I.2.3.. . <.1.2.3. ..i 1.2.3.4...2JJ

et , par conséquent ,

S=-JX1- 77?™'*+ 7^T49in4g- T ~3~4~:5T6f,'n''rt etc) *

ou , ce qui est la même chose ,

j — - J cos (2 \/8 sin'ct)6Ùt.

D’après celte valeur de y et celle de u qui en resuite, l’intégrale complète sous forme finie de l’équation (8) sera

h== * k. ^cos [2 vt* — k) {h — t) sin* <t]dx

+irAfr cos [2 \^{pc — cii) ( h — t) sin**] detj f aidai

+î/i f/r cos [î V(* — “) (A — *•) sin* *] r/a J -^cudai.

Elle dépend, comme on voit, d’intégrales définies doubles, au lieu que celle de l’équation (3) ne dépendait que d’intégrales définies simples.

(79). Je prends pour dernier exemple l’équation linéaire et à coefficiens variables

du fd'u mu \ . v

5T = aW*-^-)' 0°)

dans laquelle a et m sont des constautes données, et que je choisis parce qu’elle se présente dans les problèmes relatifs à là distribution

,5a THÉORIE MATHÉMATIQUE

de la chaleur dans l'intérieur des corps, ainsi qu’on le yerra par la

suite.

Si l’on fait 0 = ea‘‘ dans la série (a), et qu’on la substitue ensnite dans les deux membres de cette équation (io), on trouve que tous les termes de cette série doivent satisfaire séparément à cette équation, que tous les exposaus et, 6, y, etc., restent arbitraires, et que le coefficient P du terme quelconque correspondant à l’exposant ce, est déterminé par l’équation

dx‘ **

Son intégrale complète renfermera deux constantes arbitraires; et quand on l’aura obtenue, celle de l’équation (10) sera

= 2Pc“

la somme s’étendant à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de ces deux constantes et de a

Quelle que soit la valeur de P, on peut la représenter par

P = Axf -+■ A.jc'' •+- A.af’ -f- etc. ;

en désignant par A, A,, A,, etc., p, p’, p", etc , des coefficiens et des exposans indépendans de x, et sans décider d'avance si p , p’, p", etc. , forment une suite croissante ou décroissante. En substituant cette valeur de u dans les deux membres de l’équation (io), il vient

+ A.[p"(p" — 0 — »»]*'*— -h etc.,

— *Ax? -4- uAjc? -H a.A,x? + etc.

Or, il est aisé de voir que ces deux séries ne peuvent être identiques, à moins que le premier terme de la première ne disparaisse , ce qui exige que l’on ait

et que les exposans p, p', p", etc., ne forment une suite croissante par

des différences constantes et égales à a; de sorte qu’on ait aussi

. p'=p+2, /j"=/>+4» pm = p + 6, etc.

Cela étant, le premier coefficient A restera indéterminé, et tous les autres se déduiront de celui-là , au moyen de cette suite d’équations

A,[(p + a) (p -4- i) — m] = Aa,

. . A,[(p -f- 4) (.P -+* 3) — ni] = A,*,

Aj[(f -H 6) (p + 5) — ni] — A.a, etc.

L'équation (la) donnera deux valeurs de p que je représenterai par p et q ; en -les employant successivement, on aura deux valeurs de P, dont chacuuc renfermera une constante arbitraire ; et eti faisant la somme de ces deux valeurs, on aura l'intégrale complète de l’équation (il), savoir :

P = a/ (A -f- A,x* -+- A .jt* -f A»r‘ -f- etc.)

■b r* (B -f- B,x* -f- B,x* — f- Bjr* -j" etc.).

On désigne ici par A et B les detfx constantes arbitraires; A, , A,,

Aj, etc., sont les quantités déterminées par les équations précé-

dentes-, et B,, B., Bj, etc. , ce que deviennent ces quantités lorsqu'on y met B et q à la place de A et p ; les premières auront A et les secondes B pour facteur commun.

Cette valeur de P, et par suite celle de u, s’expriment par des intégrales définies, de la manière suivante.

(8o). Je mets p(p — i) à la placé de m dans l’équation qui a lieu entre deux coefficiens consécutifs A, et A.,, c'est-à-dire, dans la «"■' équation de la série précédente ; il en résulte

En intégrant par partie, on a

/rcos“®sinv,®<foi = •— cos”,ii> sin^a-f- — — - f cos“~* o> sin,,+* oedot.

' a p ip J

Si p est une quantité positive, ou-bien si cette quantité est composée

i54 THÉORIE MATHÉMATIQUE

d’une partie réelle et d’une partie imaginaire et que sa partie réelle soit positive, le terme compris hors du signe f s’évanouira pour u = o et pour ca —ir ; on aura donc

/' cos“ a> sin*> 1 aida) = a‘~' / cos“-*« sin*'*" ctdo>;

a ap J o

d’où l’on tire

/r cos** a sinv^‘ ctd'd = — f cos’*-* o> sin**’~‘ ùtdet. o .an 4- ip — t J „

Par conséquent , A étant une constante arbitraire , on pourra prendre

i .2.3. . .an-

f cos“ù)sinu~’ wcUd,

-i.inj 0

pour l’intégrale complète de l’équation (i3) aux différences finies; car , en vertu des deux équations précédentes , on aura

anfan-f- a p — i) A. = = 5 7 cos*,*a» sin*'-1 udu>\

v ' r / • i.a.3...2n — 3. an — j J „

et en mettant n — i au lieu de n dans l’expression de A, , et multipliant par < », on aura aussi

*A., = 3 5 / cos**-*« sin^'air/oi ;

i.a.3. ..an— 3.2n — i J „ ’ .

ce qui rend identique l’équation (i3).

On conclut delà

A A, or' -f- AfX*.-.. -f- A,x“ -f- etc. =

A j o\l — COS* û> -f- COS^ (à) -f- etc. J sib*',-,aff<a.

Comme on a évidemment

y'J cos**“’ u sin*'~' mda> = o,

on peut, si l’on veut, changer cette deruière série eu celle-ci :

A f"( i x y/ a cos » + — cos*ûi -f- — — cos* »

+ - ^ ^ cos* « -J- etc. ) sin*'-' udco,

dont la valeur est

A rv sm'r-'uda.

Par le changement de A et p en B et q, cette valeur deviendra celle de la seconde série contenue dans l’expression de P. Nous aurons donc .

P = Ax* f' co. . sinV, Rr, J'y ÔH-Wa, (,4)

pour l’intégrale complète et sous forme finie de l’équation (11), dans le cas où les deux racines p et q de l’équation (12) sont positives, ou, plus généralement, de la forme p‘ =b q' V — 1, en désignant par p' et q' des quantités réelles dont la première est positive.

Dans le cas particulier où l’on a m s — J, les deux racines p et q sont égales ; on a p = 7 et <7 = 7; mais pour éviter que les deux termes de la formule (14) se réduisent à un seul, on désignera par J' une quantité infiniment petite, et l’on fera d'abord p = et q En développant suivant les puissances dé J', on aura

x* sin = x* [1 H- eT log (xsin*&>) etc.];

si donc on fait

A + B = A', BcT = B',

et qu’on supprime ensuite tous les termes multipliés par J1, on aura

P=A'x • /V^-Va.+B'x* /V'/7cm* log (xsin* »)</»,

pour l’intégrale complète de l’équation

i56 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Ea mettant, pour plus de commodité,»* à la place de at, la valeur de u correspondante à l’expression générale de P, sera

« = x*> 2Aefl’‘,'/V‘tM'sin*'-'a*/a>

+ x» 2Be" **’ 1 f *e“ eo* ' sin**- 1 ’mdm .

En faisant subir à l’exponentielle e""’' ‘ la même transformation que dans le n* 74 , cette valeur de u deviendra

u=z ~ x" ’ + W ^ e~*’ sin*'-1 »rf«V£»