CHAPITRE IV

.Mouvement de la chaleur dans l'intérieur des corps solides ou

liquides.

(44). Il y a toujours de la chaleur, en mouvement dans tous les corps, lors même que les températures de tous leurs points sont invariables, soit que chaque point ait une température particulière , soit qu'ils aient tous une même température. Mais l’expressiou mouvement de la chaleur est prise ici dans un autre sens; elle signifie la variation de température qui a lien d’un instant à l'autre dans un corps qui s’échauffe ou se refroidit; et la vitesse de ce mouvement, en chaque point du corps, est le premier coefficient différentiel de • la température par rapport au temps.

J’appellerai A le corps solide ou liquide, homogène ou hétérogène, dans lequel nous allons considérer le mouvement de la chaleur. Soient M un point quelconque de A, et m une partie de ce corps, de grandeur insensible (n° q), et comprenant le point M. Au bout d’un temps quelconque t, désignons par x, y , z, les trois coordonnées rectangulaires de' M, par v le volume de m, et par f sa densité , de sorte qu’on ait

m Vf.

Soient aussi , au même instant , « la température et 8 la vitesse du mouvement de la chaleur qui répondent au point M.

La quantité u sera une fonction de t, x, y, r , dépendante d’une équation aux différences partielles par rapport à ces quatre variables , qu’il s’agira de former. Si A est un corps solide , et qu’on fasse abstraction de ses petites dilatations, positives ou négatives, produites par les variations de u relatives au temps, les coordonnées x, y, z,

seront indépendantes d et, et l’on aura simplement

Si au contraire on a égard aux petits déplaccmens du point M provenant de ces dilatations, ou bien, si A est un fluide dans lequel l’inégalité des températures, ou toute autre cause, donne lieu à des mouvemens de ses molécules, les coordonnées x, y, s, seront des fonctions de t ; et l’on aura alors, par les règles connues de la différentiation des fonctions de fonctions.

du dx du

dt dl dx

dy du dz du di dx ' dl dx *

expression dans laquelle ~ , ^ , seront les composantes de

la vitesse du point M, parallèles aux axes des x, y, z.

L’inconnue « ne sera pas la seule qu’il faudra déterminer, pour connaître complètement l’état calorifique du corps A à un instant quelconque. Supposons que l’on divise ce corps en deux parties B et B', par une surface quelconque, tracée dans son intérieur. Soit eu un élément de cette surface (n* 9) comprenant le point M, il y aura continuellement, à travers eu , un flux de chaleur semblable à celui de la chaleur rayonnante qui a lieu à travers un élément de la surface de A , et que je représenterai par Teedt pendant l’instant dl , de manière que ce produit, positif ou négatif, soit l’excès de la chaleur qui traverse eu en passant de B en B’, pendant cet instant , sur celle qui le traverse en meme temps , en passant de B' dans B. Le coefficient T, ou le flux de chaleur rapporté aux unités de temps et de surface, dépendra de la matière et de la température de.A au point M, et de la direction de eu ; il s’agira aussi de le déterminer , en fonction de / , x , y, z , pour chaque direction donnée de eu. Ainsi, u et T seront les deux inconnues du problème dont nous aurons à nous occuper dans ce chapitre. Quand le corps A est soumis à l’influence de foyers constans de chaleur, toutes ses parties parviennent généralement , après un certain temps, à des températures variables d’un point à un autre, mais indépendantes du temps. Dans cet état permanent de A , la vitesse d est nulle en tous ses points ; mais le flux de cha-

leur T existe encore, et seulement sa valeur est indépendante de t, comme celle de u.

(45). Soient M' un second point de A très voisin de M , et m' une partie de A de grandeur insensible, comme m, qui comprendra M'. Au bout du temps t , appelons x', y, z', les coordonnées de M' rapportées aux mêmes axes que x, y, z, et désignons par u' la température de m' ; soit aussi r la distance MM'.

D’après l'hypothèse générale sur laquelle est fondée la théorie mathématique de la chaleur (n° 7), il y aura un échange continuel de chaleur entre m et m1. Je représenterai par S l’augmentation de chaleur qui en résultera pour m pendant l'instant (il , c’est-à-dire, l’excès positif ou négatif, pendant cet instant, de la chaleur émanée de m'et absorbée par m , sur la chaleur émanée de m et absorbée par m'. On pourra supposer cet excès proportionnel au produit mm'dt , ou à w'pp ’At , en appelant A et p' le volume et la densité de ni', de sorte qu’on ait m' — vp‘, comme on a déjà m — vp. Il sera nul dans le cas de «'=«, el de même signe que la différence «' — «, quand elle ne sera pas zéro; dans le vide, il varierait en raison inverse du carré de r; et généralement sa valeur sera de la forme

en désignant par R un coefficient positif, dans lequel nous comprenons le facteur pp', qui décroîtra très rapidement pour des valeurs croissantes de r, qui pourra aussi dépendre des matières et des températures de m et ni, et variera avec la direction de MM', lorsque l’absorption de la chaleur ne sera pas la même en tous senS autour de M.

Dans la supposition la plus générale, R sera donc une fonction de r, u, u' , et des coordonnées de M et M'; en sorte que l’on aura

Mais si l’on appelle A' la diminution de chaleur de m' pendant l’instant dt . provenant de l’échange entre m et m', on aura évidemment J' = — J' : d’ailleurs, la valeur de «T' devra se déduire de celle de d par- la permutation des quantités relatives à l’un des points M

et M', et des quantités analogues qui répondent à l'autre; par conséquent, il faudra que la fonction <I> soit symétrique par rapport à u et u!, x et x' , jr et f, z et z'.

Le corps A étant un solide ou un liquide, cette fonction <t> variera très rapidement avec r et sera insensible ou nulle, dès que r aura atteint une très petite grandeur. Je désignerai celte limite par l, de sorte que cette fonction <t> soit zéro, dès qu’on aura r > l ou seulement r = Z. Cette ligne l sera donc très petite, mais de grandeur sensible et mesurable (n* 40# ct» P3*" conséquent, extrêmement grande par rapport aux dimensions de m et m'.

(46). L’augmentation totale de chaleur de m pendant l’instant dt sera la somme des valeurs de «f, étendue à tous les points M’ dont la distance au point M est moindre que l. J'indiquerai une telle somme par la caractéristique 2. Le facteur vdt étant commun à toutes les valeurs de /, leur somme sera

vdtl ? [u! — uV.

Mais pendant l’instant dt, la température de m augmente de tidt; si donc on appelle c sa chaleur spécifique, cvtjdt sera aussi son augmentation de chaleur pendaut cet instant ; donc en supprimant le facteur commun vdt, on aura

pour l’équation du mouvement de la chaleur, également applicable à on corps solide et à un liquide, en y substituant l’expression convenable de H.

La somme 2, contenue dans cette équation, ne dépend en efTet que de l’état calorifique de m et des parties circonvoisines de A, qui existe au bout du temps t, et en aucune manière du changement qui pourrait avoir lieu l’instant d’après; en sorte qu’il n’était pas nécessaire de chercher, comme des géomètres l’ont pensé, une équation particulière pour le mouvement de la chaleur dans les liquides, distincte de celle qui répond aux corps solides hétérogènes, et qui avait été donnée depuis long-temps.

La valeur d’une somme 2 relative à des parties de grandeur insen-

si Lie , telle que la precedente, peut s’exprimer par une série dont le premier terme est une intégrale prise entre les mêmes limites que cette somme, et dont les autres termes procèdent suivant les dimensions de ces parties, élevées à des puissances croissantes. Ces dimensions étant insensibles par hypothèse, il s’ensuit que la série est, en général , extrêmement convergente , et peut être réduite à son premier terme. Ainsi, en désignant par dv' l’élément différentiel du volume de A, qui répond au point M', on aura, sans erreur appréciable,

2 *(„-«)✓ = fî(u'-u)dd}

l’intégrale s’étendant à tous les élémens dd , dout la distance r au point M est moindre que l.

A la vérité, j’ai remarqué dans d’autres occasions que la réduction d’une somme à une intégrale n’est plus permise dans un certain cas qui se présente, par exemple, dans le calcul des forces moléculaires; mais pour que cette exception ait lieu, il faut que la fonction dont cm veut sommer les valeurs, varie très rapidement et change de signe entre les limites de cette sommation; or, ici le coefficient R varie bien en effet très rapidement avec la variable r, mais sans jamais changer de signe; et, pour cette raison, l’exception dont il s’agit n’est pas à craindre. Dans tous les calculs de quantités de chaleur qui résulteront d’échanges entre les parties d’un corps, de grandeur insensible, on pourra décomposer immédiatement son volume en élémens infiniment petits, et remplacer les sommes par des intégrales, comme si ce corps était formé d’une matière continue et non pas de molécules disjointes, séparées par des porcs ou especes vides.

(47). Du point M comme centre et d’un rayon égal h l’unité linéaire, décrivons une surface sphérique ; soit ds l’élément différentiel de cette surface, auquel aboutit le rayon dont la direction est celle de MM', nous aurons

dv' = fdrds ; ‘

et d’après la valeur de la somme ï, l’équation (3) deviendra

c Ti =//R "** u)i,rds- (4)

On y a mis, pour abréger au lieu de 8; mais on se souviendra que ce coefficient différentiel doit être pris par rapport à t et à tout ce qui en dépend; en sorte qu’il faudra remplacer — parla formule (i), lorsque les coordonnées x, y, z, du point M varieront avec le temps.

La limite relative à r de l’intégrale contenue dans cette équation (4) ne sera pas la même , selon que la distance du point M à la surface de A surpassera l ou sera moindre que cette petite ligne. Dans ce cba-, pitre on supposera que ce soit le premier cas qui ait lieu; l’intégrale relative à r devra alors être prise depuis r=o jusqu’à r—l, dans toutes les directions autour de M ; on pourra donc écrire l'équation (4) sous la forme

=f‘[m^-u)ds]dr; (5)

l’intégrale relative à ds devra s’étendre à tous les élémens ds de la surface sphérique, et par la réduction en série, on en obtiendra facilement la valeur approchée.

(48). Pour cela, je désigne par a, S, y, les angles que (adroite MM' fait avec des parallèles aux axes des oc, y, z, menées par le point M. A cause de MM'= r, il en résultera

x' — x = r cos a , y — J' = r cos € , d — z= rcos y ;

et, d’après le théorème de Taylor, on aura

, du , du p . du

u — n — —, — r cos a -f- -r- r cos G -) — r cos y dx 1 djr ' dt •

- r* cos* a-1 — -r—, r* cos'fc + - -j- r* cos’> 2 </** 1 2 dr‘ 'a dt' •

dy'

r‘C05£tC05^-i- r* cos a cos y + r* cos 6 cos y