme les sections normales s' et s des deux ülets de

chaleur que nous venons de considérer, et faire, en conséquence,

l étant une ligne dont la longueur demeurera arbitraire. On aura alors

— jzn-

Je substitue ces valeurs dans celles de G et G' que je retranche ensuite l’une de l’autre; en désignant par / l’excès positif ou négatif de G sur G', il vient

/ = HHH" (i — *') {i~a.’r)aa."’pp'(q’n—qU')dt;

ce qui exprimera, pendant l’instant dt, la diminution de chaleur de in, ou l’augmentation de chaleur de mi', provenant de l’échange entre ces deux parties matérielles.

Si ces parties appartiennent au même corps A , on supprimera dans cette formule les facteurs H, H', II’, ceux qui dépendent des fractions a, a', a", a'n, et le facteur p' ; et si l’on suppose la ligne l égale à la distance r ou MM' qui sépare ces deux parties, cette formule coïncidera , comme cela doit être dans cette hypothèse, avec la formule (a) du n° i3. Elle s’appliquera aussi sans difficulté à l’échange de chaleur entre une partie m de A et une partie rri de l’air environnant, aussi bien qu’entre deux parties m et m' de ce fluide.

En admettant, comme dans le n* i3, que les pouvoirs émissifs de deux matières différentes soient entre eux comme leurs pouvoirs absorbans, ou aura

n = qFu, n' = çTV;

« et ti' étant les températures de m et m' au bout du temps t, et F désignant une fonction indépendante de la nature des corps auxquels ces parties matérielles appartiennent; la formule précédente deviendra alors

jT == îj HH'H" («—«') (i— *") ajt!"pp'qq' (F«— Fu'>ir;

et dans le cas de u'=u, on aura A = ot quelles que soient les matières de m et m', et les absorptions et «flexions intermédiaires. On conclut de là que quand les températures seront primitivement égales, ou quelles le deviendront après un certain temps, entre tous les points d’un système de corps, de forme et de nature quelconques, solides, liquides ou gazeux, cet équilibre de température subsistera indéfiniment entre les parties de ce système, prises deux à deux et aussi petites que l’on voudra , pourvu qu’elles contiennent toujours, comme m et m', des nombres extrêmement grands de molécules.

Les formules générales que l’on a réunies dans ce numéro mettent eü évidence toutes les hypothèses que nous avons faites précédemment sur l’émission, l’absorption et la réflexion de la chaleur. Elles renferment l’expression analytique de ces hypothèses, et montrent comment ces suppositions satisfont, de la manière la plus générale, à la condition de l’équilibre de température. Les lois de la chaleur rayonnante exposées dans ce chapitre en sont le développement et Iss conséquences.