ai. ai

2 a ix a Vi(t — 1 — a)x! a Vi(t — 1 ) (i — 2) (1 — 3, (i — 4)x^ ^

on aura, pour cette même intégrale complète,

P = Dx~' (X sin ax — X' cos ox)

+ D'x~'(X cos «x + X' sin eue).

Pour en déduire la formule (17), il y faudra supprimer la partie qui devient infinie pour x = o. Or, quand la variable x est infiniment petite, cette dernière valeur de P se réduit à D'x-1, en négligeant toutes les quantités infinies d’un ordre inférieur à x~'; pour que P ne soit pas une quantité infinie quand x = o, il faut donc qu’on aif D' = 0; par conséquent, la formule (17) doit cornai

1 6a THÉORIE MATHÉMATIQUE

cider avec la première partie de cette dernière formule; et si l’on

fait D = AE, et qu'on divise par arw"‘, il fautlra qu’on ait

J o cos(«jrcos®)sin*l+,ûi(/» = Er-*'-,(Xsin«x — X' cos ax), (19)

en déterminant convenablement la constante E.

Dans le cas de x = o, le second membre de cette équation se présente sous la forme f ; par la règle ordinaire , on a

1 01 du-.

en désignant par F la valeur de

rf,‘+,(X sin a.x — X' cos ax) dx“+‘

qui répond à x z= o. En intégrant par partie, on a

j' sin*''*"1 codai — zij'* sin**-1 ai cos* codai; d’où l’on tire

f’’ sin*1*’ coda = f" sin ‘‘-‘coda,

et , par conséquent ,

fW sin*i+l codai = • 3 ' 1,1,3 f* sin codai; J o 1. 3. 5.. .ii + i J o ’

de là on conclut

(i.2.3....i)* = EF ;

ce qui fera connaître la valeur de E d’après celle de F.

(85). Les problèmes relatifs aux petites vibrations des corps élastiques et des fluides, conduisent à des équations aux différences partielles linéaires, en même nombre que les inconnues qu'il s’agit de déterminer. Il en est de même à l'égard des équations relatives à la distribution de la chaleur dans l’intérieur des corps, lorsqu'on néglige, dans une première approximation, ,1e carré de 11 température.

DE LA CHALEUR. ' iG5

Chaque inconnue est une fonction du temps t et des trois coordonnées x, y, z, du point M, auquel elle répond dans le système que l’on considère ; et les équations de ces problèmes sont , en général , à quatre variables indépendantes. Si l’on excepte le terme indépendant des inconnues dans ces équations, c’est-à-dire, celui qu'on appelle le dernier terme dans les équations linéaires , et ■qu’on peut toujours faire disparaître, les coefficiens des autres termes ne renferment que les coordonnées x, y, z, et sont indépendans du temps /. Mais il y a entre les équations relatives aux petites vibrations et celles qui répondent à la distribution dè la chaleur, une différence essentielle : les premières sont du second ordre par rapport au temps, et les dernières seulement du premier ordre. Il en résulte que les intégrales des premières équations doivent renfermer deux sortes de quantités relatives à l’état initial du système, savoir, les distances primitives de ses différens points à leurs positions d’équilibre, et leurs vitesses primitives; tandis que les intégrales complètes des équations relatives à la distribution de la chaleur ne doivent renfermer qu’une seule espèce de quantités arbitraires, qui sont les températures initiales des points du corps. En général, cette différence .de forme entre ces deux sortes d’équations, en produit une très grande entre les lois de la communication de la chaleur et celles des petites vibrations; et, pour cette raison , il parait au moins très difficile que les phénomènes qui peuvent résulter d’qn rayonnement moléculaire soient également explicables en les attribuant aux oscillations d'un fluide stagnant. Néanmoins, les remarques suivantes sont commnnes aux problèmes de Mécanique et à ceux de Physique, qui dépendent des équations aux différences partielles.

(84). Appelons u une inconnue qui doit être déterminée en fonction de t, x, y, z, par l’équation donnée L=o, aux différences partielles, linéaire, délivrée de son dernier terme, qui ne contient pas le temps t explicitement, et que nous supposerons, pour fixer les idées , du premier ordre par rapport à cette variable. En faisant 8 = e~‘ dans la série (2), et y mettant des constantes >*, ju.' , ►*, etc., à la place de <*, G, y, etc., on aura

« s= Pc~*‘' -f- Qe~ -|- Re-*'’' -f- etc. (20)

Si I’oq substitue dans L cette sc'rie au lieu de u , il en résultera

L = (NÀ*+0>-x,'-f- (N>* + (N"»* + 0")<T + etc. ;

N et O étant des quantités qui ne contiendront que l’inconnue P, d’où se déduiront N' et 0' en y mettant Q au lieu de P, puis N" et 0" par la substitution de R à -la place de Q, et ainsi de suite. Toutes les quantités contenues dans les cocfficiens de cette série étant indépendantes de t , elle ne pourra être égale à zéro à moins que tous ces coefficiens ne soient séparément nuis ; par conséquent , l’équation donnée L = o se décomposera en cette série d'équation»

Na* 0 = o, NV + 6' = o, NV + 0'' = o, etc. (at)

Les exposans A*, p.‘, »*, etc., resteront donc des constantes arbitraires; les coefficiens P, Q, R, etc., se détermineront indépendamment tes uns des autres, au moyen de ces 'équations (ai ), qui sont toutes semblables ; et tous les termes de la série (ao) , c’est-à-dire , de l’intégrale complète de l'équation L = o, en série ordonnée suivant les puissances de e~‘, seront des intégrales particulières de cette même équation.

. Les équations (ai) seront linéaires, comme L = o, par rapport à l’inconnue que chacune d’elles renfermera. Elles seront simplement des équations différentielles , si L ne contient qu’une seule des trois variables x, y, s; et alors la série (ao) ne renfermera que des constantes arbitraires, savoir, A, u , r, etc., et les constantes qui seront introduites par l’intégration des équations (ai). Quand elles seront aux différences partielles, on pourra souvent les traiter comme l’équation L = o , et exprimer leurs intégrales complètes en séries d’intégrales particulières.

Ce dernier cas aura lieu, par exemple, quand L = o sera une équation à cocfficiens constans. Si cette équation est de l'ordre quelconque n par rapport à /, et contient un nombre quelconque d’autres variables indépendantes x , y , z, etc. , on verra, comme dans le n* 76 , que son intégrale complète pourra être représentée par

u = 2 Ae*' +“+* + «'• 4. ZA'e*'' + " + + etc. ;

A, A', etc., a, S, etc., désignant des constantes arbitraires;

DE LA CHALEUR. i65

w, <w' , etc., les n racines d’une équation algébrique dans laquelle entreront les constantes a, G, etc. ; et les sommes 2 s'étendant à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de A, A', etc., a, G, etc. En regardant A, A', etc., comme des fonctions arbitraires de a, G , etc., et faisant croître a, G , etc. , par des degrés insensibles, on peut, si l’on veut, remplacer ces sommes par des intégrales dont les limites resteront indéterminées, et écrire, en conséquence ,

u =//.. ./(* , G , etc.) e®' + “ +* + CK dctdG etc.

+//.../'(«, G, etc .)em', + “x + Cy + wdxdG etc.

-f etc. ;

mais cette autre expression de u ne diffère pas réellement de la précédente. En effet, les fonctions y, f, etc., étant arbitraires, et pouvant être discontinues , on peut partager les intégrales relatives h a , G , etc., en des portions de grandeur finie, dont l’étendue soit cependant aussi resserrée qu’on voudra, de sorte que pour chaque portion d’intégrale, l’exponentielle comprise sous le signe f ne varie pas sensiblement; ce qui fera coïncider ces diverses portions de la dernière valeur de u avec les termes des sommes 2 contenues dans la précédente.

(85). Indépendamment des équations aux différences partielles qui conviennent à tous les points du système, il y a toujours, dans les divers problèmes de Physique et de Mécanique , d’autres équations qui n’ont lieu que pour les points extrêmes; par exemple, dans les questions relatives à la distribution de la chaleur, lcquation (a) du n* 67 , relative à la surface du corps que l’on considère. Ces équations particulières serviront, dans chaque cas, à déterminer les valeurs d’une partie des quantités arbitraires que renfermera la série (20) ; les valeurs dHine autre partie se détermineront quelquefois par la condition que l’inconnue u ne devienne iufinie en aucun point du système , ainsi qu’on l’a vu précédemment (n° 8i). Après ces diverses déterminations, les quantités arbitraires qui resteront encore dans l’expression de u, dépendront de l’état initial du système. Pour en obtenir les valeurs, j’ai suivi, dans un grand nombre de problèmes, de

natures très differentes, un procédé uniforme que je crois applicable à tous les cas, soit que la question ne présente qu’une seule inconnue, et ne conduise qu’à une seule équation L = 0, soit qu’on ait à déterminer plusieurs inconnues dépendantes d’un pareil nombre d'équations aux différences partielles, linéaires et simultanées. Je donnerai tout à l’heure une application de cette méthode générale à l’équation (7) du n* 49, combinée avec l’équation (a) du n* 67.

Cette même méthode a aussi l’avantage de servir, en même temps, à démontrer que dans les questions relatives à la distribution de la chaleur, les constantes A*, ft‘, etc. , contenues dans la série (at) , sont toutes réelles et positives. Une d’elles, la première par exemple , peut être égale à zéro; et si cela est, la température « s’approche indéfiniment d'une valeur invariable u — P. Chacun des termes de cette série, excepté le premier, décroît en progression géométrique; le temps croissant par des intervalles égaux. Si n est la plus petite des constantes fi , > , etc. , le second terme décroît moins rapidement que tous les autres ; en sorte qu’après un certain intervalle de temps, ceux-ci ont sensiblement disparu et la valeur de u est réduite à

u = P + Qe-"".

Il s’ensuit donc que quand un corps doit parvenir à un état permanent dans lequel les températures de tous ses points sont invariables, il y a un autre état qui précède celui-là , où ces températures varient suivant une progression géométrique, dont la raison esY la même dans toute l'étendue de ce corps ; le temps croissant toujours par des intervalles égaux. Telle est, en effet, la loi finale de la variation de température des corps qui s’échauffent ou se refroidissent, que l’on observe généralement.

Au contraire, dans les questions relatives aux petites oscillations, les exponentielles de la série (20) se changent en sinus et cosinus d’arcs proportionnels au temps, et la méthode générale que nous venons de citer sert encore à prouver que les coefficiens de cette variable sous les signes trigonométriques, sont aussi des quantités réelles. CeS démonstrations générales de la réalité des coefficiens du temps, soit dans les exponentielles, soit sous les sinus et cosinus, sont d’au-

tant plus importantes que ces coeflicicns dépendent d’équations transcendantes, quelquefois très compliquées, et dont la forme , relative à chaque problème, ne permettrait pas toujours qu’on pût déterminer autrement la nature de leurs racines.

Après avoir déterminé toutes les quantités arbitraires que renferme la série (ao), elle représentera, s'il s’agit d’un .problème relatif à la distribution de la chaleur, la température à un instant quelconque et en un point quelconque du corps que l’on aura considéré. Chaque terme de celte série exprimera une valeur de la température à un instant quelconque qui répondrait à un état particulier du corps à l’cpoque d’où l’on compte le temps t. La somme de tous ses termes représentera cette même température correspondante à un état initial du corps donné arbitrairement ; en sorte que la valeur de l’inconnue , dans le cas général , se trouvera décomposée en une somme de valeurs relatives à des cas particuliers; ce qui a lieu dans toutes les questions dépendantes d’un système d'équations linéaires, et tient à la forme de ces équations.

(86). Dans le problème de la distribution de la chaleur dans un corps de ligure donnée , si l’on compte le temps t à partir de l’état initial du corps, et que l’on représente, dans cet état, par F(r , y, ;) la température d’un point quelconque, il faudra que la série (ao) coïncide avec cette fonction quand r = 9 ; il faudra donc qu’ou ait

7» *) = p + Q + 11 + S + etc. ; (aa)

équation qui ne sera pas identique, et qui aura lieu seulement pour toulcs les valeurs de x ,y , 2, relatives à des points du corps.

La fonction F ( x , y , z), tout-à-fait arbitraire, et qui peut être continue ou discontinue, se trouve donc ainsi développée en une série de quantités qui sont toutes de la même forme; et comme cette forme dépendra de la ligure du corps et des conditions relatives à sa surface , il en résultera une infinité de développemens différens d’une même fonction, propres à en exprimer les valeurs dans une étendue déterminée par celle de chaque corps. Parmi ces développemens, il y en aura qui procéderont suivant les sinus ou cosinus des multiples des variables, d’autres suivant les sinus ou cosinus de ces variables multipliées par les racines d’une équation transcen-

iü8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

dante , d’autres suivant des fonctions transcendantes d'un ordre plus élevé, qui ne pourront même s’exprimer, sous forme finie, que par des intégrales définies. Chaque développement devra être considéré comme une formule d’interpolation , applicable à une étendue limitée des valeurs de la fonction donnée F(.r, y , 2); et quoiqu’on ne puisse pas toujours démontrer directement ces diverses formules, il ne pourra cependant rester aucun doute sur leur exactitude. En effet, la formule (ao) représente certainement, d’après les considérations précédentes, la valeur la plus générale de u qui puisse satisfaire à l’équation L = o; par hypothèse, on a déterminé les quantités arbitraires que cette série renferme, au moyeu des autres conditions du problème qui a conduit à l'équation L = o , et d’après l’état initial du système : si ces conditions ne sont point incompatibles, et que le problème soit susceptible d'une solution, il faut donc qu’après cette détermination la série (ao) exprime la valeur de u à un instant quelconque et en un point quelconque du système ; par conséquent, en faisant < = o dans cette série, elle devra représenter les valeurs initiales de u dans l'étendue où elles auront concouru à la former; ou, autrement dit, l’équation (aa) devra être regardée comme une conséquence rigoureuse de la solution complète du problème. On verra par la suite que cette équation se vérifie, effectivement, toutes les fois que l’on peut obtenir, à priori , la valeur de la série qui forme sou second membre.

(87). La manière de résoudre, par des séries d’exponentielles réelles ou imaginaires , les questions qui dépendent des équations aux différences partielles, a d’abord été employée par D. Beniouilli, dans la solution du problème des cordes vibrantes , à laquelle il a été conduit par son principe de la coexistence des petites oscillations, dont ce mode de solution était , en effet, la conséquence. Cette même méthode a ensuite été employée par D. Beniouilli et par Euler pour déterminer les vibrations transversales des verges élastiques. Mais si les solutions de ces deux problèmes étaient suffisantes pour faire connaître et comparer entre eux les différons sons que les verges et les cordes peuvent faire entendre, elles étaient incomplètes sous le rapport de l’analyse; il y manquait la détermination des coefficiens des séries d’après letat initial de la ligue vibrante ; ce qui pouvait aussi laisser quelque

doute sur la généralité du résultat. Lagrange , en considérant sous le même point de vue la question des cordes vibrantes, a montré le premier comment on peut exprimer ces coefficiens par des intégrales définies, quel que soit l’état initial de la corde que l'on suppose donné arbitrairement , et comment cette solution du problème coïncide alors avec celle que l’on déduit de l’intégrale ordinaire, c’està-dire, de l’intégrale complète que D’Alembert avait précédemment donnée, et dans laquelle l’inconnue est exprimée, sous forme finie, au moyen de deux fonctions arbitraires. Le mouvement longitudinal d’une ligne d’air et le mouvement transversal d’une corde tendue, dépendant l’un et l’autre d’une même* équation aux différences partielles , l’analyse de Lagrange s'appliquait également à ces deux questions ; et c'est de cette manière qu’il a déterminé les différens sons des instrumens à vent , quel que soit l’ébranlement primitif de la colonne d’air, ainsi que les lois de la propagation et de la réflexion du son sur une ligne donnée (*); ce qui l’a conduit à trouver que la vitesse du son ne dépend ni de l'ébranlement primitif, ni du mode de vibrations des molécules d’air qui résulte de cet ébranlement, de sorte qu’elle est effectivement égale à celle que Newton avait déduite , long-temps auparavant, d’une hypothèse particulière sur les lois de ces vibrations. Dix ans avant que les premières recherches de Lagrange sur la théorie du son aient été publiées, Euler s’était aussi océupé de la propagation du mouvement dans une série de points matériels rangés en ligne droite (**). Son analyse présente une grande analogie avec celle de Lagrange; mais il s’est borné à considérer un nombre fini de points matériels; et, faute d'avoir appliqué ses formules au cas où ce nombre indéterminé devient infini , ce qu’il regardait comme une très grande difficulté, il n’a pas déterminé, comme Lagrange, la valeur numérique de la vitesse du son, et a seulement fait voir qu’elle devait être constante et proportionnelle à la racine carrée du rapport de l’élasticité à la densité.

• Cette méthode, dont le caractère spécial est d’exprimer la valeur

{*) Mémoires de Turin, années 1759 et 1760.

(**) Mémoires de Pélersl/ourg, année 1750.

1 7o THÉORIE MATHÉMATIQUE

générale de l’inconnue par une somme de ses valeurs particulières, a aussi été employée par Laplace dans la théorie du flux et du reflux ; et, comme on l’a dit dans le préambule de cet ouvrage, c’est la même analyse dont il avait fait usage anciennement dans cette théorie , qu’il a appliquée depuis au problème de la distribution de la chaleur dans une sphère primitivement échauffée d’une manière quelconque. Fourier s’est servi de la même méthode pour déterminer la distribution de la chaleur dans une armille, dans une sphère dont tous les points, également éloignés du centre, ont la même température, dans un cylindre à base circulaire, iudéliniment prolongé et dont tous les points, situés à la même distance de l’axe, ont une égale température, dans un prisme rectangulaire parvenu à un état permanent, et enfin dans un cube dont les six faces rayonnent également.

On est conduit naturellement à la méthode dont il s’agit, en considérant d’abord, dans chaque problème, un système composé d’un nombre fini et indéterminé de points matériels, et supposant ensuite que ce nombre devient inCni. Dans le cas d’un nombre fini, la solution du problème dépend d’un pareil nombre d’équations différentielles simultanées ; l’inconnue relative à un point quelconque s'exprime alors par un nombre de valeurs particulières dépendant du nombre et de l’ordre de ces équations. On détermine toutes les constantes arbitraires que ces valeurs renferment, d’après l’état initial de tous les points du système; et il ne reste plus qu’à supposer infini le nombre de ces points. L’expression générale de l’inconnue se modifie dans le passage du fini indéterminé à l’infini; mais il ne peut s’élever aucun doute sur l'exactitude et la généralité du résultat définitif auquel on parvient par ce procédé : on en trouve l’exposition complète et des applications diverses dans le chapitre de la Mécanique analytique , relatif aux petites oscillations d’un système de corps.

Mais si ce procédé a pu jeter un grand jour, à l’origine du calcul aux différences partielles, sur les solutions des problèmes qui dépendent de ce calcul, on ne peut pas nier qu'il ne donne lieu à de très longs calculs, et qu’il n’exige, le plus souvent, que l’on résolve un problème pins compliqué que celui qui est

proposé; car il est, en général, plus long et plus pénible de résoudre complètement une question relative à un nombre indéterminé de poiuls matériels, que la même question dans laquelle on suppose immédiatement ce nombre infini. Dans l’état actuel de la science, ce sera donc l'équation aux différences partielles à laquelle on est conduit par un problème de Physique ou de Mécanique, que l’on devra considérer directement. Pour intégrer celte équation, et satisfaire aux autres conditions de chaque problème relatif à la distribution de la chaleur, je suivrai, dans cet ouvrage, la méthode dont je viens d’exposer les principes, et que j'ai appliquée à diverses questions de Mécanique, qu’il eût été au moins très difficile de résoudre sans y recourir. Je me suis aussi servi de cette méthode avec avantage dans une question relative à la surface dout l’aire est un minimum, c’est-à-dire dans un problème de Géométrie dépendant d une équation aux différences partielles; et je l'ai également employée dans une autre question dépendante d’une équation aux différences mêlées; ce qui m’a conduit à la démonstration que je crois la plus directe, du théorème de Jean Bcrnouilli sur les développées successives des courbes planes (*).

(88). J’ajouterai encore quelques mots sur la méthode d’intégration dont nous parlons. Pour qu’on puisse l’employer avec confiance, il suffit d’avoir prouvé préalablement, comme nous l’avons fait, que l’inconnue u du problème, qui est la température dans chaque question relative à la distribution de la chaleur, peut être exprimée, quelle qu’elle soit, par la série (ao); l’équation (aa) est alors une conséquence nécessaire de la solution complète du problème. Mais, réciproquement, si l’on a démontré à priori que la série (23) peut représenter dans toute l’étendue du corps que l'on considère, la fonction F (x, y, z) donnée arbitrairement. In série (ao) satisfera alors à l’état initial de ce corps et à toutes les conditions du problème; patconséquent, si l'on admet qu’il ne soit susceptible, par sa nature, que d’une seule solution , elle sera donnée dans toute sa généralité par la série (ao). Ainsi, les solutions de Fourier, que je viens de citer,

(*) Journal de l'iïcolc Polytechnique , 18' collier, page 43 t.

17a THÉORIE MATHÉMATIQUE

peuvent être regarde'cs comme complètes dans les cas où il a été démontré que la valeur de l’inconnue qui répond à t=o peut représenter une fonction quelconque; mais elles ne sont pas entièrement satisfaisantes, lorsque cette démonstration n’a pas eu lieu; et, par exemple, si on lit attentivement la solution relative à la sphère, on verra sans peine que rien ne prouve, dans cette solution, que la série d’une forme particulière qui exprime la valeur de l’inconnue correspondante à < = o, puisse exprimer une fonction arbitraire delà distance au centre.

Non -seulement l’intégration en série de valeurs particulières de l’inconnue est indispensable lorsque l’équation du problème n’est point intégrable sous forme finie, mais même dans le petit nombre de cas où cette forme est possible , et où les quantités contenues sous les fonctions arbitraires ne sont pas réelles pour toutes les valeurs des variables. Si, par exemple, l’équation d’un problème est

W + dF‘ ~ °»

son intégrale complète sera

y et F désignant deux fonctions arbitraires, dont on déterminera les valeurs d’après celles de u et — qui répondent à t = o. Les fonctions fx et Fx seront alors des quantités réelles pour toutes les valeurs de x qui répondent à des points du système. Si elles sont continues et qu’on en ait l’expression analytique, les imaginaires disparaîtront de la formule précédente; mais si elles sont discontinues, ce qui a lieu dans la plupart des problèmes, on n’en pourra pas conclure les valeurs de f {x -f- t\f — i) et F (x +t — i), et la solution précédente deviendra illusoire. Au contraire, l’intégrale en série d’exponentielles, savoir,

« = 2 (A cos ax 4- B si n ttx) e‘‘‘,

dans laquelle la somme 2 s’étend à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, des constantes a, À, B; cette intégrale, disons-nous,

DE LA CHALEUR. i73

est toujours applicable , sans que les valeurs de u et ~ qui répondent à l = o, soient assujetties à la loi de continuité.

Une fonction discontinue est, comme on sait, une fonction dont la forme ou l’expression analytique change dans l’étendue des valeurs de la variable, de sorte que si l’on prend cette variable et celte fonction pour l'abscisse et l’ordonnée courantes d’une courbe, cette ligue brisée sera un assemblage de portions de droites qui ne sont pas dans une même direction, ou de portions de courbes de natures différentes. Dans la suite de cet ouvrage, les fonctions arbitraires que nous considérerons, pourront être des fonctions discontinues; mais aux points où elles changeront de forme, il faudra toujours quelles n’aient qu’une seule valeur : la ligne brisée qui représente une telle fonction aura une seule ordonnée en chacun des points de jonction de deux parties contiguës; elle pourra avoir deux tangentes différentes et deux rayons de courbure différeus, appartenant à ces deux parties.

(89). Appliquons maintenant, comme nous l’avons dit plus haut, les considérations générales qu’on vient d’exposer, aux équations (y) et (a) des n“ 49 e* 67 » c’est-à-dire à l’équation

itu

C dt — dx

dz ’

commune à tous les points du corps A que l’on considère, et à l’équation

k cos œ + ^ cos £ 4- ~ cos y) + pu = o, (34)

qui n’appartient qu’aux points de sa surface. On suppose nulle la température extérieure Ç; on verra par la suite comment on la ferait disparaître de l’équation relative à la surface, si elle nctait pas zéro. Pour que ces équations soient toutes deux linéaires par rapport à la température u, nous regarderons comme indépendantes de cette inconnue, la chaleur spécifique c, la conductibilité k et le coefficient p ; en sorte que c, k , p, seront des quantités constantes, ou plus généralement, des fonctions données de x, y, s.

i74 théorie mathématique

En substituant la sérié (20) à la place de 11 dans ces deux équations ,' on voit que le coefficient P d'un terme quelconque devra satisfaire à l’équation

dP r 5

d.kf

àj

pour toutes les valeurs de x , y , z, et à l'équation

. (dP , dV V* m‘dP \ , n , r\

k\diCOSa + ^COsf + -dzC0SV+PV — °* (aG)

pour toutes les valeurs de ces coordonnées qui répondent aux points de la surface de A.

Cela posé, je multiplie les deux membres de l'équation (a3) par P dxdydz , puis je les intègre , et j'étends les intégrales à tous les points de A ; il en résulte

en faisant, pour abréger,

dxdydz -f*

fff

-jf- dxdydz

P —jT dxdydz,

fff P cudxdydz — v,

et observant que les quantités P et c étant indépendantes de t, on a

fff Vcd-£ dxdydz = Tr

Pour fixer les idées, je suppose l’axe des x vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur , et le corps A situé au-dessous du plan horizontal des y et s. Je conçois un cylindre vertical tangent à la surface de A; la ligne de contact divisera cette surface en deux parties, l’une inférieure que j’appellerai S,, l’autre supérieure que je désignerai par S'. En intégrant deux fois de suite par rapport à x, on aura alors

DE LA CHALEUR. i75

f? '4^=(p*s - oa -/*î =*•

/* . . £P “-inr^

les quantités comprises entre des parenthèses appartenant aux points de S,, et celles qui sont renfermées entre des crochets, aux points de S'. De plus, on aura, comme dans le n° 61,

djdz = rt cos *ds ;

ds étant l’élément différentiel de la surface de A, et en prenant le signe + pour tous les points de Sy et le signe — pour tous ceux de S'. Comme dans ce même numéro, chaque couple d'intégrales doubles relatiresà S' età S, se réduira à une seule intégrale qui devra s’étendre à tous les élémcns dt de la surface de A; et de cette manière on aura

, , dV d.k ydx

P — dxdydz — /PA:^ cos ads — J'uk ^ cos ttds

On trouvera de même

dff-4

dxdydz.

J — dxdydz = JPk^J cos Gds — J'uk -J cos Sds J*JjV —dT tbcdfdz = f?kTz cos >ds ~~f lk ,7F cos 7ds

dxdydz ;

... , dv

et la quantité ^ devant être égale à la somme des premiers membres

de ces trois équations, il en résultera

Or, en vertu des équations (24) , (a5), (26), cette dernière valeur de ^ se réduit à

~ = — fVpuds 4- f upVds — fffK'Ycudxdydz;

et puisque les deux intégrales relatives à ds s’étendent l’une et l’autre à la surface entière de A, et que A* est une quantité constante, cette dernière équation sera simplement

En intégrant , on aura donc

v = Ce“ *’* ; ,

C étant la constante arbitraire. Pour la déterminer, je suppose, comme plus haut, qu’on ait

quand t — o ; d'où l’on conclut

C = fffFcF (x, y, z) dxdydz.

En remettant pour v l’intégrale triple que cette lettre représente, on aura donc, à un instant quelcouque,

fff Fciulxdydz = e~y'‘ fff?cT (x,y, z) dxdydz. (28)

Nous verrons tout à l’heure l’usage que l’on peut faire de celle équation remarquable. Observons auparavant que si nous faisons

DE LA CHALEUR. i77

F = 1 dans l'équation (37), qui a lieu pour une quantité P quelconque que l’on n’a point encore assujettie aux équations (a5) et (26), nous aurons

Tt fJTcudxdydz = / *(sjcosa + ~ cos € + ^ cos y ) *.

Or, en ne supposant pas zéro la température extérieure Ç, on a, à cause de 1 équation relative à la surface (n° 67),

A(ÊC0S* + J005 e+ !Êrcos >) = — p(u—Oi

si donc on différence par rapport à t, dans le premier membre de l’équation précédente, avant d’intégrer par rapport à x, y, z, ce qui est permis, et que l’on multiplie par dt, il en résultera

fff dtdxdydz = f p(Ç — u)dtds;

équation évidente, puisque son premier membre est la somme des augmentations de chaleur de tous les points de A pendant l’instant dt, et que le second exprime la somme des quantités de chaleur qui viennent du dehors et traversent tous les élémens de sa surface pendant cet instant, moins la somme des quantités de chaleur émises au dehors à travers tous ces élémens et pendant ce même instant. Cette équation est celle qu’il a suffi d’employer dans le chapitre III, pour déterminer les lois du refroidissement des corps qui ont la même température dans toute leur étendue. Il était bon de montrer comment elle se déduit des équations générales du mouvement de la chaleur.

(90). Actuellement substituons, dans le premier membre de l’équation (28), la série (20) à la place de u. 11 en résultera une série ordonnée par rapport aux exponentielles relatives à t; et pour que cette série soit identique avec le second membre de cette équation, il faudra quelle se réduise au terme correspondant à l’exponentielle e~ K‘‘. Les coefficiens de tous les autres termes devront donc être égaux à zéro, et celui de cette exponentielle devra être égal au coefficient de e~ K'1 dans ce second membre: par conséquent, si A,* est une cons-

i78 théorie mathématique

tante différente de X*, et que P, soit le coefficient de e'**'** dans la série (ao), il faudra qu’on ait généralement

JffT? ,cdxdydz = o; (a9)

mais dans le cas de A,* ss X*, on aura, en particulier,

ffff'cdxdydz = fff PcF (x , y, z) dxtfydz ; (3o)

les intégrales s’étendant toujours au volume entrer du corps A.

Cette équation (3o) est celle dont on fera usage dans chaque cas, pour déterminer, d’après l’état initial de A , les constantes arbitraires qui resteront encore dans les coefficiens de la série (ao) , après qu’elle aura été astreinte à satisfaire à toutes les autres conditions du problème. L’équation (39) va servir à démontrer que les constantes X, fi, v , etc., contenues dans les exponentielles suivant lesquelles cette même série (ao) est ordonnée, sont toujours des quantités réelles.

En effet, dans chaque problème, ces constantes seront les racines d’une équation transcendante que je désignerai par a=o, et dans laquelle a ne renfermera explicitement aucune quantité imaginaire. Supposons qu’une des racines de cette équation puisse être imaginaire; prenons-la pour la constante X, et soit

g et g' étant des quantités réelles. Cette équation A=o admettra une seconde racine imaginaire qui ne différera de la première que par le signe de V* — i ; je la prends pour A, , de sorte qu’on ait

Les coefficiens P et P; qui répondent à ces deux racines, se déduiront aussi l’un de l’autre par le changement du signe de \/ — « » en sorte que si l’on fait

p = g + gV^t,

on aura, en même temps,

P, = G — GV-Tl

G et G' étant des quantités réelles. En substituant ces valeurs de P et P/ dans l’équation (29), il en résultera

fff ( G* + G'*) cdxdjrdz sa o.

Or, la chaleur spécifique c, et par suite tous les élémens de cette intégrale étadtdes quantités positives, leur somme ne peut être nulle, à moins que chaque élément ne soit zéro isolément ; on aura donc

équatiou qui se partage nécessairement en deux autres, savoir:

Par conséquent, l’équation A b= o n’a pas de racines imaginaires , ou, ce qui revient au même, si elle en a, elles n’entreront pas dans la série (20), et les constantes A, fi, y, etc.,, contenues dans cette série, seront toutes réelles; ce qu’il s’agissait de démontrer Dans quelques cas, la réalité des racines de l’équation A=bo peut se déduire de sa forme particulière; mais le plus souvent cela serait impossible.

(91). Si le corps A est formé, comme dans le n* 70, de deux parties juxtaposées B et B', et que les notations précédentes se rapportent à la partie B, l’intégrale triple que renfermera le second membre de l’équation (27), aura toujours — fff A* Ycudxdydz pour valeur; chacune des . intégrales doubles contenues dans ce second membre sc composera de deux parties, l’une relative à la surface extérieure de B, l’autre correspondante à sa surface contiguë à B'; les premières parties des deux intégrales doubles se détruiront comme précédemment, et l’équation (27) deviendra

— fff Pcudxdjrdz b= cos a -f- ^ cos S -f-^-cos y^ds

— A* fffVcudxdjrds ;

l’intégrale relative à ds s’étendant à tous les élémens de la surface commune à B et B', et les intégrales triples à tous les points de B. Relativement à B', je désignerai, comme dans le n* cité, par

i8o THÉORIE MATHÉMATIQUE

A', c', u', ce que deviennent les quantités k, c, u; je représenterai

aussi par

«' = P'e- *’* -f- Q'e-"*' BV**' 4- etc.,

la valeur de u' en série d'exponentielles; P', Q', R', etc., étant des coefficiens indépendans de t, et A, ft, », etc., désignant, comme dans la série (20), toutes les constantes possibles. Par rapport à cette partie B' de A , on aura de môme

%ffffcfu!dxdydz — —f k'(~ cos <* + cos É 4- cos > ) ds

— AV7/P' c'u'dxdjrdz ;

l’intégrale relative à ds s’étendant à tous les élémens de la portion de surface de B' contiguë à B , et les intégrales triples , à tous les points de B\ Dans cette équation et dans celle qui répond à B, les angles a, S, y, contenus sous les intégrales relatives à ds, se rapportent à la même partie de la normale à cet élément, c’est-à-dire à la partie comprise dans l’intérieur de B'; et c’est pour cela que ces intégrales ont des signes contraires dans les deux équations.

Eu vertu des équations (3) du n* 70, on a

cos * + % cos e + £ cos y ) = ?(“' — *»)?

k' (È cos® + Tj cos e È cos > ) = ?(“' — “)»

Si donc on ajoute les deux équations qu’on vient de former, on aura

~ ff/Vcudxd/dz 4- fffYc'u'dxdydz—fq{u' — u) ds

— fq{u' — u) ds — A* JJf Vcudxdjdz — X'fftYdtidxdydz-,

et comme les deux intégrales relatives à ds ont les mêmes limites et se détruisent, cette équation se réduit à

( f/ffcudxdydz 4- / Çf Y' c'u'dxdjrdz) =

— A* {fffV'cudxdydz 4* fffVc'u'dxdydz );

DE LA CHALEUR. ,8t

d'où l’on tire, en intégrant,

/ ff Pcudxdydz -4- fff P'c'u! dxdydz = Ce-*1'; (3i)

C étant une constante arbitraire. On la déterminera en supposant qu’on ait

quand t — o; F et F' désignant des fonctions données arbitrairement dans tonte l’étendue de B et B'. Il en résultera

C = fff?cT(x,y, z) dxdjrdz -f- fffV'c'Y (x , y , z)dxdydz.

Par la substitution de cette valeur de C et des valeurs de u et u' en série d’exponentielles, dans l’équation (3i), on en déduira deux autres: l’une

f ff Ycdxdydz -|- J/f Y‘c dxdydz

= /7/PcF (x, y, z) dxdydz + fffY'c'Y(x,y, z)dxdydz,

qui servira à déterminer, d’après l’état initial de B et B', une partie des constantes arbitraires que renferment les coelliciens de ces séries; l’autre

fffPV ydxdydz -f- fJ/VV/c' dxdydz = o,

dans laquelle P, et P/ sont ce que deviennent les coefliciens P et P, relativement à l’exponentielle e~K’t , distincte de e— à laquelle P et P' se rapportent. Cette dernière équation servira, comme dans le numéro précédent, à démontrer la réalité de toutes les constantes A, /u, r, etc.

En prenant, comme dans le n* 89, l’unité pour P, et supposant que Ç soit la température extérieure, on aura aussi

J'JJ'^didxdydz — f p (£ — u)dtds — fqÇu — u')dtds;

la première intégrale relative à ds s’étendant à tous les élémens de la surface extérieure de B, la seconde à tous les élémens de sa surface contiguë à B', et l’intégrale triple à son volume entier. Il en résulte que l’augmentation de chaleur de B, pendant l’instant dt, est égale

à l’excès de la chaleur extérieure sur la chaleur intérieure qui Ira- . verse pendant cet instant la portion extérieure de la surface de B, moins l’excès de la chaleur qui passe de B en B' sur celle qui va de B' en B pendant ce même instant dt , à travers la portion de surface commune à B et B'. Relativement à B', on aura de même

fff ~di ~ dtdxdjrdz = / p'(£ — u') dtds — fq (u! — u) dtdi ;

et en ajoutant ces deux équations, il vient

f f dtdxdydz + fff d-^- dtdxdydz

= fp(Ç—u)dtds 4- fp {K — u')dtds,

équation évidente en elle-même, comme l’équation semblable que l’on a trouvée dans le n* 89.

Si le corps A était formé de trois ou d’un plus grand nombre de parties différentes, on obtiendrait sans difficulté des équations semblables aux précédentes, qui sont communes à tous les corps de forme et de nature quelconques, et dont 011 fera le même usage dans tous les problèmes.

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