a THÉORIE MATHÉMATIQUE

Au moyen de cette expression de A, , la valeur de <p(r, f) donnée par l’équation (i3) sera entièrement déterminée; la formule (14) ne contiendra donc plus rien d’inconnu ; et elle renfermera, par conséquent, la solution complète du problème, dans le cas d’une sphère homogène, primitivement échauffée d’une manière quelconque, soumise à une température extérieure constante et égale à *éro , et dont la surface est partout la même.

Dans ce cas général , la température u en un point quelconque M de la sphère et à un instant quelconque , se trouvera exprimée , comme on voit, par une série infinie d’exponentielles dont les exposans seront négatifs, proportionnels au temps et aux racines d’une équation transcendante; et dans cette série, le coefficient de chaque terme sera une fonction des coordonnées r, 0 , 4 > de M , exprimée elle-même par une autre série dont les termes seront donnés par des intégrales triples ; en sorte que ce sera, en définitive, une double série d'intégrales triples, relative soit au nombre n , soit aux valeurs de p*I* tirées de l’équation (16). En y faisant t=o et multipliant par r, on en déduira une expression de la même nature pour la fonction arbitraire /(r, 0, 4)» subsistera pour toutes les valeurs des trois variables , comprises entre r=o et r=/, 8 = 0 et 8 = ir, 4 = 0 et 4 = 3*.

(170). La partie de la formule (14) qui répond à n = o, mérite une attention plrticulière. Je la désignerai par v. Pour l’obtenir, il faudra réduire la formule ( 1 3) à son premier terme , savoir :

<p (r, p) = A.y"r cos (pr cos 0») sin a>dot a= ;

d’où il résultera

v = aï — — - e * f ‘.

tr

On aura, en même temps,

Po = ,, r — liin/f n =

9 f 9 2fl — 810 2fl

la valeur de A0 donnée par la formule (18) pourra donc s’écrire ainsi :

et si l’on appelle /r la moyenne de toutes les valeurs de fr dans toute l’étendue de la surface sphérique dont le rayon est r, de sorte qu’on ait

la valeur de v deviendra

v = - 2 -2 — -“‘-y- ( J / sin ft'dr’ \

r fl — siDftcon fl\J o ' /

On pourra aussi écrire cette valeur sous cette autre forme :

en observant que pour n = o , les valeurs de siu fl et cos fl, tirées de l'équation (17), sont

sin fl =

cos fl =

■ — bl

Vf* + (W - ■)-'

En comparant la valeur de v à la formule (8) du n° 1 3g, et observant que les valeurs de f sont tirées de la même équation pour ces deux formules , on voit que cette partie v de n est la température qni aurait Heu dans la sphère entière, si les points également éloignés dn centre eussent eu primitivement des températures égales , et que la température initiale, commune à tous les points qui ont un même rayon vecteur r, eût été la moyenne des températures différentes qu’ils ont eues réellement. De là, on déduit plusieurs conséquences que nous allons successivement énoncer.

1*. Dans le cas où les températures initiales des points également éloignés du centre sont égales, la fonction f(r, 8, 4) est indépendante des angles 8 et •>{,, et se réduit à une simple fonction Jr dn rayon r. I/équation (18) devient donc

mais par la nature de la quantité P., on a (a" 1 1 1) f'J” P. sin flWAJ/ = o.

S74 théorie mathématique

excepté pour « = o ; donc aussi U quantité A. sera nulle , excepté A0 ; ce qui réduira la formule (i4J à sa partie v relative à n = o. Far conséquent, cette formule coïncidera, comme cela devait être, avec la formule (8) du n* 1 3g.

a". Pour r = o, la formule (1 3) se réduit à son premier terme, et, conséquemment, la formule (»4) à sa partie v. 11 s’ensuit doue qu’au centre de la sphère, la température est constamment indépendante de S et de •«}/; ce qui devait être effectivement, puisque ces deux angles ont leur sommet en ce point. La température centrale sera égale à la valeur de v qui répond à r = o; laquelle valeur est, d'après l’équation (19),

,*/• + bl {bl — 1)

(/> sin rrW/^e—V'.

Elle sera donc indépendante de l’inégalité des températures initiales à égale distance du centre, et dépendra seulement de leur variation du centre à la surface.

5°. Lorsque le produit bl est très petit, soit à cause du facteur b relatif à la perte de chaleur à travers la surface, soit à cause du rayon l de la sphère, l’équation (16) donnera aussi pour fl, une très petite valeur qui répondra à n = o et sera égale à \/3b/; toutes les autres valeurs de fl tirées de cette équation seront très grandes par rapport à celle-là; par conséquent, au bout d’un certain temps, la valeur de u se réduira sensiblement à la partie de v qui répond à cette très petite valeur de fl. Quand c’est le rayon l qui est très petit, on conclut de là , comme dans le n° 1 4 1 > qu’après un temps très court la chaleur est uniformément distribuée dans la sphère entière. Quand la constante b est infiniment petite ou nulle, on en conclut aussi qu’après un intervalle de temps plus ou moins considérable , la sphère entière parvient à un état permanent dans lequel la température de tous ses points est égale à la moyenne de toutes les températures initiales.

4". Si la constante b n’est pas infiniment petite ou nulle, c’est-àdire, si l’on exclut le cas où il n’y aurait aucune perte de chaleur à travers la surface, toutes les racines de réquation (16) auront des grandeurs finies; par conséquent, tous les termes de la série (i4)dé-

croîtront indéfiniment; et la température de tous les points de la sphère finira par être égale à zéro , comme la température extérieure. Mais avant de devenir tout-à-fait nulle, la valeur de a se réduira sensiblement au terme de la série (14), correspondant à la plus petite valeur de /; or, on verra dans le numéro suivant que cette plus petite racine positive de l’équation (16) est toujours une des racines de cette équation qui répondent à n = o ; si donc on la désigne par f et qu'on représente par v1 la valeur finale de u qui précède le refroidissement total de la sphère entière, v1 sera le terme de la formule (19) qui répond à f = />', de sorte qu’on aura

if =

(M — l)’]sinp'r

(////sinpVW)

Ainsi , quelle qu’ait été la distribution primitive de la chaleur dans une sphère homogène, placée dans nn milieu dont la température est constante, on voit que quand ce corps est parvenu à l’étal fiual qui pré-' cède son refroidissement total, les surfaces isothermes sont sphériques et excentriques, et l’on voit aussi que le temps croissant par dés intervalles égaux, les températures de tous les points de la sphère décroissent suivant une même progression géométrique.

(171). Lesélémensde l’intégrale qui forme le premier membre de l'équation (16) étant égaux deux h deux, c’est-à-dire, pour met pour tt — ca,

on peut réduire ses limites à 0=0 etm= -9T, et continuer de l’égaler à zéro. Si donc on fait

fl = j> rl cos<" = s>

les limites relatives à z seront^ et zéro , et en en changeant l’ordre, l’éqnation (16) se changera en celle-ci :

fi [(W -f- n) cos z — z sinz] ^1 — dz = o, (21)

dans laquelle on fera abstraction de la racine y = o, qui n’appartient pas à l’équation (16).

Au moyen d’un théorème auquel il est parvenu et qui concerne

une classe très étendue d’équations transcendantes, M. Sturm a démontré que la plus petite valeur positive de y qui satisfait à cette équation (ai), répond à n = o, quelle que soit la constante donnée bl ; mais cette démonstration exigerait trop de développemens pour trouver place dans ce chapitre ; et je me bornerai à celle que j’ai donnée dans mon second Mémoire sur la distribution de la chaleur dans les corps solides , pour le cas particulier où bl est un très grand nombre, le seul que nous aurons à considérer par la suite.

Dans ce cas, l'équation (ai) se réduira à

fo 0 -?)'«»*** = O- •

Si l’on prenait y < tous les élémens de cette intégrale seraient positifs, et l’intégrale ne pourrait pas être nulle; si la valeur de y était comprise entre i nr et -ar, ces élémens seraient positifs depuis s=o jusqu’à s= ^ tc , et négatifs depuis z — ^ ir jusqu’à s =y, mais^' étant une quantité positive et moindre que y— ^ir, l’élément négatif qui répond à z = ^ tt -\-y' serait plus petit, en

grandeur absolue, que l’élément positif qui répond à — ÿ ; donc

une valeur dey comprise dans le second quart de la circonférence, ne pourrait pas non plus rendre nulle l’intégrale précédente; et si l’exposant n n’est pas zéro , il en sera de même à l’égard de la valeur particulière yz=. tt. Mais quand n =o , cette intégrale a pour pour valeur.sin^; elle est donc nulle pour j — tt; par conséquent, le produit bl étant un très grand nombre, la plus petite racine f'I de l’é- • quation (16), répond à » = o, et sa valeur approchée est f'issbl.

Pour en avoir, dans le même cas, une valeur plus approchée, j’observe que pour n = o, l’équation (ai) se réduit à

(bl — i) sin^- -f- y cos y = o ;

je fais ensuite

puis je substitue cette valeur à la place dey dans cette équation; et en négligeant les termes qui ont bl pour diviseur, il vient

« -4- TT = o;

d’où il résulte

En employant cette valeur dans la formule (20), on aura

, . «rr wr wr

sin fr=s\n-l ^ cos -ji

à la surface où l’on a r=Z, le premier, terme de cette expression s’évanouit ; c’est pourquoi il est nécessaire de conserver le second ; mais dans le coefficient de sin p'r, on pourra se contenter de faire f'I — ir. Si l’on y met aussi bl au lieu de bl — 1 , il en résultera

* = ÿjlfï sin 7 <*'Xsin7 W cos T) e 7r» (a3)

pour l’expression de la température finale , dans une sphère d’un très grand rayon, ou plutôt, dans une sphère pour laquelle le produit bl est un très grand nombre.

Au centre où r=o , on aura

en mettant l’unité au lieu du facteur 1 — Si l’on fait r~l x,

et que l’on regarde x comme une ligne très petite par rapport à l, on aura, en négligeant son carré,

/=ît ( /07v: sin t dr>y 1 + **)« “ • ca3)

pour la température finale à une petite distance x de la surface. Elle est, comme on voit, très petite par rapport à la température cen-

traie;* laquelle est à celle qui répond à la surface même, comme bl est à l'unité. On voit aussi qua mesure que l’on s’éloigne de la surface, pourvu que la distance x soit toujours une très petite partie du rayon /, la température v', positive ou négative, augmente dans le rapport de i + bx à l’unité.

(17a). Il y a une remarque importante à faire sur l'époque où la formule (aa) peut être employée. L’équation (16) donne pour le produit fl une infinité de valeurs qui sont toutes des nombres abstraits; parmi ces nombres, il en existe qui sont très grands en même temps que le nombre bl; les exponentielles qui leur répondent dans la formule (i4)> disparaissent très promptement; et si l’on désigne par g, g', g', etc , les autres valeurs de fl comprenant la plus petite f'I et qui ne sont pas de très grands nombres, l’équation (14) deviendra, après tu» temps très court ,

u=<p(r, f)e '■ “ -f-î> 1‘ + etc.

Mais en supposant que les nombres g, g', g'1, etc., forment une suite croissante, il faudra dans le cas où le rayon l est très grand , que la ligne a \ 't soit aussi très grande et comprenne un certain multiple de /, pour qu’on puisse réduire cette expression de u à son premier terme, comme nous l’avons fait dans le numéro précédent. Jusque là , on devra employer l'expression de « en série , au lieu de la formule (aa) , pour calculer les températures des différens points de la sphère. Il s’ensuit donc que si le rayon l est considéré comme infini, cette formule abrégée ne sera jamais applicable ; et c’est pour cela que la loi des températures finales, qui a lieu près de la surface , et que nous avons trouvée pour le cas extrême de l — 00 (n* 1 54), n’est pas la même que celle qui résulte de la formule (a5). Dans ctdle-ei les températures décroissent en progression géométrique pour des accroissemens égaux du temps i; dans l’autre, elles varient seulement en raison inverse de la puissance j ou } de cette variable.

(»73). Supposons actuellement que la température extérieure Ç varie avec le temps et d’un point à un autre de la surface de la sphère , de sotie que sa valeur soit une fonction donnée de S et des deux angles •4- et 6.

Pour étendre à ce cas d’une température quelconque, la solution précédente, relative à une température extérieure égale à zéro, je suivrai le procédé général du n" i55. Je partagerai donc u en deux parties que je désignerai par ut et u', de sorte qu’on ait

Je supposerai que u = u, satisfasse ; à Jetât initial de la sphère, à l'équation commune à tousses points, et à l’équation relative à la surface, quand on fait dans celle-ci Ç = o. La valeur de u, sera alors donnée parla formule (14) » où l’on remplacera J (r, 0, 4-) par la valeur initiale de ru,, qui sera f(r, 8, 4) — /’(r> 6, 4)» en désignant toujours par /{r, 8 , 4) celle de ru , et supposant qu’on ait

quand < = o. D’après cela, si l’on représente par A'., ce que devient la valeur de A, donnée par la formule (18), lorsqu’on y met J\r, 0, 4) au lieu de f{r, 0, 4)> et si l’on désigne par ^'(r, f), ce que devient la formule ( 1 3) par le changement de A, en A'„ il en résultera

pour la valeur complète de u, dans laquelle il ne restera plus qu’à déterminer u' en fonction des quatre variables t, r, 8, 4 : la somme 2 s’étend, comme dans la formule (14), à toutes les valeurs positives de p tirées de l’équàliou (16).

Quelle que soit la valeur de ru', on pourra la représenter par la série

ru U, «4 U , -f- U. -4 • • • • *4 U, *4 etc. ,

semblable à la série ( 1 1) par laquelle on a représenté la valeur de ru , de sorte que son terme général U, soit, par rapport à 8 et 4, de la même nature que V». Cette quantité U, devra aussi, comme V., s’évanouir pour r=o, satisfaire à l’équation (13) pour toutes les valeurs de r, et à l'équation (i5) pour r=zzl. Ainsi, quel que soit

38o THÉORIE MATHÉMATIQUE

pour toutes les valeurs de r, et, en particulier,

U. = o , quand r = o ,

■+• (W— i) ^ = bIZ,, quand r=l.

Ces équations ne suffiraient pas pour déterminer complètement U.; mais les quantités arbitraires qui resteraient dans U, et par suite dans u', se retrouveraient aussi dans là partie de la formule (a4) qui dépend de <p'(r, f), et disparaîtraient toujours de la valeur complète de u. Il est évident que la partie u, de u satisfaisant déjà, par hypothèse, à l'état initial et arbitraire de la sphère, il suffit de trouver pour u' une valeur particulière qui satisfasse à toutes les autres conditions du problème.

Or, je suppose d’abord que le terme général Z. du développement de £ (n“ 168) soit de la forme

z. désignant une quantité indépendante de t, et de la même nature que Z, par rapport à ô et ■]> ', m étant une quantité réelle ou imaginaire, indépendante de ces trois variables t, 6, >(/, mais qui pourra changer avec le nombre n ; et e représentant la base des logarithmes népériens. Dans cette hypothèse, je satisferai aux trois équations relatives à U., en prenant

U.= Rr. e~m‘, '

R étant une fonction de la seule variable r, qui devra s’évanouir pour r == o. En substituant cette valeur de U, dans la première de ces équations, il vient

rf’R rn(n+ 0

l’intégrale particulière de cette équation, qui remplit la condition R = o quand r = o, est (n* 8a)

R = Mr"*" J’* cos ( r-~^ cos sin**+,a)(/«,

DE LA CHALEUR. 38i

où l'on désigne par M une constante arbitraire; mais en substituant cette valeur de R dans celle de U., et celle-ci avec celle de Z. dans l’équation relative à r = l, il en résulte

M J" njcos^ ~~~~ cos»^ — — ^cos»sin^^— eos«^Tsin'"+W«=:M,"*;(a5j

ce qui fera connaître la valeur de M.

La valeur de U, correspondante à celle que l’on a prise pour Z. sera donc aussi connue. D’ailleurs, en donnant à m des valeurs imaginaires, changeant l’exponentielle C~ml en sinus et cosinus d’arcs réels, et prenant ensuite pour Z. la somme d’une infinité de valeurs infiniment petites, de la forme dez. sinrnt et z, cos mt, on pourra représenter la valeur la plus générale de Z, en fonction de t. Donc, en prenant aussi pour U, la somme des valeurs infiniment petites qui en résulteront , on aura, dans tous les cas possibles, l’expres sion de U,, ainsi qu’on l’a expliqué dans le n* >55, à l’égard de la quantité U. Cette valeur générale de U. sera donnée par une intégrale triple, qui se réduira à une intégrale double en effectuant, par les règles ordinaires, les intégrations relatives à ai; ce qui sera possible pour toutes les valeurs du nombre entier et positif n. On en conclura , par une sommation relative à n , la valeur de ru', et par conséquent, celle de u' que l’on devra substituer dans la formule (24), qui renfermera alors la solution générale et complète du problème.

(174). En conservant, pour abréger, M à la place de sa valeur donnée par l’équation (a5), nous aurons, en même temps,

C = 2a.*-’, u' — ZMr* z„e~m Ç cos

les sommes 2 s’étendant à toutes les valeurs de n, depuis « = o inclusivement, jusqu’à n = oo .

Ces équations montrent comment la température extérieure £ et la partie u' de la température intérieure sont liées l’une à l’autre. Ces deux quantités varient de la même manière par rapport au temps. Pour des valeurs imaginaires de m, elles sont composées de ternies pério-

-cosa>

^ sin“+,Wo>;

38a THÉORIE MATHÉMATIQUE

cliques, et chaque inégalité périodique de Ç en produit une semblable dans u', qui a la même période , mais une amplitude différente. Pour une valeur positive ou négative de m, ces deux quantités r et «' décroîtront ou croîtront indéfiniment, suivant une même progression géométrique; le temps croissant par des intervalles égaux. Enfin , pour m = o , ces quantités «' et Ç seront invariables en chaque point de la sphère et de sa surface.

Lorsque la sphère sera placée dans le vide et sa surface imperméable à la chaleur rayonnante, il n’y aura plus aucune communication entre l’intérieur et l’extérieur, et les températures des points de la sphère seront indépendantes de la quantité Ç, quelle quelle soit. C’est ce qu’on vérifie, effectivement, en observant qu’on aura dans ce cas h = o, ce qui réduira à zéro la valeur de M tirée de l’équation (a5) et relative à un nombre quelconque n : en vertu de la seconde équation (26), on aura donc aussi «'= oàune époque quelconque ; il en résultera J'(r, 0, 4)=° e* <P'(r> f) = °> e*> P31- conséquent, la formule (24) ne contiendra plus rieu qui dépende des températures extérieures.

Daus le cas général où la constante b n’est pas nulle , aucune des racines de l'équalion (i6)ne sera zéro. La partie de la formule (a4) qui dépend de <p (r, p ) et $' (r, p), décroîtra donc indéfiniment, et se réduira sensiblement à zéro au bout d’un certain temps. A cette époque, on aura u = u' -, la loi des températures intérieures ne dépendra plus des températures extérieures qui avaient lieu primitivement» non plus que de la distribution initiale de la chaleur dans l’intérieur de la sphère, c’est-àdire delà fonction f (r, 0, 4)» aussi bien que de f(r, 0, 4); elle ne dépendra alors, en chaque point de la sphère et à chaque instant, que des températures extérieures qui auront lieu à ce même instant, dans toute l’étendue de la surface. Avant l’époque de cette température finale , la valeur de u sera égale à la température u' augmentée de la formule (20) , dans laquelle on remplacera ft ri, par la valeur moyenne de y (r, 0 4) — /'(r, 0, 4)» à la distance ri du centre de la sphère.

( 1 75). Pour donner un exemple du calcul de la valeur de u! correspondante à une valeur périodique et donnée de f, je prendrai d’abord

£ = (A Bcos*0) e~"';

A , B, m, étant des constantes que je remplacerai tout à l’heure par des quantités imaginaires.

En comparant cette valeur de Ç à la première formule (26), on voit que 2. sera zéro pour tout nombre n supérieur à 2; de plus, pour n = o, = 1 , n = 2, on aura

2,= A + jB, 2, = o, 2, = B (cos*0 — j),

d’après l’expression connus de 2,, et relafive au cas où cette quantité est indépendante de l’angle 4; par conséquent les seuls termes qui entreront dans la seconde formule (26) seront ceux qui répondent à n= o et n — 2 ; et il suffira de former les intégrales relatives à a>, pour ces deux valeurs particulières de n.

Afin de simplifier le résultat, je supposerai que la sphère ait un très grand rayon, et que le point dont on considère la température soit très éloigné de son centre, de sorte que les lignes l et raient de très grandes longueurs. Cela étant après avoir effectué les intégrations relatives à co , je réduis la valeurde chacune des deux intégrales , au terme divisé par la plus petite puissance de r ou de /, en dehors des sinus ou cosinus; on trouve de cette manière

u'=[(A+jB);+B(c«-8-l)£].

/ rV m

/Mr. - - — erm

iVm

V m IV m

COS

Pour appliquer ce résultat au cas d’une inégalité périodique de températnre, je mets successivement rfc m \/— ^,7 ',-i

au lieu dem. A, B, dans l’expression deÇ; puis je fais la somme des deux valeurs qui en résultent; ce qui donne

Ç = (A -+- B cos'S) cos(m< *) ,

où l’on regardera maintenant A, B, m, c, comme des constantes réelles et données. En opérant de la même manière sur la formule précédente, on obtiendra la valeur de ul correspondante à cette valeur périodique de £.

Or, si l’on fait d'abord >n s= de a y — 1 , on aura

G™ = (i dfc \/ — 1) Vj«-

Dans notre hypothèse, les exponentielles e »“ et e «Vï*f qUj out des exposans négatifs, seront tout-à-fait insensibles, et devront être négligées. Alors, on aura

sin nr = ; caV/l‘(sin * =*= v/-* «•: y/F») »

cosl-^-=[ {(b ~4v/ ; *)sin sv/ î* +ï\ZFc« '1 / î°

=*= [(*■ + 5 v/ï *)' 008 Wî ‘ - 5/3 * sin s l/R] ^ I J

et en remettant m au lieu de a , on en conclura

n' = ii[(A+s ®)z +b(cos,6 - imco{mt~\/ *•+ -4],

où l’on a fait, pour abréger,

b sin

et en outre ,

b -f- =Dcos s', I i/i m = D sin s*.

Cette valeur de «' suppose seulement que le point auquel elle répond soit très éloigné du centre de la sphère d’un très grand rayon; ce qui n’enipêche pas que le rapport de rà / ne puisse être très différent de l’unité. Mais si ce point est, de plus, très rapproché de la superficie, de sorte qu’en faisant l — r = x , sa distance x à la surface soit une très petite partie du rayon l, on pourra faire 1

dans le facteur compris entre les crochets. A cette petite distance x , la température u! deviendra donc

1/= ^(A+B cos* 0)e a 1 cos^m*— — • «'). (37)

A la surface même, où l’on az = o, elle se réduira à

«' = g ( A -f- B cos* 0) cos (mt -J- — 'J ,

et différera, conséquemment, de la température extérieure, qui répond à l’extrémité du même rayon.

On parviendrait à un résultat semblable, en prenant q cos (ntf+t) pour l’expression de la température extérieure ; m et t étant toujours des coustantes données, et q désignant une fonction rationnelle et entière de cos 0, sin 0 sin 4 , sin 0 cos 4, aussi donnée. Si la valeur de £ se composait de plusieurs termes de cette forme , chaque terme introduirait daus celle de u' un terme semblable à la formule^). Nous examinerons dans le chapitre suivant, l’expression de la température permanente, ainsi composée de la superposition de plusieurs inégalités périodiques, correspondantes à celles de la température extérieure ; nous allons actuellement considérer la partie de u' qui répond à la partie invariable de Ç, c’est-à-dire à la partie indépendante dé t et donnée en fonction des angles 0 et 4-

(176). Dans ce cas , je fais m=zo dans la première équation (a6), qui devient

Z — s» ■+■ Si ri- + zi ri-- •••+*■ + etc.

Pour former l’expression du terme général de cette série, d’après la valeur donnée de £, soit, comme dans le n° 108,

(1 — aap4- «*)" ' P. + aP, + a*P. -f- «3Pj + ....+ a*P, + etc. ,

de sorte que P. exprime une fonction de p, rationnelle, entière et du degré n. Si l’on prend

p — cos 0 cos 0* -f- sin 0 sin (f cos (4 — 40 >

et que l’on désigne par £' ce que Z devient quand on y met 0' et 4% au lien de 0 et 4* on aura, en vertu de la formule (4) du n* 109,

Faisons aussi m — o dans l’équation (a5) et dans la seconde équation (26) , il en résultera

(bl -f- n) M J' sin“',,■, adu > — bl'~m , u — x(blj'ws\n'‘*’ci>cla'y,tm,

et, par conséquent ,

«' = blS.

r"tn

de manière que la -valeur de u' qu’il s'agissait d’obtenir se trouvera représentée par une série dont tous les termes seront exprimés par des intégrales doubles.

Si Ç est une Fonction rationnelle et entière , de cos 8, sin8$in4» sin 0 cos 4 » et si l'on représente son degré par i, on aura z» = o pour toutes les valeurs de n plus grandes que/ ; pour i—n et i<ji, les intégrations relatives & 0' et s'effectueront immédiatement, elles valeurs de z. seront aussi des fonctions rationnelles et entières de ces trois quantités cos8, sin 6 sin 4 , sin6 cos 4 ; dans ce cas particulier, la série qui représente la valeur de «' se bornera donc à un nombre de termes égal à /, et cette valeur s’exprimera pour tous les points de la sphère , sous la même forme que celle de De plus , si le rayon / est très grand et qu’il s’agisse d’un point très voisin de la surface, on

pourra faire j=i, dans la formule précédente, et y remplacer bl-\-n par bl; ce qui la réduira à

11 s'ensuit donc que , dans ce cas, la température permanente des points de la sphère , très voisins de sa surface, est égale à sa température extérieure qui répond à l’extrémité du rayon auquel ils appartiennent ; ce qu’on vérifie, par exemple, sur la formule (27), en y faisant m=o. Mais lorsque Ç sera une fonction quelconque des angles 6 et 4> son développement en série de quantités z0, z,, z,, etc., se composera d’une infinité de termes; la série (28) se prolongera donc également à l’infini , et le nombre n croissant ainsi indéfiniment, il ne sera plus permis de remplacer dans le terme général.

( 'j ) par l’unité, à moins que l'on n’ait rigoureusement rssl, ni de

réduire à é/ le diviseur bl-\-n, quelque grand que soit ce nombre bl. C’est pourquoi , nous allons transformer la série (a8) en une intégrale définie qui ne laissera jamais aucun doute sur la véritable valeur de li.

(177). Le rayon vecteur r ne pouvant pas surpasser l, si l’on prend pour a une variable qui ne surpasse pas l’unité, on aura, en série convergente*

En difTérentiant par rapport à et, on en déduit

(7-t)(—T+'f-T:=P' /+*¥+'■ +'*.Cï:+«'-

et de ces deux équations, on conclut celle-ci :

(. - tO (—*? + T?)'= p.+ sr.f + 5p.^' +■■■

. • ■+ (a'W-i) P, ^ 4- etc.

Je la multiplie par et j’intègre ensuite ses deux membres

depuis ctzzz o jusqu’à a = 1 ; il en résulte

(/'— iplr* -f-r* «•) *

2 ^+JtLpmi

la somme TL s’étendant à toutes les valeurs du nombre entier n, depuis n—o jusqu’à n= 00, comme dans la formule (a8). Or, si l’on substitue dans cette formule la valeur de s», elle devient

on aura donc

, r/*i »in b'db’d.j'd.

pour ta valeur u qu'il s'agissait d’obtenir, et qui se trouve ainsi exprimée par une intégrale triple.

Si l’on représente par de l’élément différentiel d’une surface sphérique, concentrique à la sphère que nous considérons et dont le rayon soit égal à l’unité , on aura

de = sin b'dl'd-^'.

Soit encore, pour abréger

~ (/* — iplr* -p

et supposons l’intégrale étendue à tous les élémens de de cette surface sphérique ; la valeur précédente de u' pourra s’écrire sous cette forme plus simple :

u' — j' Qa.*1- ‘if*. (3o)

Il en résulte qu’au centre la valeur de u! est la moyenne des températures extérieures qui répondent à tous les points de la surface; car si l’on appelle fi cette moyenne , et qu’on fesse rs= o dans la valeur de Q, on aura ,

47T/t = fÇde , Q = 4?r^,

et par conséquent ,

u! = fxbl J' a“~lda. = fi.

(178). On facilitera l’intégration d’où dépend la quantité Q en changeant l’origine des angles variables qui répondent à l’élément quelconque de, et la transportant au rayon relatif aux angles donnés 0 et 4-

Pour cela, je. considère sur la sphère décrite du rayon égal à l’unité, le triangle dont les trois sommets aboutissent au rayon d’ou l’on compte l’angle 0 , au rayon correspondant aux angles 8 et 4 • au rayon aboutissant à l’élément de et relatif aux angles variables 0' et 4'. Je désigne par 0, l’arc de grand cercle ou le côté com-

pris entre les deux derniers sommets; l’angle dièdre opposé à ce côté est la différence 4' — 4' > d’après la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique , on aura donc

cos 0( = cos 0 cos 6' sin 0 sin 8' cos (4' — 4) = P

Soit aussi 4/ l’angle dièdre opposé au côté compris entre le premier et le troisième sommet ; nous aurons en même temps ,

cos (f = cosS cos 8, -J- sin 8 sin0, co*4,-

Ces deux équations, ou les formules connues qui s’en déduisent, détermineront les deux angles 8' et 4' en fonction des angles donnés 8 et 4 » et des nouveaux angles variables 8. et 4,; par conséquent, la quantité donnée en fonction de 0' et 4’» « changera aussi en une fonction donnée des quatre angles 8, 4 . 0,) 4c d® désignerai cette fonction par £, ; et l’on peut remarquer que pour la valeur particulière 9 = o, elle deviendra indépendante de 4 et égale à Ç. De plus , si l’on exprime l’élément du au moyen des différentielles de 0, et 4,» on aura

dtr = sin 8(<f8/f4/>

l’intégrale relative à tous les élémens de la surface sphérique, et représentée par Q, devra s’étendre depuis 9, = o et 4, = o jusqu’à 8=ir et 4, = 27t; et cette quantité Q deviendra, en conséquence,

Si, par exemple, la température extérieure £ est indépendante des angles 8 et 4» et égale à une constante y, on aura Ç = y; l’intégration relative à 4, s’effectuera immédiatement; et il en résultera d’abord

On a d’ailleurs

* l(l‘ — r*»’) sin 9 dh

(P— làltCOl)^ r*»*) ’

sin

(/• — a Ir* co» 1,-f- r*«*) *

Irtÿr—zlr. C08Ô/

U étant la constante arbitraire. Le radical devant toujours être une quantité positive, ses valeurs aux deux limites S( = o et 6 = 7T , seront l — rj. et l + ra; en passant à l’intégrale définie , on en conclut Q ~ 4 » au moyen de quoi la valeur de u' sera ut —y, comme cela devait être.

(17g). Appliquons maintenant la formule (3o), au cas d’nne sphère d’un très grand rayon, et aux points très voisins de sa superficie , de sorte qo’en faisant l — r =tsc, la distance x à cette surface soit une très petite partie du rayon l.

Si la surface n’est point imperméable oq presque imperméable à la chaleur , le produit bt sera un très grand nombre j à cause du facteur «“•" compris sous le signe f , l’intégrale contenue dans la formule (3o) ne s’étendra donc qu’à des valeurs de a, extrêmement peu différentes de l’unité } mais, d’un autre côté, pour ces valeurs de et, le coefficient de dans l’intégrale double que Q repré-

sente, est extrêmement petit à raison de son facteur Z — m, si ce n’est pour les valeurs de 0, qui rendent son dénominateur également très petit, c’est-à-dire pour les valeurs de 6, qui sont elles-mêmes très petites; U suffira donc détendre à ce» valeurs de fi,, dans la formule (3i), l’intégrale relative à eette variable, et l’on y pourra mettre, en conséquence, 8, et 1 — i 6/ à la place de sin 6, et cos 6,. On pourra, en même temps, réduire le facteur Ç, à sa valeur f relative à 0, = o, en excluant toutefois le cas que nous considérerons tout-à-l’heure en particulier, où la température extérieure varie très rapidement autour du point auquel répondent les angles fi et 4* De «tte manière, et en effectuant l’intégration relative à 4,» 1* formule (3i) deviendra

~ v r /(/•— rV)8(<rt,

Q = a / — l~Js >

J 1(1— r*y 4- In», ‘Y

l'intégrale s’étendant seulement depuis 9, = o jusqu’à une très petite valeur de cette variable. Or, le facteur l — ra rendant le

3gx

coefficient de cfl, sous le signe f, négligeable dès que la valeur de 8, n’est plus très petite, il sera permis actuellement d'éteudre l’intégrale au-delà de sa seconde limite, et si l’on veut, jusqu’à 8( = * . On aura alors

„ yr f(f — y fl , \

Q=a wf / "^r — **C (— + •*)}

J o [(/-«)• + fart/]* vn< J

d’où il résultera, en vertu de la formule (3o),

ou sensiblement u' — Ç. -, ,

Dans le cas d’une sphère d’un très grand rayon , et pour des points très voisins de sa surface, l’expressiou de u' en intégrale définie , nous conduit donc au même résultat que sa valeur en série. Mais l’analyse précédente suppose la réduction de £, à £ sous le signe f, qui n’est plus permise lorsque la température f varie très rapidement autour du point que l’on considère; et, dans ce cas, l’équation iS z=Ç n’a plus lieu, comme on le verra tout à l'heure. Au reste, quand elle existe, cette équation n’a lieu rigoureusement qu’à la limite / = « , et à la surface même; pour uu très grand rayon /, ou très près de la surface, cette équation n’est qu’approchée, et la différence u.' — £ a une très petite valeur que l’on pourra calculer par approximation dans chaque exemple, d’après la valeur donnée de £ en fonction de fl et 4.

(180). Le rayon l étant toujours très grand et considéré Comme infini, faisons, dans la formule (39)10 > >■ 1

j dh

en désignant par e la base des logarithmes népériens, oa aura j 1

a*' = e““, bl aï'-'da. = — *r ’'

et l’intégrale relative à h devra s'étendre depuis h=al=±x> qui répond à « = o, jusqu’à A = o qui répond à a= 1, ou bien, depuis

Sga THÉORIE MATHÉMATIQUE

h —o jusqu’à h = so , en changeant le signe du résultat. Faisons aussi

' ' r= l — x, f8 = r, $'==/, IdH’ = ds'.

En supposant que x conserve une valeur finie, ou infiniment petite par rapport à l ; développant suivant les puissances et les produits de s et •r'j et supprimant ensuite les termes qui auront une puissance de / pour diviseur, il vient

1(1' — r’et') sin fiV/8' = a (A •+■ x) s’ds’,

I' — iplra+ T'a.' = (h + x)' -+- s' -f- s'* — iss1 cos (4 — 40-

L’intégrale relative à s' devra ensuite être prise depuis s1 — o jusqu’à s' =s oo . Par conséquent l’équation (29) deviendra

4 ✓.«> r%m (à + x) e~hhÇ s' dhd)' dÿ

1/1 m J a J o J o + j' + i'* — ist cos (4< — 4’)]’’

En même temps, la sphère du rayon l se sera changée en un corps terminé par un plan indéfini en tous sens ; lequel corps se prolonge aussi indéfiniment d’un côté de ce plan. Cette valeur de 11 sera la température devenue invariable, qui répond au point situé à la distance x du plan, et dont la projection sur ce plan a r et 4 pour coordonnées polaires , savoir : le rayon vecteur s ayant son origine à un point fixe du plan, choisi arbitrairement, et l’angle 4 que fait ce rayon avec une droite fixe, meuce parce point dans ce même plan. Les variables / et 4? sont ce que deviennent s et 4 relativement à un élément quelconque de ce plan ; Ç' est la température extérieure correspondante à cet élément , et donnée en fonction de r' et 4/- Si l’on veut transformer les coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires, ayant la même origine, on fera

s cos 4 y , •»sin4=z, ^'cos4,=7,» /sin4' = s';

il en résultera ■

. s‘ + /* 31/ cos (4 — 4') — (y •—./)* -I- (2 — 2'JC*

On devra changer.ien djddz' , l’élément différentiel s'ds'd-\f de lasmv face plane; L’intégrale étendue à cette surface entière aura pour

limites jr1 = dcz ce et z' = =fc oo ; nous aurons donc '—Lf* ^ C°° cr^'dhfyldz'

ou , ce qui est la même chose ,

rfm-iff r

er* Çdhd/dt ,

en faisant, pour abréger,

p = \/[h+xy + (y —y )% + (s— z* y.

En intégrant par partie relativement à A, et désignant par p' ce que p devient à la limite h = o , il vient

quantité que l’on peut remplacer par celle-ci :

u = b-rr ra

e~HÇ dhdy dz' -,

et sous cette forme on vérifie sans difficulté que cette température invariable u' correspondante au point dont x , j, z, sont les trois coordonnées rectangulaires , satisfait 4 l’équation (n‘ 5o)

(Pu . d'n (Pii

3F + d? + dF = °‘

En etfet, tant que p et f' ne sont pas zéro, ou les quantités - et j, infinies, on a identiquement

dit"

<ir*

dr

et, par conséquent, chaque élément de l’intégrale triple satisfait sé-

parement à l’équation précédente. D’ailleurs, p et p' ne deviennent zéro qu’à la surface où' l'on a x = o, et pour les valeurs particu-

lières h =o, y'-=y, z' — z; mais à cause du facteur j, — -, la