partie de l’intégrale triple qui répond à des valeurs de h ,y , iofi
aiment peu différentes de celles-là, demeure toujours une quantité infiniment petite ; on peut donc en faire abstraction , et l’intégrale entière satisfera encore à l’éqnation donnée dans le cas de x = o, comme pour toute autre valeur de x.
(181). On simplifiera l’expression de u! en transportant l’origine des coordonnées polaires à la projection du point auquel se rapporte cette température sur le plan qui termine le corps. On aura alors s= o; et si l’on fait
Çd-\.’ — 27T>l',
il en résultera
b{h -4-*) c^i't'dj'dk
Si l’on décrit de cette projection comme centre, et d’un rayon égal à / , une circonférence de cercle sur la surface du corps , »' sera la moyenne des températures extérieures qui répondent à tous les points de cette circonférence; or, on voit par cette dernière formule que la température fixe u' variera sur chaque perpendiculaire à la surface, avec la distance x à cette surface, suivant une loi qui ne dépendra , pour une valeur donnée de la constante b , que de cette température moyenne et nullement de la variation des valeurs de Ç# à distance égale autour du pied de cette perpendiculaire. On voit aussi que la valeur de u' qui a lieu à la surface même ou qui répond à x = o, différera, en général, de la température extérieure f, c’est-à-dire de la valeur de Ç' relative à / = o, ou ce qui est la meme chose, de celle de V qui répond aussi à s'= o. Mais si les variations de x' ne sont sensibles que pour de très grandes valeurs de s', elles n’influeront pas sensiblement sur la loi des températures «' dans le sens de la profondeur x, ainsi que l’on peut s’en assurer en considérant la fraction qui multiplie z' sous les signes d’intégration , et dont les valeurs sont très petites et peuvent être
• négligées quand la variable s' est devenue très grande. Dans ce cas , on pourra donc regarder la température fixe u , comme égale en tous les points de chaque perpendiculaire à la surface; ce qui s’accorde avec le résultat du n° 179.
Lorsque f sera une température tout-à-fait constante que je représenterai par y, on aura aussi Ç'=y et — y; en vertu de la formule (3a), on aura donc
u’ = yf™ be~"dh r CA+-j)',Vj' , ;
et à cause que chacune de ces deux intégrales simples est égale à l’unité, il eu résultera u! =y, comme cela devait être.
En mettant l — x et u' à la place de r et u dans l’équation relative à la surface (n° 168), on aura
pour x = o; il est bon de vérifier que la formule ( 3a) satisfait à cette équation.
En intégrant par partie relativement à h, cette formule devient
nids (*• +*'•)’
d’où l’on déduit
e ** 11's'ds'dh [{*+*)*+ ✓«)!
dx
xn's'ds'
Or, le coefficient de ds' sous cette intégrale est nul pour ,r=o , excepté lorsqu’on a aussi s?— o, ce qui rend, au contraire, ce coefficient infini. Nous déterminerons donc la valeur de l’intégrale, ainsi que nous l’avons pratiqué dans tous les cas semblables, en considérant x et / comme des infiniment petits. On pourra alors prendre pour a' la valeur £ de cette fonction de s', qui répond à s1 = 0; en sorte que l’on aura d’abord
dii
dx
- bu' =
xs'ds' .
5y6 THÉORIE MATHÉMATIQUE
mais cette dernière intégrale étant infiniment petite en même temps que x, pour toute valeur finie de s', il sera permis de l’étendre depuis f =o jusqu’à s' = oo ; et pour ces limites, l’intégrale étant égale à l’unité , il en résultera
ce qu’il s’agissait de vérifier.
(182). Au lieu de déterminer la température u! des points du corps que nous considérons d’après la température extérieure , si l’on veut la déduire de celle du plan qui le termine, et si l'on suppose que celle-ci soit représentée par Ç' au point dont les coordonnées polaires sont s‘ et 4', et par £ à leur origine; l’équation relative à cette surface sera «' = Ç. Pour qu’elle coïncide avec celle du numéro précédent , il faudra que la constante b soit infinie ; en faisant toujours
il s’agira donc d’appliquer la formule (3a) au cas particulier de 2>=so .
Si l’on y fait
bh —y , bdh—dy,
cette formule devient
+ xje~r n's'dtdjr
Lorsque la distance x n est pas nulle ou infiniment petite, on peut réduire 'j+ x à x, parce que la fraction ^ n’a de valeurs finies que
pour des valeurs infinies de^, pour lesquelles l’intégrale s’évanouit à raison du facteur e~ r. En effectuant ensuite l’intégration relative à y, on aura donc
xn’s'ds
expression beaucoup plus simple que la formule (5a) , mais qui suppose connue la température de la surface.
Quand la distance x est infiniment petite, et à la surface même où l’on a x—o, l'intégrale relative à s' n’a de valeurs finies que pour des valeurs infiniment petites de /; pour celles-ci, on peut remplacer »' par sa valeur f relative à i' = o; on a donc d’abord
'-/If,
Cette dernière intégrale relative à s1 s’évanouissant dès que l’on donne à la variable une valeur finie, on peut actuellement letendre depuis s' — o jusqu’à la valeur finie de s' que l’on voudra, ou même jusqu’à s’= 00 ; et comme on a
il en résulte «’=£, comme cela devait être.
Quelle que soit la loi des températures de la surface, la valeur de u' h une profondeur quelconque x sera toujours comprise entre la plus haute et la plus basse température de la superficie; car si l’on appelle m la plus grande valeur de Ç', on aura évidemment,
(ï+x)sd/
T < ni,
puisque cette intégrale relative à s1 est égale à l’unité. On aura de même «' > /«', si m1 est la plus petite valeur de (i83). Pour appliquer la formule (33) à un exemple, supposons qu’on ait
e désignant toujours la base des logarithmes népériens; y et c étant des constantes données, dont la première exprime la température
3g8 THÉORIE MATHÉMATIQUE
du point de la surface qui répond à / = o. Puisque cette valeur de Ç' est indépendante de l’angle «R® sera aussi la valeur de a'. En faisant
JC* -H r'* = z*, ddd sa zdz ;
les valeurs de z qui répondent aux limites s' = o et s* = oo , seront 2 = x et z = oo , et il en résultera
xdt
On a d'ailleurs, en intégrant par partie,
— acx J' e C'l‘cdz ;
on aura donc
«' = y — a cxec’x' J' e- c'1' cdHy
Sous cette forme, on voit immédiatement que la valeur de ti se réduit à y pour x — o. Quand le nombre ex sera très grand , on aura, par une série d'intégrations par partie,
/■ c* irfr i r . I
, e es sex e L1 (ac*x*)* r~ (ac’**)1 '
d’où il résultera cette valeur de «' en série convergente ,’
-etc
“ ae’x* (* ic‘.
■ etc
qui fait voir qu’à de grandes profondeurs la température dans l’exemple que nous considérons, est de signe contraire à celle de la surface, et continuellement décroissante à mesure que la distance x augmente de plus en plus. Pour calculer la valeur de u! près de la surface , on remarquera que l'on a
J' e c'‘' cdz =f cdz — f*e ***" C(*z*
la première de ces deux dernières intégrales a , comme on sait , 1 S/vr
DE LA CHALEUR, pour valeur ( n° 74); nous aurons donc
u' = y (1 — ex VV ec‘*‘ + aex ec'x 'J~ e- *’*' cdz);
et dans cette formule on aura , en série convergente ,
£‘’’ cdz = ex — V— +
cV , C1!1 t’ï’
Enfin , on déterminera le minimum, abstraction faite du signe, de
la température u! , en égalant ^ à zéro. A cause de
dx
E /7e~'"“fe =
on aura, de celte manière,
«*’**(» + ac*x*) e~c'*' cdz — ex = o;
d'où l’on tirera la valeur approchée de x; la valeur correspondante de u' sera
c’est-à-dire , moindre que y dans le rapport de l’unité à la quantité
(184). Je placerai ici quelques remarques générales sur l’équation du mouvement de la hauteur à la surface d’un corps de forme quelconque, mais de très grandes dimensions, comme la terre par exemple, et sur les températures qui ont lieu près de cette surface.
Soit AO B (fig i4) la surface de ce corps. Par le point quelconque O, menons dans son intérieur la normale Ox à cette surface. Si l’on prend cette droite pour l’axe des x , et conséquemment les axes des y et des z dans le plan tangent en O, on aura , dans l’équation (a),
cos a = — 1 , cos S = o , cos y — o ;
ce qui réduira cette équation à celle-ci :
/,oo TIIÉOIUE MATHÉMATIQUE
qui aura lieu pour x = o.
Si la surface AOB ne s’écarte pas très rapidement du plan tangent en 0, en s’éloignant de ce point, c’est-à-dire, si le point 0, dans le cas de la terre, n’appartient pas au sommet ou au penchant d’une montagne très rapide, et généralement à un terrain qui présente de grandes sinuosités; si, de plus, la température extérieure Ç ne varie pas d’une manière très rapide autour du point 0, et qu’en ce point, elle ne varie pas non plus avec le temps, on conçoit que la température u variera aussi très lentement le long de la normale 0* , soit avec le temps t, soit avec la distance x, tant que cette distance sera très petite eu égard aux dimensions du corps. Cela étant, soit M un point de Ox, situé à une distance OM ou x du point 0, très petite par rapport au rayon de la terre, ou, en général, par rapport aux dimensions du corps que l'on considère; appelons X la température du corps en ce point et au bout du temps t ; on pourra développer X en série très convergente, ordonnée suivant les puissances de x; et par le théorème de Taylor, on aura
X = “ + * Tx +
X ’ d'il 1 . a dx'
etc. ,
en faisant x=o dans u et dans ses coefhciens différentiels. Je négligerai, dans cette série, le carré de x et ses puissances supérieures; on aura alors
du
dx’
et par conséquent,
eu vertu de l’équation relative à la surface. L’accroissement positif ou négatif de la température X sera donc proportionnel à la distance x; en le désignant par g pour chaque unité de longueur, et en appelant f l’excès, aussi positif ou négatif, de la température u au point U de la surface, sur la température extérieure Ç qui répond au même point, on aura
x — U = gx, U — £ = f; d’après l’équation précédente, on aura donc
g = Vi
ce qui fera connaître l’excès /quand l'accroissement g sera donné par l’observation , et que l’on connaîtra aussi la valeur de b relative à l’état de la surface au point 0 et à la conductibilité k de la matière du corps (n” 162). Fourier a remarqué le premier cette relation fort simple entre les deux quantités g et /, et l’usage que l’on en peut faire dans la question des températures de la terre près de la surface et à la surface même.
Dans le cas d’une sphère d’un très grand rayon , parvenue à l’état qui précède son refroidissement total , on a
d’après l’expression de la température près de la surface, donnée par la formule (a3) où l'on a supposé nulle la température extérieure. Or, on voit que la relation g = bf a lieu entre ces valeurs de /'et g. On vérifierait également cette équation à toute autre époque du refroidissement de la sphère d’un très grand diamètre, comme aussi dans le cas d’un corps terminé par un plan indéfini, auquel se rapportent les formules du n’ i54- Mais si l’on veut appliquer l’équation gz=f>f aux températures permanentes qui ont lieu près de la surface d’un corps de grandes dimensions, et aux températures extérieures dont celles-là proviennent, il faudra faire abstraction des inégalités à courtes périodes qui affectent les valeurs de g et de f, pour ne tenir compte que de celles dont les périodes sont très lougues, et qu’on peut appeler des inégalités séculaires.
Ainsi, l’équation g~bf n’a pas lieu pour la valeur de u' donnée par la formule (37) et pour celle de f que cette formule suppose, à moins que le coefficient ni -de t sous les sinus et cosinus ne soit très
petit, et tel qu’il rende les variations de u! et de ( extrêmement lentes. Pour vérifier que cette relation entre g et f subsiste lorsque
^exprime un temps très long, je mets en général, dans la valeur
de f et dans cette formule (27), comme il a été dit dans le n° 175, une fonction rationnelle et entière q, des trois quantités cos 9, sin 8sin -nJ., si 11 8 cos 4., ® la place du facteur A R cos'fi ; en ayant égard aux valeurs de D, cosé', sine', on aura alors
£ = q cos (mt -f- e),
-Vî.
é,+ê|Am+m
[(* + m) cos m)
+ 'a \/Ym ““O"* + • “ J V/T»]>-
et en développant les coefficiens de sin(mt-J-t) et cos (mt -f- s ) , dans cette expression de u' , suivant les puissances de \ 'm\ jusqu’à la seconde exclusivement, on trouve
u! = <j cos (mt -4- « ) H ^ — [sin (mt + t ) — cos (mt + é ) ]
qx\/ïm .
| [sin(mt -+•.<) — cos (mt -j- e)].
Or, si l’on prend pour g le coefficient de x dans cette valeur approchée de «*, et pour f l’excès de -cette même valeur relative à x = o, sur la valeur q cos (mt-\-i) de f , on aura à la fois,
9\/im
[sin (mt -f- e) -
- cos (mt -f- «)] ,
? \/'-m J — ab
[sin (mt -j- 1) -
- cos(mt -f- *)];
valeurs qui satisfont effectivement à la condition g= fb.
DE LA CHALEUR, <^o3
(i85). En general, près de la surface d'un corps de très grandes dimensions qui ne présente pas cependant de grandes sinuosités, la température permanente u est indépendante de la forme du corps; elle est la même que si ce corps était terminé par un plan indéfini, et qu’il s'étendit indéfiniment d’un coté de ce plan; et pour chaque terme périodique de la température extérieure, elle est exprimée par la formule (27). Mais son expression change, comme on va le voir, lorsque l’on a égard à l’influence de la chaleur sur le coefficient b de l'équation relative à la surface.
A cause de b = ^ (n‘ 16a) , le second membre de cette équation est
Or, en vertu de l'équation (4), son numérateur renferme
une partie A(m — jjf) qui augmente, à très peu près, dans le rapport de 1 -+- J (u + £) log (1,0077) à l’unité, par l’influence des températures u et Ç sur la quantité A. Si donc on suppose que la valeur de Ç contienne un terme périodique ç,cos (ml «,), dans lequel
qt, *,» sont une température, un angle, et un intervalle de temps donnés, ce second membre devra d’abord être augmenté de
bSy [«• — q; cos* ( mt •+- *,)] ,
en observant que p ou bk est la somme des deux quantités A et A, du n* i65, et faisant, pour abréger,
La température u influera aussi sur le dénominateur À-; et si l’on prend pour k l’expression que l’on a obtenue dans le nc 55 , d’après une loi déterminée de l’absorption delà chaleur dans l’intérieur des corps, cette quantité k, en passant de uso à la valeur de «, augmentera daos le rapport de 1 -f- a yuk l’unité, en négligeant le carré de y. Ce même second membre variera en raison inverse, et diminuera, en conséquence, de
ibyu Ç).
4oî THÉORIE MATHÉMATIQUE
Ainsi, 1 équation relative à la surface deviendra
%= b(u — 0 (i — + l>h [«* — cos* (mt -f- «J |. (34)
A raison du terme q, cos (ml -f- «,) provenant de Ç, et en vertu de la seconde équation (5), la température extérieure Ç comprendra un terme £ÿ,cos(na<-t-«,); mais elle peut aussi renfermer un autre terme périodique dépendant du même angle variable mt, provenant d’une autre source, et que je représenterai par q cos (mt -J- «) ; q et s étant une température et un angle qui différeront généralement d e.y, et tr Cela posé, si l'on veut déterminer la partie de la température permanente u, qui répond à toute la partie de la température extérieure dépendante des sinus et cosinus de mt, ou prendra, dans l’équation précédente,
X,—q cos (mt — #) — 1~ Gq, cos (mt + it) ,
et l'on y mettra u' au lieu de u. En négligeant, dans une première approximation, les termes qui ont y pour facteur, et mettant successivement q et £q, au lieu de A + B cos* 6 dans la formule (27), elle fera connaître les valeurs de u qui répondent à ces deux termes de celle de £. De cette manière , on aura, dans une seconde approximation,
5 e"‘,v/’'"[?cos(mr— î v/î"l + ‘— e')
+ Gq, cos (mi — l s/l m ■+• C — *')]] + yv ;
*’ étant une nouvelle inconnue qui restera à déterminer en fonction de x et t.
Je substitue cette valeur de u! à la place de u, et pour £ sa valeur précédente dans lequatiou (34) qui a lieu pour x=o; les termes indépendans de y se détruisent, comme cela doit être; en négligeant toujours le carré de y, et supprimant ensuite le facteur y commun à tous les termes, cette équation prend la forme
«■étant une fonction périodique ,. dépendante des sinus et cosinus du
DE LA CHALEUR. 4o5
double de mt et dont la valeur est facile à former; et >„ désignant une quantité constante également connue, savoir :
X =D-( 1 d7 [7,+g,î/+3e9î,cos(£-«,)]+i^(* »
en ayant égard à la valeur de cos 175).
Indépendamment de l’équation relative à x—o, la valeur de u' doit encore satisfaire pour toutes les valeurs de x , à l’équation du mouvement de la chaleur dans l’intérieur du corps que l’on considère; mais attendu que l’on a égard à la variation do k, il faut prendre pour celle-ci, l’équation (8) du n* 5o, dans laquelle on mettra A(i
à la place de k, et u' au lieu de u. On fera ensuite* —a‘, comme dans
le n* 16a ; on supposera le corps terminé par un plan indéfini qui sera celui des coordonnées y et z, et s’étendant indéfiniment dans le sens des x positives; enfin , on regardera la température «'comme indépendante dey et z, du moins dans une grande étendue autour de l’axe des x. On aura alors
du'
Tt
et. u1' dx
En substituant, dans cette équation, pour «' sa valeur précédente, les termes indépendans de y se détruisent , comme cela devait arriver; en négligeant le carré de y, et supprimant ensuite le facteur y commun aux deux membres , il vient
dv
dt
dx' ' dx' J’
n étant une fonction périodique dépendante de x et des sinus et cosinus de a mt, et V une quantité qui ne dépend que de x, dont la valeur sera
aO’
4u6 THÉORIE MATHÉMATIQUE
U ne s’agira plus maintenant que de former une valeur particulière de y qui satisfasse à la fois aux équations (35) et (30); et Pon pourra en outre assujettir cette valeur à ne pas croître indéfiniment avec x (n* 1 55) ; condition qui est ici nécessaire pour qu’on ait pu négliger, dans 1 équation (36), des termes dépendans de v à cause de leur fecteur y'. Cette valeur de v renfermera une partie périodique,
correspondante aux quantités <w et ^ qui sont renfermées dans ces deux équations, et une partie indépendante de t que uous nous bornerons à considérer. En supprimant donc ces quantités et —,
la valeur de v indépendante de t et la plus générale qui satisfasse à l'équation (36), est évidemment
C et C' étant deux constantes arbitraires. Afin que v ne croisse ps. indéfiniment avec x , On fera C' = o. Au moyen de l’équation (35), relative à x = o , on aura ensuite
%-Kÿ,) V ,m r b'^+c9.y
ce qui fait connaître la valeur de C d’après celle de %.■ Pour une valeur quelconque de x, et en ayant égard à la valeur de V, il en résultera
b J^i(3— C)+^V/ w" ] ' aD*
[?* + £'7,* ■+■ a^77/ to*(* — '/)]
x y/am h
ai)*
Ainsi, lorsque les températures u et Ç ne sont pas très élevées, leur influence sur la conductibilité k et sur la quantité p put néanmoins produire un effet sensible sur les températures intérieures. Pour chaque partie périodique de la température extérieure, dépendante des sinus et cosinus d’un angle mt, ou dont la période comprend un
intervalle de temps donné et représenté par ^ , cette influence produit dans la température qui a lieu à la distance x de la surface, une augmentation invariable et égale à la valeur précédente de v, multipliée par y qui est une fraction un peu moindre que quatre millièmes. Il s’ensuit qu’à la surface, la partie invariable delà température surpasse celle de la température extérieure, d’une quantité égale à la
valeur de yv qui répond à x = o. La valeur de ^ étant positive ,
l’augmentation yv de température est croissante avec la distance x, mais non pas indéfiniment : quand cette distance est devenue un mul-
tiplc un peu considérable de ~=- , l’exponentielle contenue dans la
formule précédente est insensible; en sorte qu’à cette distance et audelà, la valeur de y est sensiblement constante, et la température invariable surpasse celle qui a lieu à la surface, d’une quantité
yb'iq+Cq)'
/ bÿ -xm , am a 1 b' d T
en mettant pour D* sa valeur (n° 175).
Dans les usages de l’équation g = bf du numéro précédent, pour déterminer l’une des deux quantités g et f au moyen de l’autre, 011 fera attention quelles ne doivent pas contenir les parties de leurs valeurs dépendantes du terme yv de l’expression de u; on prendra donc pour g l’accroissement de température rapporté à l’unité de longueur, qui a lieu sur la normale O.r, à une distance de la surface assez grande pour que l’exponentielle contenue dans la valeur de yv soit devenue insensible ; et f sera l’excès de la température moyenne du point 0 sur la température moyenne extérieure qui répond au même point, diminué de la valeur de yv relative à x =0; en sorte que si la valeur de g est donnée par l’observation, et que l’on prenne
^ pour celle de j, il faudra ajouter à cette quantité | la valeur de yv
qui répond à x=o, pour en déduire l’excès entier de la première température moyenne sur la seconde.
