etc

Si l’on développe de même R suivant les puissances et les produits de u' — u, oc’ — x,y — y, d — 2, on aura aussi

+ ©(s'~ I) + elc-i .

les parenthèses indiquant ici qne l’on doit faire m' = u, x' — x, y —J, z' = z, après les différentiations qui supposent r invariable, et V désignant ce que devient en môme temps la fonction # du n° 4$» de sorte que l’on a

Au moyen de ces développemens de R et de u' — >u, celui du produit R («'—«) se composera de termes de cette forme

llr* cos' et cos*' 6 cos1* y ;

If désignant nn coefficient indépendant de et, S, y, et les exposans i, i', i" , étant des nombres entiers et positifs qui ne seront pas nuis tous les trois à la fois, et dont l’exposant n est la somme i Or, en ayant égard aux limites de l’intégrale relative à ds , on aura

f cos' a cos*' S cos" yds =0,

toutes les fois que l’un des trois nombres i, f, F , sera impair; car alors cette intégrale se composera d ’élémens qui seront deux à deux égaux et de signes contraires. Quand aucun des nombres 1, t, F, ne sera impair, l’intégrale ne sera pas zéro; les règles ordinaires en donneront les valeurs exactes , quels que soient ces trois nombres; et de cette manière on aura > !*• »•■

R (a* — u) = H, /* -f- H4 r* + H, r* + etc. ; (6)

les quantités H., H4, Ii(, etc., étant des fonctions différentielles de forme connue, dans chacune desquelles les différences partielles de u seront prises par rapport à x, y, z, et s’élèveront à Tordre marqué par son indice inférieur. ■ — >

Pour une température u qui varierait très rapidement, de sorte qu’elle ait des valeurs très différentes dans l'étendue du rayonnement

go THÉORIE MATHÉMATIQUE

intérieur, les coefficiens H,, II4 , H,, etc., formeraient une série très rapidement croissante, àeause des différences partielles de u dont ils dépendent. La série (6) cesserait alors d’être convergente, malgré la petitesse de r* ; mais ce cas n’a pas lieu en un point M suffisamment éloigné, comme on le suppose, de la surface de A; et nous pourrons, en conséquence, regarder la série (6) comme extrêmement convergente. " ' r

En s’arrêtant à son nlim terme, l’éqnation aux différences partielles du mouvement de la chaleur sera de l’ordre an; mais son intégrale complète renfermera certaines parties qui varieront très rapidement, et que l’on devra supprimer pour cette raison, dans la valeur de u, comme étrangères à la question; ce qui réduira toujours cette valeur au même degré de généralité, quel que soit son degré d’approximation , dépendant des termes de la série (6) que l’on aura conservés. C’est ce qne nous ferons Voir par la suite, sur un exemple particulier, dans- lequel nous montrerons aussi l'influence que peut avoir l’étendue sensible du rayonnement intérieur sur Ifi valeur de u. Mais pour réduirle l'équation générale du mouvement do la chaleur à la forme la plus simple, c’cst-à-dme , à la forme d’une équation aux différences partielles du second ordre, ainsi qu’on le fait ordinairement, uous bornerons l’approximation au premier terme de la série (6); ce qui

revient à considérer comme insensible, l’étendue du rayonnement dans l'intérieur des corps solides et des liquides.

(4q)- Dans ;œtte, hypothèse, ou arrêtera le développement de R aux termes dépendais du carré de r exclusivement. A cause de la symétrie de R par rapport à « et u', x et x‘, y et y, z et z', et de ce que V représente, on a évidemment

i tfV / rfV i '/dRv i <fV /dK\ i rfV

\du ) " î du * a dx ’ \dyj ~~ a djr ’ \dz) a dz ’

‘ib i..»lf lil-OMlil* -i • : il Cib îi.t. ' . ” , ,c . ,

il en résultera dope l

R=v+ï^ «h- ÿcy- ■£-

i dV

*• >• i , le • ■ Ve ni , - |. , .

et de cette valeur jointe à celle de u' — u, on conclura

ne LA CHALEUR. !

IT i rv d‘u (ttX du dV\ du~\ - . .

»• = ï LV 3? + U; d* + S-) Trjf ^ "*

dx% \du dx ~ dx } (d\ du

+îDr$+Æ5'+î)g^-é*

'</V rfa

dj ■ /Pu

i |~ v /Pu f </Y du dX \ du~\ - ,

+ à |v-2? + (*;*•♦' æ) Si. :KCÜS>^>

ou plus simplement

dz%

rfV rfu dfjr

dt ds

^ /" cos* yds ;

les différences partielles de V par rapport à x, y, z, étant prises en considérant u comme une fonction de ces trois coordonnées, et sans faire varier r.

On a d’ailleurs .y. \>

f cos* ads — f cos* Çds s= / cos* yds.

De plus, si l’on appelle 4 l’angle que fait le plan do la droite MM’ et d’une parallèle à l’axe des x menée par le point M, avec un plan fixe mené par cette parallèle, on aura

ds = sin ada.d\ ;

et l’intégrale relative à ds devant s’étendre à toute fa surface sphérique à laquelle cet élément appartient, il en résultera

f cos* ads = J '* cos* a sia « ^f" ^4

Donc en réduisant la valeur de R (u1 — u) au premier terme U*r* de la série (6) , l’équation (5) deviendra

ç>a THÉORIE MATHÉMATIQUE

La fonction V étant nulle pour toutes les valeurs de r plus grandes que l , on pourra maintenant étendre les intégrales relatives à r audelà de cette limite, et si l’on veut jusqu’à r = » . Si l’on fait alors

ï rnVr‘dr=zk,

z, et l’on

aura

Qtr

/"®dV

In dx

rdr =

■ir

rmdS

r'dr —

' 0 dy

dj*

rx dV

1 0 dt

r'dr =

par conséquent, l’équation générale du mouvement de la chaleur deviendra finalement

cSi =

d.tp.

dx ' dy ' dz

Quand tous les points de A seront parvenus à un état stationnaire , on aura ~ as o , et il en résultera

d.kiL d.k p. d.k £

dx , djr , dt

' Av ‘

pour l’équation relative à cet état permanent.

(5o). L’équation (7) coïncide avec celle1 que j’ai trouvée autrefois pour le cas d’un corps hétérogène (*), mais en ne supposant point alors que la quantité k dépendit de la température u.

Si A est un corps homogène, k ne dépendra que de u, et l’équation (7) se changera en celle-ci :

du , / d'u d'u . d’u\

cn = Ksr* + Ir +

dk /du' du' <Zu*V

du\fo' df> *♦* ~dt'j

(*) Journal de I École Polytechnique , ig* cahier, page 87.

En supposant que cette quantité A; soit indépendante de u, on aurait l'équation

que l'on donne ordinairement, et qui se réduit, dans le cas de l’état permanent, h une équation indépendante des deux quantités c et k, savoir : •

ar- + ip + jï = °-

Après avoir obtenu l'équation (9), en considérant c et A: comme des quantités constantes, on supposait quelle conservera la même forme lorsque ces quantités seront variables, qu’il suffira d’y mettre

pour * une fonction donnée de u, et que l’équation relative à l’état

permanent n’éprouve aucun changement. Mais on voit que ces suppositions ne sont point admissibles : l’équation (g) et celle qui s’en déduit dans le cas de ^ = o, ne sont point, dans le cas même d’un

corps homogène, l’équation exacte du mouvement de la chaleur et celle de l’état permanent; et la formule (8) montre qu 'indépendamment des différences partielles de u, du second ordre par rapport à x, y, z, les véritables équations doivent aussi contenir les carrés de ses différences partielles du premier ordre.

Pour avoir égard aux déplacemcns des points de A, produits par les dilatations et condensations dues aux variations de température, ou par d’autres causes, on remplacera , comme on l’a dit plus haut ,

d£ par la formule (1), et l'équation (7) deviendra

/du du dx du dy du dz\

\jü dxdi dr dt dïdî)

du dx

dudy

d.k “ dr

C’est celte équation (10) que l’on devra joindre, par exemple, aux équations ordinaires du mouvement des liquides, pour les compléter.

ainsi que je l’ai déjà proposé dans mon Traité de Mécanique et dans

un mémoire précédcut.

(5i). Occupons-nous maintenant de la détermination du flux de chaleur T (n* 4f)» correspondant à lelément a d’une surface qui divise A eu deux parties Ë et B'.

Supposons que le point de la surface auquel répond l’élément co soit le point M de A, que nous avons considéré précédemment, qui est situé à une distance de la surface de ce corps plus grande que /, et dont la température et les coordonnées sont u , x, y, z, au bout du temps t\ prenons dans B un point M, et dans B' un point M', très voisins l’un et l’autre de M, et appartenant avec M à une ligne droite INI.MM' (lig. 10); soient m, et m' des parties de B et B', de grandeur insensible, et qui comprennent les points M, et M'; appelons u, et u' leurs températures au bout du temps t; soient aussi u, et v' leurs volumes ; x,, y,, z, les coordonnées de M,, et x',y', z' celles de M'; faisons

et désignons par J' la diminution de chaleur de m,, provenant de l'échange entre m , et m' pendant l’instant dt. D’apres la formule (a), nous aurons

R, (m, — u!) dt;

R, étant ce que devicut la fonction <t> du n° 45 , quaud on y met les quantités qui répondent aux points M, ctM', de sorte que l’on ait

R. = * ( r ,, u,, u\ x,, y,, z,, xf, /, d).

Cela posé, si nous concevons un cône circonscrit à l'élément u et ayant son sommet au point M, , et si nous appelons A la somme des valeurs de J' relatives à toutes les parties de B' comprises dans ce cène, nous aurons

A t \dt ff R, («, — lé) dr,ds,

en remplaçant la somme par une intégrale (n° 46), et d par l’élément ditléreptiel r,‘dr,ds, du volume de B' qui répond au point M';

dans lequel élément, ds est ceint d’une surface sphérique décrite du point M, comme centre avec un rayon égal à l’unité. La distahce du point M, à la surface de A étant plus grande que l, nous prendrons eu conséquence l’intégrale relative à r,, depuis r, = r jusqu’à r, = /. Quant à l’intégrale relative a ds, elle devra s’étendre à la portion de surface sphérique interceptée par le cône , et que nous représenterons par <r.

Maintenant on obtiendra la somme des valeurs de A relatives à toutes les parties de B, telles que m,, au moyen d’une nouvel hj intégrale triple, dans laquelle on prendra pour v, l’élément différentiel du volume de B correspondant au point M,. Si l’on mène f>ar le point M , une normale N,MN'à la surface de séparation de B et B', dont MN, soit la partie comprise dans B ; que l’on fasse