Pb' l* f'I'— pl (l—pl

Çf sin fr .frdr^ sin fre "','t ,

en désignant par fr le produit rFr ou la valeur initiale de ru, et la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs de p tirées de l'équation (7).

Le terme de cette somme qui répond h p = o s'évanouit, comme on l’a dit plus haut. Si la quantité p a une valeur finie, toutes les autres racines de l'équation (7) serout aussi des quantités finies, et tous les termes de la formule (8) s’évanouiront sensiblement après un certain temps. Mais ces termes décroîtront avec des vitesses très inégales, parce que les racines de l'équation (7^ seront généralement très différentes; avant que la valeur de u soit réduite à zéro, ou devienne égale à la température intérieure, il y aura donc une époque où la somme 2 se réduira , à très peu près , au terme correspondant à la plus petite racine de l'équation (7); en sorte qu’en désignant par t cette plus petite racine, on aura

- 2 [»**’ -h C» — pl)‘] sin >r

— pl (1— pl)]rl

(/ sin tr.frdr ) 1

ce qui montre qu'à partir de cette époque les températures de tous les points de la sphère décroîtront suivant une même progression géométrique ; le temps croissant par des différences égales. Dans cet état de la sphère , si l’on désigne par v la température de son centre , on 4 valeur de « qui répond à r=o, et que l’on compare la température en un point quelconque, à cette température centrale, on aura simplement

v >in 1 r

où l’on voit que la température u décroît continuellement en allant du centre à la surface, puisque l’arc tr croit toujours plus rapidement que son sinus.

Si l’on fait l — o et ru = fr dans l’équation (8), nous aurons

. 4-(i— ;»/)*] (in^r/ r> . , \

ri--pi\Jpi) Uo

pour toutes les valeurs de r > o ef< /, quelle que soit la fonction

DE LA CHALEUR. agi

arbitraire fr. Pour que celle formule subsiste pour r — o , il faudra que fr s’évanouisse à cette limite; et pour qu’elle ait aussi lieu à l’autre limite r = l, il sera nécessaire qu’on satisfasse à l'équation (a), en y faisant u — -fr et supprimant la quantité Ç, c’est-à-dire, qu'il faudra qu’on ait

Yfr —pl)jr = o,

pour r—l\ ce qui résulte, en effet , de la formule précédente et de l’équation (7). Puisque nous avons prouvé préalablement (il0 84) que la série d’exponentielles dont nous sommes partis peut toujours représenter l'inconnue u en fonction de t et de r, et comme on peut admettre que les conditions du problème 11e sont point incompatibles, de sorte qu'il est susceptible d'une solution , quel que soit l’état initial de la sphère, il s'ensuit que la formule précédente est une conséquence nécessaire de cette solution générale, sur laquelle il ne peut rester aucun doute; mais il serait à désirer que l’on put parvenir plus directement à cette formule. Elle se vérifie dans le cas particulier où l’on a pl = 1 : abstraction faite du facteur p Z , l’équation (~)

se réduit à cos f/ = u; elle donne p = — j— , en désignant par

n un nombre entier et positif; et l’expression de fr dont il s’agit devient

Jr = l 2 ( /! sin •~"V/I)rr frdr) sin

(lu — i)tït

ce qui coïncide avec la formule (1 1) du u <16, quand on suppose dans celle-ci f( — x) = — f x t et que l’on y fait x = r.

(140). Au lieu de déduire- la valeur de u relative à une sphère entière, de celle qui répond à une couche sphérique, ainsi que nous venons de le faire, on peut aussi la déterminer directement. Dans ce cas, il serait difficile d’établir, à priori , la nécessité de l’équation (5) relative à r ^ o on au centre de la sphère ; mais en

prenant ru pour l’inconnue du problème, et faisant ~ = a,f comme plus haut, on remplacera l'équation (1) par celle-ci :

d. ru ,d'.ru

-dT~a -dï~

a9a THÉORIE MATHÉMATIQUE

en faisant £ = 0 dans l’équation (a) qui a lieu pour r=/, on pourra

aussi l’ccrire sous cette forme :

. tF + (P“ j)m = °; <,0>

et, enfin, on remplacera lcquation (3), relative à r = o, par la condition m = o, nécessaire pour que la température u ne devienne pas infinie au centre de la sphère.

Cela posé, la valeur de ru en série d’exponentielles qui satisfait, de la manière la plus générale, à l’équation (9) et à la condition ru — o quand r= o, sera évidemment

ru — 2A sin fr . ;

la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs possibles , réelles ou imaginaires, des deux constantes A et f. Afin qu’elle satisfasse également à l’équation (10) pour r = / et pour toutes les valeurs de t, il faudra que les valeurs de f soient déterminées par l’équation (7). En supposant donc que l’on n'emploie que des valeurs de />* tirées de cette équation et différentes entre elles, de sorte que les exponentielles contenues dans la somme 2 soient toutes distinctes les unes des autrcs.il ne s’agira plus que de déterminer, en fonction de f , le coefficient A d’un terme quelconque, d’après l’état initial de la sphère.

Pour cela, conformément au procédé général, indiqué dans le n° 85, je multiplie par sin frdr les deux membres de l’équation (9), et je les intègre ensuite depuis r= o jusqu’à r= f; ce qui donne

En intégrant deux fois de suite par partie, et ayant égard à l’équation (10) qui a lieu à la limite r=l, il vient

f sin dr— — £Y/> — sin fl-+- pcos m s'° frdr'>

A désignant la valeur de ru qui répond à r = /. En vertu de l'équation (7), le terme compris hors du signe f s'évanouit; par consé-

DE LA CHALEUR. • a93

i] neat , on aura simplement

d. f ru sin /rdr .

J ; = a' p* / ru sin erdr ;

dt J a

et en intégrant , on en conclura

J ru sin ftdr — De-

D étant la constante arbitraire. Pour la déterminer, je suppose que l’on ait, comme plus haut, ru = fr quand t =o; il en résultera

D — f‘ sin fr.frdr;

et nous aurons, à un instant quelconque ,

y ru sin frclr = e~ a’,‘‘ J sin p r.frdr.

En substituant dans cette équation la valeur de ru en série , et comparant les termes semblables dans ses deux membres , j'en conclus

sin fr sin f'rdr

tant que f et f' sont dés racines de l’équation (7) , qui ont des carrés diflférens, et, en particulier,

A y' sin*fi nrfr = f sin fr.frdr,

dans le cas de f'*= f*. De cette dernière éqnation, on déduit

2f C sin fr.frdr

et il en resuite

fl — sin fl cos fl9

/ f ûafr.Jrdr

-2-7 — : — j >sin pr.e

r fl—* sin fl cos fl '

pour la valeur de ru complètement déterminée.

a94 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Cette expression de la température dans une sphère entière dont tous les points, également éloignés du centre, sont également échauffés, et que l’on suppose placée dans un milieu qui a une température invariable, est celle que Fourier a donnée le premier, sans démontrer, toutefois, quelle convienne à une valeur initiale de la température représentée par une Fonction de la distance r entièrement arbitraire, ou, autrement dit, sans avoir prouvé, directement ou indirectement, que la valeur de ru qui en sera déduite pour l = o puisse représenter une fonction quelconque jr. Au moyen de l’équation f-), il est facile de faire coïncider cette formule de Fourier avec l’équation (8j.

Au moyen de cette même équation (7), on peut aussi vérifier l'équation (1 1). Eu effet, en effectuant l'intégration, on a

rl • • . , «iofi — •')/

2 / sin fr stn f rdr= — ■;

J n PP

ou , ce qui est la même chose,

/'l • -ij f' «in fl cos fl — i sin il coi il

sin prsm p'rdr = ' 4- — ;

mais’, d’après lequation (7) dont p et p' sont des racines , on a

sin pl = { cos pl ,

sin p'I = — ; cos p'I ;

pl — r* * ”"r

ce qui réduit à zéro le numérateur de la fraction précédente, et, par conséquent, la fraction elle -même, quand son dénominateur n’est pas nul. Dans le cas de p'* = p*, ta fraction n’est plus zéro j elle

se présente sous la forme f ; et sa véritable valeur est ’-t — ^sinp/cosp/,

comme cela doit être. Lequation (11), ainsi vérifiée, sert à prouver (n* 90) que toutes les racines de lequation (7) sont réelles. 11 s’ensuit que toutes les valeurs de f* sont positives; ce que l’on reconnaît, d'ailleurs , en remplaçant dans l'équation (7) sin pl et cos fl par leurs développemens : apres avoir supprimé le facteur pl, commun à tons les termes , il en résulte effectivement

P1 - fo (a + i*0 + txÏüs (4 + pl) — «te- = o ;

DE LA CHALEUR. aça

et en observant que la quantité p est essentiellement positive, on voit que cette équation ne peut être satisfaite par aucune valeur négative de f%.

(«4«). Lorsque le rayon l est très petit, le produit pl l’est aussi, en général, et la valeur de fl, qui répond à la plus petite racine < de l'équation (7), est également très petite. D’après l’équation précédente, cette plus petite racine est, à très peu près.

Les autres valeurs de fl tirées de l'équation (7) n’étant pas très petites, il s’ensuit que la somme 2 contenue dans la formule (8) se réduira très promptement au terme correspondant à f = e ; d’ailleurs , la variable r étant aussi très petite , la valeur de tr ou \/^y~ Ie sera éga-

lement ; en prenant donc er au lieu de sinfr, on aura, après un temps très court ,

— »[«'*' -Mi 1 /[.*/•— pi(i — pi y

ou , à très peu près ,

u = p(f!r^dr)e ‘ •

d'après la valeur de t.

La température initiale à la distance r étant Fr, si l'on appelle y la moyenne de ses valeurs dans le volume entier de la sphère , on aura évidemment

4 ■*J‘r'¥rrlr = *fyi

et comme fr est le produit rFr, il s'ensuit que le coefficient de l’exponentielle dans la formule précédente est égal à y. D’un autre côté , le flux de chaleur à travers la surface sphérique dont le rayon est r, dans le sens du prolongement de son rayon et rapporté à l’unité de

temps, a pour expression — /p7rr*k ~ (n°53); d’après l’équation (10)

a96 THÉORIE MATHÉMATIQUE

relative à la surface de la sphère, ce flux est donc égal à /t7rl‘pku à

cette surface ; donc en appelant € le rapport de son coefficient 4 irt'pk

au produit du volume de la sphère et de sa chaleur spécifique , nous aurons

Or, nous avons fait *=a‘; par conséquent, la valeur de la température u, à un instant quelconque, est la même chose que

et il est facile de voir qu’elle coïncide avec celle que nous avons trouvée dans le n° 40, pour le cas d’un très petit corps de forme quelconque, en supposant, comme ici, le flux extérieur de chaleur proportionnel à l’excès de la température de ce corps sur la température du dehors, et faisant celle-ci égale à zéro.

(142). En général, si l’on désigne par n un nombre entier et positif, et par une quantité positive ou négative, dépendante de n et moindre que T, abstraction faite du signe, on pourra représenter par

fl = nir ■+■ J'm ,

toute valeur positive de fl qui satisfait à l’équation (7). En la substituant dans cette équation , on aura

(1 — pl) sin sf, = (mr -f- J',) cos tf„ ;

et si l’on fait successivement n = i, = a, = 3, etc., il sera facile de déterminer, par des essais, les valeurs approchées de J',, tf,, «Tj» etc., quand là valeur numérique de 1 — pl sera donnée. Lorsque n sera devenu un très grand nombre , on pourra négliger cf„ par rapport à rm , dans le second membre de cette équation ; de cette manière, on aura

tang J. = 7^j[ ;

ce qui fera connaître immédiatement la valeur de cf, correspondante a chaque valeur très grande de n.

Si le rayon l est très grand, et que le produit pl le soit aussi , on aura , à très peu près ,

dm — — r t >

pour les valeurs de n qui ne seront pas très grandes ; d’où il suit que pour ces valeurs, celles de pl croîtront par des différences à très peu

près égales à« — ou simplement à tr. Pour de très grands nombres n, deux valeurs consécutives de cT, étant déterminées par les équations

tang J1. — — ~ , tang «f,+, =

il en résultera .

tang (/. /.+.) — ;

et celte quantité étant très petite, la différence <f. — J'.+, le sera également; d’où il suit que les valeurs de pl relatives à de très grands nombres « , croîtront aussi par des différences égales à -n. On conclut de là que si le rayon Z devient infini , toutes les valeurs de p croîtront par des différences infiniment petites, et rigoureusement égales

a J ; en sorte que si nous faisons, dans ce cas,

nar

la somme 2 relative au» valeurs positives de p, se changera en une intégrale relative à a, qui s’étendra depuis a = o jusqu’à a = 00 . Eu

-f (l— fii)1

même temps , la fraction -J7- — — , contenue dans la for-

mule (8), sera égale à l’unité; par conséquent, cette formule pourra s’écrire ainsi :

rU ~ f, s't1 ar' s'n <*-r-e~a'*'tfr'dr'd<i ;

et elle fera connaître la température en un point quelconque d’un corps homogène et infini en tous sens, lorsqu’on la suppose égale en

□p8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

tous les points également éloignés de celui d'où l’on compte les

distances r.

Si l’on fait t = o et ru=.fr, il faûdra qu'on ait

fr — - J Ç sin ar' sin ar.fr'dr'da ,

pour toutes les valeurs positives de r, depuis r = o jusqu’à r=eo ; ce qu’il est aisé de vérifier. En effet, d’après la formule (i4) du n° 102, on a

f r — - I / * s'n ar' s'n ar •/ r "r ,

~w J I cos ar cos ar .f r'dr'da ,

depuis r — — oc jusqu’à r = ce , et quelle que soit la fonction fr. Or , si l’on suppose que cette fonction soit telle que l’on ait f( — r' ) = — fr> , tous les élémens de l’intcgralc relative à r' seront deux à deux, égaux et de même signe dans la première intégrale douille , égaux et de signes contraires dans la seconde ; par conséquent, on pourra supprimer la seconde intégrale double, et doubler la première, en y étendant l’intégrale relative à r', seulement depuis r' = o jusqu’à r' = ao ; ce qui fera coïncider cette dernière expression de f r avec la précédente, qu’il s’agissait de vérilier.

(i45). On peut aussi effectuer l’intégration relative à a, et réduire à une intégrale simple l’expression de m. D’après une formule connue, qui se déduit facilement de celle que nous avons employée dans le n" 74 , on a

y *’ cos iÇttda = - — e

-ŸJL e r

S et y étant des constantes dont la première peut être réelle ou imaginaire. Si donc on fait y = a \'t , que l’on prenne successivement £ = £('■ — r) et € = J (/•-+- r'), et que l’on retranche l’une de l’autre les deux équations qui en résulteront, on aura

1 f sin «r'sin ar. dar- ^ \ '

et , par conséquent ,

r'Ÿr'.dr',

en remettant rTr' au lieu de J r'. On parviendrait également à ce résultat au moyen de l’intégrale, sous forme finie , de l’équation générale du mouvement de la chaleur, que l’on a trouvée dans le n* 76, et dans laquelle on- prendrait pour la fonction arbitraire F(:r, y, z) , qui exprime la température initiale du point dont x, y, z, sont les trois coordonnées orthogonales, une fonction Fr de la seule va-

riable r ou Y' x* + y* Hb z*-

Si réchauffement primitif a été renfermé daus un espace limité autour du point d’où l’on compte la distance r, de sorte que Fr' soit zéro pour toute valeur de r' plus grande qu’une ligne donnée i , il suffira d’étendre l’intégrale relative à r' depuis r' = o jusqu’à r'=f. En dehors de cet échauffement primitif, et quand la quantité a\/t sera devenue très grande par rapport à r, on pourra développer les exponentielles contenues sous le signe f , en séries

très convergentes, ordonnées suivant les puissances de — — ; et si l’on

ay 1

néglige ensuite le carré de cette fraction , on aura

1‘' f o r"Fr'dr'-

Mais , eu appelant A la totalité de la chaleur communiquée primitivement au corps que nous considérons, et observant que c est la chaleur spécifique, on a

A = 4 TTC y* r'^r'dr' ;

nous aurons donc

pour la température qui aura lieu au bout du temps t et à la distance r du centre de réchauffement primitif.

5oo THÉORIE MATHÉMATIQUE

Si ul est le maximum de cette température, et t, le temps correspondant, c’est-à-dire , les valeurs de t et u qui répondent à ^ =o , ou aura

en remettant pour a * sa valeur *. On peut comparer ces valeurs de u(

et t, aux résultats analogues que nous avons trouvés dans le n* i36, pour la propagation de la chaleur dans une barre cylindrique et homogène, qui se prolonge indéfiniment de part et d'autre du lieu de réchauffement initial.

(144). Déterminons actuellement la distribution de la chaleur dans une sphère composée d’un noyau sphérique et homogène , recouvert par une couche sphérique d’une épaisseur constante, également homogène, mais d’une matière différente de celle du noyau. Nous supposerons toujours la température égale à chaque instant, en tous les points également éloignés du centre de la sphère ; de sorte qu’en appelant r le rayon mené de ce centre à un point quelconque, soit du noyau, soit de la couche extérieure, la température de ce point au bout du temps t sera, comme précédemment, une fonction de r et t.

Nous représenterons cette inconnue par u pour tous les points du noyau, et par u' pour tous ceux de la couche extérieure. Soient, de plus, c et Aria chaleur spécifique et la conductibilité de la matière du noyau, c1 et k1 les mêmes quantités relativement à la matière de l’autre partie de la sphère , h le rayon du noyau , l l’epaisscur de cette autre partie, et, conséquemment, A+Z le rayon

de la sphère entière. Faisons ensuite - = a‘ et —, — a’*. Les équations

du mouvement de la chaleur dans les deux parties de cette sphère, pourront être mises sous cette forme :

d .ru ru d.ru' ,%d' .ru

dt a dr' ’ dt ~~ a dr' ’

(ta)

DE LA CHALEUR. 3oi

la première ayant lieu depuis r= o jusqu’à r — h, et la seconde depuis r = h jusqu’à r = fi ■+■ /.

Si la sphère est placée, comme précédemment, dans un milieu dont la température est zéro, et que l’état de sa surface soit partout le même , l’équation relative à cette surface sera

dr

p' étant un coefficient constant et positif, qui dépendra de la densité de l’air dans lequel la sphère sera placée , et de l’état de sa surface. Cette équation n’aura lieu que pour la valeur particulière r= h -f- / ; et en faisant p' = k'Q , on pourra l’écrire sous la forme :

d.ru

dr

+ (e—7^fl)ru' = °- (l3)

Nous aurons encore les équations du n* 90, relatives à la surface de séparatiou des deux parties de la sphère, savoir :

q étant une constante positive , dépendante des matières de ces deux parties , et dont la valeur numérique sera aussi donnée dans chaque exemple. Ces deux équations ne subsisteront que pour la valeur particulière r = h ; et si l’on fait | = b et ~ s= b', on pourra les remplacer par celles-ci :

~Sr + bru — (^b + ru = o. J

Enfin, il faudra joindre à ces différentes équations la condition ru— o quand r=o, nécessaire pour que la température ne devienne pas infiuie au centre de la sphère, et, de plus, les équations relatives à l’état initial de chacune des deux parties de la sphère , qui auront lieu pour t — o, et que nous représenterons par

ru = fr, ru! = f'r;

3oa . THÉORIE MATHÉMATIQUE

fr et f'r étant deux fonctions données arbitrairement, la première depuis r = o jusqu’à r = A, la seconde depuis r = h jusqu'à r = A-f-/. Si l'on désigne par Fr et F'r les valeurs initiales de u et u, on aura f r = r¥r et f'r = rF’r.

Tel est donc le système d’équations qu’il faudra résoudre simultanément, pour déterminer les deux inconnues u et «' en fonctions de r et t. Mais auparavant nous ferons remarquer que si l’on a q — -r. , il faudra, d'après les équations relatives à la surface de séparation des deux parties de la spbère , qu’on ait u — u pour r=h i en sorte qu’il n’y aura alors aucun changement brusque de température dans le passage de l’une de ces parties à l’autre, quoiqu'elles puissent être de matières différentes. Si l'on a, au contraire,

g — o, ces équations se réduiront à * = o et = o; le flux de

chaleur sera nul en tous les points de la surface de séparation; et, dans ce cas , la distribution de la chaleur dans chaque partie de la sphère sera indépendante de celle qui aura lieu dans l’autre partie. Elle sera la même, dans la couche extérieure, que si le noyau était remplacé par un espace vide, comme dans le n* 137; et, en même temps, la loi des températures dans le noyau intérieur sera celle qui a lieu dans une sphère homogène dont la surface est imperméable à la chaleur; laquelle loi se déduit de l'équation (8), en y faisant la quantité p infiniment petite.

(145). Les valeurs de ru et ru' en séries d'exponentielles qui satisfont aux équations (ia), et dont la première remplit, en outre, la condition ru = o quand r—o, peuvent être représentées par

4 • mr — in*t

ru = ZA sîn — e , a

f f a / • tnr . r» 1 mr\ —m * i

ru’ = Si A sm -f- B cos gp-J e ;

les sommes 2 s’étendant à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, des constantes m, A, A', B'. Pour que cette valeur de ru' satisfasse, quelle que soit la variable t, à l’équation (i3) relative à r =h + 1, il faudra qu'on ait

,,rm mlh+l) 1 a a

-7 Sin -■

•+• (S ~ TT~l) sm

- (g-rii)cos

d’où l’on tire • »

A, |m(A + 0 sin + + /) i ] cos B ,

B' = |=i£+2 C0S =^2 + [<J( A + /) ,] sin =»+$) B ;

B étant uue constante qui demeure indéterminée.

En ayant égard à ces valeurs de A' et B', et substituant celles de ru et ru' dans les équations (i4)> H11' ont beu pour r = h et pour toutes les valeurs de r, on en conclut

= B bh {2^C0«ÿ+Ce(A +1)- il sin ÿj , ■

B {[ÿ [C(A + /)-.]+ ( 6'A ,)]co8 ÿ

| -j£W±ü —(b1 h -+■ .) [C(A + 0— ■]] sin J j = A b1 h sin

On satisfait à l’une de ces deux équations, à la seconde, par exemple, en prenant

A = MQ , B = M sin ^ ,

où l’on désigne par M une coustaute indéterminée, et l’on fait, pour abréger ,

-{aS£i-Ai*’*

Jbh

En substituant ensuite ces valeurs de A et H dans la première de ces mêmes équations, et ayant égard à cette valeur de Q, on trouve

- |ÿ[fi(A+0 - I] + (*'A + 0} y cos y cos y (l5)

+ { — ff;*--0 (M + ,)[tf(*+fl-«])«in ÿin ÿ

- J ? [^(*+0- .j(*A— .)— n^±i\b‘h-bh+ , ) { sin cos^ = o;

équation qui servira à déterminer les valeurs de m.

Maintenant, si nous faisons

r\ • mr

H = Q sin — ,

| m(h+l) m(h+l — r) , r/*, 1 , t • r)» . mh

R' — .J -A-XJ cos — + [6(h + t) — 1 1 ] sin J sin — ,

les valeurs de ru et ni seront

m = 2MRe— , ni — 2MR'e~"v. (16)

Dans chaque somme 2 , on pourra supposer réunis en un seul les termes correspondais à des valeurs égales de m, ou à des valeurs égales et de signes contraires: et cela étant, on n’étendra plus les sommes 2 qu’aux racines de l’équation (i5) dont les carrés st>nt des quantités inégales, de telle sorte que toutes les exponentielles comprises dans chaque somme seront distinctes l’une de l’autre. C’est dans cette supposition que nous allons déterminer M en fonction de m., au moyen du procédé général indiqué dans le n° 85, et d’après l’état initial des deux parties de la sphère.

(■46). Chaque ternie des valeurs de m et ru' satisfaisant séparément aux memes équations que les valeurs entières , il s’ensuit que l’on aura, comme on peut d’ailleurs le vérifier.

rf*R ___ mB J* d*W

~drr

pour toutes les valeurs de r, et, en particulier,

R = o, quand r = o,

(G — jj-£-^R'=o, quand r = k+l,j

■jr •+• (b — {)R — 6R' = o, quand r = h, (b'+ ^ R' = o , quand r = h.

d R' dr

Cela posé, je multiplie la première équation (la) par Rdr , la seconde par RWr; puis j’intègre leurs deux membres dans les limites où chacune de ces équations a lieu ; ce qui donne

R rudr

dt

*+/"'ru'</r

‘ fr *

dt

h+t d'.ru' dr *

R'dr.

En intégrant deux fois de suite par partie, .et mettapt pour ~ et

leurs valeurs données par les équations (17), il vient

/^Rtfr-R'i^-n/f -f.fK'n/Jr.

Les termes compris hors du signe f dans la première de ces formules, disparaissent à la limite r = o, puisque R et ru s’évanouissent avec r. Ces termes disparaissent aussi dans la seconde formule à la limite r = h+l; car, en combinant ensemble la seconde équation (18) et l’équation (i3), qui ont lieu l’une et l’autre pour cette valeur de r, on en déduit

«'TT—* £ = (r ir, - 0 1»'™- - KW) = O.

Eufin, à la limite r = h, les équations (14) et les deux dernières équations (18), qui ont lieu toutes les quatre pour rzstl, donnent

3o 6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

R^-ru§^b[Rru'-R'ru],

les quantités comprises entre les crochets se rapportant à cette valeur particulière r=h. D’après ces différentes valeurs, nous aurons

Rrudr

dt

R'ru'rfr

dt

a‘b [Rit/ — R'ra] — m'f Rrudr,

— a"b'{Rru'—R'ru]—m‘ ff‘ R'n/dr.

Or , si la quantité q relative à la surface de séparation des deux parties de la sphère est zéro, b et b' le seront aussi; les variables u et u' seront séparées dans ces deux équations, qui s’intégreront toutes deux immédiatement; et ces inconnues se détermineront indépendamment l’une de l’autre. Nous supposerons que ce cas particulier n’ait pas lieu ; les quantités b et b' n’étant donc pas zéro, on pourra diviser la première équation par a‘b, et la seconde par a'%b' •, et en les ajoutant ensuite, les quantités comprises hors du signe f se détruiront. De cette manière , nous aurons

+ (ff! f. R™* + TV f* Vniir ) = “•

d’où l’on tirera, en intégrant,

~ fl Rrudr + ^ ff*4 R'nt'dr x= De“"**‘ ; (19)

D étant la constante arbitraire, que l’on déterminera en faisant tso et mettant pour ru et ru' leurs valeurs initiales fr et f'r; ce qui donne

Kfrdr.

Je substitue maintenant, dans cette équation (19), les formules (t(r)

à la place de ru et ru! . Le coefficient d’une exponentielle distincte de e m ' dans le premier membre de cette équation , devra être égal à aéro ; en sorte que m, étant une racine de l’équation ( 1 5 ) , dont le carré est différent de m‘, et en désignant par R, et R', ce que deviennent R et R' quand on y met mt au lieu de m, il faudra qu’on ait

ïhfo R Vr + àW fk+‘ R<R^ = 0 ;

et comme a%b et a!'b' sont des quantités positives, cette équation servira à démontrer, par le raisonnement du n* go, la réalité de toutes les racines de l’équation (i5) qui entrent dans les formules (16). Dans le cas de m' = m*, le coefficient de l’exponentielle contenue dans le premier membre de l’équation (19) devant être égal à D, comme dans le second membre, on en conclura

(w/>* + jV/T'1'-*) m =

ce qui détermine la valeur de M en fonction de m. D’après les valeurs de R et R', on a

fh+!R'‘dr— iPsin* J h a

a . mh mh\

— sia — cos — 1 , m a a J ’

mh

en faisant, pour abréger,

p= "**/(^4 -M[ff(A + Ô— - .]* + (A -M) [6(A+ 1) - il

et en mettant aussi pour D sa valeur, celle de M sera

2a' ‘A' f R frdr -f- la' b R ’frdr

J'à'Q' (h — — sin — cos —— -f- a'àP tiii*

3o8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Au moyen de cette valeur de M, les formules (16) ne contiendront pins rien d’inconnu, et elles donneront, à un instant quelconque, la température de tel point qu’on voudra, appartenant à l'une ou h l’autre des deux parties de la sphère que nous considérons. La même analyse s’étendra, sans autre difficulté que la longueur des calculs, au cas d’une sphère composée de trois ou d’un plus grand nombre de parties de matières différentes.

(147)- On peut voir, à priori, que le terme de chaque somme 2 qui répond à la racine m =0 de l’équation (i5), doit s’évanouir; car, s’il n’était pas nul, les températures des points de la sphère convergeraient, dans tous les cas, vers une valeur constante qui ne serait pas zéro, et quelles atteindraient après un certain temps; en sorte que la température finale et permanente de la sphère serait toujours différente de la température extérieure ; ce qui ne peut avoir lieu, pour la sphère entière, ou seulement pour le noyau intérieur, que quand le flux de chaleur est nul à leurs surfaces respectives. On fera donc abstraction de la racine zéro de l’équation (i5), et l’on étendra les sommes 2 à toutes les valeurs positives de m, tirées de cette équation.

Dans le cas du flux de chaleur nul à la surface extérieure , on regardera le coefficient p' relatif à cette surface , comme une quantité infiniment petite; la quantité £ le sera également; et l'équation (i5) admettra une racine qui sera aussi infiniment petite. Pour la déterminer, je développe suivant les puissances de m les sinus et les cosinus contenus dans cette équation, puis je supprime le facteur m* commun à tous scs termes, et je néglige ensuite les termes qui ont m* ou m’S pour facteur; il en résulte

d’où l’on tirerait la valeur infiniment petite de m, s’il était nécessaire de la connaître. On aura , en même temps,

aa C »

m'hr

Ces valeurs de R et R' étant égales et proportiOTRrelles à r, on voit déjà que les termes correspondans des formules Ç"iè) Avisées par r, seront

DE LA CHALEUR. 3og

indépendans de r et auront la même valeur pour les deux parties de la sphère; et les autres termes de ces formules disparaissant au bout d’un certain temps, à cause des exponentielles qu’ils contiennent, il s'ensuit que la température finale et permanente de la sphère entière sera la môme en tous ses points. De plus, on aurït aussi

, mh

. a . mh mh a m‘h'

h sin — cos — = -, ,

■o a m'hlQi + l) , a m‘li

* r -jjr î

et au moyen de ces valeurs et des précédentes, la valeur correspondante de £ MR ou ^ MR', c’est-à-dire la température finale dont il s’agit, aura pour expression

ab'b' J' r* Frrfr + a'^J'k + r*F 'rdr \h'J‘b' + hl (h + l)cFh~+ J l ^a'b '

en mettant rFr et rF'r dans M an lieu de fr et f'r. Comme on a (n* *44)

on voit que cette température sera indépendante des conductibilités k et k' des deux parties de la sphère; elle ne dépendra pas non plus de la quantité q relative à leur surface de séparation; mais elle variera avec le rapport de leurs chaleurs spécifiques.

En désignant par V et V' les volumes de ces deux parties, par C et G' les quantités de chaleur qui leur ont été primitivement communiquées, on aura

V=Ça>, V' = 4*M(A-W)+ ±P,

C = 4wc f h r*F rdr , C' = 4 -*c' f*+‘ r*F Wr ;

la valeur précédente de la température finale deviendra donc

cV + c'V' »