CHAPITRE XII
Mouvement de la chaleur dans rintérieur et à la surface de la terre.
(186). La densité de la terre est croissante de la surface au centre; l’état de sa superficie n’est pas non plus partout le même; et elle est recouverte , dans sa plus grande partie , par les eaux de la mer. Mais cette densité ne varie pas sensiblement jusqu’à des profondeurs considérables, pourvu qu’elles soient toujours très petites par rapport au rayon du globe ; la nature du terrein et l’état de la superficie demeurent aussi à très peu près les mêmes, en général, dans une grande étendue autour de la verticale d’un lieu déterminé; et si ce lieu n’est pas voisin d’une montagne, on peut aussi regarder la surface de la terre, dans toute cette étendue, comme étant celle d’une sphère d’un très grand rayon. C.’est de cette manière que les formules du chapitre précédent pourront servir à déterminer les températures de la terre sur chaque verticale, jusqu’à des distances de la surface qui dépasseront de beaucoup les profondeurs les plus grandes où l'on a pu atteindre. On pourra, par exemple, étendre ces formules jusqu’à des distances égales au centième du rayon de la terre, c’est-à-dire jusqu’à une profondeur d’environ Goooo mètres, tandis que les profondeurs où l’on a pénétré jusqu’ici, et où l’on a observé la température, sont au plus de quelques centaines de mètres
Supposons donc que le point 0 (fig. <4) appartienne à la surface de la terre, et que Ox soit une verticale indéfinie, menée par ce point dans l’intérieur du globe. Soit M un point de cette droite, situé à une distance OM de la surface que l’on représentera par x et qui sera ,
pour fixer les idées, moindre qu’un centième du rayon de la terre, de sorte que la densité ne -varie pas sensiblement du point O au point M. On supposera aussi q'ue la nature du terrein et l’ctat de la surface, sont sensiblement les mêmes, dans une étendue de plusieurs myriamètres , par exemple, tout autour de la droite Ox. Le point 0 pourra être plus ou moins élevé au-dessus du niveau des mers; mais son horizon ne doit être borné d’aucun côté; près de ce point, les sinuosités du terrein ne doivent pas être considérables, et la surface doit s’écarter très peu du plan mené par ce même point, perpendiculairement à la droite Ox. Ces conditions ne seront pas remplies, lorsque le point 0 sera situé sur le penchant ou au sommet d’une montagne rapide; c’est pourquoi nous supposerons que ce cas n’a pas lieu. Enfin, on supposera encore que le point 0 appartient à la surface de la terre ferme et non à la surface de la mer. Quoique les équations générales du mouvement de la chaleur conviennent également aux solides et aux liquides ( n* /fi ) , cependant les conséquences qui s’en déduisent ne sont pas les mêmes pour ces deux sortes de corps à cause de la graude mobilité des molécules flnides : par cette raison , la loi des températures est très différente au-dessous de la surface de la mer et au-dessous de la superficie de la partie solide de la terre. Les voyageurs ont fait un grand nombre d’observations en différens points du globe, et à diverses époques du jour et de l’année , sur les températures de la mer h des profondeurs plus ou moins grandes; mais cette question, qui présentera de grandes difficultés aux géomètres, n’a point encore été soumise à l’analyse, et nous ne nous en occuperons pas dans cet ouvrage (*).
Ainsi, le point M de la verticale Ox, pour lequel il s'agira de déterminer la température à un instant quelconque , sera censé appartc-
(*)M. de Freycinet a bien voulu me communiquer le programme des observation* de ce genre qu’il a faites dans son voyage de l 'Uranie ; l’objet que je me suis proposé dans ce Traite ne in’a pas fourni l’occasion de faire usage de ces données de l’expérience ; mais il serait bien & désirer, pour le progrès de la Géographie physique et pour les applications futures de l’analyse, que ces observatioDS et les conséquences que l’auteur en a déduites , fussent incessamment publiées.
4io THÉORIE MATHÉMATIQUE
nir à une sphère d’un très grand rayon, homogène et dont la superficie sera partout dans le même état. La matière de cette sphère et la nature de cette surface seront celles de la terre autour de la verticale Ox. Elles détermineront deux constantes positives, que nous désignerons par « et 6 , comme dans les formules du chapitre précédent , qui entreront dans l'expression de la température du point M, et dont les valeurs numériques devront être données par hypothèse, ou déduites de l’observation. En désignant par c la chaleur spécifique du terrein autour de Ox, rapportée à l’unité de volume, par k la mesure de la conductibilité calorifique de la même matière, par p une quantité relative à l’état de la surface et croissante avec son pouvoir rayonnant, on aura
Pour un autre point 0, de la surface du globe, situé dans une région différente , ou seulement éloigné du point 0, de plusieurs myriamètres, les valeurs de c, k, p, et par suite celles de a et b changeront généralement; et dans un même lieu O, la quantité b pourra nôtre pas la même quelle était autrefois , si l’état de la surface a varié par des défrichemens, des déboisemens ou d’autres causes. La terre s’écartant peu de la forme sphériqne , les verticales, pour tous les points de sa surface , passeront à très peu près par son centre C;-oo prendra le rayon CO du globe pour celui de la sphère homogène que l’on substituera à la terre entière dans le calcul de la température du point M ; et l'on désign era par l la longueur de ce rayon, qui sera à très peu près la même pour le point O et pour tout autre point 0,.
Cela posé, au bout d’un temps quelconque t , dont on fixera arbitrairement l’origine, je représenterai par Ç la température extérieure correspondante au point 0. Cette température variera avec le temps; elle variera aussi en passant du point 0 au point 0,, ainsi qu’on l’a expliqué précédemment (n*i63); on en formera par la suite l’expression complète, en fonction de la longitude et de 1a latitude du point quelconque 0 , et du temps t, d'après les diverses Sources de chaleur dont elle provient. Par des circonstances locales, cette température Ç pourrait aussi varier très rapidement
autour du point 0; ce qui donnerait lieu d’après ce qu’on a trouvé dans le n° 181, à des lois particulières de la température intérieure sur la verticale 0.r; mais nous ferons abstraction de ces variations accidentelles de température , pour ne considérer que celles qui sont dues à des causes générales. Enfin, on représentera par nia température du point Mau bout du temps t. Cette inconnue se composera, comme' on l’a vu dans le chapitre précédent, de deux parties que nousexamineronssuccessivement: l'une dépendante delà chaleur propre et initiale du globe , s'il en reste encore quelques traces près de ia surface; l’autre relative à l’état permanent de la terre, et qui se déduira immédiatement de la température extérieure, quand l’expression de cette température '( sera connue.
(187). Une expérience que nous pouvons répéter tous les jours montre que la température des lieux profonds est à peu près constante; en sorte que si la distance x est d’environ ao mètres et au-delà , la température u du point M, varie très peu. Mais à cette même distance de la surface, sa valeur change dune verticale Ox à une autre; et généralement elle augmente ou diminue, selon que le point 0 se rapproche ou s’éloigne de l’équateur. A une profondeur moindre, la température du point M est soumise à des variations diurnes et annuelles, dont les amplitudes décroissent à mesure que ia distance à la surface augmente, et qui disparaissent entièrement, quand cette distance a atteint une vingtaine de mètres.
' Ainsi, le thermomètre construit par M. Gay-Lussac, et placé dans les caves de l’Observatoire, à une profondeur de a8 mètres an-dessous de la surface du sol, n’a indiqué que de petites variations de température, depuis le 1" juillet 1817, époque où il a été établi, jusqu'au 18 janvier i835. Pendant cet intervalle de dix-sept ans et demi, il a été observé trois cent cinquante-deux fois ; et voici le tableau de ces observations, qui m’a été communiqué par M. Bouvard. Je les ai partagées en quatre séries, afin que l’on vit mieux les petites variations que la température a éprouvées; et en tête de chaque série, j’ai placé le □ombre de températures dont elle se compose, et leur somme divisée par ce nombre , c’est-à-dire leur grandeur moyenne.
Températures des caves de l’Observatoire.
DATES
Température
DATES
Température
DATES-
Température
Du i*r juillet 1817 au 16 juin 10*20.
-) ohv/T'aiions ; moyenne , i i°,-3o.
1817. i" juillet..
17 id. . . .
1" août. .
16 id. . .
1" septemb 16 id. . .
1" octobre
21 id. . .
1” noveinb 16 id. . .
1” décetub 16 id. . .
1818. 1" janvier.
1" mars. .
16 id. . .
I*' avril. .
21 id. . .
1 " mai . . .
17 id. . . .
1" juin. . .
16 id. . . .
1" juillet .
■6 id. . . .
i*’ août...
16 id....
1" septemb 16 id. . . .
1” octobre 16 id ...
1" uovemb 16 id. . . .
1818. i,r décctnb 16 id. ..
1810. 1" janvier 16 td...
1" février.
16 id. . .
1" mars..
16 id . .
1" avril.. .
16 id ...
i<r mai. . .
16 id....
t"juin ..
16 id. . .
1" juillet
1 7 id. . .
i"août. .
16 id. . .
I" sep terni
16 id. . .
2 octobre, 16 id. . .
1" novctnl 16 id, .
x ” déccuib t6 id. . .
1820. 1" janvier.
1" mars . .
16 id. . .
1" avril. .
16 id. . .
i,r mai. . .
16 id. . .
i"juin. . .
16 id. . .
Du i*r juillet 1820 au 16 février 1820.
1 34 obacrrstioiu * mcrjconc,
1820. 1" juillet.
2 août. . .
16 id....
1" septem!
t6 id. . .
1" octobre 16 id. . .
1" uovemb 16 id. . .
1" decemb
1 6 id. . .
1821. 1" janvier.
16 id...
1" février.
16 id . . .
1" mars . .
16 id. . .
■ "avril. . .
16 id...
1" mai . .
16 id....
■ "juin...
16 id. .
1" juillet .
16 id...
1" août. . .
16 id. . .
■ "septemb
1 " octobre 1" novemb 16 id. . .
t" décetub 16 id....
1822. t"janvier 16 id. . .
1" février.
16 id...
1" mars.
i“,8oi.
Suite.
dates.
Tempe rature
DATES
Tempëraturel
DATES
Température jl
1(122. il, mars.. .
i" avril. .
■ ” mai . . .
itj id. . .
■ " juin. . .
|6 id...
■ "juillet.
16 id...
i" août . .
16 id. . .
■ "seplemb.
■ 6 id. . .
i" octobre
16 id...
i" noveuib
16 id . .
■ " décemb iti id. . .
11123. ■ " janvier 16 id. . .
1” février.
■6 id. . .
i " mars . .
16 id. . .
te' avril. . .
■ 6 id. .
1824. i"iuara..
|6 id...
î" avril. .
16 id. . .
I" mai. . .
16 id. . .
i" juin...
t6 id . .
■ "juillet.
■ 6 id. .,
I" août. .
■6 id. . .
i"septem] 16 id. .
î" octobre 16 i«fs..
■ " noveml
16 id...
i" décemb 16 id. . .
1828. t" janvier 16 id. .
i ,r février.
t6 id. . .
i" mars. , 16 id. . .
t" avril. .
“.779 h»8i4 ii ,8ü4 11,884 il, 84g i t ,884 i i ,84g
i i ,84g 1 1 ,8<jg
. ■"mai....
■ 6 id....
16 id. ,..
1" mai. .. .
■ "juin. . . .
■ 6 id....
16 id. . . .
■ "juin. . .-.
■ " juillet. .
16 id. . . .
■ 6 id
■ "juillet. .
j" août.. ..
■ 5 id....
■ ü id. . . .
1" août. . ..
1 " seplemb.
■5 id. . . .
• 16 id. . ..
■ "septeuib.
■ " octobre.
■6 octobre .
16 id. . . .
1" novemb.
1" novemb.
16 id. . . .
■ "décemb.
b décemb. .
16 id....
16 id. i . .
1020. ■" janvier..
1824. 8 janvier. .
16 id....
■ 6 id . . ..
1 ■' février. .
1" février..
■ b id....
16 id....
Su Ie' mars 1828 au
16 octobre 1828.
55 observations . moyenne, i i",85y
1828. i” mars. ..
■ 6 id....
l" avril. . .
■6 id. , . .
l" mai.
■ 6 id ...
i* août. ...
17 id. ...
■ "septemb.
. i5 id . .
t" octobre.
|6 id.,,.
1" notemb.
16 id...-.
1" décemb.
16 id. . . .
1897. 2 janvier. .
16 id....
1" février..
16 id . , . .
1" mars . .
1 5 id ... .
1" avril. . .
1 7 id. . . .
3 mai....
1" juin. ...
16 id ... .
■ "juillet..
16 id. . . .
t" août. . .
■ " octobre .
16 id . . . .
1" novemb.
1828. ■" janvier.
■6 id....
1 " février. .
16 id....'
t" mars. . .
t6 id. ...
1 1 ,8.jg
■J, 84g “,8jg “,84g
Suite.
DATES
Température
DATES
Température
DATES
Température
1888 1" avril...
1899. 1" juillet. .
1852. 3 septemb.
16 id ...
ib août. . . .
a octobre..
1 " mai ....
1 1 , 8io 1 1 ,881
i,rse|iteiiib.
1" novemb.
16 id ... .
16 id....
4 décemb...
1" juin ....
ti, 884 •i,88l
1" octobre.
1833. a janvier. .
16 id....
1" juillet. .
t6 id. .m, 16 novemb.
3 mars . • .
16 id ... .
1" de'cemb.
l” avril. . .
1" août . . .
1830. 11 février..
8 mai
16 id. . . .
6 mars. . . .
2 juin
i" septemb
ii,884
6 avril....
1” juillet. .
16 id ... -
Ier mai
1" août . . .
i*r octobre
1" juin. . . .
8 octobre..
1 G id ... .
♦ 16 id ... .
i*r novemb.
a juillet...
6 décemb. .
a4 id . ...
Du i*r novembre 1828 au !
18 janvier 1858.
i,r septemb 5 octobre .
i*T novemb.
1834. 4 janvier..
4 février . .
a mars ... .
91 obaerrationj ; moyenne, 1 iu,95o.
3 décemb.
6 avril . . .
1831. 3 janvier.
1 " ma i ....
a juin
1888. 1" novemb.
a avril ....
20 id. . . .
16 id ... .
2 inai. . . .
1" juillet. .
irf décemb .
* r,gig
1" juin. . . .
1 5 id ....
16 id....
1" juillet. .
I'r août. . .
1899. 1" janvier..
a août. . . .
16 id. ...
17 id ... »
2 septum b.
a septemb.
t" février..
t" octobre.
17 id. . . .
16 id . . . .
1" noveuib.
b octobre..
i" mars . . .
1" déceiub.
16 id ...
16 id ... .
1852. 3 janvier. .
3 Dovemb .
1" avril . ..
3 février. .
16 id....
1" mars. . .
b décemb..
1" mai. . . .
nnn
a avril ....
16 id. . . .
16 id ... .
1" mai... .
1833. a janvier. . .
1" juin. . . .
1" juin. ...
16 id....
4 août. . . .
On voit que dans chaque série, les températures s’écartent très peu de leur valeur moyenne. Toutefois , les quatre moyennes ît®, 73o, ii*, 801, ii°, 867, ii*, 950, sont croissantes ; la différence de
la dernière à la première est o',aao; et si cct effet n’est pas dù à un déplacement du zéro de l'échelle thermométrique, il indiquerait une inégalité sensible dans la température des caves de l’Observatoire, pendant les 1 7 dernières années. Cette petite inégalité est confirmée par les indications d’un second thermomètre, placé dans le même lieu et construit autrefois par Lavoisier. On a reconnu que cet instrument marque des températures un peu trop élevées; mais l’excès de ses indications sur celles du thermomètre de M. Gay-Lussac , a très peu varié depuis que l’on observe en même temps ces deux instrumens : sa grandeur moyenne a été de o*,3i6, dont il s’est à peine écarté de o*, 01 en plus ou en moins.
Les deux instrumens indiquant des variations de tempe-rature dans le même sens et sensiblement égales, on est porté à en conclure quelles sont réelles, sans les confondre néanmoins avec les inégalités annuelles qui sont lout-à-fait insensibles à la profondeur des caves de l’Observatoire, comme on le voit par chacune des quatre séries précédentes d’observations. Les variations dont il s’agit peuvent être attribuées à des causes irrégulières qui influent sur la température extérieure. La quantité totale de chaleur solaire qui parvient à la surface de la terre dépend, eu effet, de l'état de l’atmosphère quelle a traversée, et varie en conséquence d’une année à l’autre; la valeur moyenne de la température extérieure résulte en grande partie de cette quantité totale de chaleur solaire ; et les inégalités irrégulières quelle éprouve pendant plusieurs années consécutives peuvent en produire dans la température intérieure, qui soient encore sensibles à des profondeurs où les inégalités diurnes et annuelles ont tout-à-fait disparu. Cela étant, pour obtenir une température des lieux profonds, indépendante de ces variations irrégulières, et qu’on puisse regarder comme constante , abstraction faite des inégalités séculaires auxquelles elle peut être soumise, il faut prendre la moyenne des températures observées pendant un assez grand nombre d'années. Or, en faisant la somme de toutes les températures comprises dans le tableau ci-dessus, et la divisant par leur nombre 352, on trouve 1 1°,834 pour la température des caves de l’Observatoire à l'époque actuelle,
(188). L'observation nous a aussi appris depuis long-temps qu’à 1a profondeur où les inégalités diurnes et annuelles ne sont plus sensi-
blés, la température de la terre augmente sur chaque verticale arec la distance à la surface. Les températures observées avec soin dans un grand nombre de mines de diflérens pays, ne laissent aucun doute sur ce phénomène (*); il a lieu près de l’équateur, comme à notre latitude et plus près du pôle; on l’observe également dans des mines dont l'ouverture est à une très grande hauteur au-dessus du niveau des mers, ainsi que M. de Humboldt l’a constaté, et pins récemment M. Boussingault; mais à raison des circonstances locales, du travail de l'exploitation, et de la communication avec l’air extérieur, les températures de ces cavités sont quelquefois très inégales à la même profondeur et dans des lieux très voisins; et sans doute elles sont très différentes de celles de la masse même de la terre , à cette profondeur et dans ces mêmes lieux. L'augmentation de profondeur qui répond à un accroissement d’un degré de température dans les mines, varie de 10 à 100 mètres, sans qu’on puisse décider si cette inégalité provient de la différence des climats, de celle des terreins, ou de quelque circonstance locale.
Le moyen le plus direct de connaître la loi plus ou moins rapide de l’accroissement de température de la terre , et de savoir si cet accroissement dépend, toutes choses d’ailleurs égales, de la latitude et de l’élévation des lieux au-dessus du niveau des mers, est de déterminer par le sondage les températures qui ont lieu le long de chaque verticale dans diverses parties du globe, à des distances de la surface où les inégalités diurnes et annuelles aient disparu. A ces mêmes distances, l’accroissement de la température fixe dont il a été question dans le n° i85, aura aussi disparu ; et quelle que soit la cause de celui que l’on observe à des distances plus grandes, on pourra le supposer, à toutes celles où l’on peut atteindre et beaucoup audelà, proportionnel à la profondeur. La distance OM ou x du point M à la surface étant donc plus grande qu’une vingtaine de mètres, on représentera la température u par la formule
u = f + gx, (i)
(*) Annales de Physique et de Chimie , tome XIII , page i83. Essai sur U température de la Terre, par M. Cordier, dans le tome VU des Mémoires de T Académie.
DE LA CHALEUR. 4i7
dans laquelle /et g sont des quantités indépendantes de x que l’on déterminera par l’expérience pour chaque verticale Oa\ D’après cette expression de u, on formera autant d’équations de condition que l’on aura mesuré de températures le long de cette verticale, correspondantes à des valeurs connues de x; et si le nombre de ces équations est assez considérable, on en déduira les valeurs de f et g par la méthode des moindres carrés des erreurs.
Ces deux quantités pourront changer de valeurs par l'effet des variations séculaires de la température; et leur détermination exacte dans le même lieu et à des époques séparées par de très grands intervalles de temps , offrira le moyen de reconnaître par la suite si ces variations ont lieu réellement, et quelle en est l’étendue. Ces mêmes quantités éprouveront aussi de petites variations d'une année à une autre, ainsi qu’on l’a expliqué plus haut. Elles varieront encore sur la verticale Ox , lorsque la nature de la surface aura changé dans une assez grande étendue autour du point O.
Le coefficient g exprimera l’accroissement de température pour chaque mètre de profondeur, en prenant le mètre pour unité de longueur. D'après ce qu’on a vu dans le n* i85, la quantité / surpassera an peu la température moyenne du point 0, c'est-à-dire la partie de la température de ce point, indépendante des inégalités diurnes et annuelles. Par la même raison , si la distance x est moindre qu’environ vingt mètres, j -\-gx surpassera aussi d’une petite quantité la température moyenne du point M. Nous verrons dans la suite comment on peut évaluer ces petites différences, et les comparer aux observations.
(189). Pour exemple de la détermination des deux inconnues f et g, je prendrai les observations que M. A. De La Rive a faites dans une campagne près de Genève, à une hauteur de 100 mètres au-dessus du lac, et de près de 5oo mètres au-dessus du niveau des mers (*). Les températures ont été observées à des profondeurs qui s’étendaient jusqu’à aa5 mètres. Le trou de sonde était rempli, dans sa plus grande partie, parune eau stagnante, sauf lemouvement déterminé dans ce liquide par
{*) Mémoire» de la Société (C Histoire naturelle de Genlve , tome VI.
sa diminution de densité , qui avait lieu de haut en 1)85 , en vertu de l'accroissement de température. Ou conçoit que l'effet de ce mouvement, s’il était un peu rapide , serait de mélanger les parties du liquide, et de rendre leurs températures moins inégales ; mais M. A. De La Rive observe que cette eau étant très bourbeuse, on peut supposer • le déplacement de scs molécules assez lent pour que l’eau ait eu le temps de prendre les températures de la terre, aux différentes profondeurs on il les a mesurées au moyen d’un thermomètre plongé dans ce liquide imparfait. Le plus grand nombre de ces températures ont été mesurées deux fois; j’ai pris alors pour la valeur de u, la demisomme des deux valeurs observées, et qui étaient peu différentes l'une de i’autre ; il en est résulté dix-huit équations de condition en employant seulement les températures mesurées à des profondeurs d’environ ao mitres et au-delà. On a déduit de ces équations, par la méthode des moindres carrés (*) , •
d’où il résulte qu’aux environs de Genève la température de la terre augmente de o°,o5o7 pour chaque mètre de profondeur, ou d’un degré pour 5a", 55. 11 s’ensuit aussi que la température moyenne de la surface doit être un peu au-dessous de io°,i4<>-
En comparant la formule
aux dix-huit observations qui ont servi à l’établir , on trouve que les différences sont comprises entre rfc o”,3a , et quelles n’atteignent qu’une seule fois chacune de ces limites; leur valeur moyenne est au-dessous d’un millième de degré.
(190). M. Arago a proposé un autre moyen de déterminer les températures de la terre à diverses profondeurs, qui consiste à les déduire de celles de l’eau des fontaines jaillissantes, connues sous la dénomination de puits artésiens.
(*) Tous les calculs numériques dont les résultats sont donnés dans ce chapitre) ont été faits par le neveu de M. Bouvard , actuellement élève de l'Observatoire.
Dans beaucoup de pays, et particulièrement dans les départemens du nord delà France, il existe des fontaines provenant de grandes nappes d’eau souterraines, alimentées par des sources que l’on suppose très élevccs, de manière qne. cette eau remplit exactement les cavités qui la contiennent, et exerce mèraesur leurs parois supérieures des pressions très considérables. C’est en- vertu do ces pressions que l’eau jaillit et vient surgir h la surface de la terre, lorsque l’on a percé le sol jusqu’à l’une de ces nappes souterraines. Quelquefois ces fontaines se produisent dans des pays plats; pour qué les sdttrctss alimentaires partent de points très élevés au-dessus des nappes souterraines, et puissent donner naissance à une pression hydrostatique très considérable, on suppose alors qu’elles ont leur origine dans des montagnes très éloignées du lieu où les fontaines sont produites ; ce qui n'est pas toujours vraisemblable. Mais on pourrait aussi admettre que le terrein qui recouvre une nappe d'eau intérieure, n’est pas absolument inflexible, auquel cas il exercerait sur la surface de ce liquide une pression qui le> ferait jaillir par le trou pratiqué jusqu’à son gissement; et dans cette hypothèse, le lac souterrain pourrait être alimenté par des sources peu élevccs ou môme inférieures. Quoi qu’il en soit, chaque nappe d’eau, avant le percement, a pris la température de la terre dans le lieu qu’elle occupe; après le percement , si la quantité d’eau jaillissante et celle qui la. remplace sont très petites par rapport au volume de la nappe entière, elle conservera cette . température pendant le jaillissement; en ontre, on peut supposer la vitesse de l’eau jaillissante assez grande pour que le liquide n’ait pas le temps de se refroidir en traversant le terrein supérieur pour arriver à la surface du sol ; on peut donc admettre qne la température de l’eau parvenue à cette surface, et avant qu’elle se soit mêlée à l’air extérieur, n’est pas sensiblement moindre que celle de la terre à la profondeur d’où cette eau est partie.
Ainsi, à Saint-Ouen , près de Paris (*), la température d'une fontaine jaillissante dont l’eau provient de 66 mètres au-dcss*oüs du sol, est de la*, 9. Si on la compare à la température des caves de l’Ôbser-
(*) Annuaire du Bureau des Longitudes „ année (835 , page a35.
4 ao THÉORIE MATHÉMATIQUE
vatoire, qui est u*,834 à la profondeur de a8 mètres, il en résulte qu a Paris l’accroissement de température est de j°,o66 pour une différence de 38 mètres dans les profondeurs; ce qui donne un degré pour 35", 65, et o6,038i pour la valeur de g.
Voici quatorze autres observations de températures correspondantes à des profondeurs connues, qne M. Arago m’a communiquées.
Températures de Veau des puits artésiens percés dans les environs de Lille à différentes profondeurs.
Lieu do Percement. Profondeur Température
do p*riu.
de Peau.
Moulin du Pont
ai»,4...
Liiler»
Béthune
La Vacherie
Sain t- André-Sou»- Ai rc. . .
Béthune ( faubourg ) . .
Marchiennea ,
Goucbem
Béthune (esplanade)..
Entre Lille et Marquette.
Marquette (abbaye)...
ia,5
Aire
Marquette
Aire (fort St. -François)
fa, 4-..
Saint-Venant
too, 5. . .
En prenant ces profondeurs, qui sont toutes plus grandes que ao mètres, et ces températures , pour les valeurs correspondantes de x et de u dans l’équation (i), et déterminant les valeurs de J et g par la méthode des moindres carrés, comme dans l’exemple précédent, on trouve
/= io*,4o5, g = o”, 0395 ;
ce qui donne a5“,45g de profondeur pour chaque degré d’accroissement de température de la terre , au Heu de l’observation , c’est-àdire dans les environs de Lille. Si l’on compare la formule
u == io°,4°5 -f- (o*,o3g3)x,
aux quatorze températures observées , on trouve que les plus grandes différences s’élèvent à — o%444 et -f-o*,3o7, et que la différence moyenne n’est pas de o*,oo».
En comparant les accroissemens de température pour chaque mètre de profondeur, o*,o393 près de Lille, o*,o3o7 près de Genève et o",oa8i à Paris, on voit que le premier est plus rapide que le second dans le rapport de 4 à 3 , et presque moitié en sus du dernier ; ce qui doit tenir à la différence des terreins dans ces trois localités. Si la latitude influe sur les accroissemens de la température de la terre, au-delà de la profondeur où ont lieu les inégalités diurnes et annuelles, les latitudes de Genève, de Paris et de Lille, 46’> 48°»5o'et 5o*,39',
ue diffèrent point assez pour qu’il' en puisse résulter la différence entre les valeurs de g qui ont lieu dans ces trois villes,- différences que l’on ne peut pas non plus attribuer à celle de leurs élévations au-dessus du niveau des mers.
La température moyenne de l'eau dans les fossés de la citadelle de Lille est de io°,7; on peut la prendre pour celle de la surface de la terre , aux environs de cette ville; et l’on voit qu'elle excède un peu la valeur io*,4o5 de /, tandis qu’elle devrait être, au contraire, un peu moindre. Si l’on supposait j— 1 1% et que l'on déterminât la valeur de g d'après la température i4°ji du puits de Saint-Venant, le plus profond des environs de Lille, on aurait o°,o3og pour cette valeur, à très peu près comme à Genève.
(191). L’aceroissement de la température de la terre, à mesure que l’on s’enfonce au-dessous de sa surface , après qu’on a dépassé une certaine profondeur, étant bien constaté, on a essayé d’en trouver la cause. Fourier et ensuite Laplace ont attribué ce phénomène à la chaleur d’origine que la terre conserve encore à l’époque actuelle , et qui décroît du centre à la surface, de telle sorte qu’elle soit excessivement élevée vers le centre, mais très peu considérable près de la surface. Les idées de Fourier sur ce sujet important sont expo-
4aa THÉORIE MATHÉMATIQUE
sées dans les extraits de deux Mémoires qu’il a insérés, il y a déjà plusieurs années, dans le tome XIII des Annales de Physique et de Chimie, et dans le tome VII des Mémoires de l’Académie; mais il parait quaprès sa mort, on n’a pas trouvé dans ses papiers les mémoires mêmes où il aurait sans doute développé quelques assertions qu’il a énoncées, sans preuves à l’appui, dans ces deux extraits. Laplace a émis son opinion sur le même sujet, en traitant de la question d'astronomie relative à l’invariabilité du jour sidérai, dans la Connaissance des Tems pour l’année i8a3 , et dans le livre XI de la Mécanique céleste.
C’est Laplace qui a fait voir que l’inégalité des températures moyennes extérieures, correspondantes à des points très éloigoés sur la surface de la terre , c’est-à-dire , la partie de la température Ç , indépendante du temps, mais qui peut être une fonction quelconque de la longitude et de la latitude du point 0, ne saurait jamais produire aucun accroissement ou décroissement sensible de la température de la terre, le long de la verticale Oar, à des distances de la surface qui soient très petites par rapport au rayon du globe, et par conséquent, à toutes les profondeurs accessibles; ce qui n’empécbe pas qu’à des profondeurs encore plus considérables, l’inégalité dont il s’agit ne donne lieu à de grandes augmentations ou diminutions de température, sur chaque rayon de la terre et jusqu'à son centre. On fait ici abstraction des variations locales dont il a été question dans le u“ tdi, comme aussi de la petite augmentation de la température moyenne indiquée dans le n° 1 85 ; et il suit alors de ce théorème, tel qu’il a été démontré dans n° 176, que l’accroissement général des températures de la terre, observé près de la surlace, ne peut dépendre que de la chaleur propre et initiale du globe, ou de causes qui fout varier très lentement la température intérieure. L’explication fondée sur la chaleur d’origine, a été généralement adoptée; toutefois, il ne me semble pas qu’on ait eu suffisamment égard aux difficultés quelle présente, et que j’exposerai tout à l’heure, après avoir déduit les conséquences principales de cette hypothèse.
(192). En admettant doue l’existence d’une chaleur d’origine , encore sensible à l’époque actuelle près de la surface du globe , nous supposerons néanmoins le temps écoulé depuis cette origine , assez
DE LA CHALEUR. 4a5
grand .pour que la température de chaque point de la terre , provenant de sa chaleur initiale, soit réduite au premier terme de son expression en série d’exponentielles, et représentée par la formule (a3) du n* 171 ; de manière qu’en désignant par v cette partie de la température du point M, on ait
a , b, l, x , ayant les mêmes significations que précédemment (n* 186); le temps t étant compté à parlir d'une époque extrêmement éloignée que rien ne pourrait servir à déterminer ; et S désignant
une constante par rapport à x et t , telle que exprime l’intégrale
J'1// sin *-j- dr1 contenue dans la formule citée. Cette valeur de v est de la forme
f et g étant des quantités indépendantes de x , savoir •.
Dans l'hypothèse que nous examinons, cette quantité g doit être la même que dans la formule (1), c’est-à-dire l’accroissement observé de la température moyenne le long de la verticale Ox, rapporté à l’unité de longueur. La quantité f est celle dont la chaleur initiale de la terre, augmente 'encore à l'époque actuelle, la température de la surface au point 0. Le temps croissant par des différences égales, ces deux quantités y et g décroîtront suivant une même progression géométrique, et extrêmement lente de siècle en siècle , à cause de la grandeur de l. Ainsi qu’on l’a remarqué plus haut (n* 184) , elles sont liées entre elles par l’équation g = bf, qui servira à déterminer J quand les valeurs de b et g seront connues. Ou a déjà vu comment la valeur de g peut cire déterminée par l'observation ; on verra par la suite comment on peut aussi obtenir celle de b par la comparaison des inégalités annuelles des températures extérieures et intérieures; la va-
leur de f qui en résultera ne sera qu’une fraction de degré, qui variera avec la position du point 0, ou dans le même lieu quand un changement dans l’état de la surface aura fait changer la quantité b. En prenant le mètre et l'année pour unités de longueur et de temps , on a h Paris, comme on le verra par la suite,
b = 1,05719; on aura aussi, comme on l’a vu plus haut,
d’où l’on déduit
de sorte qu’à Paris la chaleur d’origine de la terre augmenterait la température de la surface, à l’époque actuelle, d’un peu plus d’un quarantième de degré.
La chaleur peut avoir été distribuée primitivement d'une manière quelconque, dans la sphère homogène à laquelle appartient la normale Ox; la valeur de G, d’après l’intégrale quelle représente, ne dépend que de la température moyenne de tous les points de cette sphère, à l’époque d’où l’on compte le temps f; mais cela suffit pour qu’elle puisse être différente, en passant du point 0 à un autre point 0#. L’accroissement de température g pourra donc changer aussi , en passant d’une verticale à une autre , non-seulement à cause de la valeur de a, qui dépend de la nature du sol, mais aussi à raison du facteur G de l’expression de g. Par conséquent, il n’est pas impossible que cet accroissement de température g soit différent, en des lieux où le terrein est delà même nature.* Toutefois, s’il y a eu une époque où la température moyenne d’où dépend la valeur de G , a été la même pour tous les points du globe, ou du moins pour tous les points d’une même région de la terre, ce qui parait une supposition assez naturelle, et si l’on compte le temps t à partir de cette époque, il en résultera que l'accroissement de la température dans le sens de la profondeur, sera plus ou moins rapide en des lieux différens, selon que la valeur de a y sera moins ou plus grande, et conséquemment, comme on le verra dans la suite, selon que l’amplitude de l'inégalité annuelle de température, y décroîtra plus ou
DE LA CHALEUR. 4a5
moins rapidement , à mesure que l’on s'abaisse au-dessous de la surface. C’est un point que l'on pourra facilement vérifier par la comparaison des observations contemporaines.
Dans un même lieu, si la valeur de g devient g, , lorsque le temps t augmente de*,, on aura, à la fois.
Ig = Se
= Se z* ,
et, par conséquent.
Lorsque l’on aura détorminé la valeur de a, d’après l'affaiblissement de l’inégalité annuelle de la température de la terre à mesure que la profondeur augmente, on pourra donc assigner l’époque où l’accroissement de la température moyenne sera réduit à moitié, ou à toute autre partie aliquote de sa valeur actuelle. Ce sera la vérification la plus décisive de l’hypothèse que nous examinons; mais malheureusement elle exige un grand nombre de siècles d’observations , vu la lenteur du décroissement de l'exponentielle qui exprime le rapport de g, à g. Ainsi, l’on a à Paris, comme on le verra dans la suite.
en prenant toujours le mètre et l’année pour unités de longueur et de temps; on a aussi
il en résultera donc
o,63?fi. t4
too. îooo.ioooooo s
d’où l’on conclut qu’il devrait s’écouler plus de mille millions de siècles pour que la valeur de g fut réduite à moitié.
Lorsqu’il s’agit d’un corps de grandeur infinie et terminé par un plan dont la température initiale était partout la même , l’excès f de la température de la surface sur celle du dehors, et l’accroissement g de la température intérieure, qui ont lieu au bout d’un très long intervalle de temps écoulé depuis l'époque de
4ï6 THÉORIE MATHÉMATIQUE
l’état initial, sont en raison inverse de la racine carrée de ce temps t (n° i54)- U s'ensuit que la diminution de g pendant un autre temps t , , très petit par rapport à t, sera égale à la valeur
actuelle de g, multipliée p3r le rapport ainsi que Fourier l’a
énoncé, à l'égard du refroidissement séculaire de la terre, dans un des deux extraits cités plus haut (*). On ne peut donc pas alors calculer la diminution de g pendant un temps donné t,, sans faire une hypothèse purement gratuite sur la longueur du temps t primitivement écoulé, et sur l’époque d’où ce temps est compté, comme on en a fait une sur la distribution uniforme de la chaleur à cette époque. Mais la terre ne doit pas être assimilée à un corps dont les dimensions soient infinies; on doit seulement la considérer comme une sphère d’on très grand rayon; et c’est la formule dont nous avons fait usage, qu’il convient d’employer pour exprimer les lois de son refroidissement; ce qui permet de calculer, sur chaque vertical Ox , le rapport des valeurs de g à deux époques différentes, d’après l’intervalle de temps qui les sépare , et d’après la valeur de la constante a relative à cette droite. En ce qui concerne les inégalités périodiques dé ht température qui ont lieu près de la surface, on peut bien , sans en changer les lois, supposer infini le rayon de la terre (n° 1 85) ; mais il n’en est pas de même, comme on voit, relativement à la partie de la température moyenne qui provient, par hypothèse, de la chaleur initiale du globe.
D’après ce qu’on a vu dans le n° 66, la portion de cette chaleur d’origine que la terre doit perdre à travers chaque unité de surface et pendant une unité de temps, est égale, relativement au
point 0, au produit k ou a kg, en vertu des expressions de v
et de g. Cette perte de chaleur variera généralement avec la position du point 0. Pour la calculer, lorsque l'accroissement g de la température intérieure sera connu, il faudra, en outre, faire une hypothèse sur la conductibilité k, ou bien sur l’une des quan-
V) Annales de Physique et de Chimie, tome XIII , page 42^.
DE LA CHALEUR. 4a7
tités c et p; d’où l’on déduirait la valeur de k d’après celle de l’une des constantes a ou b. Mais on n’a pas d'expériences directes qui fassent connaître lachalenr spécifique c et la conductibilité k pour les matières dont la terre est formée près de sa surface, non plus que la quantité p relative à l’état de cette superficie; quant aux observations des températures près de la surface, comparées aux températures extérieures , elles déterminent seulement les valeurs de a et de b, et laissent inconnue l’une des trois quantités c, k, p, du n# 186.
(ig3). Aucune de ces conséquences de la supposition d’une chaleur d’origine encore sensible à l'époque actuelle près de la surface du globe, n’est une objection contre cette opinion, ni une raison en sa faveur, du moins jusqu’à ce que les rapports numériques qui en résultent, aient été vérifiés ou contredits par les observations de plusieurs siècles. Mais voici les difficultés que cette hypothèse présente, et qui la rendent, ce me semble, peu vraisemblable.
Dans l’hypothèse dont il s’agit, l’accroissement de température que l’on observe à toutes les profondeurs accessibles, aura lieu encore au-delà et jusqu’au centre de la ferre; de sorte qu’il en résultera, à de plus grandes distances de la surface, des températures excessivement élevées. Cet accroissement de température étant supposé, par exemple, d’un degré par 3o mètres de profondeur, la température de la terre surpasserait aooo degrés à une distance de la surface égale au centième du rayon. Il est vrai qu’à de si hautes températures, la chaleur spécifique c et la conductibilité k ne sont plus constantes; il est aussi possible que le rayonnement intérieur ne s’étende plus seulement à des distances insensibles, ni même très petites; et l’équation aux différences partielles du mouvement de la chalenr, n’étant pins linéaire et du second ordre, il pent en résulter que la température de la tèrre croisse , sur chaque verticale, dans uu plus grand on dans nn plus petit rapport que la distance à la surface, quoique cette distance soit toujours une petite partie du rayon. Mais il ne s’agit point ici de calculer la grandeur précise de la température intérieure; il s’agit uniquement de montrer quelle serait excessive à moins de
4j8 ' THÉORIE MATHÉMATIQUE
60000 mètres de profondeur. Pour se former une idée de ce quelle deviendrait au centre de la terre, on pourra aussi considérer le globe comme un corps homogène, et faire abstraction de l'accroissement de densitédes couches terrestres en allant de la surface au centre, qui pourrait rendre plus rapide ou moins rapide l’augmentation de température; or, dans ce cas, l'excès de la température centrale
sur celle de la surface, serait égal, d'après le n* 171, à Se ‘‘ ou Ig, en désignant par G, l, g, les mêmes quantités que précédemment; par conséquent, si l'on prend toujours le mètre pour unité, et un trentième de degré pour la valeur de g, la température centrale surpasserait deux millions de degrés. Au centre et dans la plus grande partie de sa masse, les matières dont la terre est formée, se trouveraient donc à l'état de gaz incandescens, tellement condensés, néanmoins, que leur densité moyenne surpasserait cinq fois celle de l’eau. Pour les contenir à ce degré de compression et de chaleur, il faudrait une force extraordinaire, dont on ne saurait se former aucune idée; et l’on peut douter si la couche solidifiée du globe aurait une épaisseur et une cohésion suffisantes pour résister à l'effort des couches fluides intérieures pour se dilater.
La forme à peu près sphérique de la terre et des planètes, et leur aplatissement aux pôles de rotation, montrent avec évidence que ces corps ont été primitivement fluides, et peut-être à l’état aériforme. En partant de cet état initial, la terre n’a pu se solidifier en tout ou en partie, que par une perte de chaleur provenant de ce que sa température excédait celle du milieu où elle était placée. Mais il n'est pas démontré que la solidification a dû commencer à la surface pour se propager vers le centre, comme le supposerait un état du globe encore fluide dans la plus grande partie de son intérieur. Le contraire irie parait plus vraisemblable. En effet, les parties extrêmes ou les plus voisines de la surface, en se refroidissant les premières, ont dû descendre à l’intérieur, et être remplacées par des parties internes qui sont venues se refroidir à la superficie, pour redescendre ensuite à leur tour. Ce double courant aura entretenu dans la masse une égalité de température, ou du moins, il aura empêché que l’inégalité ne fût, à beaucoup près, aussi grande que dans un corps solide qui se
refroidit par sa surface; et l’on peut ajouter que ce mélange des parties du fluide et le nivellement de leurs températures, auront été favorisés par les oscillations de la masse entière, qui ont eu lieu jusqu’à ce qu’elle soit parvenue à une figure et une rotation permanente. D’un autre côté, la pression excessivement grande, supportée par les couches centrales , a pu déterminer leur solidification beaucoup avant celles des couches plus voisines de la surface, c’est-à-dire que les premières ont pu devenir solides par l’efTet de cette extrême compression, aune température égale ou même supérieure à celle des couches moins rapprochées du centre, et soumises en conséquence à uue pression beaucoup moindre. L’expérience a fait voir, par exemple, que l'eau à la température ordinaire, étant soumise à une pression de 1000 atmosphères, éprouve une condensation d’environ un vingtième de son volume primitif. Or, concevons une colonne d’eau d’une hauteur égale au rayon du globe, et réduisons sa pesantcbrà la moitié de celle que l’on observe à la surface de la terre , afin de la rendre égale à la gravité moyenne qui aurait lieu le long de chaque rayon de la terre dans l'hypothèse de son homogénéité; les couches inférieures de cette colonne liquide éprouveront une pression de plus de trente millions d’atmosphères, ou égale à plus de trente mille fois celle qui réduit l’eau aux de son volume ; mais sans connaître la loi de la compression de ce liquide, et quoique nous ignorions comment cette loi peut dépendre de la température, on peut croire néanmoins qu'une si énorme pression réduirait les couches inférieures de la masse d’eau à l’état solide, lors meme que leur température serait très élevée. Il semble donc plus naturel de supposer que la solidification de la terre a commencé par le centre et s’est propagée successivement vers la surface : à une certaine température, qui pouvait être extrêmement élevée, les couches les plus voisines du centre se sont d’abord solidifiées, à raison de l’excessive pression qu’elles éprouvaient; les couches suivantes se sont solidifiées ensuite à une température et sous une pression moindres; et ainsi de suite, de proche en proche, jusqu’à la superficie.
En se solidifiant ainsi du centre à la surface, et, si l’on veut, en continuant à se refroidir après être devenue entièrement solide, la terre a pu perdre , depuis long-temps, toute sa chaleur d’origine ; de
43o THÉORIE MATHÉMATIQUE
sorte que l’accroissement de température que l’on observe actuellement près de sa surface soit dû à une autre cause , et ne s’étende pas dans l'intérieur à des profondeurs très considérables ; ce qui est effectivement possible, comme on le verra plus loin. Mais je présente ces considérations avec toute la réserve que l’on doit apporter dans des conjectures qui ne peuvent être vérifiées ni par des calculs précis , ni par des expériences directes.
(194). Nous allons actuellement nous occuper de la partie de 1a température u du point M qui dépend de la température extérieure f.
Pour la déterminer d’après les formules générales du n° 175 , il faudra que l’expression de Ç soit réduite en une série de sinus ou cosinus d’arcs proportionnels au temps. Supposons donc que l’on ait
£ = B -f- A cas (mt 4- «) + A' cos (w'r-f-t') 4- etc. ; (3)
B, A, A', etc. , m, m.', etc., r, etc., étant des constantes réelles et données. La première B représentera la constante de la température extérieure qui répond au point O de la surface de la terre, et qui pourra être une fonction donnée de la longitude et de la latitude de 0. Chacun des autres termes de cette valeur de Ç exprimera une inégalité périodique de la température extérieure correspondante à ce même point O. Les coefficiens A, A', etc., seront les amplitudes de ces diverses inégalités; leurs valeurs changeront généralement avec la position du point 0; on pourra les supposer positives, en prenant convenablement les angles «, *', etc. Les coefficiens du temps m, m', etc., seront aussi supposés positifs. L'inégalité exprimée par A cos(mr-l-t) passera deux fois par toutes scs différentes valeurs, positives ou négatives, et reviendra à une même valeur,
dans un intervalle de temps égal à qui sera, en conséquence,
la durée de sa période entière; et de même pour les autres inégalités.
Nous prendrons toujours l’année julienne pour l’unité de temps ; si A cos (ml -f- <) est une inégalité annuelle, on aura alors m= lit ; et s’il s’agit d’une inégalité diurne, la valeur de m sera m=a?r( 365, a5). Mais en général , nous appellerons inégalités annuelles , toutes celles
DE LA CHALEUR. /,3i
dont la période est d’nn an on d’un sous-multiple de l’année, et qui répondent, conséquemment, à m-air, — 4'*, =6w, etc.; et nous nommerons inégalités diurnes, celles dont la période est d’un jour ou d’un sous-multiple du jour, et pour lesquelles m sera 37t (365,25), ou le double, le triple, etc. , de ce nombre. A l'égard des inégalités séculaires , les valeurs de m , m', etc. , seront extrêmement petites , et égales au nombre a7r divisé par les nombres d'années compris dans leurs périodes.
Cela posé, la valeur permanente de u, correspondante à celle de Ç sera , d’après le n* cité ,
e cos(mt + t— -a\JX-m —
+bA. e-;V^cos^m'ï+('__ïy/v.<p J
+ etc.;
En faisant, pour abréger,
— cos<P , i = D sin J* ,
et par conséquent,
relativement à la première ioégalité, et en désignant par D, et J D„ et <£,,, etc., ce que deviennent D et /, par rapport aux inégalités suivantes : e représente ici, comme à l’ordinaire, la base des logarithmes népériens.
Ces formules (3) et (4) montrent que la constante B de la température est la même en dehors et à l’intérieur. Elles font aussi voir qu’à chaque inégalité du dehors, il répond à l’intérieur une inégalité qui a la même période, mais une amplitude differente et toujours moindre.
A la surface où l’on a x = o, l’amplitude de l’inégalité dont la période est se déduit de l’inégalité correspondante de la température extérieure, en multipliant celle-ci par le rapport de A à
43a THÉORIE MATHÉMATIQUE
D, c’est-à-dire, par une fraction dont la valeur diminue à mesure que l’inégalité est plus rapide, ou que la valeur de m est plus grande. L’instant de chaque maximum , positif ou négatif, d’une inégalité, arrive, lorsque pour l’inégalité extérieure ou m<-|-« — J'
pour l’inégalité de la surface , est un multiple de K ; d’où il résulte que chaque maximum de l'inégalité à la surface suit le maximum
de l'inégalité extérieure , d’un intervalle de temps égal à en prenant pour J' l'angle aigu qui a pour tangente le rapport de ~ s/î m
à é + i vT«-
Le long de la verticale Ox; l’amplitude de chaque inégalité diminue en progression géométrique, quand la profondeur x augmente par des différences constantes. Pour une augmentation d’une unité dans
la profondeur, l'amplitude de l'inégalité dont la période est ^ , di-
— 'l/ïin
minue dans le rapport de « 1 à l’unité; en sorte que c’est
l’inégalité dont la période est la plus courte , qui décroît le plus rapidement; et ce décroissement sera d'autant plus rapide, comme on l’a dit plus haut, que la constante a aura une moindre valeur. Les maxima positifs ou négatifs de cette inégalité ont lieu
à la profondeur x, quand mt - j- « — — J'est un mul-
tiple de TT ; chaque maximum se propage donc uniformément suivant la verticale Ox, avec une vitesse égale à a Vawt qui est aussi la plus grande pour l’inégalité dont la période est la plus courte.
En considérant toujours l’inégalité dont la période est ~ , si Ton
appelle X et X' les grandeurs de son amplitude aux distances x et x' de la surface , on aura
v bK -Wl'
: v,iA -fVi’
et, par conséquent,
-tl=lSx/L„ X' = X e • V 3
Si l’en sappose x' > x , et que l’on désigne par Ale retard du maximum de cette inégalité à la profondeur x' Sur celui qui arrive immédiatement auparavant à la profondeur x, on aura aussi
ay ans
en supprimant dans cette quantité le multiple de xx qu’elle pourra contenir. De ces deux dernières équations, ou déduit celle-ci :
X' = Xe-"'\
qui ne renferme plus que des quantités mesurables directement pour chaque inégalité, et pourra servir à vérifier la théorie.
Au dehors ou à l’intérieur, la température moyenne sera la partie de £ ou de u , indépendante -des inégalités diurnes et annuelles. A l’extérieur, elle se composera de la constante B et des inégalités séculaires de toute espèce dont la valeur de £ pourra être affectée. A l’intérieur, elle sera la constante B augmentée de toutes les inégalités séculaires correspondantes à celles de la température extérieure ; on y ajoutera, cri outre, la valeur de v donnée par la formule (a), pour avoir égard à la chaleur initiale du globe, si l’on suppose qu’elle soit encore sensible à l’époque actuelle près de la surface ; on y comprendra aussi la partie de grandeur invariable, qui provient de chaque inégalité périodique de la température extérieure , d’après ce qu’on a vu dans le n* 1 85. Relativement à l’inégalité A cos (mt ■+• s), j’appellerai w cette partie invariable de u; je supposerai que l’inégalité A cos 1) de £ ne provienne pas de la température £, comprise
dans la seconde équation (5) du n° i63 ; la valeur de w se déduira alors de celle de yv du n* i85, en y faisant q, — o et q = A; et comme on a , à très peu près ~y — 0,001935 , il en résultera
pour la quantité constante dont l’inégalité A cos (mt + e) de la tem-
pérature extérieure augmentera la température moyenne du point M
situé à la distant* x de la surface.
(ig5). Quelle que soit la valeur de Ç en fonction de t, on pourra toujours lui donner la forme du second membre de l'équation (5), en la transformant , si cela était nécessaire , en une intégrale définie double, djnt on prendrait ensuite, les élémens pour les termés de ce second membre. Mais dans les applications que nous ferons des formules (3) et (4), l’expression de Ç se composera de parties dont chacune reprendra la même valeur à des époques équidistantes ; et cela étant, 1a réduction de chacune de ces parties en une série de sinus ou de cosinus d’arcs proportionnels au temps, s'effectuera beaucoup plus simplement au moyen de la formule suivante.
Soit çt une fonction donnée ; désignons par 9 un intervalle de temps déterminé; et supposons que cette fonction reprenne la même valeur toutes les fois que t augmente de 6, de sorte qu’on ait
pour toutes les valeurs de t; la fonction <pt étant d’ailleurs tout-à-fait arbitraire, continue ou discontinue, entre deux valeurs de t, dont la différence est 6. D’après ce qu’on a vu dans le n° 1 34, on aura
. Jf1. , a»/ jj a ml , a /'’• j . a*/ , . . a ut
<p/ cos— de .cos— - -}- - / <pr sm ~—dt'. sm — -
“J o * * fl J o 9 6
■f‘ï/o*^C0,T-<*'*CO8Ti + i f *&***£&.* inTT (6)
+ ï/o'^c“t*'-C087L*' \fjeûa ■
-+* etc. ;
expression de la même forme que le second membre de l’équation (3).
On fera coïncider ces deux formules en prenant
— etc -g-, etc.,
•/* tpt'dé,
A cos»
T-dï,
A sin » = -
A’cosi'
“ï/y®0 8Tijr'.
A'sin<==-
- j C* (pt'sin
aaY
dt,
A'cose"
A"siue"=—
- S fl
forf'
de.
etc.;
d’où l’on conclut, en vertu de la formule (4), qu'une partie çt de la température extérieure dont le temps périodique est 8, donnera naissance dans l’intérieur, à une partie constante égale à cette valeur de 6 , et à une série d’inégalités dont les périodes seront 6 , afl, 30, etc. Leurs amplitudes, décroîtront, puisque ces périodes sont croissantes, et, en outre, parce que les intégrales relatives h't' forment deux séries décroissantes à raison des sinus et cosinus des multiples croissans de la variable qui sont contenus sous les signes f. il faut aussi ajouter que si la fonction <pt, quoiqu’elle ne reprenne les mêmes valeurs qu’au bout de chaque intervalle de temps égal à 6, passe .néanmoins plusieurs fois, dans cet intervalle, par des valeurs positives et négatives, cette circonstance affaiblira les valeurs de toutes les intégrales précédentes; en sorte qu’il pourra arriver qu’une semblable partie <pt de 0, ne donne lieu qu'à de très petites inégalités périodiques dans l’expression de la température intérieure.
La question qui doit nous occuper dans ce qui va suivre, c’està-dire la détermination de la température du point M au moyen de la formule (4), se réduira donc maintenant à former, d’après la seconde équation (5) du n° t63, l’expression complète de Ç en fonction de t , résultante de toutes les sources de chaleur d’-où dépend la température extérieure. Ces sources diverses sont la chaleur stellaire, la chaleur atmosphérique agissant par le rayonnement ou par le contact immédiat, et la chaleur solaire. Nous allons les considérer successivement, en entrant dans tous les détails nécessaires sur la nature et l’influence de chacune d’elles. *
f56 THÉORIE MATHÉMATIQUE
(196). Si Ion mène par le point 0 de la surface de la terre, une droite OE, suivant une direction quelconque et indéfiniment prolongée, cette droite finira toujours par rencontrer une étoile visible ou invisible; la terre est donc placée dans un espace terminé par une enceinte fermée de toutes parts, et qu’on suppose rempli d’un éther excessivement rare ; et quoique les dimensions de cette enceinte formée d’étoiles, soient immenses, cela n'eropéchcrait ni ne diminuerait soq action calorifique sur le globe terrestre, si l’éther n’absorbait nullement la chaleur qui le traverse; car dans le vide ou dans un milieu non absorbant, l’intensité de la chaleur rayonnante décroissant suivant la raison inverse du carré de la distance, il s’ensuit que l’action totale d’une enceinte fermée sur tous les corps contenus dans l’espace qu’elle termine, est indépendante de sa grandeur absolue. Si donc on fait d’abord abstraction du pouvoir absorbant de l’éther, il y aura un échange continuel de chaleur entre la terre e‘t la première étoile que va rencontrer la droite OE, et il en résultera, à chaque instant, une augmentation ou une diminution de la température du point 0 , selon quelle sera plus petite ou plus grande que celle de l’étoile. Mais si 0 et OE sont le sommet et l’axe d’un cône extrêmement aigu , la portion de l’enceinte stellaire interceptée par ce cône comprendra, vu la distance excessivement grande des étoiles à fa terre, un nombre immense d’étoiles ; elles n’auront sans doute pas toutes une même température; il y a lieu de croire que celles qui sont lumineuses, ont, comme le soleil, une très haute température, et que celles qui ne le sont pas, s'il en existe, ont une température beaucoup moins élevée; cela étant, nous prendrons la moyenne des températures de toutes ces étoiles pour la température de cette portion de l’enceinte correspondante à la direction OE, et nous la représenterons par t.
Si la valeur de s est supposée la même suivant toutes les directions etpourtous les points de la surface du globe, l’enceinte stellaire devra être considérée comme ayant partout la même température ; quelles que soient sa figure et les différentes matières des étoiles dont elle est formée, si l’on fait toujours abstraction du pouyoir absorbant de l’éther, un thermomètre placé en un lieu quelconque de l’espace borné par culte enceinte, marquera partout la température s, d’après ce
qu'on a vu dans le chapitre II; et quel que soit aussi l'état calorifique de la terre à une époque déterminée, elle prendra, au bout d'un temps convenable, cette même température qui s’ajoutera , dans toute sa masse, à celle que produit la chaleur solaire, et dont nous déterminerons les lois par la suite. Mais l'hypothèse d'une valeur de s qui soit égale pour toutes les régions du ciel, paraîtra hors de toute vraisemblance, si l’on observe que les étoiles doivent avoir une chaleur propre, entretenue par des causes particulières, comme celle du soleil, et qui ne tend pas à l’égalité par l’effet de leur rayonnement mutuel. 11 ne semble pas non plus qu’on puisse supposer l'éther cutièrcmeut dénué de la faculté d'absorber la chaleur; car si cela était, la température en chaque point de l’espace, provenant delà chaleur stellaire, serait extrêmement élevée et comparable à celle du soleil , à moins que le nombre des étoiles incandescentes ne fut extrêmement petit par rapport a celui des étoiles opaques. Or, soit à cause de l'inégalité probable des valeurs de s qui répondent à deux directions différentes OE et OE', soit parce que la chaleur stellaire sera venue, suivant ces deux directions, d’étoiles inégalement éloignées de la terre, et aura, par conséquent, éprouvé des absorptions différentes en traversant l'éther, on est conduit à supposer que la quantité de chaleur stellaire qui parvient à la terre dans une direction déterminée, varie avec cette direction, suivant une loi qui est, à la vérité, tout-à-fait inconnue. O11 expliquera plus loin comment cette variation pourrait être vérifiée par des expériences directes.
En admettant donc cette hypothèse, il en résultera qu’un thermomètre transporté successivement en différens lieux de l’espace, marquera des températures qui pourront être très inégales. La température qu’il indiquera en chaque point sera celle de l’espace en ce point. Pour quelle change sensiblement d’un point à un autre, il faudra, vu les excessives dimensions de l’enceinte stellaire, qu’ils soient séparés l’un de l’autre par une immense distance. Ainsi, les distances des étoiles à la terre étant extrêmement grandes, eu égard même au diamètre de l’orbite de la terre, il s'ensuit que pendant sa révolution autour du soleil , la terre se meut dans un espace dont la température est partout la même, ou sans aucune différence appréciable; en sorte que la chaleur stellaire ne peut donner lieu à aucune inégalité annuelle dans la tein-
pérature du globe. Mais il n’en est plus de même lorsque l’on considère le mouvement de notre système planétaire dans l’espace : pendant ce mouvement , la terre s’approche de certaines étoiles , s’éloigne des autres, et se trouve en communication calorifique avec de nouveaux astres , soit à cause de leurs propres déplacemens , soit à raison du mouvement de notre système; sur la route que suit la terre, la température de l’espace peut être très différente en des points séparés par de grandes distances, et auxquels la terre ne parvient qu’après de longs intervalles de temps.
Cela posé, concevons que la terre, dans ce mouvement, soit restée assez long-temps dans une partie de l'espace pour quelle eu ait pris la température dans toute sa masse. Si elle passe ensuite dans une autre région dont la température soit moins élevée, elle se refroidira, et jusqu’à ce que sa masse entière ait atteint cette nouvelle température, la sienne croîtra de la surface au centre. Le contraire aura lieu lors • qu’elle passera dans une région dont la température sera plus élevée que celle quelle avait prise d’abord; mais si des températures de l'espace, alternativement plus basses et plus hautes, se succèdent à des intervalles de temps qui ne soient pas assez grands pour que la masse entière du globe puisse prendre chaque nouvelle température, il en résultera des accroissemens ou des décroissemens plus ou moins rapides de la température, et qui ne s’étendront que jusqu'à une certaine distance de la surface. Or, ces considérations fournissent une explication très naturelle et très simple de l’accroissement de température que l’on observe actuellement à toutes les profondeurs accessibles : il résulterait donc de ce que la terre , par suite du mouvement de notre système planétaire, se trouve maintenant dans une partie de l’espace dont la température est moins élevée que celle de la région où elle se trouvait à une époque antérieure; le globe terrestre pourrait alors être comparé à un corps d’un très grand volume, que l’on aurait transporté de l’équateur vers le pôle , dans un temps trop court pour qu’il eût pu se refroidir entièrement, et qui présenterait , en conséquence, un accroissement de température en s’éloignant de sa surface , qui ne s'étendrait pas jusqu’à srs couches centrales. Ainsi , l’augmentation de la température moyenne sur chaque verticale, à mesure que l'on s'éloigne de la surface, peut s’expliquer,
comme nous lavons dit plus haut, sans recourir à l’Hypothèse d’une chaleur propre du globe, provenant de son état initial, et encore sensible près de sa superficie; hypothèse qui entraînerait la couséquence d’une température intérieure tout-à-fait invraisemblable, par son excessive élévation, et à laquelle on ne serait forcé d’avoir recours que s’il était impossible de rendre compte du phénomène d’aucune autre manière.
(197). Les variations de la température de l’espace sur la route de la terre dans le mouvement du système planétaire, nous sont absolument inconnues ; elles peuvent s’élever à de grands nombres de degrés, en plus ou en moins; et nous savons seulement que la température de la partie de l’espace où la terre se trouve par suite de ce mouvement, ne peut augmenter ou diminuer sensiblement qu’àprès de longues suites de siècles. Néanmoins, afin de montrer, avec plus de précision, leur influence sur la température de la terre, je prendrai un exemple tout-à-fait arbitraire, et je supposerai qu’en vertu de ces variations de la température de l’espace-, la valeur de £ renferme un terme périodique, pour lequel je prendrai le second terme Acos(m<-f-e) de la formule (3).
Pour fixer les idées , supposons qu’à raison de ce terme la température extérieure Ç diminue depuis -f-ioo* jusqu’à — roo*, et augmente ensuite depuis — roo° jusqu’à +1000, en un million d’années; en sorte que son oscillation totale, provenant d’une pareille variation dans la température de l’espace, soit de aoo°dans cet intervalle de temps. En désignant par t la valeur de t qui répond à l’époque du maximum positif de cette inégalité séculaire , on fera donc
A=ioo°, t — — wjt, -ro = — — — ;
et si l’on représente par ut , la partie de la température u du point M, relative à cette inégalité, c’est-à-dire, la valeur correspondante du second terme de la formule (4) , nous aurons
u,= ioo\e
cos fWl-r) 1
1000. ah J Li 000000 1000. a }
+ — ^sinp*^--^!},
1000.00 L.IOOOOOO 1000.0— IJ
en observant que l’on a , à très peu près,
b coi t D =
looo .ab r
b sin t y/ ’«•
1000 .ab'
Tant que la profondeur x sera très petite par rapport à la constante dont la valeur est d’environ 5ooo mètres, d’après celle
de a que l’on a citée précédemment , savoir
on pourra développer l’exponentielle et les sinus et cosinus que ren-
ferme la formule (7) , suivant les puissances de la fraction — ■ w ;
d’où il résultera , à très peu près,
U, — 100“ cos -
COS
[JC+->É-
en sorte qu’il y aura, près de la surface de la terre, un accroissement ou un décroissement de température proportionnel à la profondeur x, selon que la quantité comprise entre les crochets dans cette expression de k, sera positive ou négative. Si, par exemple, l'inégalité de la température extérieure est parvenue maintenant à son maximum négatif, c’est-à-dire , si l’on suppose que l’on ait actuellement
il en résultera
tt,= -100°+ i*(J +•»)“,
et, par conséquent , un accroissement de température d’un degré pour
un nombre de mètres égal à ou de o*,oa75 par chaque mètre de
profondeur; ce qui serait peu différent de l’accroissement que l’on observe à Paris. Mais quand la distance x aura cessé d’étre très petite
par rapport à l’accroissement de température cessera aussi d'être
proportionnel à x, et la valeur de u, devra être calculée au moyeu de la formule (7).
En y mettant pour t sa valeur précédente , elle se réduira à
,0“- cos^A
h, = — ioo°.e Le maximum de cette quantité répoudra à
et aura pour valeur
de sorte qu’il'excédera da peu près.1070 la valeur m,= — 100' qui répond à la surface. La profondeur à laquelle il aura lieu , sera
x — j5o.a s/ïr — 680a j
au-delà d’une distance à la surface d’à peu près 7000 mètres, la valeur de u, décroîtra donc continuellement; et à une profondeur d’environ 60000 mètres, par exemple , elle se réduira à moins d’un centième de degré ; ce qui fait voir qu a cette profondeur, qui n’est pas encore un centième du rayon de la terre, l’inégalité de la température de l’espace que nous avons supposée, n’influerait plus sensiblement sur la température intérieure. ' ,
Sri'on fait x = o dans la formule (7) , on aura la valeur de u, relative à la surface et à une époque quelconque de cette inégalité. Faisons ensuite, successivement,
t = t, (=r + Sooooo ;
les valeurs correspondantes de h, seront
