CO

'imdt , dans laquelle Y est un

coeflicient moindre que X. Cette quantité Y sera une fonctiou de r qui deviendra nulle ou insensible pour toute valeur de r plus grande que l’épaisseur e de la couche superficielle; mais elle dépendra aussi de l’angle fl , parce que X était fonction de x ou de r cos 9, à cause de la température Ç , dont la variation par rapport à x est très rapide et ne peut pas être négligée. En prenant pour m une tranche de T extrêmement mince, perpendiculaire à la longueur de ce cylindre, et ayant, conséquemment, ai cos 0 pour base, on pourra représenter par Qai cos fl la somme des valeurs de Y m, étendue au cylindre entier, c’est-à-dire, prise depuis r — o jusqu’à r—e, ou si l’on veut jusqu’à r = w , puisqu’au-delà de r — e, Y est zéro. Le coefficient Q dépendra encore de 8; et la chaleur envoyée par T à evaura

pour valeur

»», cos I cos I,

Q dl, en faisant toujours abstraction de la

réflexion intérieure qui a lieu sur l’élément co. Pour y avoir égard, je suppose que la chaleur qui traverse cet élément sous l’angle d’incidence 6 soit une fraction et de la chaleur incidente. En multipliant la quantité précédente par <*, on aura la portion de chaleur qui atteindra l’élément ai, sous l’angle d’incidence 0, ; et si l’on représente enfin par *, la fraction de cette chaleur incidente qui traversera ce, , on aura définitivement

3a THÉORIE MATHÉMATIQUE

**, mm, COS * COS #, A

pF — O*»

pour la quantité de chaleur émanée de T pendant l’instant dt , à Ira- ' vers l’élément tu, qui pénétrera la matière de l'enceinte, à travers l’élément », , et sera absorbée en entier par T,.

On aura de même

««, mm, cos ê cos ê, 4 vh*

Z dt,

pour la chaleur émise par T, pendant le même instant dt, k travers w, , qui pénétrera dans A à travers tu , et sera totalement absorbée par T. Mais ici le coefficient Z ne dépendra pas, comme Q, de l’angle d’incidence, parce que, par hypothèse, la température ne varie pas dans l’épaisseur de la couche superficielle de l’enceinte , de laquelle cette quantité de chaleur est émanée.

En retranchant cette dernière quantité de la précédente, on aura la valeur de D dt; et en supprimant le facteur commun dt , il en résultera

ict. M| cou 4 COS I, /r. r,. , .

A cause que l’on a négligé les distances r et r, par rapporta h, cette valeur de D est la même que si les quantités de chaleur qui ont traversé » et eu, fussent parties des points même de ces élémens ; et, pour cette raison , la valeur de D serait encore la même si la chaleur éprouvait ^es changemens de direction en traversant w ou tu,. En général , deux séries de molécules calorifiques, parties du point M, et qui s’écartent très peu l'une de l’autre à une distance de tu, très grande par rapport à r, pourront diverger au-delà de cette distance, comme si elles fussent parties d’un autre point M' de A , ou même d’un autre point extérieur M', mais toujours situé à une distance /•' de O, très petite , comme la distance r ou MO ; de manière que si l’on néglige r' comme on a négligé r, cette divergence sera la même que si O eut été le point de départ.

Nous ferons remarquer, pour l’homogénéité des quantités, que Xtndt, et par suite Y mdt , exprimant des quantités de chaleur,

Qw cos §dt en sera une aussi , et , conséquemment , Q sera une quantité de chaleur divisée par un temps et par une surface. U en sera de même à l'égard de Z.

(ai). Lorsque les élémcns o> et tu, sont entièrement perméables à la chaleur, ou dépouivusde toute réflexibilité, sous tous les angles d’incidence, ou a a = i et a, = i , quels que soient les aDgles S et 6,. Dans ce cas, on admet, comme un résultat de l’expériencç, que les quantités de chaleur émises à travers un même élément de surface, sous differentes directions, diminuent à mesure que ces directions s’écartent de la normale , et sont entre elles comme les cosinus des angles d’incidence. Cela résulte, en effet, de la formule (i), à l’égard de l’élément «, appartenant à la surface interne de l’enceiute, puisque, daus le cas de a, = i , cette formule ne contient plus que le facteur cos 6, qui dépende de l’angle d’incidence 9, ; mais il n’en est pas de même relativement à a, à cause que, dans le cas de a=i, la formule (i) renferme encore, outre le facteur cos 8, la quantité Q qui peut dépendre de l’angle d’incidence 6. Cette loi du cosinus u’est donc démontrée, à priori , que pour un corps dont la température est supposée invariable $ pour un corps A qui s'échauffe ou se refroidit, elle ne me parait pas entièrement hors de doute. 11 serait à désirer que les expériences qui ont paru l'indiquer, fussent répétées avec soin, comme aussi il faudrait que la valeur de a en fonction de 0 fût déterminée par l’observation, dans le cas général où la réflexibilité n’est pas nulle.

Relativement à un corps dont la température ne varie pas, et à l’enceinte en particulier, la loi dont il s’agit ne tient pas à- ce que la chaleur émise par Je cylindre T, à travers a>,, a parcouru une distance plus ou moins grande et éprouvé une absorption plus ou moins considérable, avant d’atteindre cet élément. Cette distance et cette absorption sont les mêmes pour toutes les directions; mais le cylindre T, , circonscrit à un élément donné a, , s’amincit de plus en plus à mesure qu’il s'éloigne de la normale ; sa base u, cos 9, , ou la section perpendiculaire à sa longueur, diminue proportionnellement au cosinus de l’angle d’incidence , et conséquemment aussi la quantité de chaleur qu’il émet au dehors, quand elle traverse en entier l’élément a»,. Mais, outre ce résultat évident, on peut encore prouver,

d’après le rapport entre les pouvoirs absorbans et émissifs, trouvé dans le n' i3, que la quantité de chaleur émanée de T, est toujours indépendante de la matière dont ce cylindre est formé, et ne peut changer qu'avec sa température.

En effet, désignons par n ,m,dt la quantité de chaleur émise en tous sens par la partie matérielle m, pendant l’instant dt ; soient />, la densité de m,, et. q, la mesure de son pouvoir absorbant. En appelant p, ce que devient la quantité /)dun‘ 10, relativement à la matière de l’enceinte, à sa température £ et à la distance r,, on. aura, en vertu de l’équation (i) de ce numéro et de l’équation (3) du n“ i3,

dp, = — p.q.f.dr, , n, = q, Ff.

De plus, Zs>, cos 6, dt sera la somme des valeurs de p,n,m,di relatives à toutes les parties de T, ; si donc on prend pour m, la tranche très mince de ce cylindre, perpendiculaire à sa longueur, qui répond au point M, , et dont l’épaisseur sera représentée par », , on aura m, = cos 0, , et Z sera la somme des valeurs de dans

toute la longueur de T, , ou prise depuis r, = o jusqu a r, = e,. En remplaçant », par dr,, et la somme par une intégrale, on aura, par conséquent,

Z = pj n ,p,r,dr,;

et en vertu îles équations précédentes , cette valeur de Z sera la même chose que

Z = — F K'dp,-

Donc, puisque le facteur F£ ne dépend que de la température £, qui est constante par hypothèse, et en observant que l’on a p,= i et P, = o aux limites r,= o et r,—e,, il s’ensuit que l’on aura Z=F£, lors meme que la matière et la densité varieraient sensiblement dans l’épaisseur de la couche superficielle de l’enceinte.

Ainsi , la quantité Z ne dépend que de la température de l’enceinte , comme il s’agissait de le prouver; et l’on voit, de plus, qu’elle exprime le rapport du pouvoir émissif au pouvoir absorbant, qui est le même pour tous les corps, et qu’on a représenté ( n* i3) par la fonctioii F de leur température.

Cette conclusion ne convient pas au corps A , dont la température varie dans l’épaisseur e de sa couche superficielle. Si cette température £ était constante , c’est-à-dire égale à celle qui a lien à la limite de cette couche, et qu’on a représentée par u, on aurait Q = Fu; d’un autre côté , on aurait effectivement jf = u, si u ne différait pas de la température Ç de l’enceinte. D’après cela , nous ferons

Q = F« + <p(Ff — Fh); (a)

® étant une nouvelle inconnue, qui sera un nombre abstrait dont on ne pourrait calculer la valeur à moins de connaître les lois de l’absorption et de la température près de la surface de A. En supposant que des expériences ultérieures confirment la loi de l’émission proportionnelle au cosinus de l'angle d’incidence , relativement à un corps qui s’échauffe ou se refroidit, cette quantité <p sera indépendante de l’angle d’incidence ; mais il faudra encore recourir à l’observation, pour savoir si elle varie avec la matière de ce corps. On verra dans la suite quelle ne dépend pas des températures.

(aa). O11 ne doit pas confondre la quantité Ddl avec le flux de chaleur qui a lieu, pendant l’instant dt , de l’élément u vers et, , et que je représenterai par Csdt La diminution D dt de la chaleur de T est le résultat de l’échange entre T et T,. Le flux Adt est l’excès de toute la chaleur émise par T vers et, et à travers co , sur celle qui traverse ai en sens contraire, et qui résulte, soit de l’émission de T, à travers ai,, soit de la réflexion qui a lieu sur a>, quand a, n’est pas l’unité; la chaleur réfléchie provenant alors de celle qui tombe sur a>, sous l’angle d’incidence 8,. Les deux quantités D et A ne coïncident que quand la réflexibilité de et, est nulle , ou la perméabilité complète, sous cette incidence, c’est-à-dire, dans le cas de et, = r, pour la valeur donnée de 8,. Mais je vais démontrer qu’en général la valeur complète de A est indépendante de et se déduit, en conséquence de celle de D en y faisant a, = 1 ; ce qui donne, d’après la formule (1),

A « JW, COS » COS I,

La quantité de chaleur émise par T à travers et, et qui va tom-

ber sur eo, pendant l'instant dt , est le premier terme de cette formule, multiplié par dt , c’est-à-dire,

««#, COS 9 COS f,

Si l’on désigne par *,P dt la quantité de chaleur émise de même par T, à travers «, et qui va tomber sur cd pendant le môme instant dt , on aura aussi

P = Z dt.

4* nr

J’appelle kVdt ce que devient cette quantité de chaleur lorsqu’on y ajoute la chaleur réfléchie par a, vers a». Une partie akl'dt de cette chaleur totale, émise et réfléchie, pénétrera dans A à travers u ; et d’après les deux quantités précédentes, on en conclura

A = — pp — (Q — kZ)> (4)

où il ne reste plus qu’à déterminer la quantité k. Pour cela , il est indispensable d’avoir égard, comme je vais le faire, au nombre inlini de réflexions successives qu’éprouve chaque série de molécules calorifiques, en se mouvant dans un espace fermé de toutes parts.

(a3). La température Ç étant constante, il s’ensuit que la quantité a, P est la chaleur émise par T, de u, vers o, pendant l’unité de temps. Elle se composera d’un nombre extrêmement grand de séries de molécules calorifiques, qui vont des points de ®, à ceux de u ; je désigne par <*,s la somme des molécules qui suivent la direction 0,0; la quantité z sera, ainsi que Z, indépendante du degré de perméabilité de a», , de la matière de T, et de l’angle #, , et ne pourra changer qu’avec la température Ç de l’enceinte.

Par le point 0, (fig, 4)> jc m®ne dans 1® plan de la droite 0,0 et de la normale 0,N,, une droite 0,0,, qui aboutit au point O, de la surface de l’enceinte, et soit telle que l’on ait