CHAPITRE VII

Digression sur la manière d'exprimer les fonctions arbitraires par des séries de quantités périodiques.

(9a). D’aprcs la forme d’une fonction donnée X, si l’on voit quelle peut se développer en une série de sinus des multiples de la variable x, on fera

X==A, sinx-f.A,sin aa>4-Ajsin . . ■+• A, sin nx H- etc; (1)

A,, A,, As, etc., étant des coefliciens indépendans de x. En diflerentiant cette équation par rapport à x, une ou plusieurs fois, et combinant entre elles les équations qui en résulteront, on parviendra quelquefois à éliminer la fonction X ; on obtiendra de cette manière une équation dont les deux membres seront ordonnés suivant les sinus ou les cosinus des multiples de x ; et en égalant de part et d'autre les coefliciens des termes semblables, on formera une série d’équations qui serviront à déterminer successivement tous les coefliciens A,, A,, A,, etc., à l'exception de la première ou de plusieurs des premières de ces inconnues qui resteront indéterminées, et dont il faudra trouver les valeurs par le développement direct de X. Mais on pourra aussi exprimer immédiatement le coefficient général A, en fonction de l’indice n et au moyen d’une intégrale définie.

Pour cela, j’observe que l’on a

tant que les nombres entiers n et n' sont inégaux , et J' sin* nx

dans le cas de n' — n. C’est, en effet, ce qu’il est facile de vérifier. Cela étant, je multiplie les deux membres de l’éqaation (1) par sin nxdx, puis je les intègre depuis x = o jusqu’à x = tt; tous les termes du second membre disparaissent, excepté celui qui répond au coefficient A.; et l’on en conclut

A. = - / Xsin nxdx.

WJ O

De même, si l’on sait, d'après la forme de cette fonction donnée X, qu’elle est développable en une série de cosinus des multiples de x, on fera

X = B. + B. cos x + B, cos 2x -}-. . .-f-B. cos nx + etc. ; (2)

B., B,, B,, etc., étant des coefficiens indépendans de x, que l’on pourra quelquefois déterminer par l’élimination de la fonction X, ainsi qu’il a été dit plus haut. Mais n et n' étant des nombres entiers diflërens, on a aussi

cos nx cos n'x dx ss o;

dans le cas de n' — n , on a

y* cos* nx dx = î 7r,

excepté si n=o, auquel cas la- valeur de cette dernière intégrale est double et égale à w; de là on conclut

B. = - f X cos nxdx , B0 = - f Xr/x.

En employant x' et X' au lieu de x et X, daus les valeurs de A,, B,, B„, les séries (1) et (2) pourront s’écrire sous cette forme

X = ^ 2 X' sin nx'^x'^sin nx ,

X = ^ y' X'c/x' + ^ 2 ( p X' cos nx'dx1 ) cos nx;

DE LA CHALEUR. i85

les sommes 2. s’étendant à toutes les valeurs du nombre n, depuis n = i jusqu'à n = oo.

Ces séries (i) et (2) ont l’avantage d’être toujours convergentes.

En effet, en intégrant deux fois de suite par partie, on a

/«Y * J * Y 1 ® *fX . i d*X . j

/ a. sin nxdx = X cos nx -f sin nx / - un nxdx ;

J n n- dx n' J dx' ’

fX cos nxdx = - X sin nx -f- -■ ^ cos /cr — — f cos nxdx.

■’ n ' n' dx n' J dx *

Or, l’équation (1) suppose que X est zéro aux deux limites ar=o et

x = en différentiant l’équation (2), on voit quelle suppose que

dX *

^ s’évanouit pour ces mêmes valeurs de x: à ces deux limites les

termes compris hors du signe f seront donc nuis, et l’on aura sim- . plemetit

f ''X sin nxdx = — - sin nxdx

J o n' J o dr%

f’X cos nxdx =. — i /; ^ cos nxdx.

Mais si l’on appelle H la plus grande valeur de depuis x=o jusqu'à x=7r, y compris ces limites, on aura évidemment

y* gp sin nxdx < ^rll , / cos nxdx < ttH ,

abstraction faite du signe. D’après les expressions de A» et B., on aura donc aussi, en grandeur absolue,

en sorte que les coefficiens des termes successifs des séries (i)et(a) décroîtront plus rapidement que ; ce qui suffit pour que ces séries soient convergentes; car on sait que la série

converge continuellement vers une valeur Unie et égale à [ tt’ ; donc

toute série dont les termes décroissent plus rapidement que suivant la raison inverse des carrés des nombres naturels, couverge aussi , à plus forte raison, vers une valeur finie. Par le procédé de l’intégration par partie, on peut aussi montrer que la première équation (3) résulte de la seconde; en diffiérentiant celle-ci par rapport à x, on a d’abord

2 ^ f X' cos nx'dx'^ sin tir; en intégrant par partie, on a aussi

n J'” X' cos nx! dx' = — Ç smnr’rix':

au moyen de quoi , et eu mettant Xet X' au lieu de ^ et ‘-jpt l 'équation précédente se change dans la première équation (3).

Maintenant, si fx est une fouction arbitraire, elle pourra encore être exprimée, comme on le verra tout à l'heure, par les formules (3) dans lesquelles on mettra J’x' au lieu de X', et par beaucoup d’autres formules de la même nature, mais seulement dans une étendue limitée des valeurs de x; tandis que les équations (3) ont lieu pour toutes les valeurs de x , relativement à certaines fonctions X. De plus, il est important d’observer que ces diverses expressions de jx dépendent d’une analyse différente de celle qui nous a conduits aux équations (3); car la détermination des coelficicns des séries (i) et (a) indépendamment les uns des autres, suppose essentiellement que l’on sache, d’après la forme des fonctions X, quelles sont développables suivant les sinus ou les cosinus des multiples de x; en sorte que le procédé de l’intégration ne soit plus qu’un moyen abrégé pour trouver directement un coefficient quelconque. D’Alembert a employé le premier ce procédé pour déterminer les coelficicns du développement d’une fonction donnée; et c’est Lagrauge qui a donné le

premier une formule propre à exprimer; dans une étendue limitée, une fonction arbitraire par une série de quantités périodiques; deux choses distinctes l’une de l'autre, comme nous venons de le dire, et dont la seconde va nous occuper exclusivement.

(go). En désignant par e la base des logarithmes népériens, par a. et p un angle et une quantité quelconques, ou a

1 1 1(1 — p cos a)

I — pe“V — ' 1 — i,e— “U— 1 , — 2^)cos«

comme on le voit en réduisant au même dénominateur, et ayant égard à l’expression de cos a. eu exponentielles imaginaires. Si p est moindre que l’unité, abstraction faite du signe, ou a aussi, en série convergente,

= »+/> + p* + ? + etc.

En mettant successivement pe**~' et pe~ à la place de p, et faisant la somme des résultats, on aura donc, d’après l’équation précédente,

— ? T P c.°l!! — . — i-l - p cos a. -1- p* cos a* -f- p5 cos 3a -f- etc. ,

■ — ip co» • + p ' ’ ‘

et , par conséquent ,.

1~ P — = 1 -f. an cos a -+- a p* cos a* -f- a p* cos 3* etc.

1 — ip co» * -t- p* r r r

L'angle a étant réel, il sera nécessaire et il suffira pour que cette série soit convergente, et que l’on puisse en faire usage, que l’on ait p < 1 , abstraction faite du signe, ainsi qu'on l’a supposé.

Cela posé, soit fx la fonction arbitraire que l’on veut exprimer par une série de quantités périodiques, dans l’étendue des valeurs de x, comprises depuis x — — l jusqu’à x = /, en désignant par l

une quantité positive et donnée. Je mets — j — ■ • la place de a dans l’équation précédente; je multiplie ses deux membres par fx’ , et j’intègre depuis x’ = — l jusqu’à 3? — l; il en résulte

(i—p')fxrdx'

fl ' çl fx'dx'

+ j 2 pm cos "* T*V^] ; w)

n étant un nombre entier et positif, et la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs de n, depuis « = i jusqu’à n = co. Or, si l’on désigne par g une quantité positive et infiniment petite, on pourra prendre p= î — g; et alors J'x sera la valeur de l'intégrale indiquée dans le premier membre, comme on va le prouver tout à l'heure. De plus, pour toutes les valeurs finies de n, on aura

pour des valeurs infinies de l’exposant n, la quantité p" pourra différer de l’unité; mais en intégrant par partie, comme dans le n* précédent, on verra que l’intégrale qui multiplie p " sous le signe 2 , s'évanouit quand n — oo ; en sorte que l’on pourra remplacer p * par l’unité, dan» tous les termes de cette somme 2. Par conséquent, nous aurons

Jx = 3 f^fx'dx' + )ï []Lt cos X~ fx'dx' ~\, (5)

pour l’expression demandée de fx.

Pour faire voir que dans le cas du p = i — g, l’intégrale qui forme le premier membre de l'équation (4) est égale à Jx , tant que la <juantité x est comprise entre — / et -f-/, j’observe que 'le coefficient de dx' sous le signe f deviendra infiniment petit en même temps que g, excepté pour les valeurs de x' qui rendent son dénominateur infiniment petit, c’est-à-dire pour les valeurs de x' qui rendent cos * ^ / x * infiniment peu différent de l’unité; mais la variable

x' étant comprise aussi bien que xentre — l et -f-/, ces valeursdex' se réduiscnl à celles qui diffèrent infiniment peu dex, en plus ou en moins; si donc on fait x'=x-|-2, il faudra considérer cette nouvelle variable 2 comme infiniment petite, ainsi que la constante g; ce qui réduira le dé-

Dominateur du coefficient de dx' à g*-j- -p , et - l’intégrale en ques-

tion à

JxJï?

gUz

Or, cette intégrale relative a z étant infiniment petite à cause de g, pour toute valeur de z qui ne l’est pas, il s’ensuit qu’on peut, sans crainte d'erreur, l'étendre maintenant depuis z = — 00. jusqu’à s=oo : ce qui donnera l’uuité pour sa valeur, et fx pour la valeur qu'il s’agissait d’obtenir.

(94). D’après cette démonstration de l’équation (5), elle subsistera pour toutes les valeurs de x > — Z et <Z; mais elle n’aura lieu pour les valeurs extrêmes x = dzl, que quand on aura /( — l'j=fl ;

et, en général, sou second membre sera égal à [fl+ /(—/)] quaud on y fera x — dezl.

En effet, si nous faisons x = Z dans le premier membre de l'équation (4), la quantité cos sera infiniment peu différente

de l’unité, pour x’=l — i et pour x’ = — /-(-a; la variable z étant infiniment petite et positive, afin que x1 ne sorte pas des limites =±=Z de l’intégration; d’où l'on conclut que dans le cas de P — 1 — g, ce premier membre se composera de deux parties qui répondront à ces valeurs de x1, et dont la somme sera

[/' + /(- 03 fj.

gitit

On pourra étendre cette intégrale depuis s = o jusqu’à s = 00 ; elle

sera alors égale à ^ ; et comme ou serait parvenu au même résultat,

si l’on eût fait x= — Z, au lieu de x=l, il s’ensuit qua la limite p—t, et pour les valeurs particulières x = =fcZ, l’équation (4) deviendra

en observant qu’on a cos nrt=( — i)* etsin/rîTr^o. Donc, en comparant l’équation (5) à cette dernière , 011 voit que l’équation (5)

n'aura pas Heu pour ces valeurs extrêmes de x, à moins que l’on

n’ait //=/(-/). '

Ou reconnaîtra immédiatement la nécessité de celte restriction que l’on doit apporter à l’équation. (5) , en prenant pour exemple fx= x'1*"' , et supposant que i soit un nombre entier et positif: tous les termes du second membre de l’équation (5) seront nuis pour x—zizl, tandis que son premier membre sera égal à (et / )•*■*" , ce qui mettra cette équation, en défaut; mais au contraire, l’équation (6) se vérifiera d’elle-méme, puisque son premier membre /**■*■ 1 -f-( — l) ,u'h, sera zéro comme le second.

Si l’on donnait à x, dans lcqualion (4), une valeur qui tombât en dehors des limites rb /, son premier membre serait zéro dans le cas de p = i — g; d’où il résulterait, h la limite p — i, une formule distincte des équations (5) et (6), et qui sera comprise parmi celles que nous allons écrire. Observons aussi que l’angle a devant être réel pour que la série dont nous sommes partis soit convergente et qu’on

en puisse faire usage, et cet angle ayant été remplacé par { ,

on ne devra donner que des valeurs réelles à x, dans l’équation (5) et dans celles que nous allons en déduire.

(ç)5). La fonction Jx est entièrement arbitraire; elle n’est point assujettie a la loi de continuité, et l’on pourra toujours calculer par les quadratures les intégrales indiquées dans les termes successifs des séries (5) et (6); ces séries seront toujours convergentes, comme on l’a vu plus haut, et comme on peut aussi s’en assurer en considérant les aires des courbes dont le- ordonnées correspondantes à une abscisse quelconque x', sont slnnx'Jx' ou cos nx'fx'.

On pourra , par exemple, supposer que fx ait des valeurs quelconques dans une portion de l’étendue comprise depuis x = — l jusqu’à x—l, et que cette fonction soit nulle dans le reste de cet intervalle. Ainsi A' étant > A, et ces deux quantités étant < l, abstraction faite du signe, cette fonction aura, si l’on veut, des valeurs données arbitrairement depuis x = A jusqu a x— A', et sera nulle, soit depuis x = — / jusqu’à x = A , soit depuis x — A' jusqu’à x = l. Alors, il sullira de prendre les intégrales relatives à x1 , depuis x1 =.A jusqu'à jr’=A'; la formule (5) reproduira, dans cet iuter-

DE LA CHALEUR. • i9i

valle, les valeursquelconquesde Jx; et ou la trouvera égale à zéro poulies valeurs tle x comprises, soit entre X' et /, soit entre — l et A. Mais il est important d’observer que pour les valeurs mêmes x— X et x — X', celte formule ne donnera que la moitié des valeurs correspondantes de fx.

En effet, lorsque dans la démonstration du n"()3, on fait x'=.r-f-z, et que l’on considère z comme une variable infiniment petite, positive ou négative, si Ton donne à x la valeur particulière x=zX, la fonction Jx' sera nulle pour les valeurs négatives de z, et de même, si l’on fait x — A', cette fonction sera égale à zéro pour les valeurs positives de z; dans l'un et l’autre cas, la valeur de l’intégrale relative à s sera donc réduite à moitié; par conséquent, le second membre de

l'équation (5) sera égal à ^ fX pour x — X , et à ^ fX' pour x=X'-, ce qu’il s'agissait de prouver.

En partant de ce principe, la formule (5) va nous en fournir plusieurs autres de la même nature, et qu’on pourrait aussi obtenir directement par l'analyse qui nous a conduits à cette équation (5).

(y<3). Supposons que la fouclion Jx soit nulle pour les valeurs négatives de x, y compris x — — l; et réduisons , en conséquence, à zéro et-f-/ les limites des intégrales relatives à x' ; l'équation (5) deviendra

fx = h fjx'dx' + t 2 [/„<cos — r12 ii)

De plus, si lions mettons dans cette équation (7), — x à la place de x , et que nous regardions ensuite x comme une quantité positive, son second membre aura zéro pour valeur; en sorte que Ton aura aussi

Les deux équations auroat lieu seulement pour les valeurs <de x positives et moindres que /; pour x = 0, leurs seconds membres seront égaux, l’un et Tautre, à la moitié de la valeur correspondante de fx-, pour ils coïncideront également, et leur valeur corn-

i9a THÉORIE MATHÉMATIQUE

mune sera fl; car pour j: = dt /, le second membre de l’équation (5) était égal à ^ \fl -f- f ( — /)]; quantité qui se réduit à

i fl, puisqu'on a f { — l) — o par hypothèse. L’inspection seule

des formules (7) et (8) suffit pour montrer qu’elles doivent coïncider, soit quand .r = o, soit quand x — l ; mais leurs valeurs communes et relatives à ces deux limites ne peuvent se déduire que des considérations qui précèdent.

Si l’on ajoute ces deux équations (7) et (8), on aura

fx — f f,!Jx'dx' + 1 2 [ f!cos ~r fx'dx'~\ cos ~r : (9)

et cette nouvelle équation subsistera depuis x—o jusqu a x = /, y compris les valeurs extrêmes zéro et l, puisque pour chacune de ces valeurs les deux formules que l’on a ajoutées étaient, l’une et l'autre, égales à la moitié de la valeur correspondante d c fx. Par la même raison , si l’on retranche l’équation (8) de l’équation (7) , on aura une équation qui subsistera depuis x — o jusqu a .r=r /, mais dont le second membre sera nul à ces deux limites: cette équation sera

fx — j 1 [/'sin fx'dx'^ J sin n^. (io)

En prenant l—ir, ces deux dernières formules coïncident, comme on voit, avec les équations (3); et elles auront lieu, comme ces équations , pour toutes les valeurs de x , lorsque la fonction fx sera périodique, c’est-à-dire, lorsqu’elle reprendra la même valeur toutes les fois que la variable augmentera ou diminuera dune quantité égale à a ir.

On peut encore varier ces formules de beaucoup d’autres manières. Par exemple, dans celles qui n’ont lieu que pour des valeurs positives de x , on peut transporter l’origine des x au milieu de l’intervalle pour lequel ces équations subsistent, et il en naîtra d’autres qui s’étendront également dans les deux sens des x positifs ou négatifs. Ainsi, mettons dans l’équation (7), 2I, x+l, x1 à la place de

DE LA CHALEUR. ig5

l, x, x! , et conservons Jx et fx' au lieu de f{x -K) et f(x' -f* l); nous aurons

f* = hfl/x,dx' + ïÆfï™ n-L^ri—fx'dx'~] ; (">

formule qui subsistera, comme l’équation (5), depuis x — — l jusqu’à x = -\~ l, mais qui en différera en ce qu’elle aura pour valeur

-f(drl) pour x = rfc /, tandis que pour ces valeurs extrêmes de x . s

la formule (5) est égale à - [fl + f( — 0]-

Si l’on divise la somme 2 contenue dans cette formule (it), en deux parties, l’une relative aux nombres n pairs, et l’autre relative aux nombres n impairs, cette équation prendra la forme

fx = ifll/x'dx,+ î/ 2 C/^008^— fi**]

+ i2[/-/cos

(in — ])*•(*— x')

- fx'dx'~~ j;

les sommes 2 s’étendant toujours à toutes les valeurs paires ou impaires de n, depuis »= i jusqu’à n == oo . Je multiplie cette dernière équation par a, puis j’en retranche l’équation (5) ; il vient

(an — i) w (g — x') a /

fx'dx‘~]-,

(ia)

équation qui subsistera toujours depuis x— — 1 jusqu'à x=-\-l, mais dont le second membre sera égal, d’après les formules dont il résulte,

à A— 0] P°ur x=lt et à i [/(— 1)~ /Z]pourx= — l;

en sorte que cette équation (i a) n’aura lieu pour ces valeurs extrêmes de x, que quand on aura f(—l) = — fl.

Nous n'indiquerons pas ici d’autres combinaisons des formules précédentes, dont chacune, comme on l’a déjà dit, pourrait être démontrée directement par un moyen semblable à celui du n° q3.

(97)- Quoique ces diverses équations ne soient pas identiques relativement à x, on pourra néanmoins les différentier par rapport à cette variable. Si X = o est une de ces équations, il est évident que 1 equa-

lion = o devra subsister dans toute l’étendue des valeurs de x

pour lesquelles X = o avait lieu. Mais lors même que cette équation

\ — o avait lieu aux limites de cet intervalle, l’équation = o

n'aura aussi lieu à ces mêmes limites , qu’autant que de nouvelles conditions seront remplies; et dans le cas où X = o ne s’appliquera

dfx

pas aux valeurs extrêmes de a:, la valeur de que l’on déduira

de — o sera toujours infinie pour ces valeurs particulières de la variable. C’est ce que l’on vérifiera de la manière suivante.

En différentiant l’équation (5) et faisant “ = fx , on a

et si l’on intègre par partie sous le signe 2, cette formule devient f'x — — 7 [fl -/(- 0] 2 (- J)* cos ^

Pour toutes les valeurs de x > — l et <7, on a, comme on sait,

2(— i)*cos-r=—

pour ces mêmes valeurs, on aura donc

f* = h l/l -/(- 0] + j 2 [ /^ cos n^^fx'dx'~] ;

ce qui est effectivement vrai, puisque cette formule coïncide avec l’équation (5) quand on met dans celle-ci fx au lieu de fx. Pour que l’équation (5) ait lieu aux limites x = =fc/, il est nécessaire que l’on ait /( — l) = fl ; mais en supposant cette condition remplie, et comparant toujours cette dernière formule à l’équation (5) , on voit qu’il faudra qu’on ait, en outre, f ( — /) =fl pour que cette formule convienne aux valeurs extrêmes x=±/. De plus, si la condi-

DE LA CHALEUR. i95

tion /( — l )=fl n’est pas satisfaite, l'équation (5) n’aura pas lieu pour x=dal} et comme pour ces valeurs particulières de x , on a évidemment

2 ( — ij" cos -j- = oo ,

il s’ensuit que les valeurs correspondantes de f'x, c’est-à-dire les valeurs de f (rfc l)\ déduites de la formule (5) par la différentiation , seront infinies, ainsi qu’on l’a dit plus haut.

Si l’on différentie de même l’équation (g ), qui subsiste sans condition, depuis x=o jusqu’à x—l inclusivement, on aura

quelles que soient les valeurs extrêmes fl et f{ — l); on a aussi, en intégrant par partie,

f'^cos fx'dx' = — f sm ~7~ f'^dx' !

nous aurons donc i ..

f x =s j 2 j j sm —j- f x dx J sm -p ; •

résultat exact en vertu de l’équation (io), dont il se déduit par la substitution de f'x à la place de fx, mais qui n’aura lieu pour x = o et x — l, qu'autant que f'x s’évanouit à ces limites.

Toutes les autres formules du numéro précédent donneraient lieu à de semblables observations, que je crois superflu de développer davantage.

(98). On peu taussi-intégror par rapport à x ces différentes formules, et représenter, de cette manière, les valeurs deffxdx, dans l’étendue des valeurs de x .pour lesquelles chacune de ces équations subsiste. En général , si la formule d’où l’on part a lieu seulement depuis x = A jusqu’à x = A7, mais quelle ne subsiste pas pour les limites même A et A', on pourra néanmoins comprendre ces valeurs extrêmes de x dans l’intégrale ff xdx, pourvu seulement que les vraies valeurs de /A et / A', non plus que les valeurs fautives qui résulteraient de

la formule donnée, ne soient point infinies; car alors on peut, sans aucune erreur, faire abstraction ou tenir compte, à volonté, desélémens de cette intégrale qui répondent à ar=A et x = A'. C’est aussi pour cette raison que les valeurs de f'x, relatives à ces limites, deviennent toujours infinies, quand elles sont déduites d’une formule qui n’a pas lieu pour ar = A et x = X"; car si les valeurs de f A et J'y que Ion en déduit par la différentiation étaient des quantités finies, les valeurs de f A et f\' seraient comprises dans la formule, contre la supposition.

Vérifions, sur des exemples, ce qui est relatif à l’intégration des formules précédentes, et dans ce qui va suivre, désignons par fpc l’intégral ejfxdx prise de manière qu’elle s’évanouisse quand x—o. D’après l’équation (10), nous aurons

f/x = - f 2 [// ~ sin n^-fx'dx'~\ ( cos ^ - i);

et comme on a, en intégrant par partie,

fli sin = — J‘ cos ~ f,x'dx>t

il en résultera ,

/■*■= / 2 [/> cos ~ —jl f‘ cos ~ f'X'dx’.

Or, en mettant fpc à la place de fx dans l’équation (9), on a J,x = \ f^fdx' + ° cos //tW J cos ™ ,

depuis x — o jusqu’à x=l inclusivement; en faisant x = o et observant qu’on a alors J\x = o , on aura donc

et si l’on retranche cette équation de la précédente, on obtiendra l’expression de ftx qu’il s’agissait de vérifier. Cette expression devra convenir, comme l’équation (9), aux limites même x=o et x—l.

quoique l’équation (10) d’où l’on est parti, n’y soit pas toujours applicable. Pour x= o, cela est évident. Pour x = l, il en résultera, comme il est aisé de le voir,

la somme 2 s’étendant toujours à tous les nombres n depuis n — 1 jusqu’à n— co . Si donc on fait

l = a/,, x’ — xt l„ f(x, -f- K) = F*,»

et que l'on mette, eu conséquence, Fl, au lieu de ou fl, on

aura

F'/ = } 2 [Acos(—y

mais on a aussi F ( — /J =0, en observant que F (— /() est la valeur de fpc qui répond à x — 0, et qui est nulle par hypothèse; on aura donc enfin

F (-*,)]=£* [/^ cos

(in —

comme il résulte, en effet, de l’équation (ia), en y mettant xir F, au lieu de x', l , /, et y faisant x = lt.

L’équation (9) donne, par l’intégration.

A = il1 + 7 2 [/Z s cos nr-A'^'] siQ ~7" *’

en intégrant par partie, on a

fl à - =rJ** = *■

à cause de cos mt = ( — r)*, on aura donc

Cx , 2 ( — i)* . n*-x~l . ,

7 + ;2hr-,m -J//

■4- | 2 ( J'1 sin fx'dx'') sin

Cette équation est identique, soit pour x = o, soit pour x = l. Elle est également Traie quand on suppose x > o et < l; car, d’après une formule connue, on a alors

2 „ ( — l)* • ni rx

ce qui fait coïncider cette équation avec la formule (10), dans laquelle on mettra fx au lieu de fx.

(99). Nous ne pousserons pas plus loin ces vérifications; mais nous ferons remarquer comment, dans ce dernier cjs, la valeur extrême et tout-à-fait arbitraire fl, s’est trouvée comprise dans l’expression générale de f/X à l’aide d’un terme complémentaire , égal à cette valeur fl pour x — l, et nul pour toutes les valeurs de x comprises entre zéro et l. Il en sera de même dans tous les cas ; et généralement, si l’on veut représenter une fonction quelconque fx depuis x = A jusqu’à x — K', y compris les limites A et A', par une formule qui 11e convienne pas d’abord aces valeurs extrêmes, on y parviendra toujours en ajoutant à cette formule certains termes qui ont des valeurs convenables pour x=A et pour x= A', et qui sont nuis pour toutes les valeurs intermédiaires. de la variable. Il est important, dans les usages qu’on fait des séries de cette nature, d’avoir égard à ces termes complémentaires, auxquels on peut d’ailleurs donner une infinité de formes différentes.

Relativement à la formule (5), par exemple, on pourra prendre

pour cette partie complémentaire; et en l’ajoutant au second membre de. l’équation (5),. qui se réduit à -j [fl -f- f{ — /)] pourx=±/, cette équation ainsi modifiée conviendra à ces valeurs extrêmes de x, aussi bien qu'aux valeurs intermédiaires.

Quelles que soient les valeurs de fx qui répondent à x = o et x = /, l’équation (ro) conviendra pareillement à ces valeurs extrêmes de x et aux valeurs intermédiaires, en ajoutant à son second membre la quantité

El — X 2 . I . nirx-! r • , J~x , 2 .

dont les deux parties sont nulles pour x > o et < /, mais dont la première s’évanouit seulement à la limite x—l, et est égale à Jo pour ,r = o, tandis que la seconde s’évanouit quand x = of et est égale à fl lorsque x = l.

(ioo). Si la fonction fx est telle, que les intégrales contenues sous les signes 2 dans les fovmules précédentes puissent s’obtenir sous forme finie, il en résultera des séries dont la valeur exacte sera exprimée, dans chaque cas, par cette fonction. Cela aura lieu toutes les fois que l'on prendra pour fx une exponentielle, un sinus, un cosinus, une puissance entière et positive; mais quoique ce moyen paraisse devoir être très fécond, il ne fait connaître cependant que des sommes de séries déjà déterminées, soit par Euler, soit par D. Bernouilli, en suivant d’autres méthodes, et que j’ai réunies et considérées sous différens points de vue dans mes mémoires sur le calcul intégral (*). Ces mêmes formules peuvent aussi servir à la transformation des séries, ainsi qu’on peut le voir dans ces mémoires.

Quant à la série 2 ( — i)" cas que nous avonssupposée plus haut

égale à — , elle est de l’espèce des séries périodiques qui ne sont ni

convergentes ni divergentes, mais qu’on peut néanmoins employer eu les considérant comme les limites de séries convergentes, c’est-àdire en multipliant leurs termes par les puissances ascendantes d’une quantité infiniment peu différente de l’unité. Cette supposition revient donc à'dire qu’à la limite où q diffère infiniment peu de l’unité, ou a

2 (—!)■</• cos -y- = — - »

tant que x diffère de:± 1. Cela résulte, en effet, de l’équation dont nous sommes partis, dans le n° 93, en y faisant p= — q et et = ;

(*) Journal de J École Poly technique , 18* et 19* cahiers.

THÉORIE MATHÉMA J 1QÜE

ce qui donne

wX , . 2wX

1 — q COS -j J- q' COS-j-

équation qui coïncide avec la précédente, quand q différé infiniment peu de l’unité, et que l’on n’a pas a: = dh /, puisque alors on peut regarder son second membre comme égal à j. Si l’on a .t = dfc /,

ce second membre devient quelle que soit la quantité q, et,

conséquemment, infini lorsque q= i. Pour ces valeurs extrêmes de jc et à cette limite, la somme 2 est donc aussi infinie; ce qui est évident.

En multipliant cette somme par dx, puis intégrant, et prenant l’intégrale de manière qu’elle soit zéro quand x — o , il vient

- 2 1 — -i-2- sin

nwx

à la limite où q diffère infiniment peu de l’unité et quand la variable x est comprise entre d= l. Mais à cette limite et pour les valeurs extrêmes de x, la différentielle que l’on a intégrée n'étant point égale à — jdx, et le coefficient de dx étant au contraire égal à l’infini, on ne peut pas comprendre dans l’intégrale les élémens qui répondent àx = ±/; et c'est pour cela que cette dernière équation n'a pas lieu pour ces valeurs particulières de la variable. En remplaçant q par l’unité, on aura ces deux équations

nwx

- sin

nwx

dont la seconde se déduit de la première par le changement de x en l — x , et qui sont celles que nous venons de supposer dans le uuméro précédent.

(ioi). La formule (io) est celle que l'on doit à Lagrange, et de laquelle on peut facilement déduire toutes les autres, de même que nous les avons toutes déduites de la formule (5). On pourrait aussi

aoi

DE Là CHALEUR, appliquer directement la démonstration de Lagrange à toutes les formules précédentes. Voici cette démonstration , a peu près telle que l’auteur l’a donnée (*).

Soit m un nombre entier et positif, et désignons par y cette fonction périodique

y = Y, sin 7rx+ Y, sin nnx -f- Y,sin 3 w\r +. . .-f-Y.sin rmrx , (i3)

dans laquelle Y,, Y,, Y,,... Y., sont des coefficiens indépcndans de la variable x. Soit fx une autre fonction donnée arbitrairement, continue ou discontinue, assujettie à la seule condition de devenir nulle, comme la précédente, pour x = o et pour x= i . On propose d’abord de déterminer les m coefïiciens Y,, Y,, Y,, . . . Y*, de telle sorte que l’on ait^ = fx pour ces m valeurs particulières de la variable

m-f-i 9 m + \f m-fj '

outre les valeurs extrêmes x — o et x = i .

Pour cela, représentons par y,, y,,ySf. . .ym, les m valeurs correspondantes de fx ; nous aurons, pour déterminer les coefficiens inconnus, ces m équations :

r, = Y,sin — h Y, sin — — ■ — (- Y, sin -f-Y. sin ■

%/ • | V * 4*" l V * ^ I V * O.TTtW

^• = Y-s,n^TT + Y*sjn ™4pT + Y,su>^ + Y-“

. -f-Y.sin

r, = Y,sin — Y, sin — f-Y, sin-2^—

m-f-i ’ 3 TV Vffî m -f-i 9

ym= Y, sin +Y,sin

jiTftW . mj • 3 TTVtr

, . Y, sin

Or, si l’on en veut déduire l’expression d’un coefficient quelconque Y,, il faudra en prendre la somme, après les avoir multipliées respec-

(*) Tome III des anciens Mémoires de Turin, page a6i.

tivement par

i sin

fin

i sin

xnr

3 sin

3nr

. mnw 3 sm — - ; m +i

il arrivera que tous les autres coefliciens disparaîtront de cette somme, qui ne contiendra que lecoefficient V. qu’on se propose de déterminer.

En effet, ri étant un indice différent de n, le coefficient Y,, se trouvera multiplié par la somme

a sin

m-pi

• a sin

m -pi

■+■ a sin

3 rix

ra +

sin

+ . mn ir

a sm — — sin

3n* m 4- 1 mmr m 4-1 ’

laquelle est la différence de ces deux autres sommes:

(ri — n)x , î(n' — n)x 3(n' — «)*■

1 4-co«i — -feos ■ — 4- cos . .4-

' m 4- 1 1 m- pi * m-pi

a(n'4-n)ir 3(n'+n)»

■ COS ; -- -+- COS ... -j- COS

m-pi

m (ri — n}x

m (ri + n)ir

dont les valeurs sont faciles à déterminer, comme on le verra tout-arheure. Tant qu’on n’a pas ri— n , la valeur de la première somme est 7 — 4 cos(nf — h)tt ; celle de la seconde est toujours j — 4 cos(/i'+«)ir ; eu retranchant l’une de l’autre, et observant que n et n' sont des nombres entiers , on a zéro pour la différence; par conséquent, le coefficient quelconque Y.,, différent de Y„ n'entrera pas dans la somme des équations qu’011 aura faite. Mais si l’on a n'=n, la première des deux sommes précédentes sera évidemment égale à m + 1 ; la seconde aura pour valeur j — j cos arwr ou zéro ; le coefficient Y. aura donc m 4- 1 pour facteur dans cette somme d’équations; et en la divisant par m-f- 1 , il en résultera

Y-==^Cr. sin^T+^.sin

• 3nw •^Sln

■+fm si"

m- pi

Les cœfficiens Y, , Y, , Yj,... Y., étant ainsi déterminés, la formule (i3) coincidera avec la fonction jx, pour toutes les valeurs

DE LA CHALEUR. ao5

de x contenues depuis x=?o jusqu'à x=s i , et qui sont des multiples exacts de la fraction '• et P°ur l®8 a«tre9 valeurs de x

comprises dans le même intervalle, on devra la regarder comme une formule d’interpolation' d’une espèce particulière, qui pourra servir à calculer les valeurs approchées de Jx, quand la forme de celte fonction ne sera pas donnée. Si l’on construit deux courbes qui aient x et y pour leurs coordonnées courantes, dont l’une ait J —Jx pour équation, et l’autre l’équation (i5), ces deux courbes couperont l’axe des abscisses x aux points correspondans à x= o et i , et dans l’intervalle compris entre ces deux points, elles auront un nombre m de points communs, dont les projections sur l’axe des x seront équidistantes. Ce résultat subsistera , quelque grand qu’on suppose le nombre m ; à mesure que ce nombre augmentera, les points communs aux deux courbes se rapprocheront; et à la limite m = oo , ces deux courbes coïncideront parfaitement dans toute la portion comprise depuis x—o jusqu’à x= i. Or, à cette lraiite, la somme qui exprime la valeur de Y» se changera en une intégrale définie ; et ri étant un nombre entier et positif quelconque, si l’on fait

~ = x', = dxf,

il en résultera

y„ = jx' , Y. = ay'1 sin mtxf .j'x'dx' ;

en même temps la série (i5) se prolongera depuis »=» i jusqu’à n = co ; et en remettant jx à la place de y, on aura

jx — 22 (y'* sin nvrx? .fxfdxf^ sin nxx ;

résultat qui coïncide avec la formule (10), en prenant, dans celle-ci, l pour unité.

Les valeurs des deux sommes que nous avons supposées connues s’obtiennent, en effet , sans difficulté. Je désigne par i un nombre entier moindre que a (m -fri), pour lequel ou pourra prendre succes-

ao4 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Giverueut ri — n et ri -H n , et qui ne sera pas zéro. Soit alors

i -f- cos

~j~ cos

+ cos-

. rmV

-f*. . . + COS = f.

En multipliant par a cos — ^ - , on aura

a s cos

I* . iltr 3it

cos— - — +• cos — ■ — 1- cas-

rn 1 t * ti

mi 9

— I -f-cos— - — — COS— - 4- cos nr ;

et, à cause de

miw iw

COS — = COS m COS r~

71 lW \

on en conclut

2 (• - cos ^rds = (* - cos ^V.) (■ - cos '*>•

Donc, en supprimant le facteur commun i — cos , qui n’est pas nul, par hypothèse, on aura

s = } — ^ cos tar ; ce qu’il s’agissait de trouver.

Au reste, la formule precedente et toutes celles que nous avons trouvées dans ce chapitre, sont comprises dans l'équation (aa) du n° 86 ; mais cette équation comprend un grand nombre d’autres formules de la même nature, que l’on doit admettre comme la conséquence certaine de la solution générale de chaque problème, et qu’il serait à désirer que l’on parvint à démontrer d'une manière plus directe. Malheureusement le mode de démonstratiou de Lagrange et celui du n” g3 ne paraissent pas pouvoir s’appliquer à ces autres formules , dans lesquelles la fonction arbitraire n’est point exprimée en série de sinus ou de cosinus des multiples i, a, 3, 4, etc., ou i, 3, 5, 7, etc., de la variable, comme dans toutes les formules précédentes.

(10a). Dans ces différentes formules, on peut supposer la quan-

DE LA CHALEUR. ao5

tité / aussi grande que l’on veut, et même infinie. Dans le cas de / = oo , la formule (5) représentera la fonction Jx pour toutes les valeurs réelles de x, depuis x = — ao jusqu’à x=co; son premier terme s’évanouira ; et si l’on fait

la somme Z quelle renferme se changera en une intégrale relative a. Il en résultera cette autre formule

fx — ' J' f cos a ( jt — x')fx'dctdx', (14)

dont Fouricr a enrichi l’Analyse, ou , du moins, qu’il a donnée le premier pour les cas où»l’on a jx — j\ — x) ou fx — —J\ — x) , et dont il était aisé de déduire la formule générale.

Tout ce que l’on a dit relativement à la formule (5) conviendra également b celle-ci. Ainsi, on pourra la diflërenticr par rapport à x, ou l’intégrer après l’avoir multipliée par dx ; on y pourra prendre poav Jx une fonction discontinue, qui ait des valeurs quelconques depuis x = A jusqu’à x — A', et qui soit nulle pour toutes les valeurs de x non comprises entre ces limites. Dans ce cas , il suffira d'intégrer par rapport à x', depuis x' = A jusqu’à = mais il ne faudra pas oublier que celte formule (ij) ne donnera que la moitié des valeurs de Jx, correspondantes à x= A et x = A', et que sa différentielle relative à x et divisée par dx , deviendra infinie pour ces mêmes valeurs de la variable , à moins que l’on n’ait f A = o et /A' = o.

Pour appliquer cette formule à une lonclion donnée Jx qui croit indéfiniment avec la variable, on changera jx en une fonction discontinue qui soit nulle cn-deçà et au-delà de limites arbitraires , pourvu quelles comprennent les valeurs de x pour lesquelles on voudra représenter celles de Jx. Si l’on a, par exemple , Jx=x, on ne pourra pas intégrer depuis x'= — 00 jusqu’à x' = ao , puisque ces limites rendraient l’intégrale indéterminée. On supposera donc que la fonction Jx' soit nulle pour x‘ < A et pour x > A' ; et l’on aura d’abord

ao6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

x'cos et (x — x')dx' — — — sin<t(x — A') -f- ^sin et (x — + ? T005 « (x — A') — i] — ^ [cos <*(x — A) — i ].

Or, d’après une formule connue , on a

sin het

da =z{7T, = — ±7r, =o ,

selon que la constante A est positive, négative ou zéro ; en multipliant par dh, intégrant ensuite et prenant l’intégrale de manière qu’elle s’évanouisse avec h, on en conclut

J' (cos het — ii) ^r= — firA , = -f- -jw/i , = o.

Si donc on prend successivement x — A' et x — A pour la constante h, et que l’on suppose x > A et < A', il en résultera

ï/rur x' cos a(x — x')dxQ <fst

ce qui vérifie la formule ( t4)> appliquée , de la manière que l’on a dite , à l’exemple donné. Dans le cas de x < A et < A', on aura de même

I flf x' cos et (x — x'Jdj/Jtfa = x A' — $A -f- x( x — A')

et dans le cas de x = A et < A', on aura aussi

[ p x' cos * (A — x') dxQ da. = -j A' -f- \ (A — A') = (■ A.

On trouvera pareillement que la formule (14) se réduit à zéro dans le cas de x > A et > A', et à a a' dans le cas de x > A et =r A'. On sera de même obligé de changer les limites rib oo en d’antres limites A et A' de grandeur finie , lorsque la fonction donnée fx1 sera une quantité périodique ; et , généralement , on ne pourra employer les limites =fc <x> dans l’intégration relative à x', que quand cette fonction s’évanouira pour ces deux valeurs extrêmes de la variable.

Quoique l’équation (14) ait lieu pour toutes les valeurs réelles de

DE LA CHALEUR. ao7

la variable, depuis x = — * jusqu’à x = oo , elle n’est cependant pas identique, et ne subsiste pas, en general , pour des valeurs imaginaires de x. La série dont nous sommes partis dans le n* g3 , n'était convergente et ne pouvait être employée que pour des valeurs réelles de l’angle a ; il s’ensuit que les formules qui en ont été déduites, et, conséquemment, la formule (i4)> ne sont aussi démontrées que pour des valeurs réelles de x; mais le cas des valeurs imaginaires ne devant pas se présenter dans la théorie de la chaleur, je renverrai sur ce point, relatif au degré de généralité et à la nature de la formule (i.j), à l’examen que j'en ai fait dans un mémoire .déjà cité [*).

(mi). Lorsque la fonction fx' sera donnée, et que l’intégrale relative à x' pourra s’obtenir sous forme finie, la formule (14) se trouvera réduite à une intégrale simple, relative à « et dont fx sera la valeur; mais ce moyen ne fait connaître la valeur d’aucune intégrale qui n’ait pas déjà été déterminée par d’autres procédés. Si, au contraire, la fonction fx est arbitraire, et qu’on veuille vérifier l'équation (14) dans toute sa généralité, il faudra d’abord effectuer l’intégration relative à a. ; ce qui exige une attention particulière, attendu que les limites zéro et l’infini 11e peuvent pas être changées comme celles de l’intégration par rapport à x'.

L’intcgrale d'une quantité périodique qui s’étend à l'infini, doit toujours être considérée comme la limite d’une autre intégrale dont les élémens décroissent à mesure que la variable augmente , et sont nttls quand la variable est infinie ; observation semblable à celle que rious avons déjà faite relativement aux séries infimes de quantités

périodiques. Cela étant , on pourra considérer / cos a (x — x') da

e cos a ( x — • x1) da , c’est-à-dire , comme

la valeur de cette dernière intégrale qui a lieu quand on y suppose la constante g infiniment petite et positive , et dans laquelle intégrale e représente la base des logarithmes népériens. On parviendra , de cette manière, à une démonstration de la formule (14), tout -à -fait pareille à celle de la formule (5) qui a été donnée dans le n* g3.

‘ f) Jounidl de f École Polytechnique , igj* cahier, page 456

a08 THÉORIE MATHÉMATIQUE

rao

Nous pouvons aussi prendre pour J cos et(x — x') dx' , la valeur de

/„ cos & (x — x’)da correspondante à la constaute g infiniment

petite et toujours positive ; car d’après une formule connue , et qui se déduit de celle que l’on a déjà employée dans le n° 74 , nous avons

cos a (x — x') da =

quelle que soit la constante positive g; en appelant P le second membre de l’équation (*4)» nous aurons donc

fe fx'

dx' g ’

à la limite où la constante g est infiniment petite; et il s’agira de faire voir qu’à cette limite on a P =/x. Or, la quantité comprise sous le signe f s’évanouit avec g pour toutes les valeurs de x', excepté celles qui different infiniment peu de x. Si donc on fait x'= x-f • z-, on pourra regarder z comme une variable infiniment petite , positive ou négative ; par conséquent , on aura

Ws ’

mais, à cause que la quantité soumise à l’intégration s’évanouit avec g pour toute valeur finie de s, il sera permis d’étendre maintenant cette intégrale depuis z = — 00 jusqu’à z = 00 ; et comme on

il en résultera effectivement P = fx.

Au lieu de substituer * f* cos a (x — x') da. une autre intégrale

dont la première soit la limite, on peut encore intégrer d’abord depuis * = 0 jusqu’à une valeur indéterminée de a, qu’on traitera

DE LA CHALEUR. aog

comme infinie dans l'intégration relative à af. De cette manière , on aura

J cos <t (x — x ) da. = — — — — p — ; le second membre P de l’équation (14) sera donc

p ='- r tiaa(x Z

et si l’on y fait

x> — x , dxf = — ,

il deviendra

Or, la constante « étant infinie, la fonction f (x -j- ^ se réduit à

fx, excepté pour les valeurs de z qui sont elles-mêmes infinies, et auxquelles on peut ne pas avoir égard , parce que le facteur

rend aussi infiniment petite la partie de l’intégrale qui leur

correspond. Donc en observant que l’intégrale J’ dz est,

comme on sait, égale à 7r, on aura P = fx ; ce qui fournit encore une vérification de la formule (i.f). C’est ainsi qu’elle a été démontrée par Deflers, élève de l’École normale, mort il y a quelques années.

(io4). Cette formule (14) s’étendra, sans aucuue difficulté, aux fonctions de deux ou de plusieurs variables. Pour exprimer , de cette manière, la fonction f(x, y) pour toutes les valeurs réelles de x et j, on la mettra d'abord dans l’équation (14) à la place de fx; d’où il résultera

/(•*> J) — \ fa COS * (x — x')/(x', y) dxfda..

D’après la même équation , on aura également

/(*'» r) — cos 6(7 — /)/(*'» /Wté ;

et, de ces deux formules, on conclut

f f f cos*(ar— x')cos Z{jr—y')f{x',j,)dxdSda.dZ.

H J — <Bj O J O

Une fonction de trois variables s’exprimera de même pour une intégrale sextuple ; et ainsi de suite.

La même chose aura lieu à l’égard des fonctions de plusieurs variables que j’on voudra seulement représenter dans une étendue • limitée des valeurs de ces variables. D’après la formule (9), par exemple, nous aurons

/(■*, ÿ>—\ fl /(*'» 3) ** + j * Q fl c°* ^/(*\ J)dx' co«

* p flf{x',f) & + j x\ fl' cos SW~^ <=<>» ;

d’où l’on conclura

f(r, r) = if. fl fl f (*'. ywdy

+ tf 2 [/T/; cos nr/< ^ ^ cos

+f2 [/!/: C0‘ njr-w,y)

+ ^ 22 C fl fl COT "rc05 “F" 004 TT 004 •

Les quantités l et 1' sont des constantes données; n et ri sont des nombres entiers et positifs, auxquels se rapportent les sommes 2 qui s’étendent depuis l’unité jusqu’à l’infini. L’équation a lieu pour toutes les valeurs de x et y depuis jc = o ety = o jusqu’à x = l et y ss V, en y comprenant les valeurs extrêmes. Si l’on fût parti d’une équation qui n’ait pas lieu, comme l’équation (9), pour les valeurs extrêmes, il faudrait ajouter à la formule définitive une partie complémentaire , facile à déterminer d’après ce qu’on a vu dans le n“ 99. On pourrait aussi obtenir des formules qui exprimeraient une fonction ÿ"(x, y) entre des limites relatives à l’une des variables , données en fonctions de l’autre variable , et entre des valeurs de cette seconde variable qui seraient des constantes

DE LA CHALEUR, aussi données; en sorte que /(x, y) étant l’ordonnée d’une surface dont x et y sont les deux autres coordonnées courantes, cette fonction /{x, y) se trouverait représentée pour tous les points d’une portion de la surface dont la projection sur le plan des x et y serait terminée par une courbe donnée. Mais quand il s’agit de représenter par une série de quantités périodiques une fonction arbitraire de deux variables , dans une étendue limitée des valeurs de ces variables , il vaut mieux exprimer cette fonction par une série de certaines fonctions de deux angles , qui est plus appropriée aux questions où l’on en fait usage , et qui nous reste actuellement à considérer.