CHAPITRE III

Lois du refroidissement des corps qui ont la même température en tous

leurs points.

(37). Le* lois du refroidissement ou de réchauffement d’un corps dépendent, en général , d’une équation aux différences partielles, commune à tous ses points , et d’une équation relative à sa surface , que nous donnerons dans la suite , mais qu’on ne parvient à résoudre simultanément que dans des cas très peu nombreux. La question devient beaucoup plus simple, et ne conduit plus qu’à des équations différentiellesHlu premier ordre, en nombre égal à celui des corps soumis à leur influence mutuelle, lorsque la température de chacun d’eux est la même en tous ses points et seulement variable avec le temps. C’est de ce cas le plus simple que nous allons d'abord nous occuper.

Pour qu’il ait lieu, il faut que le corps A, qui se refroidit ou s’échauffe, ait de petites dimensions. Les températures initiales de ses différens points seront égales ou inégales ; la chaleur sera d’abord distribuée arbitrairement dans toute sa masse ; mais apres un temps peu considérable , les températures de tous ses points seront devenues égales , excepté près de la surface , dans l’épaisseur de la couche d’où émane la chaleur rayonnante, et où la température varie toujours très rapidement suivant chaque normale ( u° 18). Toutefois, quelque peu étendu que soit le corps A , l’égalité de température en tous ses points exige qu’il n’y ait pas de causes qui entretiennent certaines parties de ce corps , ses extrémités par exemple , à des températures données : dans ce chapitre, nous supposerons donc que A ne soit pas soumis à l'action constante de semblables causes.

Ce corps A pourra être un solide, homogène ou hétérogène, d’un petit volume; il pourra aussi consister en un fluide contenu dans

une enveloppe très mince; et, dans ce dernier cas, l’égalité de température s’établira plus promptement ou dans une plus grande étendue, à raison des mouvemens qui seront produits dans le fluide par la différence des températures et des densités initiales, et qui la feront bientôt disparaître, en mêlant les parties inégalement échauffées. Un thermomètre, ou dn moins la boule de cet instrument, qui en forme la partie principale, est un corps de cette espèce, que l’on suppose égalerqent échauffé à chaque instant dans toute son étendue.

(38). Au bout du temps quelconque t, désignons par u la température intérieure de A , au-delà de sa couche superficielle d’où émane la chaleur rayonnante, et après les premiers momens de son refroidissement; par hypothèse, « sera simplement une fonction de t, qu’il s’agira de déterminer. La vitesse du refroidissement de A à cette époque sera la diminution de sa température pendant l’instant dt , divisée par dt ; en la désignant par V, on aura donc

et selon que cette quantité V sera positive ou négative , il y aura , en effet, refroidissement ou échauffement de A. Dans la pratique, on prendra pour V la diminution de température pendant un temps très court, donnée par l’observation et divisée par cet intervalle de temps.

Soient a le volume de A et c sa chaleur spécifique , s’il est homogène , ou la moyenne des chaleurs spécifiques de ses différentes parties , s'il est hétérogène. La diminution de sa quantité de chaleur pendant l’instant dt sera — acdu (n* 5) ou acXdt, en supposant que les dimensions de ce corps, quoique très petites, sont néanmoins fort grandes eu égard à l’épaisseur de sa couche superficielle où la température n'est pas la même que dans son intérieur, et négligeant, en conséquence , la variation de la quantité de chaleur qui appartient à cette petite portion de A.

D’un autre côté, cette diminution de chaleur acXdt proviendra du flux de chaleur Tadt (n* 17), qui aura lieu à travers chaque élément a> de la surface de A pendant l’instant dt, et de la chaleur enlevée directement à ce corps, pendant ce même instant, par l’air en

contact avec toute sa surface. En ajoutant cette dernière quantité de chaleur à la somme des valeurs de Tuât, relatives à tous les élémens ai, on aura donc une quantité' équivalente à acXdt ; ce qui servira à déterminer la valeur de V, et fournira lcquation différentielle d’où dépendra la valeur de u.

Or, quelque petit que soit A, si ce corps est soumis à l’influence d’un ou de plusieurs autres corps dont la température varie avec le temps, le coefficient T ne sera pas le même en tous les points de sa surface, et son expression sera différente selon les différons cas qui pourront se présenter. Je supposerai, en premier lieu, que A soit contenu seul dans une enceinte fermée de toutes parts, dont la température est invariable et partout la même; en la désignant par Ç, par fi le nombre conslant 1,0077, et par A le pouvoir rayonnant qui répond à l’élément ai , on aura alors (n° 26)

Si l’état de la surface de A n’est pas le même dans toute son étendue, A variera d’un point à un autre; mais on pourra toujours le regarder comme constant, en prenant pour ce coeflicient la moyenne des valeurs du pouvoir rayonnant en tous les points de cette surface; et de cette manière, si l’on appelle b la surface entière, la partie d c acXdt qui provient du flux de chaleur dans toute son étendue, sera bTdt.

Quant à l’autre partie de la valeur de acXdt , l’observation montre que la chaleur enlevée à un corps par le contact de l’air est indépendante de la matière de ce corps et de l’état de sa surface , de sorte qu’en désignant par T, un coefficient qui ne dépend ni de cet état, ni de cette matière, la quantité de chaleur enlevée à A pendant l’instant dt, par l’air en contact avec sa surface entière, pourra être représentée par bT.dt. La perte totale de la chaleur de A pendant cet instant sera donc 6(r+r,)rf/; et en l'égalant à son autre expression acXdt , il en résultera

ce-qui fait voir que, toutes choses d’ailleurs égales, la vitesse du refroidissement du corps A que nous considérons est en raison directe

DE LA. CHALEUR. (ïg

de l'étendue de sa surface et en raison inverse du produit de son volume et de sa chaleur spécifique.

Ce résultat est conforme il l’expérience; niais pour qu’il ait réellement lieu, il faut que le corps A soit convexe en tous scs points; car si sa surface présentait une ou plusieurs concavités, la valeur de T ne serait pas la même dans toute sou étendue; et d’après la remarque du n* 3a, les vitesses du refroidissement de deux corps de même volume et de même matière, ne sont pas entre elles comme leurs surfaces, quand l’un d’eux a une partie concave. 11 faut aussi qu’aucune portion de la chaleur émanée de A ne soit réfléchie vers ce corps par l'enceinte, sans quoi la valeur de T ne serait pas non plus la meme pour tous les élémens de la surface.

(3g). Avant d’aller plus loin, il est nécessaire de se former une idée précise de la chaleur enlevée à un corps par le contact immédiat de. l’air, et distincte de celle qu’il perd en même temps par le rayonnement.

Cette perte de chaleur par le contact résulte de l’échange entre les molécules du corps comprises dans la même couche superficielle d’où émane la chaleur rayonnante, et les molécules d’air appartenant à une couche de ce fluide dont l’épaisseur est aussi très petite. Elle est nulle quand la température du corps est égale à celle de l'air; elle se change en une augmentation de chaleur, lorsque la seconde température surpasse la première; et généralement si l’on appelle n la température de l’air, la diminution de chaleur positive ou négative du corps A pendant l’instant dt, due au contact de l’air dans toute l’étendue b de la surface, que l’on a désignée par bT,dt, devra être représentée par l*vr(u — de sorte que l’on aura

T, = <sr (u — s);

<n r étant un coefficient positif qui pourra encore dépendre des températures u et a.

Le corps A étant placé dans une enceinte fermée ou exposé à l’air libre, je suppose qu’il se trouve dans un courant d’air ou d’un gaz quelconque, dont la température et la vitesse sont constantes. La couche d’air en contact avec A se renouvelant sans cesse, on prendra pour a la température donnée du fluide en mouvement; et, pour un

7o THÉORIE MATHÉMATIQUE

même gaz, le coefficient «• sera proportionnel à sa densité, et croîtra, en outre, avec la vitesse du courant. A la vérité, l’air en mouvement et en contact avec A se comprime et s’échauffe d’un côté de ce corp, tandis qu’il se dilate et se refroidit de l’autre côté; mais en prenant x et '»• comme nous l’indiquons, on suppose implicitement que ces deux effets contraires se compensent sur la surface entière de A. La même chose aura lieu si l’air est en repos et A en mouvement ; sa vitesse, dans ce second cas, ou celle de l’air dans le premier cas , pourra être assez grande pour que cette cause de refroidissement ou d’échauffement de A soit prépondérante , et l’emporte de beaucoup sur d’autres causes qui agissent en même temps , c’est-à-dire , sur le rayonnement de A et sur l’influence calorifique d’autres corps voisins. Cela étant , lorsque la température de A sera devenue stationnaire , elle sera celle de l’air dans lequel il se trouve. C’est sur cette considération qu’est fondé le procédé qu’on emploie pour connaître la température de l’air, et qui consiste à agiter fortement un thermomètre dans ce fluide, jusqu’à ce que la température indiquée par l’instrument ait cessé de s’élever ou de s’abaisser. On prend pour la température de l’air environnant celle que le thermomètre marque a cet instant; on peut aussi la déterminer, mais moins promptement, au moyen d’un thermomètre dont la surface est sensiblement imperméable à la chaleur, ou douée d’une réflexibilité aussi parfaite qu’il est possible; en sorte que l’instrument ne puisse s’échauffer ou se refroidir que par la contact immédiat de l’air, dont l’effet est indépendant de l’état de sa superficie.

Lorsque l’air est calme et le corps A en repos , la couche d’air en contact avec sa surface s’échauffe ou se refroidit; sa densité et sa force élastique changent : elle se déplace, en conséquence, et est sans cesse renouvelée. H se produit alors près de la surface de A un mouvement de l’air qui peut s’étendre à la masse entière de ce fluide , quand elle est peu considérable , et dont la vitesse dépend de la différence entre les températures de A et du fluide. La détermination de ce mouvement particulier de l’air, et par suite de la variation de température de A à laquelle il donne lieu , est un problème que l’on est loin de savoir résoudre. La loi de cette variation doit donc être empruntée de l’expérience; or, on conçoit qu’elle sera diffé-

rente, selon que le corps A, d’un petit volume, est place dans un vaisseau clos, comme dans les expériences de MM. Dulong et Petit, on qu’il est exposé à l’air libre, ou, du moins, suspendu dans un grand appartement.

Dans le premier cas, la température de la masse d’air est inconnue; elle n’est sans doute pas partout la même; et à chaque instant elle doit dépendre de la température du vaisseau où elle est renfermée , que l’on peut rendre invariable , et de la température variable de A. Il en résulte qu’en définitive le coefficient T, doit aussi dépendre de ces deux températures , dont il est une fonction qui ne peut être déterminée que par l’observation. Sur ce point, je renverrai au mémoire de MM. Dulong et Petit, où sont consignés les résultats de leurs nombreuses expériences sur le pouvoir refroidissant de différens gaz , pris à différentes températures et sous différentes pressions.

Si , au contraire , A est placé dans un grand appartement ou tout-à-fait exposé à l’air libre , on peut admettre que la couche d’air en contact à chaque instant avec la surface de ce corps , a une température propre et donnée dans chaque exemple ; ce qui revient à dire qu’une couche d’air, après avoir enlevé ou communiqué à A une petite quantité de chaleur , et s’ctre détachée de sa surface , est remplacée par une autre couche dont la température est celle que la première avait d’abord ; que celte deuxième couche est de même remplacée par une troisième, celle-ci par une quatrième, et ainsi de suite. Ces couches successives vont perdre ou reprendre dans la masse d’air environnante la chaleur qu’elles ont enlevée ou perdue, sans que le fluide soit sensiblement échauffé ou refroidi par cette cause , non plus que par l’absorption d’une petite partie de la chaleur rayonnante émanée de A ; ce qui fait rentrer le cas que l’on examine actuellement dans celui d’un courant d’air d’une température donnée, dont on a parlé tout à l’heure.

Pour un corps A exposé à l’air libre ou suspendu dans un grand appartement, l'expérience n'a pas encore fait connaître, en fonction de sa température et de celle de l’air, la loi de la perte de chaleur que ce corps éprouve par le contact immédiat de l’air; généralement, on suppose cette perte proportionnelle à l’excès de la température de A

7a THÉORIE MATHÉMATIQUE

sur celle de l’air environnant; ce qui revient à représenter, comme plus haut, le coefficient T, par un produit <zr{u — tr), et à regarder le facteur <tr comme une quantité indépendante des températures * et u de l'air et de A; hypothèse qui doit peu s’écarter de la vérité, dans le cas des températures ordinaires. Mais, pour plus de commodité dans les calculs , nous supposerons à F, la même forme qu’au coefficient T qui répond à la perte de chaleur par le rayonnement et qui est exprimé par la formule (i); nous ferons donc

A, désignant une quantité de chaleur indépendante des températures u et h. Le nombre /i différant peu de l’unité, cette valeur de T, sera, en effet , à très peu près proportionnelle à la différence u — », quand ces températures ne seront pas très-élevées. Le' coefficient A, ne dépendra pas non plus de la nature de A ni de l’état et de l'étendue de sa surface qu’ou suppose très petite; il sera proportionnel à la densité de l’air; et si ce fluide est en mouvement, ou si A se meut dans ce fluide, ce coefficient devra être augmenté en raison de la vitesse relative de A et de l’air; ce qui pourra, quand cette vitesse sera très-grande, rendre A, beaucoup plus grand que le coefficient A delà formule (1). Enfin, si A est exposé à l’air libre, on prendra pour a la température de l’air environnant , donnée dans chaque cas, et déterminée par le moyen qu’on a indiqué plus haut, on autrement : si A est suspendu dans un grand appartement , dont les parois ont partout la même température , on la prendra pour la valeur de a.

(4o). Je reviens actuellement à l’équation (a) , qui suppose le corps A contenu seul dans une enceinte fermée de toutes parts, et dont la température constante est Ç. Cette enceinte étant aussi supposée très grande, on fera, d’après ce qu’on vient de dire, »== £ dans la formule (3); en la substituant à la place de T, et la formule (1)

au lieu de T dans l’équation (2), mettant — ~ à la place de V, et faisant , pour abréger,

Æ(a -4- tog^ ,

On tirera de cette équation

kdt =

J'iutègre, et je suppose qu’on ait u = y, quand t = o; il vient

kt = iog.

d'où l’on déduit, en désignant par e la base des logarithmes népériens.

fx =

résultat qui montre que quand la température initiale y est égale à Ç-, on a constamment u= y, comme cela doit être , et que si celte température y est plus grande ou plus petite que £ , la température u diminue ou augmente sans cesse, jusqu’à ce qu’elle ne diffère plus sensiblement de Ç.

Si les températures £ et y sont peu élevées, u le sera aussi ; en développant alors les exponentielles pt , fxy , fxu , suivant les puissances de £ log fi., y log fi , u log fx, on pourra négliger les carrés et les produits de ces quantités, qui seront de petites fractions à cause du facteur log fx, moindre que 0,0077; ^e cette manière, la formule précédente devient, en réduisant,

et, en même temps, la valeur de k se change en celle-ci : .< j

ac

Par conséquent, le temps croissant par des intervalles égaux, la température de A variera suivant une progression géométrique dont la raison est indépendante de la température £ de l’enceinte ; ce qui est , en effet, conforme à l’expérience dans le cas des températures ordinaires.

Cette loi du refroidissement des corps d’un petit volume est celle

qui résulte du principe de Newton, d'après lequel la chaleur communiquée par un corps à un autre est simplement proportionnelle à la différence de leurs températures; principe que l’on a admis pendant long-temps , mais dont les conséquences s’écartent de plus en plus de l’observation , à mesure que les températures sont plus élevées. En adoptant celte loi, à cause de sa simplicité, lorsqu’il s’agit de températures ordinaires, et désignant par 9 le temps pendant lequel la température de A s’abaisse de sa valeur initiale y, à une valeur donnée €, nous aurons

+ A,) log ^ == logHirf >

en vertu des expressions précédentes de u et de k. Pour un autre corps placé dans la même enceinte, dont la surface est dans le même état que celle de A , et dont la température emploiera un temps 9, à s’abaisser de y à £ , nous aurons de même

(A 4- A,) log ,u =

b„ a„ c„ désignant la surface, le volume et la chaleur spécifique de* ce second corps. En divisant ces deux dernières équations l’une par l’autre , on aura donc

b,aS, c,

ba ,9 c *

équation très simple, sur laquelle est fondé le procédé dont les physiciens ont fait usage pour comparer les chaleurs spécifiques de deux corps d’un petit volume , d’après les temps de leurs abaisseipens égaux de température.

(40- Ces deux corps étant de matières différentes, pour que leurs surfaces soieut dans le même état , comme le suppose cette dernière équation, on les recouvre l’un et l'autre d'une couche très mince formée d’une même matière. Or, relativement à l'épaisseur de cette couche, l’expérience a fait connaître un résultat propre a nous éclairer sur l'étendue du rayonnement de la chaleur dans la matière des corps solides.

Si l’on recouvre ainsi la surface entière de A, d’une couche dont l'é-

paisseur soit très petite, eu égard aux dimensions de ce corps, et qui soit formée d’une matière telle que le noir de fumée , par exemple, dont le pouvoir rayonnant est très grand, À augmentera, A, ne changera pas, et les autres quantités b , a, c, contenues dans k, ne varieront pas sensiblement. La variation de température de A deviendra donc plus rapide; mais l’expérience prouve qu’il faut que la couche addilivc ait atteint une certaine épaisseur, pour que la vitesse de réchauffement ou du refroidissement parvienne à son maximum et devienne stationnaire. Ainsi , en faisant croître graduellement l’épaisseur de cette couche, sans qu’elle cesse néanmoins d’étre fort petite, on observe que la température de A varie de plus en plus vite, jusqu’à ce que cette épaisseur ait atteint une limite que l’expérience fait connaître, et que je désignerai par f. Parvenue à cette grandeur t, si l'épaisseur de la couche additive augmente encore, en demeurant toujours très petite, la vitesse du refroidissement ou de réchauffement ne varie plus. Dans le cas des températures ordinaires, 1 expérience montre aussi que pour une épaisseur donnée, plus petite ou plus grande que «, la température de A s’abaisse ou s’élève en progression géométrique, le temps croissant par des intervalles égaux .

Quand la couche de noir de fumée que j’ai citée pour exemple a atteint ou dépassé l’épaisseur s , elle absorbe à pieu près toute la chaleur qui tombe du dehors sur sa surface extérieure, et son degré de réflexihilité est sensiblement nul. Au contraire, pour une épaisseur moindre que », elle réfléchit une partie de la chaleur incidente , dans une proportion qui diminue à mesure que cette épaisseur approche de ». Lorsque la couche additive est formée d’une autre matière, la limite « a une autre grandeur; à cette limite, la vitesse du refroidissement, devenue stationnaire , est généralement moindre que celle qui a lieu dans le cas du noir de fumée, et la couche conserve encore un degré de réflexibilité relatif à l’état de sa surface. L’expérience n’a pas fait connaître si cette vitesse est ou n’est point toujours la même pour deux couches additives de matière différente, parvenues à leur limite d’épaisseur, pour lesquelles cette limite f serait égale, et qui absorberaient, à cette limite, toute la chaleur incidente, ou qui la réfléchiraient eu égale proporliou.

En admettant ces résultats comme des données de l’observation , il s'ensuit que le pouvoir rayonnant A de la couche additi ve dépend, en général, de son épaisseur, de l'état de sa surface, et peut-être aussi de la matière dortt elle est formée. Or, d’après les n“ a4 et a6, l’expression de cette quantité est

A = -g f’’ *(i — p) cos 9 sin 0rf0;

g désignant une quantité invariable de chaleur, a étant une fraction qui exprime, sous l’angle d'incidence 6, la proportion suivant laquelle la chaleur extérieure pénètre à travers la' surface du corps auquel A se rapporte, et <p représentant une inconnue dont la valeur peut varier, non-seulement avec l’angle 0, comme celle de a, mais aussi avec la matière de ce corps. On peut supposer, ainsi que nous l’avons déjà dit (n° i7), que le phénomène de la division de la chaleur incidente en deux parties, dont l’une est réfléchie au dehors et l’autre pénètre dans l’intérieur, se passe dans l’épaisseur tout-à-fait insensible de la couche qui termine tous les corps et dont la densité varie très rapidement, de sorte qu’il n'y ait plus aucune réflexion de chaleur à la profondeur à laquelle la densité est regardée comme constante , ou ne varie plus qu’à raison de la température. Dans cette hypothèse, qui parait la plus naturelle, la fraction a, relative à un angle donné 0, se rapporte uniquement à la surface même de la couche ndditivc, et ne saurait varier avec son épaisseur, de grandeur sensible. C’est donc l’inconnue qui doit changer de valeur avec cette épaisseur: et, pour cela, il est nécessaire que les points de la couche additive, qui émettent au dehors la chaleur rayonnante, et qui absorbent, en échange, la chaleur extérieure après qu’elle a traversé la surface, s’étendent à une profondeur dont la limite est ».

A la vérité , si la fraction a ne varie qu’avec l’étal de la surface extérieure, et que le degré de réflexibilité de cette surface soit insensible , comme dans l’exemple du noir de fumée , lorsque l'épaisseur de la couche a atteint la limite », il semble qu'il devrait aussi disparaître, et qu'il n’y aurait plus de chaleur réfléchie , contrairement à l’observation, des que cette épaisseur aurait une grandeur sensible. Mais il faut observer que la fraction a de la chaleur in-

cidcnte, qui a traverse la surface extérieure de la couche additive, n’est pas absorbée en entier par la matière de cette couche, lorsque son épaisseur est moindre que f : une portion de cette chaleur atteint donc la surface du corps A recouvert par cette couche ; et si cette surface a un degré quelconque de réflexibilité, cette portion de chaleur sera eu partie réfléchie : elle traversera uue seconde fois la couche additive, sans être entièrement absorbée. La portion qui atteindra la surface extérieure de cette couche se divisera de nouveau en deux parties, dont l’une sera émise au dehors, et l’autre renvoyée vers la surface de A ; et ainsi de suite. De cette manière, la totalité de la chaleur réfléchie au dehors de la couche additive se compose de deux parties distinctes : l'une ne dépend que de l’état de sa surface, et nullement de son épaisseur; l’autre diminue à mesure que l’épaisseur augmente , et s’évanouit quand l’épaisseur a atteint la limite t. La première n’a éprouvé qu’une seule réflexion, qui a eu lieu à la surface extérieure de la coucliç ; la seconde en a éprouvé une ou plusieurs à la surface du corps A.

Ces considérations montrent la nécessité de la quantité <f , que nous avons introduite dans l’expression du pouvoir rayonnait, et dont l’existence tient à ce que la température varie très rapidement prés de la surface d'un corps qui .s’échauffe ou >e refroidit (n° 21). En général , toutes les circonstances que présentent l'émission et la réflexion de la chaleur rayonnante s’expliqueront au moyen des deux quantités a et 1 p, d’où dépend la valeur de A, et dont la première est uniquement relative à l’état de sa surface, c’cst à-dire, à sa coloration et à son degré de poli, tandis que la seconde eu est indépendante, et varie, au contraire, avec la matière des corps, ou du moins avec la limite t qui répond à chaque matière.

La conclusion générale de ce qui précède est que l’épaisseur de la couche superficielle, d’où émane la chaleur rayonnante émise au dehors par les diffère ns corps, et où la chaleur extérieure qui les pénètre est absorbée, n’a point une grandeur insensible, et qu’elle a, au contraire, une grandeur sensible, quoique très petite, qui peut changer d’un corps à un autre. On peut supposer que le rayonnement moléculaire s’étend à des distances sensibles dans l’intérieur des corps solides et liquides, aussi bien que dans leurs couches su-

perfi ciel Les , et que cette étendue sensible peut influer sur les lois de la communication de la chaleur qui se fait de proche eu proche dans chacun de ces corps. Toutefois, à cause de la variation rapide de température, qui a lieu près de la surface et n’existe pas dans l’intérieur, il est possible que, pour une même matière, la limite du rayonnement iutérieur diffère de celle que nous avons désignée plus haut par t.

(4a). Supposons actuellement qu’un second corps A', d’un petit volume, est contenu avec A dans l’enceinte fermée , dont la température invariable sera toujours représentée par£. Au bout du temps t , la température de A sera- désignée par « , comme plus haut , et celle de A' par u' . Cela étant, concevons une surface développable, tangente aux surfaces de ces deux corps, qui sera, par exemple, un cylindre à base circulaire, lorsque A et A' seront des sphères égales. Soient EH F et E'H'F' (fig. 9) les parties de leurs surfaces, comprises entre ces corps et terminées à la surface développable. 11 y aura un échange de chaleur entre À et A', à travers deux élémens quelconques, appartenant l’un a EHF, l’autre à E'H'F'. Je désigne par Ac/< la perte de chaleur de A pendant l’instant dt, résultant de l’échange à travers les deux élémens eu et tu qui répondent aux points 0 et 0' de ces portions de surface. En conservant les notations du n* 37, la valeur de A sera donnée par la dernière formule de ce numéro, ou par la formule (7) du n* a8 , réduite à ses deux premiers termes, savoir :

A = — ' [(« — <P) (F« - H) -«'(«- <P') ( Fié - FC)].

Son premier terme est la valeur de A qui aurait lieu si A' n’existait pas; le flux de chaleur qui en résultera, pendant l’instant dt, a travers la surface entière b de A, sera donc, comme plus haut, égal à bTdt ; le coefficient T étant donné par la formule (1). Si donc on remplace co et eu, dans le second terme de A, par les élémens différentiels ds et ds' des surfaces de A et A' qui répondent aux points 0 et 0', le flux total de chaleur à travers cette même surface b sera '

bTdt — jJj- (Tu1 — FC)//xa'(i — <p'j cos 0 cos 6' dsds' ; l’intégrale double s’étendant aux deux portions de surface EHF et E'H'F'.

DE l\ CHALEUR. 7f)

Si les quantités * et a! ne sont pas toutes (feux égales à l'imité , il y aura, en outre, entre les élémens de EHF et E'II'P des séries de réflexions de chaleur qui changeront , sous le signe ff , le facteur cta' (i — p') en un autre que je désignerai par et,. En ayant égard à l’expression de la fouction F ( n° 26 ), on pourra faire

(*“' — FÇ)//a, cœ 8 cos Ô'ds cU = bÇ( — ftf) ;

fi étant une quantité de chaleur dépendante de l'état des surfaces EHF et E'H'F, de la quantité <p', et de la distance qui sépare les deux corps A et A'. Si cette distance est très grande par rapport à leurs dimensions, la quantité S sera très petite relativement à la quantité A de meme nature, qui entre dans la formule (1), et elle variera, à très peu près , en raison inverse du carre de cette distance. Pour tenir compte de la série de réflexions qui a changé aa'(i — <p ') en il faudra aussi changer le facteur A de cette formule (1) en un autre factenr A(i 4- /), dans lequel / est une fraction très petite, comme

dans le cas où la distance de A' à A sera très grande. On supposera que leurs surfaces ne présentent aucune concavité , et qu’aucune portion de chaleur émise par ces corps ne leur est renvoyée par l’enceinte. L’expression précédente du flux de chaleur à travers la surface b sera complète ; en sorte qu’en y ajoutant la perte de chaleur bT,dt, produite par le contact de l’air, on aura la valeur totale de la quantité caXdt du n°4a.

Cela posé , d’après lequation précédente et les valeurs de T et T, , nous aurons

acX = b [A(i -f- /) 4- A,] — u ') — bÇ — j*f)-

Si l’on désigne par /', .V, ce que deviennent les quantités /,

S , A, relativement au corps A'; si l’on représente par a', b', c1, V', son volume, sa surface, sa chaleur spécifique, la vitesse de son refroidissement ; et si l’on observe que A, ne change pas en passant de A à A', puisque ces deux corps sont placés dans un même fluide, on aura de même

8o THÉORIE MATHÉMATIQUE

En mettant , dans ces équations , — ~ et — ^ à la place des vitesses V et V', et faisant , pour abréger ,

— OC1 +/) -h *] = P> £ *= ? *

on aura ces deux équations différentielles du premier ordre, mais non linéaires,

75 + />'(«“' — ^) — q'(nu — M{)=°, ‘

dans lesquelles on ne pourra pas , en général , effectuer la séparation des variables. On y parviendra seulement dans le cas particulier où l’on a pp' = qq , en supposant que cette égalité soit possible. Si l’on ajoute alors la seconde de ces équations, multipliée par y, à la première multipliée par p', on aura

d’où l’on tire

p'du -f- qdu’ = o;

y étant une constante arbitraire. En substituant cette valeur de u' dans la première équation , on en déduira ensuite une valeur de dt de la forme Ud-u; le coefficient U étant une fonction de u, de sorte que les variables seront maintenant séparées. Pour que U du soit inté-

sous forme finie , il faudra que ^ puisse s’exprimer par le rapport de deux nombres entiers; ce qui sera toujours possible, exactement ou a tel degré d’approximation que l’on voudra. Lorsque la distance comprise entre A et A' sera très grande , les quantités q et q seront très petites par rapport à p et p' , et l’on intégrera les équations précédentes par la méthode des approximations successives.

(43). Si les températures u et u ne sont pas très élevées, on réduira ces deux équations à la forme linéaire, en développant les exponentielles p." et pP suivant les puissances de u et jusqu’à la seconde exclusivement. En développant aussi fit , faisant

et comprenant le facteur log p. dans les coefliciens p, p', q, q' , on aura alors

ùx

+ px — qx’ = o ,

dx - 1 f f

S-+Px — qx = O ; ■

équations dont les intégrales sont

x = qye— -f- qy'e~m'‘,

x' — (p — m)ye~“‘ -f- ( p — tn')y'e~m'‘.

On désigne ici par e la hase des logarithmes népériens , par m et rri les deux racines d’une équation du second degré, dont les valeurs sont

m = t(P 4- p’) 4- ï Vip — p'Y + 4 qj, m'~ LAp + P') — îVip — p'Y + 4??'»

et par y et y' les deux constantes arbitraires que l’on déterminera d’après les valeurs de x et x' qui répondent à t = o.

Les valeurs de m et m! sont évidemment réelles. De plus , les quatre quantités p, p', q , q\ étant positivas, et la quantité contenue sous le radical étant la même chose que

(p + p'Y — 4(pp‘ — qq')t

on voit que les valeurs de m et m' seront aussi toutes deux positives, si pp surpasse q<f , ce qui a effectivement lieu. En effet, si l’on compare les intégrales d’où dépendent les valeurs de bx( 1 -f- f ) et £>'£', et celles de 5'A'(i -f- /’) et b€ , il sera facile de s’assurer, en ayant égard à leurs limites , que l’on a toujours

+f)> W, b'\'(x +/') > bS;

8a THÉORIE MATHÉMATIQUE

d’où l’on conclut pp' > 97', en observant que la quantité A contenue dans p et p' est positive. .11 s’ensuit qu’après un certain temps les exponentielles e~m et a"”'' sont sensiblement nulle»; les valeurs de x et x' le sout donc aussi, et les températures u et u' des deux corps A et A' ne diffèrent plus sensiblement de la température Ç de l’enceinte, quelles qu’aient été leurs valeurs initiales; ce qui est conforme à l’expérience. L’exponentielle qui répond à la plus grande des deux quantités m et m' s'évanouira la première; et quand clic aura disparu, les températures de A et A' varieront toutes deux suivant une même progression géométrique, le tcriips croissant par des intervalles égaux. Si le cas particulier de ,ppf =? qq' m 'était pas impossible, l'une des quantités m et m' serait zéro quand il aurait lieu, et alors

les variables x et x’ convergeraient vers des valeurs constantes, qui . ,, J/lUc ai i. .TT. Su» V

ne seraient pas nulles; au bout d un certain temps, les températures

de A et A' deviendraient donc constantes, mais inégales et différentes de la température de l’enceinte; ce qui ne saurait arriver; et, effectivement, le cas de pp' — q<( est impossible, comme celui de pp‘3 ‘d’après l’origine des quantités p , p', y

Uetl e analyse pourra s’étendre au cas dé trois où d’un plus grand nombre de cjjfps contenus dans une même epecinle. fermée , dont la température est invariable. On formera toujours, des équations différentielles du premier ordre, en nombre égal à celui de ces corps , qui seront non linéaires et non intégrables;/*» forme, finjej Dans le cas des températures ordinaires, un réduira cés équations, comme .les précédentes, 1 la forme linéaire ;, on le» intégrera ensuite sans difficulté;' et Ton conclura île la forme de le tu -s intégrales, qu’au bout d’un certain temps les températuirs de tous les corps varieront, à très peu près, suivant une même progression géométrique, pour des temps éqoi-difféietis , et qu’après ui» temps encore plus long, elles cesseront de varier, et seront alors taules égales entre elles et à la température donnée dp l'enceinte. , ,a#e$t