M.MN

et 'que l’on désigne par 4 l’angle que fait le plan de MN, et MM,, avec un plan fixe passant par MN, , ectte expression différentielle de v, sera r* sin Ddrd&d-\,. L’intégrale relative à r s'étendra depuis r = o jusqu’à r — l; on intégrera depuis 4 = ° jusqu’à 4 = stt, et seulement depuis 0 = o jusqu’à la valeur de 0 qui a lieu à la surface de B, et que je représenterai par 0 — / , de sorte que i$oit un très petit angle dépendant de la courbure de cette surface au point M.

Or, cette somme des valeurs de A sera évidemment la valeur du' flux de chaleur Veedt à travers l’élément ai; car, d’après l’éloignement du point M, de la surface de A , toute la chaleur émise par chacune des deux parties B et B' est absorbée par l’autre; par conséquent, nous aurons ./•

Ta> = /R, («, — «') t* sin 0 drdr,dscÊd-\. , T

L’intégrale relative à ds étant une intégrale double, il s’ensuit que la valeur rigoureuse de T dépend d’une intégrale sextuple ; ce qui devait être, puisque ce flux de chaleur dépend de l’action réciproque des parties de B et de B’ ; mais sa valeur approchée se réduira, comme on va le voir, à une intégrale simple.

(5a). D’abord, à cause de la petitesse des dimensions de a> , qué l’on suppose insensibles par rapport à l, nous pouvons considérer u'

g6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

et R, comme étant sensiblement invariables dans l’intégration relative à ds , qui se réduira alors à changer ds en tr. Par la même raison , et en observant que u cos 6 est la projection de « sur un plan mené par le point M perpendiculairement à la droite MM, , on pourra aussi prendre

r*tr = a cos 8 ,

même pour les valeurs de r comparables aux dimensions de ai, sans qu’il en puisse résulter aucune erreur sensible dans la valeur totale de IV».

A raison de ce facteur cos 8, qui sera introduit sous le signe/, la partie deT dépendante de l’augle », ou de la forme de B, aura pour coefficient le carré de la fonction des rayons de courbure qui entre dans l’expression de l’action capillaire ; en sorte que la courbure des surfaces influe beaucoup jnoins sur le flux de chaleur que sur les phénomènes de la capillarité. Son influence sera tout à-fait nulle au degré d'approximation où nous allons nous arrêter.

Après avoir développé le. produit R, («, — «') en série, nous bornerons l’approximation comme dans le n° 4f), au premier terme de ce développement. Cela étant, nous pourrons négliger i , et étendre l’intégrale relative à 8, depuis 8 = o jusqu’à 8 = £ tt. Il n’y aurait d’exception que si les rayons de courbure de la surface de B au point

M, étaient très petits et comparables à /; mais nous supposerons que ce cas n’ait pas lieu. De cette manière, en supprimant le facteur commun o, nous aurons

u!) cos 8 si n tydrdr,d!id-\ . ( 1 1 )

Pour simplifier le.calcul , je prends l’axe des x parallèle à la normale

N, MPC; je le suppose aussi dirigé dans le sens de la partie MN' comprise en dehors de B , et le plan d’où l’on compte l’angle 4 , parallèle à celui des x eij ; en sorte que cos 8, siu 8 cos 4 » sin 8 sin 4» soient les cosinus des angles que fait la ligne MM' avec les prolongemens des coordonnées x , jr, z, du point M, ou ceux des supplémens des angles compris entre MM, et ces mêmes prolongemens. On aura alors x,=x — rcos6, J, =x — rsin0cos4» z, = z — rsinflsin4> x ipx + r'cos 8, jr' ==y + r'sin 8 cos 4 f z' = z+r' sin 8 sin 4»

pour les coordonnées de M, et M'. En négligeant les carrés de r et r1, il en résultera

u, =u — cos 8 — d^r sin 8 cos 4 — ^ r sin 0sin 4 , u' = u d cos 0+^V sin 0 cos 4 + ^ d sin 8 sin 4 » et , par conséquent ,

u, — m'= — ^ r, cos 8 — ÿ r, sin 0 cos 4 — ^ r, sin 8 sin 4 *

à cause de r, = r-f- r/. En même temps, on réduira dans R, les températures et les coordonnées de M, et M' à leurs premiers termes , c’està-dire, à la température « et aux coordonnées x, jr , z, de M; ce qui donnera R, = V,, en désignant par V, ce que devient la quantité V du n* 48, quand on y met r, au lieu der. Cela étant, les intégrations relatives à 6 et 4 s’effectueront immédiatement dans l’expression de

du

T; les termes dépendans de ÿ et ^disparaîtront, et l’on aura simplement

r = “ T ^fXf! V>rJrt)dr.

Je fais, pour un moment,

=fr ;

de sorte que fr soit une fonction qui s’évanouira pour r — l, et telle qu’en la différentiant par rapport à r, on aura

En intégrant par partie, on a généralement,

f/nir = rfr — fd£rdr-t

donc, puisque le produit- r/r s’évanouit aux deux limites r=o et r=l,

on aura

fifrdr=-f!>trrdr’

et eu remettant pour/r et ^ leurs valeurs précédentes, il en résultera

fXf'r V,r<dr')dr=f‘Vr*dr i

par conséquent, en ayant égard à l’expression de la quantité A: du n“ 49» on aura finalement

quantité qui sera négative ou positive, comme cela doit être, selon que la température croîtra ou décroîtra près du point M, dans le sens de la normale MN' extérieure à B.

(53). Abstraction faite du signe, celle formule fait voir que les flux de chaleur rapportés aux unités de surface et de temps , et relatifs à un même point M, qui ont lieu à travers différons élémens de surfaces passant par ce point, sont entre eux comme les décroissemens de tem- . pérature suivant les directions perpendiculaires à ces élémens et relatifs à une même épaisseur infiniment petite. Pour une même valeur du rapport du décroissement de température à l’épaisseur correspondante, le flux de chaleur est proportionnel à la quantité k. La communication de la chaleur entre deux parties contiguës d’un corps a donc lieu, toutes choses d’ailleurs égales, avec plus ou moins de facilité, selon que cette quantité est plus ou moins grande ; c’est pourquoi l’on prend la quantité k pour la mesure de la conductibilité de la chaleur dans l’intérieur d’un corps dont les différentes parties sont inégalement échauffées.

La valeur de k est très différente dans les diverses matières, et ne peut être déterminée que par l’expérience pour chaque matière en particulier. Elle dépend aussi de la température; sous ce rapport, il y a lieu de croire que sa variation est plus grande , dans les corps solides , que celle de la chaleur spécifique, qui n’est sensible qu’à des tempéra- . • turcs très élevées. C’est, en général, dans les métaux que la conduc-

DE LA CHALEUR. gg

tibilité k est la plus grande. Dans les liquides, elle est presque nulle; ainsi , lorsqu’un liquide en repos est échauffé à sa partie supérieure, ses couches inférieures s’échauffent très lentement; en sorte qu’il faut un temps très grand pour que sa température s’élève d’une manière sensible, à une profondeur peu considérable. Si, au contraire, le liquide est échauffé par en bas , ses parties inférieures se dilatent et s’élèvent , en conséquence, à raison de leur diminution de densité; en même temps, ses parties supérieures descendent; puis elles s’échauffent quand elles sont parvenues au bas du liquide, et remontent ensuite vers la surface. lise produit ainsi, dans tout le liquide, un mouvement très compliqué et qu’il serait très difficile de soumettre au calcul, mais dont l’effet, quant à la chaleur, est de suppléer au défaut de conductibilité et de produire assez promptement une température égaie dans la masse entière. Les mêmes choses ont lieu à l’égard des fluides aériformes la conductibilité de la chaleur de proche en proche est à peu près nulle dans les différens gaz. Quand un gaz est en contact avec un corps chaud, il n’y a guère qu’une couche extrêmement mince du fluide qui s’échauffe directement; au-delà de cette couche, la chaleur se transmet dans le fluide, non-seulement par le déplacement de ses parties, mais aussi par l’absorption, en petite proportion , de la chaleur rayonnante émanée du corps chaud. Peut-être réchauffement direct de la couche fluide, en contact avec ce corps , n’est-il que l’effet de cette absorption augmentée dans un très grand rapport par la condensation que produit l’attraction du corps , et qui rend la densité de cette couche beaucoup plus grande que la densité naturelle du fluide.

Dans l’intérieur des corps solides, comme le verre par exemple, qui sont traversés dans de grandes épaisseurs par la chaleur rayonnante émanée d’une source dont la température est très élevée , la chaleur se propage à la fois, de proche en proche en vertu de la conductibilité propre à chacun de ces corps, et par l’absorption plus ou moins grande de cette chaleur rayonnante.

(54). U est possible que dans certains corps la conductibilité de la chaleur ne soit pas la même suivant toutes les directions autour de chaque point. Cela peut avoir lieu dans le bois, composé de fibres juxtaposées, et où la propagation de la chaleur est peut-être plus

,oo THÉORIE MATHÉMATIQUE

facile dans le sens de ces fibres que dans le sens perpendiculaire à leurs directions. De même, dans l’intérieur des cristaux, il n’est pas impossible que la conductibilité de la chaleur soit différente dans le sens du clivage et suivant d’autres directions.

Pour que cette anomalie ait lieu dans le corps A, il faut que sa nature intime varie sensiblement dans l’étendue du rayonnement intérieur, c’est-à-dire dans une épaisseur égale à l. En calculant la valeur approchée de la formule (i i), on ne pourra plus alors,' comme on l’a fait tout à l'heure, réduire les coordonnées des points M, et M' à celles du point M, dans l’expression de R,. Mais si la température n’éprouve pas de changement brusque, et qu’elle soit au contraire sensiblemeut la même tout autour de chaque point M, dans l’étendue du rayonnement intérieur, on pourra encore mettre « à la place de u, et u' dans R,, et développer l’autre facteur u, — compris sous le signe f, suivant les puissances de r et r'. De cette mauière, R, sera une fonction de u, r, r', 0, 4» forme inconnue, non-seulement par rapport à r et r, mais aussi par rapport à 0 et 4 ; les intégrations relatives à ces angles ne pourront donc plus s’effectuer comme dans le cas général j et la valeur approchée de T, déduite de l’équation (i i), prendra la forme

du

dx

du dz 9

en arrêtant toujours le développement de u, — u' aux premières puissances de r et r', et désignant par h, h', h", trois quantités positives, dépendantes de la température u et de la constitution intime de A autour du point M.

Cette expression du flux de chaleur à travers lclément u est moins simple que la formule (la), et ne dépend plus seulement de l’accroissement de température dans le sens perpendiculaire à cet élément. L’équation du mouvement de la chaleur serait aussi plus compliquée que l’équation (7). Mais dans cet ouvrage je ferai abstraction de l’inégalité de conductibilité en différens sens, qui peut quelquefois exister; et sur ce point, je reuverrai à un mémoire de M. Duhamel, inséré dans le ai* cahier du Journal de l’Ecole polytechnique.

{55). Je vais maintenant faire voir le rapport qui existe entre la conductibilité k et le pouvoir absorbant, dont on a représenté la me-

Ol

DE LA CHALEUR, sure par q dans le n* 1 1 ; je comparerai ensuite les flux de chaleur qui ont lieu dans l'intérieur et à la surface des corps.

La quantité contenue dans l'équation (a) de ce chapitre, est égale et de signe contraire à la quantité désignée par la même lettre dans l’équation (a) du n" i3. De ces deux équations, ou conclura, en conséquence,

i’/R («' — u) — ^ pmnt' (qlï' — /n).

On a d’ailleurs

tn — fv, m! = fV ,

et, en vertu de la formule (3) du numéro cité, n = q?u, H' = q'Yt/;.

la valeur de R, déterminée par l’équation précédente, sera donc

i ii /F“' — Fu\

R = 47 Ptftf (

Pour en déduire la quantité V qui entre dans l’expression de k, il y faut faire (n* 48) u' = u, et les coordonnées du point M' égales à celles de M, sans changer la distance r où MM' d’où dépend le facteur p. On aura donc ,

dFu ,

~dû • r

et en même temps on devra prendre pour p la valeur de cette quantité qui a lieu dans un corps homogène dont la matière et la température sont partout les mêmes qu’au point M de A ; laquelle valeur est (n* n)

en désignant par e la base des logarithmes népériens, et faisant

Par conséquent, la valeur de V sera

\r i , , dVu "

La valeur correspondante de k pourra s’écrire sous cette forme :

, i dfu pi L r*dr

6 tq du J a e ' «* ’

celle de l’intégrale qu’elle contient est le double de i — e * ; mais la quantité p devant être insensible à la limite rsstl, on peut négli-

ger l’exponentielle e • ; et l’on aura simplement