MTX . 2H3 r-V

CO» — sin — J- J

, .. / , 20! TX . 2 n*x\

, , (1 — e~*‘) ( el cos — s (-271T sin — — 1

4 e-^cos ïn<x-x> ,{X'— V 1 L J .

o cos 7 ax

au moyen de quoi la formule (28) deviendra

2 TXTfX

“ — cW + t-is' +

En y faisant t = o, on devra retrouver la valeur particulière fx de u, d’où l’on est parti; et si l’on met pour plus de simplicité 2 1 au lieu de /, puis x — /au lieu de x , il en résultera

et1 4- e~t‘ 1

gl (et'—e-t1) g‘f

cos ni cos

mrx

pour toutes les valeurs de x, depuis x = — / jusqu’à ij ce qui est effectivement une formule connue, qui subsiste également lorsqu'on y met g \/ — i au lieu de g (*).

Nous ferons aussi remarquer qu’en mettant / — x au lieu de x dans cette dernière équation , de sorte que cos mr cos se change

en cos ; multipliant ses deux membres par Z, supposant ensuite

/ — ce , et faisant

(*) Journal de V École Polytechnique , 18* cahier, page 3n.

la somme S se changera en une intégrale relative à z, qui s'étendra depuis z = o jusqu'à z — 00 ; le terme compris en dehors de cette somme s'évanouira ; et si g est une quantité positive et x une quantité finie , on aura *

Par conséquent, l’équation précédcntp deviendra

eu» txdt *•

ce qui est encore une formule connue, qui nous sera utile dans la suite, ainsi que sa différentielle relative à x, sayoir:

s sia txdz

•js

(i36). il oous reste encore à considérer la propagation de la chaleur dans une barre droite ou courbe, qui se prolonge indéfiniment de part et d’autre du point C, d’où l’on compte les distances x. Je supposerai celte barre homogène, sa section normale constante, et sa surface partout dans le même état; et pour déterminer dans ce cas la valeur de u en fonction de t et x, je ferai usage de l’intégrale sous forme finie de l'équation (19) du mouvement de la chaleur.' D'après ce qu'on a vu dans le n* 74, cette intégrale sera

A ~ ^f-»e~*f(x+2*ay'»)d*i (29)

fx étant la fonction arbitraire qui exprimera la valeur de ù correspondante à (=so, et sera donnée par conséquent, d'après l’état initial de la barre, depuis x — — 00 jusqu’à xs=soo. Au moyen de cette formule, on pourra donc toujours calculer par les quadratures, la température d’un point quelconque à un instant donné; ce qui est la solution complète du problème.

Supposons que la barre n’a été échauffée primitivement que dans une portion limitée qui s’étendait depuis x = — < jusqu’à x — 1, de sorte qu’en dehors de ces limites sa température initiale fx était zéro,

comme la température extérieure. Si nous faisons

x -J- 2 <ta \/l = x' ,

il en résultera

x — x j dx'

a. = — da = — —,

lay t 2a y t

et la fonction fxf étant zéro pgur toutes les valeurs de x1 > c ou < — t , il suffira d’intégrer par rapport à x', depuis x' = — t jusqu’à x' = «; en sorte que l’on aura

u = -=■ / e 4«’‘ fx'dx'-.

Cette expression -de « nous montre que la chaleur communiquée à une portion de la barre se répand instantanément dans toute sa longueur; car, quelque grande que soit la distance x, et quelque petit que soit le temps t, il y aura toujours une valeur de u qui ne sera pas rigoureusement nulle. Ce résultat tient à ce qu’en formant l’équation du mouvement de la chaleur, nous avons supposé instantanés les échanges de chaleur entre les tranches de la barre comprises dans l’étendue du rayonnement intérieur. Or, quelque rapides que soient ces échanges, ils ne peuvent avoir lieu dans la nature qu’en des intervalles de temps de grandeur finie; et si nous avions eu égard à cette circonstance, la conductibilité k et par suite la quantité ii ne seraient plus rigoureusement constantes : a serait une fonction du temps qui varierait d’abord très rapidement, et atteindrait bientôt une valeur constante ; Ce qui suffirait pour étnpècber que la communication de la Chaleur ne fût instantanée à toute distance du lieu de TëchautFement primitif. Mais on voit aussi, en ayant égard à l’exponentielle contenue sous le signe /, que la valeur précédente de «sera tout-à-fait imperceptible, hors de l’étendue t}® l’échauffement primitif, tant que la quantité a a\/t sera très petite par rapport à la distance xy ou plus exactement xrfc é. Si l’on considère des points de la barre très éloignés du lieu de cet échauffement, et si l’on attend que l’élévation de température y soit devenue sensible , on pourra la calculer avec une très grande approximation, en négligeant x' dans l’exponentielle dont il s'agit. De cette manière, oo aura

simplement

e—bt ~ 4 a't

20 \/ xt

- J'' fx'dx'.

Eu appelant A la quantité totale de chaleur communiquée primiti-

\emenl à la barre, on aura aussi • 9

A = ca> j' ’ fx'dx’ -,

et en éliminant entre ces deux équations l’intégrale qu’elles contiennent, il en résulte

2 cma \/ wt

où l’on voit que la température des points très éloignés de réchauffement primitif ne dépendra que de la quantité de chaleur A , et nullement de la loi de sa distribution initiale, ou de la forme de la fonction fx.

Pour comparer deux barres de matières différentes, sous le rapport des plus ou moins longs temps qu’elles emploient à transmettre des quantités égales de chaleur à la même distance, nous ferons abstraction du rayonnement de leurs surfaces. Soit donc b=o, nous aurons

Ar 4**‘

CaU =

2ta y rt

Ce produit eau est la quantité de chaleur transmise dans le temps t à la distance x; en déterminant son maximum par rapport à t, ou

trouve qu’il répond à < = ^, e t qu’il est égal à —~=. Il ne dépend

donc pas de la quantité a , ni de rien qui soit relatif à la matière de la barre ; en sorte que deux barres de matières différentes transmettent néanmoins le même maximum de chaleur à une distance donnée; mais cette transmission a lipu dans des temps différens; et d’après la valeur de t qui répond à ce maximum, elle est la plus rapide dans la barre pour laquelle la quantité a est la plus grahde.

aîy, THÉORIE MATHÉMATIQUE

Or, nous avons fait * = a' (n° 129); il s’ensuit donc que ce n’est

pas toujours la matière qui a la plus grande conductibilité k, qui conduit le plus promptement la chaleur à une distance donnée; cette propriété dépend à la fois de la grandeur de k et de celle de la chaleur spécifique c de cette matière.

Dans mon premier mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides, j’ai apjdiqué la formule (29), non-seulement au cas d’une barre indéfiniment prolongée, mais aussi au cas d’une barre dont la longueur est limitée, et j'ai fait voir comment, dans ce dernier cas , cette formule se transforme toujours en une série d’exponentielles. Dans les numéros qui précèdent , j’ai suivi une marche inverse : ayant préalablement établi que la valeur inconnue de u peut être représentée, quelle qu’elle soit, par une série d’exponentielles, j’ai employé une série de cette forme pour satisfaire simultanément à toutes les conditions de chaque problème.. Cette méthode est plus simple que la première, et c’est celle que je suivrai constamment dans cet ouvrage; mais, sous le rapport de l'analyse, la réduction de l’intégrale definie que contient la formule (29), en des séries différentes d’exponentielles, selon les diverses conditions relatives aux extrémités de la barre, est néanmoins une transformation délicate et importante, pour laquelle je renverrai au mémoire cité (*).

(*) Journal de V École Polytechnique , 19* cahier, page 27.

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