V.Rrfr

en vertu de la première équation (10), chaque terme V, de la série (xi) doit être zéro en même temps que r; on a aussi R = o pour r=o; et si l’on a égard aux équations auxquelles R et V. doivent également satisfaire h l’autre limite r=l, on en conclura, en intégrant deux fois de suite par partie,

Par conséquent, d'après la valeur précédente de ^ , on aura d. R V.rfr

=-«r/>VA;

et en intégrant cette équation, il en résultera

f* KVjirss(f~a‘>H}

C étant la constante arbitraire.

Pour la déterminer, je suppose que l’on applique le théorème du n° io5 à la fonction f(r, 8, 4)» de sorte que l'on ait

f(r, 8, 4) = Y, + Y, -j-Y, + + Y. -f- etc. ;

Y. désignant une fonction de cos 8 , sin 8 sin 4» sin 8 cos 4» rationnelle, entière et du degré n, qui satisfera à l’équation

sin Bd!)

et qui dépend, en outre, de la variable r d’une manière quelconque.. En vertu de la seconde équation (10) et de la série (11), Y. sera la valeur de V. qui répond àt = o; on aura donc

C = f‘ MJr,

pour la valeur de C; et il en résultera

fl RV.dr = RY.rfr ,

pour une valeur quelconque de t.

Je substitue dans cette dernière équation, à la place de V, sa valeur eu série d'exponentielles. Si f et f' sont deux racines de l’équation (16) dont les carrés sont diflërens, et que l’on désigne par R' ce que R devient quand on y met f' au lieu de f, la comparaison des termes semblables dans les deux membres de l’équation précédente, donnera

d’abord

f‘m'dr=o;

et dans le cas de = p‘, on en conclura , en outre ,

A.f‘R‘dr= f ' RY«rfr.

Par un raisonnement semblable à celui du n* go , on déduira de la première de ces deux équations , la réalité de toutes les valeurs de f%, tirées de Icquation (16). La seconde équation fera connaître la valeur de A. qu’il s’agissait de déterminer. Pour exprimer au moyen de la fonction arbitraire f{r, 8, 4)» la quantité Y. contenue dans cette équation, soit

cos 8 cos 0' V sin 8 sin 8' cos (4- — 4 ') == P >

supposons que l’on ait développé (1—2 pa+ , comme

dans le n° 108, suivant les puissances de a ; et représentons le coefficient de a* dans cette série par P. dont nous avons donné, dans ce numéro, la valeur en fonction de p et de n; d’après la formule (4) du n° 109, nous aurons

y. = ^ /(r, s-, 4op. «n may. ‘

L’intégrale J R*dr par laquelle la quantité A. est multipliée, s’obtiendra sous forme finie; et si l’on substitue dans son expression, à la place de sin fl et cos fl, leurs valeurs que l’on a déduites de l’équation (17), elle se changera en une fonction rationnelle de/:. Nous ferons , pour abréger ,

et nous aurons alors

A. = 0', 4') RP. sin VdniWd 4'. (18)