an

L ja J , tfjt;

i,a.3...n df

par une suite d’intégrations par partie, on a

1 ,3.5. . .an-

(c+.ÿ—ty+i ’

en désignant par c une constante réelle, qui ne soit pas nulle, et faisant pour abréger

e* du

S/c + sÿ 1

ce terme général deviendra donc

i.a.3.. :nL

J df J

et d’après le théorème de Taylor, on en conclura, pour la première partie de la série (1),

Ea seconde partie de celte .même série se déduit de la première, ci\

dilTérentiant celle-ci par rapport à x, multipliant para, et mettant

T7 au lieu de cn ajoutant donc l’une h l'autre ces deux parties de la série (5), on aura

pour l’intégrale complète et sous forme finie de l’équation (3), à laquelle on peut en effet vérifier que cette valeur de u satisfait. Les deux fonctions arbitraires 4* et qu’elle renferme sont les valeurs de u et — qui répondent à x = h.

(76). Le procédé qui nous a conduit à la série (6) et ensuite à l’intégrale de l’équation (3) donnée par la formule (7), peut s’étendre sans difficulté à lcquation

+ c dF

etc. ,

qui contient un nombre quelconque de variables indépendantes t, x, y, z, etc., et dans laquelle a, b, c, etc., sont des coefliciens constans.

En développant d’abord, comme précédemment, la valeur de u suivant les puissances de e1 , développant ensuite le coefficient de chaque terme suivant les puissances de e7. puis le coefficient de chaque terme de ce second développement suivant les puissances de e*, etc. , l’inconnue u se trouvera développée suivant les puissances et les produits des exponentielles .«*, 0, e*, etc., et l’on pourra représenter par

Te*r ec-r eyt etc.,

un terme quelconque de cette série; T étant une fonction de i, et a, S, y, etc., des quantités constantes. Si l’on substitue cette série à la place de u dans les deux membres de l’équation donnée, on

DE LA CHALEUR. i45

trouvera que Chacun de scs termes doit satisfaire séparément à cette équation, que les constantes a, S, y, etc., resteront indéterminées, et que l’on aura

~ = T («a* + b& ■+■ cy‘ + etc.),

pour déterminer le coefficient T d’un terme quelconque. En désignant par A une constante arbitraire, la valeur de T tirée de cette équation sera

rp __ a*» -f. fcC» -J-

par conséquent la valeur de u en série aura pour expression

« = 2Ae‘",,'e4fV>'t etc. e"ef-re>£ etc.;

2 indiquant une somme qui s’étend à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de A, «, S , y, etc.

Si l’on représente par h, h', h", etc., des constantes quelconques, on pourra, si l’on veut, sans augmenter la généralité de la valeur de u y remplacer le coefficient A par \e~‘,m'he~be’l‘ é~cy'h , etc. Alors en faisant subir la transformation du n° 74 à chacune des exponentielles ' — **>, etc., et comprenant dans A les

diviseurs yV, il en résultera

U=-J'al j ’* . . . 1 2 Ae* [*+*• V «(<-*)] -W[* +’*■' V «1*. | etc . Or, si nous faisons

2Ac“efre>! etc. = <p(x, y, z, etc.),

<p sera une fonction arbitraire; par le changement des variables, on en conclura

= + — fi) y J' 4- i»V b (« — A') , Z -f 3»y/c(t— A'), etc.);

on aura donc finalement

*~J' J' •••pCr+24,W/fl(( — A), — A'), etc.) e * " "*u:d*d»'e te.,

pour l’intégrale complète sous forme finie de l’équation donnée. Elle ne contient, comme on voit qu’une seule fonction arbitraire; laquelle est relative à autant de variables indépendantes, moins une, qu’il s’en trouve dans l’équation donnée. Pour que cette fonction puisse se déterminer d’après la valeur de u qui répond à une valeur donnée de t , il faudra prendre toutes les constantes h , h', h", etc., égales entre elles et à cette valeur de t ; la fonction <p(x,y, s, etc.), sera la valeur correspondante de n, divisée par une certaine puissance de \ v.

Si l’on considère, du moins dans une première approximation, la chaleur spécifique c et la conductibilité A comme des quantités constantes, et qu’on fasse * = a*, l’équation (7) du u° 49 deviendra

du ./'<**“ I d'u . d'u\

dt — a (.5? df* 3F/

Son intégrale complète sous forme finie sera donc comprise dans la formule précédente. Pour que la fonction arbitraire qu’elle renferme s’exprime immédiatement au moyeu de la température initiale, on y supprimera les constantes A, A', A'; cette intégrale sera alors

a=a L rm r r

irp' rJ -•J —X.J — JO

,j,z) désignant la valeur de u qui répond à < = o.

(77). Prenons encore pour exemple l’équation

f ïam l/r , jr+xtuS 1, s-f-aao* ÿ t) e" ’* ’ dmdm dm'-,

dtdx

— au.

du second ordre comme l'équation (3), mais d’une forme différente, et dans laquelle a est toujours une constante donnée.

Je désigne, comme précédemment, par A une constante à laquelle je n’attribue aucune valeur particulière; je fais 6 — t — A dans la série (a) dont les coefiiciens seront alors des fonctions de en la

DE LA CHALEUR, substituant dans 1 équation (8), on aura

• s + 6 g (< A/- + >g(<- h?-' + etc.

= oP(<— Aj- 4- aQ {t — h)c + flR(< — A)> + etc.

Les exposans a, S, y, etc., formant par hjpothèse une suite croissante, il faut, pour que ces deux séries puissent être identiques, que * soit séro et que 6, y , J' , etc., soient la suite des nombres naturels i, a, 5, etc. Cela étant, il faut qu’on ait, en outre.

JR - rfS u .

a — = aQ, 5 — — aR, etc.

Le premier coefficient P restera une fonction arbitraire de arque je représenterai par fx. Tous les autres coefiiciens Q, R, S, etc., se déduiront de P par des intégrations successives, et il en résultera

u—fx+a(t—h) ffxdx+ f f/xdx3-^- etc.,

pour l'intégrale complète de l'équation (8) , en série ordonnée suivant les paissances de t — A.

Elle ne contient explicitement qu’une seule fonction arbitraire fx ;

mais la suite des intégrales jfxdx, j'j'fxdx* , J'j'jjxdx3, etc., ren-

ferme des constantes arbitraires en nombre infini, qui équivalent à une seconde fonction arbitraire.

En effet, désignons par k une constante quelconque, comme la constante A; par A, B, C, D, etc. , des constantes arbitraires, et par <px une fonction arbitraire ; faisons

fpxdx = <p,x, f<p,xdx = ç.x, f<pjccbc == ftx, etc. ;

et supposons que toutes ces intégrales <p,x, çtx, <p,x, etc., s’évanouissent pour x — k. Sans restreindre la généralité de la valeur précédente de u, nous pourrons faire

fx — A <p,x,

J' fxdx = B -f- A (x — k) + <pjc ,

i/f8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

ff/xdx' = C + B(x — k) + 4- M>

= D + C(x - k) + 4- *£=*>’ + ÇiX,

etc. ;

au moyen de quoi cette valeur de « pourra s’écrire ainsi :

“ = a [<+«(**) (t-h) + aY.7mrï^ -»-f.(ax7*)1(S