L ^ BeG co‘" + ' '■ sin„

Or, en désignant par tpx et -v|.x des fonctions arbitraires de x , on peut supposer qu’on ait

-^•2Ae" = <px, 2Re*r = dx;

on aura en même temps

2Ae('c“* + ”*V0*a= <p(xcos® -f- aa»'

2Bc(x co*' + '/r)‘ = .4 (x cos « + W \/t) ;

par conséquent , l’intégrale complète et sous forme finie de l’équation (to), sera

u — oc* J J <p (x cos a -f- a aa>'\/ 1) e sin md'Jdv

+*cr. 4( x cos ai -t- laœ's/ 1) e sin1"7 mdu'dùt.

Dans le cas de p = <7= J , cette intégrale deviendra

u = x*/ f ® (x cos ai ■+• iau> (x cos ai -J- %aca

S/ï) e “ dm' dm

\yt) e log (x sin*») dm' dut ,

iSj

et sera celle de l’équation

du

dt

\dz‘

Ces intégrales complètes renferment deux fonctions arbitraires, p et dans la première, <I> et 'P dans la seconde; mais si on les développe suivant les puissances de \/t, on trouvera que tous les coefliciens des puissances impaires sont zéro, et que les deux fonctions arbitraires se réduisent à une seule et même fonction dans tous les cocfficiens des puissances paires. L’intégrale de l’équation (10), semblable sous ce rapport à celle de l'équation (3), ne doit effectivement contenir qu’une seule fonction arbitraire, lorsqu’on la développe suivant les puissances d« la variable t.

(81). La somme des deux racines p et q de l’équatiou (ia) étant égale à l’unité, -une racine au moins, ou sa partie réelle, est toujours positive. Si l’autre racine est négative, la partie correspondante de la formule (14) n’aura plus lieu, et l’intégrale complète de l'équation (1 1) prendra une forme différente et plus compliquée. Ce cas se présentera, comme on le verra par la suite, dans les usages que nous ferons de la valeur de P; mais nous aurons seulement besoin de connaître la partie de cette valeur qui répond à la racine positive de l’équation (12). En effet, q étant sa racine négative, le premier terme et quelques-uns des termes suivans auront pour facteur une puissance négative de x dans la seconde série que contient la valeur de P du n° 79; et comme cette série est ordonnée suivant les puis- , sances ascendantes de x , il s’ensuit que sa véritable valeur sera infinie pour or = o, a moins que ces termes no soient supprimés. Or, dans les problèmes où nous ferons usage de la valeur de P, il faudra qu’elle ne devienne pas infinie pour x = o; il faudra donc que le premier terme de cette seconde série disparaisse; ce qui exige que la coustanle arbitraire B soit égale à zéro, et ce qui fait disparaître, la

serte enliere.

.''la

Ainsi, dans ces problèmes, la valeur de P se féduira à la partie correspondante à la racine positive p de lequation (ia), et sera simplement

De plus, la constante a. contenue dans l’ëquation (i i) sera une quantité négative; en remplaçant donc a par — a*, cette équation deviendra

d’où il suit

et en mettant aussi — a* au lieu de a dans l’expression des coefficiens A,, A., A„ . . . A., etc. , on aura

P = XfXl — + 7X34 - etc-) sm mdm ’

ou , ce qui est la même chose ,

P = kxrJ'w. cos(a.rcdla))sin*r-,ai<iûi* («6)

Cette valeur de P résulte également de la première partie de la formule (i J), en y mettant — a* à la place de a, et observant qu’on a

«co.«t/— os(ax cos oij-f-sin (ajc cos ai) V/ — ij

P = A x? J" cos (ax cos ai) sin*'’-1 aidai + Av'=T *fl sin(axsina>)sin*'l— 1 aidai;

■ quantité qui se réduit à la formule (16), parce que cette dernière intégrale est nulle, comme étant composée d’élémens qui sont deux à deux égaux et de signes contraires.

La formule (16) est une intégrale particulière de lcquation (i5), assujettie à la condition spéciale de ne pas devenir infinie pourx = o, èt qui suffira pour résoudre les problèmes auxquels nous l’appliquerons par la suite. On vérifie aisément qu’elle satisfait à l’équation (i5). En effet, à cause de p (p — i) = m, on en déduit

— P P + P = hct'x’J' col (ax COs ai) sinv*' aidai — ip\a.xf~' I sin (ax COS ai) siu,,,— ' a cos aidai;

DE LA CHALEUR. : ‘15g

or, en intégrant par partie et observant que *par hypothèse l'exposant ap c st positif, on a

/sin («x cos a>) sin*'’-' a cos aida = — / cos (eue cos a) sin*'’"1' 1 ada ;

ce qui réduit à zéro le second membre 3e l’équation précédente.

(8a). Si i désigne un nombre entier et positif, et que l’on ait m = «'(»+ i), les deux racines de l’équation (la) seront p=/-f- i et ÿ = — i. La formule (16), relative à la racine positive, sera donc

P = Aa—/ cos (a. jc cos a) sin*,+l aida; ( i~ )

or , la valeur de cette dernière intégrale s’obtient sous forme finie ; en sorte que, dans ce cas, la quantité P s'exprime sous cette forme, sans le secours des intégrales définies.

En intégrant deux fois dç suite par partie, et observant que les termes compris hors du signe f s’évanouissent aux deux limites cd—o et a = 7r, tant que i surpasse l’unité on a effectivement,

/cos (eue cos ai ) sin’1*' aida — f cos (œxcos ai) sin*'~‘ ada

— r T cos (ttJf cos a,j sin*1-’ a cos *uda,

ou, ce qui est la même chose,

/T cos (ax cos u) sin,w-' ada — f* cos (otx cos ai) sin*1— Wai

/0 COS (ax cos *) aidai;

équation d’après laquelle on déterminera successivement les valeurs de l’intégrale doutüs’agit, qui répondent à i= a, =3, =4, etc., au moyen de celles qui ont lieu pour i = o et i = i . Quant à celles-ci, on a immédiatement

J" cos(«xcos ai) sin aida ~ ^ sin ax ;

et par le procédé de l'intégration par partie, on trouve

f * coslaxcos aÿsin'adto — ^ (sin ax — ax cos ax).

Fdur j 2 , on aura ensuite

f’ c°8 (<w cos ci) sin4 wd(j)= 4p( âsiti ax — 3our cos ax — <x*x* sin*.r);

et de même pour i = 3,.= 4» e^c> Ues expressions se présentent sous la forme f quand x = o ; par la règle ordinaire, leurs véritables valeurs sont •

1^ sin ada>=2 , J'* sin* aidai = |, sin5 ndu — , etc.

Mais de cette manière on parviendrait difficilement à l’expression de la formule (17) relative à un nombre quelconque i. Pour l’obtenir je fais . ,

P=e"P'-’(Cx-‘+C1x‘*,+C,x<+*+. . •+Cirr,+,,+C,<.1x w"*'*"+etc.);

C, C, , C,, etc., étant des coefliciens iudépendans de x, je substitue cette valeur de P dans le premier membre de l'équation

dx *

af*

et après avoir supprimé le facteur e" V—<t commun à tous les termes, j'égale séparément à zéro le coefficient de chaque puissance de x. Il en résulte, entre les deux coefBeiens consécutifs C, et C,+I , l’équation

(n -4- 1) (ai — n) C.+i -f- att \/ — 1 (* — n) C, = o;

d’où l'on conclut que le coefficient C restera indéterminé, et que l’on aura, pour un autre coefficient quelconque,

" 1 .a. 3. . . .n. 21(21 — i)(at — 2). . .(ai — ,14 1) ’

ce qui montre que pour n= /■+• 1 et au-delà, tous les coefliciens

DE LA CHALEUR. i6t

0+,, etc., seront zéro; en sorte que la valeur précédente de P sera composée d’un nombre de termes fini et égal à i-f- i.

En prenant successivement \/ — i avec le signe + et avec tfe signe — , on aura deux valeurs différentes de P, contenant chacune une constante arbitraire. Leur somme satisfera encore à l’équation (i 8), et en sera l’intégrale complète, savoir :

^ i. a. 3. ai. ai— i. ai — a X ^ 61 J

+ e-»/- Cfx-' + X--- 4-

+ etc,

C et C' étant les deux constantes arbitraires. Ainsi, non-seulement la formule (17), qui n’est qu’une intégrale particulière de ) équation (18), mais aussi son intégrale complète, s’exprime sous .forme finie, sans le secours des intégrales définies.

En faisant disparaître les imaginaires, remplaçant C et C' par deux autres constantes arbitraires D et D', et posant, pour abréger,

t aVi (1 — i)i* — 1) (1 — a) (i — 3; j* çtc