etc

de sorte que 4* soit une fonction arbitraire de t. Je fais aussi

f -\,tdt == 4,t,, — 4.< , = 4*t 1 etc. ;

et je suppose que ces intégrales successives 4i* » 4»*> 4a* > etc»» soient toutes nulles pour t=h. Il en résultera

- Ba(t — A)’ , Ca’(l -A)* , , ,

,.2~.t~' + Trir + elc- +** »

Ba(l — h)* .

..2.3.4 +Ct ’

etc. ;

et la valeur de u deviendra , en conséquence ,

u— A £ i +rt(jr — k\t — A)-f

+ etc.^J

+<p,x-\-a(t — h) \<p<x + —{—■ <P»* ■ •4-4/,<-f-rt(x — Æ)4,t h — - -4it-

y-<P4x + etc.

44t -+- etc.

Cette intégrale complète de l’équation (8) est semblable par rapport à t et x; ce qui devait être, puisque l’équation donnée contient semblablement ces deux variables indépendantes. Elle procède suivant les intégrales successives des fonctions arbitraires, tandis que l’intégrale complète de l’équation (3) procédait suivant leurs diflérentielles. Indépendamment des deux fonctions arbitraires <p.r et 4*, contenues sous les signes /, elle renferme la constante arbitraire A, qui représente, d’après cette équation (9), la valeur de u correspondante k t = h et x = k , et qu’il faut conserver, pour que les constantes h et k puissent être choisies à volonté. En supposant qu’on a u = <t>x quand t = h, et u = "Pt quand x — k, on aura, en vertu de cette même équation ,

A = <t>A = 'PA , <p,x = Qx — A, — A,

et, par conséquent.

d&x t (Hrt

ce qui fera connaître toutes les quantités arbitraires que renferme’ le second membre de l’équation (9).

On peut aussi exprimer en série d’exponentielles l’intégrale complète de l’équation (8) , pour laquelle on trouve, sans difficulté,