SP

Sa ûdà

et qui dépend, en outre, des variables r et t. En substituant cette série dans l’équation (7), ayant égard à l’équation relative à V,, et faisant, pour un moment,

<*V. Pf‘V- — "(n+,'v “I — V'

~37 ~~a L~dF F~v* J — v ■»

nous aurons

• V'. -f- V', -f- V', -f- V', <+• .... V'« etc. = o.

Or, V'. sera une fonction de la même nature que V„; d’après les propriétés de ce* genre de quantités, il faudra donc que chaque terme du premier membre de cette dernière équation soit séparément nul (n’ 111); on aura donc V'« = 0, c’est-à-dire,

rfV. rJ'V. "("+>) v~l /

lu=a LdF — M (,a)

L’in

par

complète de cette équation peut être représentée (n° 84) V. = 2Qe— 0’f‘< ;

e étant la base des logarithmes népériens , f une constante arbitraire, Q une fonction de r et />, qui peut contenir encore d’autres constantes arbitraires’, et la somme 2 s’étendant à toutes les valeurs

possibles, réelles ou imaginaires, de p et des autres constantes: on

aura pour déterminer Q, l'équation

dr‘

dont nous avons donné, dans le n* 8a , l’intégrale complète et sons forme finie. Mais la valeur de ru ne pouvant devenir infinie pour r = o, et étant, au contraire, nulle à l'origine des coordonnées, il en sera de même à l'égard de chaque terme de la série ( n); on devra donc réduire la valeur de Q, à la partie qui ne devient point infinie pour r=o, et qui sera,, d'après la formule (17) du numéro cité,

Q = A. r**' f" cos (pr cos et) sin“+' cadet ;

A. étant un coefficient indépendant de r.

La formule (19) du même numéro donnera, si l’on veut, sous forme finie et en fonction de r et n, la valeur de l’intégrale contenue dans cette expression de Q. Relativement aux variables fl et 4> Ie coefficient A. sera une fonction de la meme nature que V„, c’est-àdire que A, sera aussi une fonction de cos 0 , sin 6 sin 4-, sin 6 cos 4 > rationnelle, entière et du degré n, qui satisfera à l'équation

sim bd)

Ht) , I d'Kn . , . \ .

et dont l'expression la plus générale pourra contenir un nombre a«-f- 1 de constantes arbitraires (n° io5). Les valeurs de Q et V., et par suite tous les termes de la série (1 1) s’évanouiront pour r= o; en sorte que la conditioa exprimée par la première équation (10) sera remplie.

Cela étant, si nous faisons, pour abréger,

<p(r,p) = (A.+ A.rsinVa + A. r»sin<»-t-. ...

. . .+ A.r* sin **» -f- etc.) cos (pr cos et) sin otdet,

nous aurons, en vertu de la série (11) et, de l’expression de V. en

série,

* u — 2<p(r,js) e~a’,ui 04)

la somme S s’étendant h toutes les valeurs possibles de p et des constantes contenues dans A,, A,, A,, A3, etc. Ce sera l’intégrale de l’équation (7), indépendante de la forme du corps A , mais assujettie à la condition particulière ru — o quand rr=o. Son intégrale complète, dont nous n’avons pas besoin, renfermerait une autre série ordonnée suivant les puissances négatives de r.

(168). Dans le cas de la sphère dont le centre est à l’origine des coordonnées, on aura

cos a s= -, cosf =^, cos v= - :

par conséquent, en vertu des formules (6), l’équation (9) se réduira à

Si l’on représente par l le rayon de la sphère, cette équation relative à la surface , aura lieu pour r s= l, et pourra s’écrire ainsi :

D’ailleurs, quelle que soit la valeur de £ en fonction de 9 et 4 , on peut la représenter par une série de cette forme (n° io5) :

£ = Z, + Z, + Z, -f- Z, -f- ... + Z, -f- etc. ;

Z, étant une fonction de cos8, sin 6 sin^, sin 9 cos -J. , rationnelle entière et du degré h, qui pourra, en outre, contenir le temps <, et qui satisfera à l'équation

d(sio9^)

sin tcft

Or, en substituant cette série à la place de £ et la série (11) au lieu de ru dans l’équation précédente, relative à la surface, et égalant ensuite dans les deux membres, les quantités qui répondent à un même in-

dice quelconque n (n° 1 1 i), il en résultera

~+{bl-i)\' = bl Z., (,5)

’ toujours pour la valeur particulière r — l.

Nous supposerons d’abord que la température extérieure Ç soit égale à zéro ; ce qui rendra nul le second membre de cette dernière équation. En substituant alors dans son premier membre, la valeur de V, enséried’exponentielles, et égalant à zéro le coeflicient d’uneexponentielie quelconque c “ 1 1, on aura

donc en ayant égard à la valeur de Q, cette équation relative à r = l, deviendra

' [((,1 j n ) cos [pl cos ai') — fl cos » sin(pZ cos ar)]sin**+ =o ; ( 16)

et ce sera celle qui devra servir h déterminer la quantité f.

Pour chaque valeur de n , cette équation transcendante donnera une infinité de valeurs de f‘ qui seront toutes réelles, comme on le verra tout à l'heure. De plus , si l’on développe suivant les puissances de p , le premier membre de cette équation (16), on obtiendra une série qui ne contiendra que des puissances paires , et dont les coefficiens seront alternativement positifs et négatifs; d’où il résulte qu’aucune des valeurs de f‘ ne pourra être négative.

Pour obtenir, sous forme finie, l’intégrale indiquée dans cette équation, j'observe qu’en vertu de l’équation (tg) du n° (8a), on a

xM+l f" cos(f“c cos“) sin**+' CàidcD — E (X sin fx — X' cos px);

X et X' désignant des fonctions rationnelles et entières de x, et E étant un. coeflicient indépendant de cette variable. En diflérentiant par rapport h x, nous aurons

x" f [(an -f- 1 ) cos ( fx cos ai) — pxcos» sin(pxcos »)] sin**+*Wai

= E \JM + f X) sia fX ~ (rfx~ ” fX) 006 /*] ï

de cette équation et de la précédente, on déduit

x,t+'J " fx cos«sin(/>x cos») sin“+l udc*

= E j^(an + ») X — fxX' — x si n [x

— ^(an ■+• l) X'+ f x X — x cos px | ;

et si l’on met dans ces formules les valeurs de X et X' du numéro cité, dans lesquelles on fera * = p, i = n, x = l, on eu déduira ensuite la valeur demandée de l’intégrale qui forme le premier membre de l’équation (16).

En supprimant le facteur E de cette intégrale égalée à zéro, on trouvera que l’cquation (16) prend la forme

h sin pl — k fl cos fl — o;

h et k étant des fonctions rationnelles et entières de p'I*, dont chacune est la somme de deux polynômes d’un degré dépendant de n , savoir :

h = bl — « — , f./.

x .2. an. 2/i — 1

. a1" (n — 1) (n — 2) (n —3) (bl — n + 3) ^

‘ 1.2. 3. 4 .jn.jit— MB — 2. an — 3 *"

an aJnCn-.)(n-a) ^ + ^

, an (bl — n) a1» (n — 1) (n — a) (il — n -f- 3) ^

K an 1 .a. 3. a n — 2 n. i .2 n — 2 ”

asn (n — 1) (n — a) (n — 3) (n — folpl — n 4~ 4)

.a. 3. 4. 5. an. an — i.2n — a. an — 3. an — 4

p4 1* — etc.

On doit remarquer que la valeur de E du n° (82) ayant f pour diviseur.

la suppression de ce facteur E a introduit dans l’équation (17) une racine p=oquinetait pas dans l’équation (16), et dont il faudra toujours faire abstraction.

Pour les valeurs particulières n = o, — 1 , = a, etc. , l’équation ( 1 7) sera

( bl — 1) sinff -f- fl cos fl — o,

• (bl — 2 -f- f'I' ) sin fi — (bl — 2) fl cos fl = o,

[bl — 3 — j( bl — 4)p*/*] sinp/ — (bl — 3+5p‘/*)pf cos fl =0 , etc. ;

où l’on voit que pour n = o , cette équation (17) coïncide avec l’équation (7) du n° 139, relative au cas d'une sphère dont tous les points également éloignés du centre , sont également échauffés. Dans tous les cas, on tire de l'équation (17)

sin fl = -

COS fl =

ÿkyi' + h‘

Quand la valeur numérique de bl sera donnée, on déduira de ces équations, sous cette forme ou développées en séries , les valeurs numériques de fl qui ne seront pas très grandes. Quant à celles qui seront très grandes , on les obtiendra en conservant seulement dans une première approximation, la plus haute puissance de fl en dehors de sin pi et cos fl. Alors si n est pair, l’équation (17) se réduira a (fl)“ sin pl=o , et si n est impair, à cosp/ = o;

on aura donc fl = nr dans le premier cas, et fl = î(af-f- 1}* dans le second; i étant un nombre entier très grand, afin ne les valeurs de fl soient aussi très grandes, comme on le suppose. Si l'on veut ensuite obtenir une valqur plus approchée de fl, on fera fl = ix z ou = i)ir-f-s, selon que n sera pair

ou impair ; on substituera l'une ou l’autre de ces valeurs de fl daus l'équation (17); et en négligeant les puissances de 2 supérieures à la première, on déterminera facilement la valeur approchée de cette nouvelle inconnue qui devra être nue très petite quantité.

(16g). Les valeurs de f étant donc censées connues, il ne reste plus qu’à déterminer en fonction de f , le coefficient A. d’un terme quel-

DE I,A CHALEUR. ' 36g

conque de la valeur de V. en série d’exponentielles, en suivant le procédé général indiqué dans le n° 85.

Soit donc, pour abréger,

r‘+,J'r cos(frcosu) sin”4" »</**= R;

la valeur de V., dont il s’agit, sera