cos Ax sin A'^sin A''z
, bb'b' . .
■ ”** ü? s,n Sln *7 sm A
DE LA CHALEUR, l’expression de u deviendra
u — 2APe a,'*‘,
et la somme 2 ne s’étendra plus qu’aux valeurs de A, A', A", déterminées par les équations précédentes. Oh poutra employer seulement pour chacune de ces trois quantités , les valeurs dont les carres sont différens; et il ne restera plus qu’à déterminer le coefficient A en fonction de A, A', A", par la méthode générale du n° (85).
Pour cela , je désigne par P; et p, , ce que P et p deviennent quand on y met pour A, A', A", des valeurs de ces quantités représentées par A,, A', A'\ La quantité P(é“ ’ a'K'' sera une valeur particulière de u; le coefficient P( satisfera donc à l’équation
^ dx‘
+ ££dy ~ d i*
pour toutes les valeurs de x, y, z ; et, en outre, aux équations (5) pour les valeurs particulières de ces variables, auxquelles ces équations répondent. Cela étant, je multiplie l’équation (i) par P jdxdydz, puis j’intègre ses deux membres daus toute l’étendue du parallélépipède. En faisant pour abréger
Lfofo?'UdX<ijrdZ=Vr
il en résulte
Par le procédé de l’intégration par partie , et en ayant égard aux équations (5), on a
fl Hf f‘d-
d’où l’on conclut
i ce qui est la môme chose, d’après les équations précédentes.
dv
Tl
Eu intégrant et désignant par K la constante arbitraire, on aura donc
v = Ke~‘a,'t.
Pour déterminer cette constante, je suppose qu’on ait u = F(x, jr, z),
quand i = o, de sorte que la fonction F soit donnée pour tous les points du parallélépipède, et représente sou état initial. En faisant r=o dans l’équation qui précède, ou aura
K = fl fl P, F(*> y, z)dxdjdx.
D’après cette valeur de K et celle de v , on aura donc
foflfl P' e • -flflfl P-F(* >y> *Y*dydz,
pour toutes les valeurs de t. Je substitue dans cette dernière équation, à la place de u, sa valeur en série d’exponentielles; en égalant les coefliciens des termes semblables dans les deux membres, on en conclut
pour toutes les valeurs de /»* et p * qui ne sont point égales ; et dans le cas de p’ = p*, on aura, en particulier.
A fl fl fl P ‘djufydz = /;/X PF(x,./, z) dxdydz ;
ce qui fait connaître la valeur de A qu’il s’agissait d'obtenir.
DE LA CHALEUR. S5t,
L équation précédente servira, comme dans le n* 90, à prouver la réalité de tontes les valeurs de A, A', A". Par les règles ordinaires, on obtiendra sons forme finie, la valeur de l’intégrale triple , par laquelle la quantité A est multipliée ; en la représentant par A , nous aurons
“ = 2 [e-T -*fl f! fl PF r* 2> dxdjrdz~],
pour l’expression générale de la température, à une époque quelconque et en tel point qu’on voudra du parallélépipède ; ce qui est la solution complète du problème. En y faisant t= o, il en résultera une expression de la fonction arbitraire F (x , y, z) en série de quantités périodiques, qui ne subsistera que pour les valeurs de x , y, 2, comprises entre les limites x = o et x = /, y = o et y = l, z = o et 2 = C, et qui n’aura Heu aux limites mêmes que quand la fonction F (x , y, 2) et ses coefiiciens différentiels satisferont aux équations (5), relatives & ces limites.
(166). Lorsque le corps A sera une sphère ou un sphéroïde quelconque, au lieu de déterminer ses différens points par leurs coordon nées rectangulaires , il sera mieux de faire usage de leurs coordonnées polaires et de transformer, en conséquence, les équations (i)et (3).
Soit donc rie rayon vecteur du point quelconque M de A, qui répond aux coordonnées rectangulaires x, y, z; soient aussi fl l’angle que fait ce rayon avec l’axe de s, et 4 l’angle compris entre le plan de ces deux droites et celui des x et z ; nous aurons
! = rcosfl, y = rsirrfl sin4» x — rsinfleos-^. (6)
L’origine de ces coordonnées r, 8, 4» sera un point de l’intérieur de A , pour lequel on prendra le centre de ce corps, lorsqu’il en aura un. Le rayon r sera une quantité positive, qui s’étendra depuis r = o jusqua une valeur de r en fonction de 6 et 4, donnée par l’équation L = o de la surface de A , après qu’on aura mis dans L les valeurs précédentes de x,y, z; les angles 6 et 4 pourront s’étendre depuis 9=o et 4 = o jusqu’à 8= k et 4 — 2W.
Il s'agira donc, par les règles connues de la transformation des différences partielles, de changer celles qui sont contenues dans les
36o THÉORIE MATHÉMATIQUE
équations (i),(a), (3), et qui se rapportent aux variables x , », z, en d'autres qui soient relatives à r, 6, 4 > mais pour effectuer cette transformation de la manière la plus simple, j'appellerai / la projection du rayon vecteur r sur le plan des x et y, de sorte que l’on ait
/ — V-r* •+• JT\ tang^ =
On en déduit
du
dx
du
àj
du dr dr' dx du dd dr dy
du dldj, dx du^di.
d^ify
du x dr r
du y d\T’'
du y du x
~ dd d ‘ d^,r*‘
En différentiant la seconde valeur de — par rapport à x et celle de ^
par rapport ky, on aura donc
T. I# — 'jLjj j i
du d ?
æu àjr
d’u x dxdd ?
d’u y dydr d
d’u y dxdÇ' i d’u x
dfdld"
du y' dr r * du x' dd d*
, i" xs
dûï>
du jrx du , du
En mettant successivement dans ces mêmes valeurs, ^ et ~ à la place de u , ou aura aussi
dxdd dd’ d
dxd^ ~ 171$ d
dydd — dd’d
dyd-l ' 1711 d
d’où il résultera
d’u y ddd\ d’ ’
<£« y dp d’*
d’u x dddïdï’ d’u x
+■ dÿ7-’}
d’u d'u x’ d’u xy , d’u y * , du y’ ,< du xy
dx‘ — dr" d‘ 3 ddd^ d’ dp d* dd7~s "** 2 d^d1 '
d’u d’u y’ d’u yx d’u x ’ , du x’ duyx
dp ~ dPd’~^~ ^dddjd’^' dpdi d? d> “ 3 d$ d~’ ’
et par conséquent
d'u | d'u du , J d’ u , | du
dx' djp dp’ ' p'd-f.’ *■* pd?'
Si l’on observe que l’on a de même
r = \Jz' P', tangS =
ou en conclut que l’équation précédente devra encore subsister, lorsqu’on y changera x, y, P, 4 , en s, P, r, 8 ; ce qui donne
d'u du du , l^d'u . > du
d *• dp' dr* "T” r* ÔÜ* + r dr »
et en ajoutant ces deux équations, il en résultera
. d'u d'u d u I du 1 du' . 1 du . 1 du
dz- tfy' d*' dr* p'dlr' ^Pdi' TdP'^'rTr' Mais d’après les valeurs de r et tang 8 , on aura aussi
du du z du P
. dz~ dr r M r* ’
du du P du z
dp dr r ' dï r'
Donc, en substituant cette valeur de ^ dans l’équation précédente,
et mettant aussi rsin 8etrcos8 au lieu de Pet s, la transformation du second membre de l’équation (1) se trouvera effectuée; et si l’on multiplie cette équation par r, on verra qu elle peut s’écrire ainsi :
An. . p-™ , , <si°9 W) , d' n,!
d» a L dp ‘ r'sin# M ' r*sin*8 rfJ* J ‘
En substituant aussi cette valeur de ^ dans celles de ^ et ^ , joi-
gnant celles-ci à la valeur de et ayant égard aux équations (6),
nous aurons
du du . I.
- = -rsm8 cos^ +
dr
du
du . du ^ , du sin 0
-y =3 — COS 0 + -jr ;
dx dr - di r
du cos ê co* di r
du . A cos I sin 4-
~ == dr S'I* ® S,n4 + 39—7“
du sin Jd.£ rsin 87 du coj^ dj. r sin 6 ’
au cos* V + Xi ^râ» / W
au moyen de quoi , J’e'qualion (a) deviendra
~ (cos « sin 6 cos 4 + cos G sin 6 sin 4 + cos y cos 8^
*f- ~r^~ (cos a cos 0 cos 4 + cos G cos 8 sin 4 — cos y sin 0^ (9)
+ «b^.(cose cos4 “ cos<t sin-*0 + *(■— 0 =°-
Les équations (8) ayant lieu pour une fonction quelconque u de x, y, z, on y pourra mettre I- à la place de u, et elles donneront les valeurs de— , <jj>d'Zz’ <lue 1°H devra employer dans les équations (3) ,
d’où il résultera les valeurs de coset, cosê, cos^, qui devront être substituées dans l'équation (9).
Outre les équations (7) et (9), auxquelles la valeur de u devra satisfaire, il faudra encore qu'elle soit telle que l'on ait rte = o quand r — o, afin que la température u 11e soit point infinie au point du sphéroïde que l’on aura pris pour origine des coordonnées. Cela étant, si l’on désigne par f{r, 0, 4)> une fonction donnée pour tous les points du sphéroïde, d’après son état primitif, il faudra joindre à l’équation (7), commune à tous ces points, et à l’équation (9) relative à ceux de la surface , les deux équations
ni = o, m=/(r, 0,4), (10)
dont la première aura lieu pour /•= o, et la seconde pour l = o: la fonction f{r, 0, 4) exprimera, dans chaque cas, la température initiale du point M qui répond aux coordonnées r, 0, 4» multipliée par son rayon vecteur r.
Le problème qui va nous occuper dans la Suite de ce chapitre, consistera donc à résoudre simultanément les équations (7), (9), (10),
lorsque le corps A sera une sphère «l'un rayon quelconque , qui aura son centre à l’origine des coordonnées.
(167). Quelle que soit la valeur inconnue de ru, on peut toujours, d’après le théorème du n° (io5), l’exprimer par une série de cette forme :
ru = V„ V« + . V. -f- V, + •••• -f- V. -1- etc., (11) •
dont le terme général V. est une fonction des trois quantités cos 6, sinôsin^, sin 8 cos 4- , rationnelle, entière et du degré n, qui satisfait à l’équation
