CHAPITRE X

Distribution de la chaleur dans les corps spherù/ues.

(137). 'Dans ce chapitre, nous supposerons que tons les points egalement éloignés du centre de la sphère ou de la couche sphérique que nous voudrons considérer, ont à chaque iustaiit une même température; en sorte qu’en désignant .par r la distance d’un point quelconque de cettç couche à son centre, la température u de ce point, au bout du temps *,sera une fonction de r et r, qu’il s'agita de déterminer; et l’inconnue ne dépendant ainsi que de deux variables, le problème sera semblable à celui du chapitre précédent.

Afin de rendre linéaire l’équation du mouvement de la chaleur, c’est-à-dire l’équation (7) du n* 4q > nous supposerons la chaleur spécifique c et la conductibilité k indépendantes delà température u. Si la couche sphérique est hétérogène, les quantités k et c seront supposées des fonctions de r. Nous supposerons, de plus, que chacune de ses deux surfaces soit partout dans le môme état, et que la température extérieure ne dépende que de t. Ces conditions sont nécessaires pour que la température « puisse être, comme on vient de le dire, une fonction de r et t seulement; ce qui aura effectivement lieu au bojat d’un temps quelconque, lorsqu’eu outre la température initiale ne sera fonction que de r.

Cela étant , cette équation générale du mouvement de ta chaleur' se'réduira à

rf.r**- . du * dr

T, = dr ’

ainsi qu’on l’a vu dans le n* lao. En appelant h' et h les rayons

des surfaces concentriques, extérieure et intérieure, de la couche sphérique, nous aurons d’abord, en vertu de l'équation (a) du n* 67 , •

j-r + /»(« — 0 = o, quand r = A'; (a)

Ç étant la température extérieure, qui pourra être une fonction donnée de t, et p désignant un coefficient constant et positif, dépendant de l’état de la surface extérieure et de la conductibilité k qui a lieu »

Près de cette surface, c’est-à-dire, pour abréger-, le coefficient p de équation citée, divisé par cette quantité k. Pour fixer les idées, nous supposerons qu’on ait fait le vide dans l’espace terminé par- la surface intérieure; les échanges de chaleur entre les points voisins de cette surface répondant, par hypothèse, à des températures égales, il s’ensuit que le flux de chaleur sera nul à travers chaque élément de cette même surface; par conséquent, on aura

du ,

' gr = o, quand r = h. (3) * •

Telles sont donc les trois équations du mouvement de la chaleur

dans la couche sphérique, d’une épaisseur constante et égale à h' h,

que nous considérons. En les comparant aux équations (3) et (4) des n" 1 17 et 118, on voit quelles coïncident avec celles-ci, en faisant

x = r, <* = r‘, <m =s o, *&' = pk,

et supprimant dans l’équation (3) le terme relatif au rayonnement la- .teral de la barre. 11 s’ensuit que la loi des températures dans l’épaisseur de la couche sphérique se déterminera au moyen des formules du n* 1 a8 , que nous appliquerons tout à l’heure ay cas d’une couche homogène. Auparavant, nous ferons remarquer que-si les quantités £ et k variaient en raison inverse du carré de la distance r, la dis- • tribution de la chaleur dans la couche sphérique serait la même , d’après les équations précédentes , que dans une barre cylindrique pour laquelle le rayonnement latéral et celui de l’une de ses deux extrémités seraient zéro; si l’on avait, en outre, p= o, cette distribution serait celle que nous avons déterminée dans le n° i33, en faisant A = o, dans les formules de ce numéro.

DE LA CHALEUR., a8?

(i38). Daus le cas de l’homogénéité, où les quantités k et c-sont

constantes , je fais * = rt*, et j’écris l’éqnation (i) sous la forme

.d'.ru

d, ru dl

dr%

En supprimant le terme qui dépend du rayonnement latéral dans l’équation (i5) du n° 128, faisant x—r et <a = r*, et y mettant,' pour plus de commodité, «*p* au lieu de p, elle deviendra

rf’.rR

dr‘

p*rR =s

On pourra prendre

. rY = sin pr, rY' = cos pr,

pour déterminer les valeurs particulières de R désignées par Y et Y' dans ce numéro. 11 en résultera

AH = sin pA , A*G = pA cos pA — sin pA ,

AH( = cos pA, A*G, = — pA sin pA — cos pA ,

AU' = sin pA', A'*G' = pA' 00s pA' — sin pA',

A'H'y= cos pA', A'*G'(= — pA' sin pA' — cos pA' ;

au moyen de quoi et de -tr ’ — pk et <sr = o, l’équation (16) de ce même numéro, d’où dépendent les valeurs de p, deviendra

(p*AA' -4- i — ph!) sin fl — (l •+■ phh') p cos fl, (4)

en désignant par l l’épaisseur A' — A de la couche sphérique. L’équation (17) sera, en même temps,

A*A'*rX = k ( i — ph!) A* sin p(A' — r) — AA'* sin p (r — A)

— AAA'p[A' cos p(r — A)-4- A cos p(A' — r)] ; (5)

et si l’on fait, dans la formule (i8).#du numéro cité, x = r et a> =r‘, que l’on y supprime le facteur c constant et commun au numérateur et au dénominateur, et que l’on y remplace p par rt*p*.

on aura

r'XFrdr

Xe-av';

r’X\ir

Ja fonction Fr étant la valeur initiale de u, et la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs positives de f, tirées de l'équation (4), y compris f = o.

Pour faire usage de cette formule , on formera l’intégrale J'h r‘H.‘dr , dont la valeur exacte s'obtiendra immédiatement d’après celle de X ; on éliminera ensuite de celte intégrale sin fl et cos fl, au moyen de l'équation (4); puis on substituera sa valeur, ainsi préparée, dans la formule (6). Cela fait, on mettra successivement dans cette formule la racine f = o et les autres racines de l’équation (4), calculées par approximation, quand les valeurs numériques de p, h , h1, l, seront données. Le terme de cette formule qui répondra h f — o s’évanouira toujours; mais quand la quantité p sera nulle , on la supposera d’abord infiniment petite, et l'équation (4) aura aussi une racine infiniment petite, indépendamment de f = o , à laquelle il faudra avoir égard.

On déterminera cette racine en substituant à la place de sin fl et cos fl leurs développemcns, supprimant ensuite le facteur f commun aux deux membres de l’équation (4) > et négligeant , après cela , les termes qui ont f* ou f’p pour facteur. De cette manière , on trouve

d’où l’on déduirait la valeur infiniment petite de f, correspondante à celle de p*. En même temps, l'équation (5) se réduit à

h‘h'*r\ r k(h‘ -f- h’*) rf ,

en négligeant le cube de f et le produit fp. Si l'on appelle L le volume de la couche sphérique, de sorte qu’on ait

il en résultera

4 wh*h'* fh r*\*dr—k‘f\h‘ -f- A'*)*L;

et au moyen de ces différentes valeurs, le terme de u qui répond aux valeurs infiniment petites de p cl f , sera

“ = T fl ^rdr ’

ce qui est évidemment la moyenne des températures initiales de la couche entière. Les autres termes de la valeur complète de u seront insensibles au bout d’un certain temps, et celte température ne différera plus sensiblement de la moyenne de scs valeurs initiales, ainsi que cela doit être, en effet, dans le cas que nous examinons, où le flux de chaleur est nul aux surfaces intérieure et extérieure de la couche , en sorte qu’elle ne peut perdre aucune partie de sa chaleur initiale, qui finit par s’y distribuer uniformément.

(i3g). Si la couche sphérique se change en une sphère entière, dont le rayon soit /, on aura A = o et h' — l; l’équation (4) deviendra

(1 — pl) sin ft = fl cos fl ; (7)

et en considérant A comme un infiniment petit dans le second membre de l’équation (5) , elle se réduira à

A*rX = — A sin fr.

On aura donc

dr = - — a

k‘sinfUos/1

et comme l’équation (7) donne

cos fl =

1 ~Pl

y/pl' + (< -Fl)''

sin fl r=

il en résultera

Au moyen de cette valeur et de celle de h'rX, il est facile de voir

que l'équation (6) prendra la forme :