TC
,, n(ôy cos /hr— t) . mrx
■" 2 ■ — — t — nr- sin — e /»
2 / f 1 . n*x’ j- ij i\ ■ nwX.—^UH?—
7 e 2as,nT>'ir)smTe •
On appliquera cette formule au cas d’un anneau dont un point a une température invariable et égale à 6, en y faisant 6* = 9 : ce point est l’origine des distances x, comptées sur l’axe curviligne de l’anneau, dont l est la longueur.
(i33). Si le rayonnement est nul aux deux extrémités de la barre, il faudra faire à la fois *■ = o et rs' = o dans les équations (4) , et, conséquemment, dans l’équation (20), ce qui la réduit à c* siri api — o. Elle aura donc une racine triple p=o; mais, d’après ce qu’on a dit plus haut, 011 ne devra employer qu’une seule fois cette valeur de p. Le terme correspondant de la formule (18) se présentera sous la forme 5 ; on en obtiendra la véritable valeur en supposant cette quantité p infiniment petite; la valeur de X donnée par la formule (21) se réduira alors à X = — 2 pk, dans le cas que nous considérons où <rs et <&' sont zéro ; et le terme correspondant de la formule (18), multiplié par e~ *' , sera
Vx'dx'.
Les autres valeurs de p tirées de l’équation sin api = o , serout
DE LA CHALEUR. a75
tous les multiples de mais il importera de distinguer les uns des
autres les multiples pairs et les multiples impairs. Eu désignant par « un nombre entier et positif, on fera donc successivement
n- t (an — i)ar
Pour la première de ces deux valeurs, la formule (ai) donnera , dans le cas dont il s’agit ,
v “iunk cos nw mrx
\ = — | • — cos -j- ;
d’où l’on .tire
au moyen de quoi la partie correspondante de la valeur de u, déduite de la formule (18), ainsi qu’on l’a expliqué plus haut, sera
** 2 ^ Ç ^ cos —j— F x'tlx' ^ cos n^y- e
La seconde des deux valeurs précédentes de f rendra nulle la valeur de X tirée de l'équation (ai), et qui répond à asr = o et zr’ = o. Tous les termes de la partie correspondante de u se présenteront sous la forme £ ; et , pour en déterminer les vraies valeurs, il faudra supposer que les constantes nsr et «■' ne soient qu’infîniment petites. Pour une valeur de f infiniment peu différente de — , la formule (ai) se réduira à
X, « . (an — i ) *x
== aW sin — ;
en désignant par J' une constante infiniment petite, et négligeant les infiniment petits du second ordre. On en conclut
Xv/x = /{lk‘<S" ;
et, d’après ces valeurs, la partie correspondante de u sera
(a/l — ij’f'n1.
sin F a'dx' ) sin ^n~p— e~ 4^
* Cela pose, nous aurons
u= ^ e~' 11 Ç Fx'dx'-+- |c*'2j^ Ç t cos '——Tx'dx' ^ cos —y e
+(/> fitÿ=ÎF^)«
pour la valeur complète de u dans le cas d’une l>arrc terminée par deux sections normales qui sont imperméables à la chaleur; la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs de n, depuis n = i jusqu’à n = oo , et l’origine des distances x étant au milieu de la barre dont la longueur est a/.
Quand la constante b n’est pas nulle, cette température u devient zéro après un certain temps, à cause du rayonnement latéral de la barre ; mais si b= o, la surface de la barre est partout imperméable à la chaleur; et alors la température finale, au lieu d’être zéro, est égale, en tous ses points, à la moyenne de ses valeurs initiales. On voit, en effet, qu’au bout d’un certain temps la somme 2 s’évanouit toujours , et la valeur de u relative à b = o , se réduit à cette moyenne
hf-i™- . .
On peut mettre l’expression de u en fonction de t et x, sous une forme un peu plus simple, en transportant l’origine des distances x à l’une des extrémités de la barre , et changeant , en conséquence , x et x1 en xdizl et x'dbf. Les deux parties comprises sous la somme 2 se réunissent alors en une seule; les limites des intégrales définies deviennent zéro et l; et si l’on change, en outre, l eu et qu’on fasse F(r ± J /) = Jx, il vient
u=j e~* § t fx'cbc'-^- - cos fx'dx^ cos l' ;
la somme 2 s’étendant toujours à toutes les valeurs de n, depuis n = i jusqu'à /» = « . Au lien de déduire, comme nous l’avons fait , cette expression de u, ou la précédente, du cas général où les quantités «• et ir ont. des valeurs quelconques, ce qui a exigé une attention particulière, on aurait pu aussi considérer immédiatement le cas
particulier où l’on a<sr = oet <sr'=o, et déterminer directement; par l’analyse «lu n° 128, la valeur de u qui s’y rapporte.
Si l’on fait t = oetu= fx dans la formule précédente , ou aura
f x = i ^ fx'dxJ 4- j 2 ( cos fx'dx cos ;
ce qui est effectivement vrai, en vertu de l’«îquation (g) du n° 96, pour toutes les valeurs comprises depuis x=zo jusqu’à x = l, inclusivement. La différentielle de cette équation ne subsiste, comme cela doit être, aux deux limites ic=o et x = l que quand la valeur de ^ s’évanouit pour ces deux valeurs de x.
(i3ij). Lorsque l’axe de la barre formera une courbe fermée, on comptera les distances x sur cette courbe, à partir d’un point fixe , choisi arbitrairement ; et si / est la longueur de la courbe entière , il
faudra que les valeurs de u et qui répondent à x = o, soient les
mêmes que cellesqni ont lieu pour x—l; d’où il résultera deux équations particulières qui remplaceront les équations (4), ainsi qu’on l’a dit précédemment (n* 118). Il serait facile, d’après cela, de déterminer, par l’analyse du n° 128, la loi des températures dans un anneau hétérogène , d’une épaisseur variable , et dont la surface varie aussi d’un point à nn autre ; mais nous nous bornerons à considérer le cas d’un anneau homogène, dans lequel l’état de la surface et la section normale seront partout les mêmes. Cet anneau se refroidira librement, c’est-à-dire, que 1> température d’aucun de ses points ne sera entretenue forcément à un degré constant; on fera abstraction dn rayonnement de l’anneau sur lui-même, et la température extérieure sera toujours supposée égale à zéro; en sorte que l’équation (i g) sera celle du mouvement de la chaleur suivant la Jongueur de l’anneau que nous allons considérer.
Nous aurons .
u — 2 (A sin fx -f- B cos f>x)é~4‘‘*“ ,
pour l’intégrale complète de cette équation en série d’exponentielles ; la somme 2 s’ctendaut à tontes les valeurs possibles, réelles
a76 THÉORIE MATHÉMATIQUE
ou imaginaires des trois constantes f , A , B. Pour que les valeurs de.«
qui répondent à 1 = 0 et x = Z soient égales, et qu'il en soit de
même à l’égard des valeurs de quelle que soit la valeur de f , il faudra qu’on ait
B = A sin f l -f- B cos fl ,
A = A cos fl — B sin fl.
En éliminant A ou B, l’équation qui en résulte se réduit à cos fl=^. Si l’on désigne par n un nombre entier ou zéro , on aura donc fl = itn r; pour cette valeur de fl, celles de A et B resteront indéterminées, et la valeur de u deviendra
u = e~ h2 ^A sir
amrx
„ aiwi\
• B cos -j- J e
La somme 2 devra s’étendre à toutes les valeurs positives ou négatives de n ; mais on peut supposer réunis en un seul les deux termes de cette somme qui répondent à chaque couple de valeurs de n égales et de signes contraires, et ne plus étendre la somme 2 qu'aux valeurs de n positives, y compris zéro; au moyen de quoi les exponentielles qu’elle contient seront toutes distinctes les unes des autres.
Le cas qui nous occupe diffère des précédens en ce qu’il reste deux cocfliciens A et B, au lieu d’un seul, à déterminer d’après l'état initial de l'anneau ; ce qui n’empêche pas que la méthode générale indiquée dans le n* 85, ne s’applique également à cette détermination.
En effet, désignons par et et £ deux constantes quelconques, et faisons, pour abréger.
tt sin
an n
+ £ COS
•xnwx
Multiplions, conformément à cette méthode, l’équation (19) par Xdx, puis intégrons depuis x = o jusqu’à x = l ; nous aurons
d. f Xurfx ..
-ÂJL —a* — Xdx —b f Xudx.
dt J o J o
Si l’on intègre deux fois de suite par partie, et si l’on observe que chacune des quantités u, X, a la même valeur pour ,r = o
et pour x—l, on aura
en ayant égard. à la valeur de X. On aura donc • d. f Xudx , , ,
équation dont l’intégrale est
J'1 \ut!x — De- "e l’ ;
D étant la constante arbitraire. Pour la déterminer, je suppose qu'on ait u = fx quand t — o, de sorte que jx soit une fonction donnée arbitrairement depuis x = o jusqu’à x = l, mais assujettie à la condition d’avoir la même valeur à ces deux limites. Il en résultera
D = J'1 XJxdx.
A un instant quelconque, on aura donc
fïXud* = fl (a?)
Cela posé, si n et n' sont deux nombres entiers ou zéro, différen*
l’un de l'autre , on aura
2/iw; r
. a nVx ,
J 0 Sm
sm — dx
2TITTX
anVx »
cos — j— dx
ri .
■xrixx
Jo S,n
cos — j — dx
ri
Ja cos
COS —y— dx
a 7d THÉORIE MATHÉMATIQUE
dans le cas de n' = n , on aura aussit>
en observant que si n=o, la dernière intégrale sera toujours zéro, mais les deux précédentes ne seront plus égales : W première sera zéro , et la seconde égale à Z. On conclut de là que si l’on substitue dans l'équation (27), à la place de u et de X, leurs valeurs, on aura
= sin^p? fxdx-\-£ J ‘ cos *n*x. Jxdx ,
pour une valeur quelconque de n, ot en particulier
ZB = f[ Jxdx , '
pour ns o. Les équations précédentes devant subsister pour toutes les valeurs des constantes a et £ , elle sedécomposera en deux autres, savoir :
i ZA = fl sin Jxdx ,
ï ~fl C0S ~T~ fedx-
Par conséquent , les coefliciens A et B seront déterminés pour toutes les valeurs de », excepté le coefficient A relatif à n — o, qui demeure indéterminé, mais qui disparaît de l’expression de u.
An moyen de ces valeurs de A et B, et en changeant x en x1 sous les intégrales définies, l'expression de u sera finalement
u — je~*' f fx'dx' cos ^•nr^f~x'^fx'dxf'^ e 7 : ; (28)
la somme 2 s’étendant à tontes les valeurs de n, depuis n= 1 jusqu’à TJ =1 00 .
Si l’on y fait t = o et «= fx, on- a
> = 7 fl 7 2 (/, «» ^^r^fx’dx') ;
résultat qui s’accorde avec la formule (5) du n° g3 , et qui a lieu depuis x=o jusqu’à x=.l, y compris les valeurs extrêmes zéro et l, puisqu’on a par hypothèse jo — fl.
L’expression de u est, comme on voit, une fonction de x qui demeure la même, ainsi qu’on l’a dit plus haut (n° 1 18), lorsqu’on y augmente ou diminue la variable x d’un multiple quelconque de / Au bout d’un certain temps, qui n’est pas très long en général, la somme 2 se réduit sensiblement au terme correspondant à n=i. A cette époque si l’on appelle v la valeur de u relative à x-j-±l, ce terme disparaît dans la somme u + v, et l’on a simplement
u + v = je-*' f fx'dx' ;
d’où il résulte que l'anneau parvient toujours à un état dans lequel la somme des températures qui répondent aux extrémités d’un même diamètre, est la même pour tous les diamètres, et décroît en progression géométrique, lorsque le temps, à partir de cette époque, croit par des différences égales. Au bout d’un temps encore plus long la somme 2 disparaît en entier, et les températures de tous les points de l’anneau décroissent suivant cette même progression géométrique. Enfin, ces températures deviennent toutes égales à zéro, comme la température extérieure, excepté dans le cas de l’imperméabilité calorifique de la surface, où l’on a b=o, et où elles convergent toutes vers
une température constante et égale à la moyenne -J' fx'dx’ des températures initiales.
(i 35). La valeur de u que l’on déduit de la formule (36) en y faisant 6' = 8, et qui se rapporte à un anneau dont une section normale est entretenu» à une température invariable et égale à 9, diffère essentiellement de la valeur de u donnée par la formule (28) et relative à un anneau qui se refroidit librement. Au bout d’un certain temps , la somme 2 disparaît de la première valeur de u , et l’anneau parvient à un état stationnaire, daus lequel la température d’un point quelconque se réduit à
a8o THÉORIE MATHÉMATIQUE
Maintenant, si l’on supprime la cause gui entretenait la température 6 de l’un des points de l'anneau , et qu’on laisse ce corps refroidir librement, il faudra, pour déterminer la loi de ses températures au bout d’un temps t à partir de cette suppression, substituer cette valeur de u à la place de fx dans la formule (28). Or, on a
