CHAPITRE VIII

Suite de là digression sur la manière de représenter les Jonctions arbitraires par des séries de quantités périodiques.

(io5). Supposons qu’on ait décrit une surface sphérique dont le rayon soit égal à l’unité, et menons par le centre trois axes rectangulaires. Soit 8 l’angle compris entre le rayon d’un point quelconque de cette surface et l’un de ces trois axes ; projetons ce rayon sur le plan des deux autres axes, et soit 4 l'angle que fait sa projection avec l’une de ces deiix droites : les coordonnées de ce point, rapportées aux trois axes fixes , seront

cos 0 , sin 6 sin 4 > sin 0 cos 4 ;

l’élément correspondant de la surface sphérique aura sin 6<f8rf4 pour expression ; et pour étendre les angles 8 et 4 à tous les points de cette surface, il faudra leur donner toutes les valeurs comprises depuis 6 = 0 et 4 — ° jusqu’à 8 = tc et 4 = aw*

Désignons par Y. une fonction rationnelle, entière et du degré n, des trois coordonnées précédentes, qui satisfasse, en outre, à l’é- * quation

sin idê

sin* ê J4/*

oj (1)

en sorte que l’expression la plus générale de Y. soit une intégrale particulière de cette équation aux différences partielles, qui contiendra , comme on peut s’en assurer (*) , un nombre an -f- 1 de constantes arbitraires.

(*) Mécanique céleste, tome II , pages 3g —

DE LA CHALEUR. a, 3

Cela posé, toute fonction f( 0 , 4) des deux variables 0 et 4 peut être représentée par une série de cette forme :

/( fl, 4)==Y0 + Y1+Y.-f-YJ+....+ Y.+ clc., 00

pour toutes les valeurs de S et 4 renfermées entre les limites 6=0 et 0 = -jr , 4=oet 4= air, pourvu que cette fonction ne devienne point infinie entre ces mêmes limites.

Ce théorème est d’une grande importance par les nombreuses applications qu’on en a faites dans la mécanique céleste, dans la théorie de la chaleur et dans d’autres questions de Physique et de Mécanique. La démonstration que j’en ai donnée dans plusieurs mémoires, et que je vais reproduire ici, me -semble propre à dissiper tous les doutes que l’on avait élevés sur sa généralité.

(106). Cette démonstration est fondée sur un autre théorème dont voici l’énoncé. —

Soit, pour abréger,

cos 0 cos 0' -f- sin 0 siu 0' cos (4 — 40 = P >' soit ensuite

= ±. rr

» {1 — •’')/* {#', 4»') sin b'Ht'ii J.'

a désignant une constante positive qui peut différer aussi peu qu’on voudra de l’unité , et le radical \/ 1 — -jap -H a‘, qui se trouve au dénominateur, étant aussi regardé comme une quantité positive dans toute l'étendue des intégrations : la limite de X relative à a, c’està-dire, la valeur de X qui a lieu quand la différence 1 — a. devient infiniment petite, sera

x = =fc/(9, 4),.

pour toutes les valeurs de 0 et 4 comprises entre les limites des intégrations; le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu selon que l’on a * ■< 1 ou a > 1 . La démonstration de ce second théorème repose sur les mêmes principes que celle du n* g5.

En effet, le coefficient de d^d\'t sous le double signe ff , de-

vient infiniment petit en même temps que i — et, excepté lorsque P diffère infiniment peu de l'unité , ce qui rend aussi infiniment petit le dénominateur de ce coefficient. Or, d’après les limites où sont renfermées 6' et 4', et entre lesquelles on suppose comprises les valeurs de 9 et 4 j on ne peut avoir p = », à moins qu'on n’ait 9' = 8, 4' — 4 » donc, en faisant fl' = 6 4* ==4-f"s» H suffira détendre les

intégrations à des valeurs infiniment petites , positives ou négatives, de y et z, pour obtenir la partie de l’intégrale double qui peut ne pas devenir infiniment petite en même temps que la différence i — et. Mais en traitant ces nouvelles variables jr et s comme des quantités infiniment petites, nous aurons

i — p = + ; z* sin* 8-

De plus , si l’on suppose a. < i , que l’on désigne par g une quantité infiniment petite et positive, et que l’on fasse t — a=sg, on aura aussi

i — aap -f- «* = g* -f- jr* -f- s* sin* 9 ,

(i — a.') 4') sin 9' = 2g f( 8 , 4) ®*n ®-

Au moyen de ces valeurs, nous aurons donc

X = -^<* Cf p sin ^dt .

et maintenant les intégrations s’effectueront sans difficulté.

L’intégrale relative à z étant infiniment petite pour toutes les valeurs finies de la variable, nous pourrons l’étendre, sans altérer sa valeur, depuis z = — oo jusqn’à z = oo ; alors, si l’on fait

z sin 8 = z' \/g‘ -j-y‘ , sin 8 <iz = Vg' >

les limites relatives à z' seront toujours =1= oo , et l’on aura

X f g*» * — /fL 4) Ç rir

ar J g'+J*J -m 1 »■

D’après ce que la constante g représente, l’intégrale relative à y est

DE LA CHALEUR. ai5

aussi indépendante des limites qu'on lui attribuera; car, en désignant par h une quantité positive et d'uhc grandeur tinie, et intégrant depuis y — — h jusqu’à j = h , on aura

quantité égale à tr , puisque g est un infiniment petit, et, conséquemment, - = 00.

Nous aurons donc finalement

x = /(fl, 4)>

pour la limite de X relative à la différence î — ot infiniment petite, quand on suppose a, < i ; et l’on trouverait de même — /(Ô , 4) pour celte limite, dans le cas de « > i ; ce qu’il s’agissait de démontrer.

Le principe essentiel de celte démonstration consiste en ce que l’on considère la fonction ftft, 40 comme constante dans l’étendue des valeurs de 0' et 40 infiniment peu différentes de 0 et 4» et pour lesquelles l’intégrale représentée par X ne s’évanouit pas avec la différence 1 — a. Cela résulte effectivement de ce que, par hypothèse, la fonction /'(fl', 40 ne devient pas infinie entre les limites de l’intégrale double; en sorte que si l’on fait

/lô', 4') = /(fl, 4) 4- K,

£ sera une quantité qui deviendra infiniment petite, quand les différences ô' — 0 et 4' — 4 le seront l’une et l’autre. De cette manière , on aura

^ ^ *‘l> | — ^ sin

n /•»/'»(! — «') j sin frltd-l

Lorsque a différera infiniment peu de l’unité, il suffira , comme on l’a dit plus haut, détendre les intégrations à des valeurs infiniment petites de 8' — 8 et 4' — 4- La plus grande valeur de Ç, dans cette étendue, sera elle-même infiniment petite; et si nous la désignons

ai6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

par S, la seconde intégrale double sera moindre que

(i — «•) sin b'dtfd^,'

par conséquent, on pourra la négliger comme infiniment petite par rapport à la première ; ce qui revient à regarder f(W, 4’) comme une constante égale à f{ 0, 4)i ainsi que nous l’avons pratiqué ici et dans tous les cas semblables. Nous faisons cette observation pour répondre à une objection que l’on avait élevée contre l’exactitude de notre analyse.

(107). Avant de conclure de ce théorème celui du n* 104, il est bon de remarquer que la limite de la quantité X n’est plus égale à à= /(0, 4), lorsqu’on donne à 6 ou à 4 l’une de ses valeurs extrêmes , et de chercher ce que devient cette limite pour chacune de ces valeurs.

Si l'on a4=o, il y aura deux valeurs 4* = o et 4 ' = aw, telles qu’en les prenant avec fl'= 0, la quantité p sera égale à l’unité. Pour avoir alors la valeur complète de X, qui a lieu quand la différence 1 — a. est infiniment petite, 011 devra donc faire successivement 4,= z et 4'=: + 2Tf; mais comme la variable 4’ doit toujours être positive et ne pas dépasser 2it , il faudra, dans le premier cas, n’attribuer à z que des valeurs positives, et, dans le second, ne lui donner que des valeurs négatives. Il en résulte que dans le calcul du numéro précédent, on devra seulement intégrer depuis z = o jusqu’à s = » dans le cas de 4/ — - > et depuis z = — «jusqu’à z = o dans le cas de 4* = s -f- aar ; ce qui réduira, dans ces deux cas, à la moitié de sa valeur précédente l’intégrale relative à z; et de là on conclut que pour la valeur particulière 4 — 0 la limite de la valeur de X sera

On verra pareillement que cette limite sera encore la meme pour l’autre valeur extrême 4 — aw.

Dans le cas de 0 = o, on a p — cos 0', et, conséquemment ,

x = - rv (i~*') 8*° vdh’ 1 d 4 '

4*- y» [J o (,i« cos 6'+«r J

DE LA CHALEUR. ar7

Mais, lorsque et diffère infiniment peu de l’unité, l'intcgrale relative à 6' n’a de valeur que quand la variable est infiniment petite ; ce qui permet de faire 0'=o dans f[f$' , et de conserver, néanmoins, les li-

mites 0'= o et 6' = -îf de cette intégrale. La formule précédente se changera donc en celle-ci :

J o (i — a» cos8'-f- «*)*

Or, quelle que soit la constante * , on a

/’(i — «*) sînS'rfS' > — «* , q

fî— a^coiy-f •*)* -t/|-«co.6'+7‘

C étant la constante arbitraire. Aux deux limites 8* = o et fl' = 7r, le radical a pour valeur ±(i — a)et±(i-f-a); et comme il doit toujours être une quantité positive , il faudra prendre i -f- a à la limite 6' == 7r , et , selon qu’on aura a < i ou a > î , on prendra i — « ou a — i k la limite 6'=o; d’où l’on conclut, en passant à l’intégrale définie,

y'» (l — «•) »in (ÏM a

o (i — mco»*'4V)‘

selon que la différence quelconque i — a sera positive ou négative. Par conséquent, la valeur de X, qui a lieu quand cette différence devient infiniment petite, sera

On trouvera de même

pour cette limite de X , dans le cas de 8 = k.

Ainsi, abstraction faite du signe, la limite de X qui répond aux valeurs extrêmes 4 = o et 4 = 3», est la demi-somme des valeurs correspondantes de f(Q, 4)> ct la limite de la même quantité, qui a lieu pour chacune des valeurs extrêmes 0 = o ou 0 = tt , est la moyenne des valeurs de f(o, 40 ou de f{yr , 4')» depuis 4'= 0 jusqu’à 4'= J7T. Pour que la limite X = f{b, 4)» ou le théorème du numéro précédent , convienne à ces valeurs extrêmes de

ai8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

4 et 9, ii faudra donc qu’on ait f( 9, o) = f{9 , aw), et que la fonction f{9, 4) soit indépendante de 4 > pour 8 = o et pour 8 = tt.‘ Dans l’étendue des valeurs de 8 et 4 où ce théorème subsiste, la fonction f(9, 4) pourra être continue ou discontinue ; mais si elle a , par exemple, une certaine forme depuis 8 = 0 jusqu’à 8 = 8(, et une autre depuis 8 = 8, jusqu a 8 = vr , et si les deux valeurs de f(f), 4) qui répondent à 8 = 8,, ne sont point égales, on s’assurera aisément, par l’analyse précédente, que pour cette valeur particulière de 9 la limite de X sera la demi-somme de ces deux valeurs ine'gales de /(8, 4)- U en sera de même relativement à l’autre variable 4- (108). Maintenant, soit

Supposons a > o et < i , et développons suivant les puissances de sx ; nous aurons

f = 1 + <*P, + «‘P, -f* <*5Pj + + «*P. + etc. ;

P, étaut une fonction de p , rationnelle , entière et du degré « , qui a pour expression

„ i .3.5. . .an— i / . n.n — i , n.n — t.n — a.n — 3 . , P* = 1.2.3"..» \P ~ 2-^=i P MT2^-..2B- 3 P

- 2 . 4 vc. 2» -T^nrr, -g p'~' + e,c0 »

comme il est facile de s’en assurer, en développant d’abord la quantité f par la formule du binôme, suivant les puissances de a p* — a’, et ensuite les termes de ce premier développement suivant les puissances de a.

D’après ce que p représente (n* 106), on peut regarder cette quaulité comme le cosinus d’un certain angle, de sorte que p ne peut jamais surpasser =fc 1. Dans le cas de p = =fc 1 , on a

or, je dis que pour tonte autre valeur de p, le coefficient P, est moindre que l’unité, abstraction feite du signe (*).

(*) Exercice! de Calcul intégral, toiue II, page 248.

Faisons, en effet ,

DE LA CHALECR.

aig

p = cos a , c = 6 , e — >>

e étant la base des logarithmes népériens, et a> un angle réel. Nous anrons alors

En développant ces deux facteurs de p par la formule du binôme, on voit que / sera le produit des deux séries

•> + r(‘> + îTë “ > + ïto* ^+etc- »

qui sont convergentes, puisqu’on suppose a < i ; et si l’on multiplie ces deux séries l’une par l’autre, que l’on prenne la somme des termes du produit qui auront «.* pour facteur, et que l’on fasse disparaître les imaginaires, le coefficient de *" ou P. sera évidemment de la forme :

P. = A cos ru* -f- B eos (n — a) «*+- Ccos (n — 4)<“ + elc- >

A , B, C, etc., étant des quantités positives et indépendantes de ai. Par conséquent, la plus grande valeur de P. répondra à u = o ou p — i , et ne surpassera pas l’unité.

Il résulte de là que le développement de p sera une série convergente, quelle que petite que soit la différence i — a; condition indispensable pour qu’on puisse employer cette série à la place de p dans les calculs suivans.

Observons aussi que la quantité P. est un cas particulier de celle que nous avons désignée généralement par Y, dans le n* io5. En effet, après avoir mis cos ai à la place de p, si l’on différentie le produit cep par rapport à ai et à a , on en conclura , sans difficulté ,

~XF ■*"" «* sin mdu

et si l’on substitue dans le premier membre de cette équation , à la

aao THÉORIE MATHÉMATIQUE

place de />, son développement, et que l’on égale ensnite à zéro le

coefficient de a"-' dans ce premier membre, on aura

&iu mdm

Or, en comparant ce résultat à l’cquation (i) , on voit que P. devra se déduire de la quantité Y,, en supposant cette fonction indépendante de l’angle 4» et y mettant ai à la place de 0.

(109). 11 est facile de démontrer actuellement le théorème du n* io5.

En effet, on a identiquement

' de t

au moyen de quoi la quantité X peut s’écrire sous cette forme :

*- if.T.'X' + “ a ».«»+'.

En y substituant pour p son développement, on aura donc

’ X = £ /;/” [. + 3 «P, + 5«‘P. -h 7*jPj + • . . .

. , . (an + 1) a’P. -f- etc •1/(0', 40s*n WdH'd-\' ;

et cette quantité X se trouvera ainsi développée suivant les puissances de a. Or, dans ce développement, le coefficient de a* est, aussi bien que P, , une quantité de la même nature que Y. ; en prenant donc

y. = p./(0r, 40 «a wtKdv, (4)

et supposant que a diffère infiuiment peu de l’unité, nous aurons

X = Y. + Y. + Y, + Y, H- . . . . +Y. -f- etc. ;

mais, à cette limite, la valeur de X est f( 6, 4)> d’après le théorème du n° 106; cette dernière équation n’est donc autre chose que l’équation (a) qu’il s'agissait de démontrer.

Pour que l'équation (a) s’applique aux limites mêmes des valeurs de 9 et 4 , pour lesquelles elle a lieu , il faudra qu’on ait /(fl , o) = /(fl, 27r), et que les valeurs de /(o, 4) et /(* » 4) soient indépendantes de 4- Quand ces conditions ne seront pas remplies, on devra modifier l’équation (a), relativement aux valeurs extrêmes de Ô et 4 < d’après ce qu’on a trouvé dans le n° 107. Lorsque /(fl, 4) sera une fonction continue et d'une forme donnée, si l’on veut étendre l’équation (2) au-delà de ces limites de 8 et 4 » on fera

9 == im -h u, 4 —

m et m ! étant deux nombres entiers et positifs , et en désignant par u et v des variables positives, telles que l’on ait u et v < 271 En substituant ces quantités à la place de fl et 4 dans l'expression donnée de /(fl, 4 ) > elle sc changera en une fonction de « et v, et des deux nombres m et m', à laquelle on pourra appliquer l’équation (2).

Si l’on difl’érentie cette équation, soit par rappottà 6, soit par rapport à 4, on en déduira deux autres formules qui auront lieu dans la même étendue des valeurs de 4 et fl» et qui subsisteront aux limites mêmes de ces valeurs , lorsque certaines conditions seront remplies, outre celles qui sont nécessaires pour que l’équation (2) convienne à ces limites. Je me borne ici à indiquer ces deux autres formules , que l’on trouvera dans mon mémoire sur Y Attraction des Sphéroïdes (*).

(no). Toutes les fois que /(fl, 4) scra u,ie fonction rationnelle et entière de cos fl,. sinflcos4» sin 6 sin 4 , comme les quantités de la nature de A. , son développement en série de quantités de cette espèce ne renfermera qu’un nombre fini de. termes, et il sera facile à former dans chaque cas particulier. Au contraire , quand /(fl, 4) sera d’une autre forme, on bien quand elle sera une fonction discontinue, la série (3) se prolongera à l’infini; et, pour en calculer les termes successifs, il faudra recourir à la formule (4)- Or, à cause du facteur an-f- 1 de cette formule, on pourrait craindre que les termes de k série (3) n’allassent en croissant, et que la sé-

(*) Connaissante des Tems, anuée 1829, paye 3 39

rie ne fut divergente, auquel cas on ne pourrait plus s’en servir pour représenter la fonction /(8, 4) ; mais, par une transformation convenable, on peut prouver que les termes très éloignés des premiers décroissent de plus en plus à mesure que l’iDdicc n augmente, et deviennent nuis quand ce nombre est inüni.

En effet, pour plus de généralité, considérons l’intégrale double

flf: Y './(«'» 40

dans laquelle Y', représente ce que devient la fonction Y. du n* io5, lorsqu’on y met 9' et 4' au beu de 8 et 4 » et peut , en outre , renfermer, d’une manière quelconque, ces angles 6 et 4 > qui seront regardés comme des constantes données. Cette fonction Y'., et, par suite, cette intégrale, comprendront, comme cas particulier, la quantité P. et l’intégrale contenue dans la formule (4). En vertu de l’équation (1), on aura

Y', sin 0' = -J — - (*"* ^ ! £1;

n(rt + 0 àt n (n •+• 1) sin 6' '

L’intégration par partie donne

'-(-.rÿ)

w 40 = ÿ sin •'/(«', 40

aux limites 0' = o et 0' == w, les quantités comprises hors du signe f s’évanouissent ; on aura donc simplement

L’intégration par partie donne également

DE LA CHALEUR. • .aa3

chacune des quantités Y', et a des valeurs égalés, aux limites 4 — o et 4* =2^; nous supposerons qu’il en soit de même à 1 egard de la fonction /( 8', 4') et tie 500 coefficient différentiel ; cela

étant, les termes compris hors des signes /seront égaux , à leurs deux limites, et disparaîtront conséquemment en passant à l’intégrale définie; en sorte que l’on aura simplement

/Tv /<-v’ 4')'‘+'

D’après cela, si l’on fait, pour abréger, on conclura de toutes ces valeurs

transformation remarquable qui s’applique i l’équation (4) et qui nous servira aussi tout à l’heure à un autre usage.

Maintenant, si l’on met dans cette équation (5) P« à la place de Y'., on pourra changer l’équation (4) en celle-ci :

v- — f^FTî/r/.” p-

Or, la plus grande valeur de P, est l’unité en plus on en moins; généralement, la fonction F (8', 4') ne deviendra pas infinie entre les limites de l’intégration , si ce n’est aux limites même 0'seso et &'=’», à raison du dénominateur de son second terme; mais je supposerai qu’à ces limites la fonction est indépendante de l’angle 4'> ce qui fera disparaître les valeurs correspondantes de ce second terme. En désignant donc par k la plus grande valeur de F (8', 4’}» abstraction faite du signe, k sera une quantité finie, et nous aurons, aussi 'en grandeur absolue,

d’où l’on conclut que quand le nombre n sera très grand, les valeurs

a24. • THÉORIE MATHÉMATIQUE

de Y. diminueront de plus en plus, à mesure que leurs indices augmenteront encore davantage, et qu’elles seront nulles pour n = x> ; ce qu’il s’agissait de faire voir.

(m). Mettons, dans l'équation (5), fl et 4 au lieu de 0' et 4*. et prenons pour la fonction arbitraire f (0, 4)» une fonction Z., de la même nature que Y,, mais correspondante à un indice n' différent de n; nous aurons d’abord

et , par conséquent.

d' Z„ sln 8 éfy* *

F (0,4) = — »'(«' ■+■ «) Z„ sin 0,

en vertu de l’équation (i) appliquée à cette fonction Z„. L’équation (5) deviendra donc

w * ««+ = vSïÿ/.X" v-z-

elle sera identique dans le cas de n' — n; mais ces deux nombres étant supposés inégaux , il faudra qu’on ait

/X’ Y. Z„ sin 0rf0rf4 =0; (6)

propriété très importante des quantités de la nature de Y, ou Z„ , qui se démontre, comme on voit, indépendamment de la forme de ces fonctions, et d’après la seule considération de l’équation (1) qui sert à les définir.

Lorsque les nombres n et n' sont égaux,- l’intégrale double que nous considérons pourra toujours s'obtenir sous forme finie par les règles ordinaires; mais sa valeur est très simple et peut s’exprimer d’une manière générale, dans le cas où l’une des deux fonctions comprises sous k signe ff est la fonction particulière P,.

Pour cela , je change , dans l’équation {4) , 0 et 4 en 6' et 4% et réciproquement; pétant symétrique par rapport à 0 et 0', aiusi qu a 4 et 4*> he changera pas, non plus que P„ ; en désignant par Y', ce que Y, deviendra , on aura donc

• DE LA CHALEUR. # aa5

Je substitue la série (a) à la place de /'(S, 4)î puisque la quantité P. est de la raètue nature que Y., on aura, en vertu dei’équa- . tion (6), •

rjr sin SrfdtLJ, = o ,

tant que les indices n et n! seront inégaux ; tous les termes du premier membre de l’équation précédente s’évanouiront donc, excepté celui qui répondra à n' — n; par conséquent, on aura

• ; r/rp-,-“Mw+=Æi'- (7>

(lia). C’est sur les propriétés des termes de la série (a), exprimées par eps équations (6) et (y), que sont fondés les nombreux usages que l’on fait de cette série. La première conséquence que l’on en déduit consiste en ce qu’une même fonction y(0, 4) ne peut être représentée que d’une seule manière par une série de cette nature, pour toutes les valeurs de S et 4 comprises entée fl = o et 8 = tt,

4 = o -et 4 — aw. E*n effet, supposons que par des moyens quelconques on ait trouvé ces detix expressions

f (8» 4) = “b* U, -4- U; + Uj 4~* • • •+ U. -+• etc.,

/(8,4) = V. + V. + V. 4- vs + ....+ V.-f- etc. ,

en séries convergentes, dont les termes généraux U. et V, sont des fonctions delà nature de Y,; entre' les limites des valeurs de 6 et 4, il faudra que ces deux séries soient égales; or, si on les multiplie par P, sin 0ri8r/4) «t que l’on intègre ensuite depuis 6= o et 4— o jusqu’à 0 = -7r et 4 = 3-7r» on aura, en vertu de l’équation (6),

. f’f" P. U„ sin W4 = o , P. V. sin md-\ = o ,

tant que Tes indices n et n' seront différens ; il en résultera donc • •

/;/;• p. u. sin ôrfw4 = p. v. sin »4 ;

et d’après l’éqtiation (7), on en conclura U. = V.; en sorte que les . deux séries seront identiques.

aa6 . THÉORIE MATHÉMATIQUE

Il n’en serait pas de même si la fonction donnée était représentée, comme dans le chapitre précédent, par une 'série de sinus et de cosinus des nfultiples de 8 et 4 : une même fonction, pour une étendue donnée des valeurs de chaque variable , peut être exprimée sous cette forme de beaucoup dê manières différentes; et quand on est parvenu à une équation dont les deux membres sont de telles séries , on n’en peut pas conduit, en général , que les termes semblables soient égaux de part et d’autre; égalité qui a toujours lieu , au contraire, pour les séries ordonnées suivant les quantités de la nature de Y..

(n3). Au moyen des équations (6) et (7), On peut aussi obtenir immédiatement sous forme finie, la valeur de toute Intégrale double Q, de là forme : *

r*n f* in Y» sin l did'y

a étant une constante donnée , p désignant la. même quantité que dans le 11’ 106, et le radical étant supposé positif dans toute l'étendue de l’intégration. Selon qu’on aura a < t ou a> 1, abstraction faite du signe, on* développera (1 — 3 ap + a‘)~‘ en série convergente , ordonnée suivant Ici puissances positives ou négatives de a; le coefficient de a* dans le premier cas, ou de a~‘~‘ dans lé second, sera toujours la quantité P. du n* 198; d’où l’on conclut, en vertu des équations (6) et (7), • r • •

^ an ■+■ 1 * '

dans le cas de a. < 1 , et

(an

dans le cas de a. > 1.

Si l’indice «est zéro, Y', sera une constante; et en la désignant par a , il eu résultera

Q = 4 7ra, ou Q = —,

selon qu’on aura a. < 1 ou a > 1 ; résultat qu’on peut vérifier au ■

mojen d’un théorème sur la réduction des intégrales doubles à des intégrales simples , auquel je suis parvenu par des considérations géométriques.

D'agrès ce théorème , on a . • •

J'" J' • sin = w f+ Ppdp ,

quelle que soit la fonction <pp. Relativement à l'intégrale Q, ou aura donc * .

Q = vra C+' . \ .

dans le cas de Y. = a. En effectuant l’intégration relative à p , il vient

Le radicqj devant toujours être positif, si l’on suppose, pour fixer les idées, que la constante a. soit aussi po^tive, il faudra toujours . prendre 1 ■+- a. pour la valeur de *V/(i ■+• tt)*> et selon qu’on aura a < 1 ou a > t , il faudra prendre 1 — a ou a. — 1 pour celle de V/(i— «)*> d’où il résultera

. ’ Q = 4™, ou Q =

valeurs qui .coïncident avec celles' que l’on obtient par le développement en série.

La différence des deux valeurs de Q provient, comme on voit, de la. nécessité d’une série convergente, quand on développe le radical ; ou bien, lorsqu’on intègre directement sous forme finie, .elle résulte de ce que le radical doit conserver le même signe dans toute l’étendue de l’intégratio'n , y compris les limites p — dzi.

Si la constante <t diffère infiniment peu de l’unité, les deux valeurs de Q diffèrent aussi infiniment peu l’une de l’autre ; mais il n’en est

pas de même à l’égard des valeurs de En différentiant par rapport

à a les valeurs de Q ; on en de'duit

(« — p) dp

ou ss -,

selon qu'on suppose a. < i ou a. >» i ; et ces deux valeurs sont , comme on voit, très différentes l'une d$ l’autre, à la limite où la différence i — « devient infiniment petite. Ce paradoxe tient à ce qu’à cette limite une variation infiniment petite dans la valeur de <z suffit pour produire un changement brusque , c’est-à-dire , une variation de grandeur finie dans la valeur de l’intégrale. Dans le cas où Ton aurait rigoureusement a. = i , la valeur de cette intégrale serait la moyenne des deux valeurs précédentes, bu de xéro et a; et, en effet, -on a alors

dP —

/"•-H (s t — p) dp i Z1 M*i dp

Au reste, il existe beaucoup d’aurres intégrales définies renfermant une constante sous le signe f, qui ont des valeurs très différentes , selon que cette constante, comme ici la différence 1 — a, est positive ou négative, quoiqu’elle soit infiniment petite, et qui prennent une valeur moyenne, quand cette constante est rigoureusement nùlle. C’est ainsi que l’on par exemple

i bx

— O, ±= — -yr,

selon que la constante b est <o, =o, , >o, et quelque valeur qu’elle ait, finie ou infiniment petite, dans le premier et le dernier cas. •

(114). Si u est une quantité relative aux différens points d’un corps A , .leur température par exemple , cette quantité pourra être considérée comme une fonction des trois coordonnées polaires d'un point quelconque, c’est-à-dire, de son rayon vecteur, que j’appellerai r, et des deux anglés G et 4, du n° io5 , qui déterminent la direction de r, de sorte que l’on aura

* • DE LA CHALEUR. . 22g

De plos, si l’origine de ces coordonnées polaires est un point pris dans l’intérieur de A, il suffira, pour appliquer cette fonction à tous les points de ce corps , d’étendre les valeurs de r depuis r = o jusqu'au rayon d’ufi point quelconque de la surface, qui serj donné, pour chaque corps, en fonction de 0 et ^ , et les' valeurs de ces angles depuis 0 = o et 4- = 0 jusqu’à 0 == it et 4 = Or, pn combinant la série (a) avec l'une des formules du chapitre précédent, on pourra toujours exprimer cette quantité u en une série de* quantités périodiques, applicable à tous les points de A.

Ainsi, en supposant que l soit la valeur de r qui répond à la surfaite de ce corps, on aura, d'après la formule (g) du 0° Ç)6,

«= 7 f‘ F(ri, 0, 4)dr'+ } 2 [ f‘ cos^F (ri, 0, 4)rf/] cos ^ ,

depuis r — o jusqu a r = l inclusivement, et pour toutes les valeurs de 0 et 4 j 1° somme 2’ s’étendant à toutes les valeurs du nombre entiôr ri, depuis ri =2 1 jusqu’à ri — =00. En mettant 6' et 4' à la place de 0 et 4 dans cette série , et la substituant ensuite à la place de / ( 0', 4' ) dans la formulé (4), on aura le terme général de la série (a). Si A est une sphère , et que l’origine dçs coordonnées soit placée à son centre , le rayon l sera une constante; et* dans ce cas, la série (a) donnera, après cette substitution , •

« = ^2 F (r',‘ 0', 4') sin Ô'dr'dïd-j.'J (a n + 1) P.

Ô',40sm8W^4'](an+* )p.cos "-fr

. la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs entières et positives de n, y compris zéro.

Lorsqu’on supposera le rayon l infini', la première partie de cette expression disparaîtra, la seconde changera de forme, et la formulé. conviendra à tous les points de l’espace. En faisant alors

lâ somme 2' se changera en une intégrale relative à a, qui s’éten-

a5o THÉORIE MATHÉMATIQUE ; *

dra depuis <* = o jusqu'à a = oo , et l’on aura

m = 2 J' 4,)cos“rcos*rs*n

•La’ fonction «'ou F (r, 0, 4) *« trouve ainsi exprimée pour tons les points de l’espace par une série de quantités périodiques, dont tous les termes sont des intégrales quadruples. Par le théorème de Fourier (n” 102) i étendu à une fonction /(x, y, a) des trois coordonnées rectangulaires x , y, z, d’un point quelconque, cette quantité u ou f(x , y , z) se trouverait exprimée par une intégrale sextuple, savoir : • • . *

=hSo JT f » f t rf

On emploiera l’une ou l’autre de ces deux expressions d’une même quantité , selon les différentes questions où l’on %n devra faire

iu«ge-

. ( i t5 )'. Le théorème du n° 106 a suffi pour démontrer celui du

n» io5; mais la première de ces deux propositions est comprise dans’ une autre plus générale, qu’il est bon de connaître.

Soient c une constante positive quelconque, et p la même, quantité que dans le n° 106, savoir : ••

p = cos 0 cos 9' 4- sin 0 sin 0' cos (4 — 40 >

si nous fai son*

x C f*w r-" (i — »■)•/(»’, 40 sin Vdïd\’

K * ' '* J nJ o (i— »«/> + «•) ,+ÎC

et que nous supposions a < i , pour fixer les idées , nous aurons .

à la limite où la différence i — a deviendra infiniment petite; fhéorèrfte qui aura lieu, comme celui dn n° to6, pour toutes les valeurs de 6 et 4 comprises depuis 0 =o et 4 = 0 jusqu’à 0 = ir et 6 == xr , et qui se démontrera absolument de la même manière’.

DE LA CHALEUR. . a3t

•Toutes les fois que la fonction J (0', 4 ) sera telle, que les intégrations relatives à 0' et 4’ pourront s’effectuer sous forme finie par les régies ordinaires, sans attribuer à la constante a aucune valeur particulière, il sera possible de vérifier la valeur de X quiVépond à la (imite a. — i . Pour en donner un exemple , prenons J\ 0', 4*) = p • Eu faisant 0'== 0 et 4' = 4 dans lîcxpression de p qu’on vient de rappeler, on aura / (0, 4) — * ! quantité X sera

p sin V dh'd\'

1+ je »

(l — a mp + «*)

d’après le théorème général, il faudra donc que cette quantité se réduise à 4’imitc pour la valeur particulière et = 1. C’est ce qu’on vérifiera de la manière suivante.

Au lieu de l’intégrale double contenue dans X, considérons, pour plus de généralité, l’intégrale

/'/ m <Pp • sip 0V/0V/4',

dans laquelle <pp est une’ fonction quelconque de p. Décrivons une surface sphérique d’un rayon égal à l’unité, par son centre menons arbitrairement. un axe fixe, et par cet axe un plan fixe. Soient .0' l’angle compris entre un rayon quelconque et cet axe, 4# l’angle que fait le plan de ces deux droites avec le plan fixe , et ds l’élément différentiel de la surface sphérique auquel aboutit le rayon quelconque. Les constantes 0 et 4 seront les valeurs de 0' et 4’ qui répondent à un rayon déterminé, et p exprimera le cosinus de l’angle compris entre ce rayon et celui qui répond à 0' et 4 - On "aura

ds = sin

l'intégrale précédente se changera en celle-ci fftppds , %t elle s’étendra à tous les points de la surface sphérique. Or, l’angle dont p est le cosinus et l’a fonction ç p ne dépendant aucunement de la.direction arbitraire de l’axe fixe à partir duquel l’angle G' est -compté, il est évident que cette dernière intégrale double en sera aussi indépendante ; on peut donc , si l’on veut, faire coïncider cet axe avec le rayon ^qui répond aux angles 0 et 4 > et si l’on représente alors par 0/ et 4, ce Vjue

a5a THÉORIE MATHÉMATIQUE

deviennent les angles variables 0' et 4-', il eu résultera

■ p — cos0(, ds = sin = — dpd-\r

L’intégrale fftypds, étendue à la surface sphérique entière, deviendra , de cette manière ,

. f/Qpds = flPJtP • sinÔ/i0,<H, = fT,f7 *P ‘ip d^> !

. d’où l’on conclut *

• . pp* Qp.sïntydtfd-l,' = 2irJ'+' <ppdp ;

ce qui est le théorème cité plus haut (n° 1 i5), au ‘moyen duquel on réduit une fiasse très étendue d’intégrales doubles à des intégrales simples. •

En l’appliquant à l’intégrale contenue dans l’expression de X, elle se réduira à celle-ci :

(l— 3mp -+■ «’)

qui s’obtient par les réglés ordinaires; quelle que soit la constante De cette manière , on trouve > • *

x= (è -,)«■ - *)' Ktf - a)‘ + 04- *)•] ‘

ri- (» + *)* [fc — a) * — (i •— <*)•]} ; quantité qui se réduit effectivement à l’unité, dans le cas de et = i.