ab

U, — — IOO°

I». t/*la, ab ’

par conséquent, si l’on suppose, comme plus haut, que la seconde valeur de t réponde à l’époque actuelle, il en résultera que 5ooooo ans

44a • THÉORIE MATHÉMATIQUE

auparavant, la température de la surface surpassait de 200“ — * ^ * ,

ou d’à peu près aoo*, celle qui a lieu maintenant ; ce qui rendait la terre inhabitable. Mais en prenant

l= r+ 5ooooo rfc 50000,

et en conservant seulement, pour abréger, le premier terme de la valeur de «, , on aura

ut — — l oo* . cos 18» ss — 95° ;

d’où il résulte que 5oooo ans avant et 5oooo ans après l'époque actuelle, la température de la surface n'excéderait celle qui a lieu aujourd’hui que d’environ 5’; différence qui n’erapécherait pas l’espèce humaine de pouvoir exister sur la terre.

En général, pour que l’inégalité de la température de l’espace sur la route de la terre puisse produire à une époque déterminée, comme celle où nous vivons, tin accroissement ou un décroissement sensible de la température moyenne du globe , près de la surface , il est nécessaire qu’à des époques séparées de celles-là par des milliers de siècles, la température de la surface ait été très supérieure ou très inférieure à celle que l’on observe à cette même époque.

(198). L'inégalité des quantités de chaleur stellaire que la terre reçoit à chaque iustaot des différentes parties du ciel, pourra être rendue sensible par l’expérience que nous allons indiquer.

Pendant une belle nuit, où l’air est calme, le ciel serein et l’atmosphère sans nuages, supposons qu’un miroir concave POQ ( fig. i3) soit placé un peu au-dessus de la surface de la terre. Soient F son foyer , et OFE son axe indéfiniment prolongé. Le point 0 est fixe ; le miroir peut tourner en tous sens autour de ce point, de sorte que son axe puisse être dirigé successivement vers toutes les régions du ciel au-dessus de l’horizon ; uu thermomètre très sensible est placé au foyer F. Afin de simplifier la question, nous supposerons les bords du miroir assez élevés pour interrompre la communication calorifique du thermomètre avec la surface de la terre ; nous supposerons aussi qu'on ait placé à une petite distance du foyer, un corps concave G qui interrompe également la communication directe de l’instrument avec les

étoilés et avec l’atmosphère, mais dont l'étendue soit assez petite pour diminuer le moins possible, la quantité de chaleur stellaire et atmosphérique qui viendra tomber .sur la. surface du miroir ; on supposera enfin le pouvoir émissif du miroir à peu près nul, et conséquemment , sa réflexibilité parfaite.

Le miroir renverra donc au thermomètre, sans y rien ajouter, toute la chaleur rayonnante qui viendra tomber sur une partie de sa surface, parallèlement à son axeOFE ; or, si l’on conçoit un cône qui ait son sommet au point F et la circonférence de sa base sur la surface du miroir, et qui comprenne tous les rayons réfléchis vers ce point; puis un cylindre indéfiniment prolongé vers le ciel, ayant meme base que le cône et ponr axe la droite OFE, il est évident que toute la cha-' leur réfléchie proviendra de la colonne atmosphérique et de la portiou du ciel comprise dans ce cylindre ; en sorte qu’il y aura , par l’intermédiaire du miroir, échange continuel de chaleur, soit entre le thermomètre et toutes les molécules qui font partie de cette colonne , soit entre cet instrument etles étoiles qui appartiennentà cette petite portion du ciel. En vertu de cet échange de chaleur, la température marquée par le thermomètre focal variera avec le temps; je la désignerai par v au bout du temps quelconque t ; et pendant l’instant dt, l’augmentation de chaleur de ce corps d’un très petit volume, qui résultera de l’échange dont il s’agit , pourra être exprimé par

* (<7 — v)dt -4- S (s — v)dt ,

d'après ce qu’on a vu dans le n° 36. On représente ici par q une certaine température dépendante de celles de toutes les molécules d’air comprises dans la colonne atmosphérique, et qu’on peut regarder comme une moyenne de ces températures inégales; par a une quantité qui dépendra du nombre de ces molécules, de leurs densités, de' leurs .pouvoirs émissifs, et de l'absorption que la chaleur aura éprouvée eu allant de chaque molécule au thermomètre; par s la température stellaire, correspondante à la direction OE (n° 196); par S une quantité dépendante de l'absorption de la chaleur, soit dans l’éther, soit dans toute la longueur de la colonne atmosphérique; les deux cocfliciens a et £ sont, en outre, proportionnels au ppuvoir absorbant du thermomètre d'après l’état de sa superficie , et à l’étendue de la surface ré-

fléchissante ou au carré de la distance focale OF ; on les regardera

comme indépendans des températures.

Si l’on désigne par n la température de l'air en contact avec le thermomètre , ce corps éprouvera aussi pendant l’instant dt , une diminution de chaleur exprimée par le produit y(v — r\)dt , dont le facteur y est proportionnel à l'étendue de sa surface et au pouvoir refroidissant du fluide. L’augmentation de chaleur , positive ou ucgative, qu’éprouvera le thermomètre pendant cet instant dt , sera donc

a (q — v)dt- f- £(f — v)dt — .y (y — » )dt\ *

quantité qu’il faudra égaler à zéro, pour déterminer la température finale à laquelle l’instrument parviendra plus ou moins rapidement , et que nous désignerons par u ; par conséquent, nous aurons

Les deux quantités y et x ne changeront pas avec la direction de l’axe OE. Si l’on fait tourner cette droite autour de la verticale Oa, sans que l'angle EOz varie, la longueur et la constitution de la colonne atmosphérique dont cette droite OE est l'axe, resteront les mêmes; et, conséquemment, les trois quantités*, S, q, ne varieront pas non plus. Mais si la température s varie sensiblemeut avec la direction de la droite OE a laquelle elle répond, la température u variera également; de sorte que si l’on représente par u' et s' ce que u et ^deviennent pour une seconde direction de OE, qui faille mêmeangle que la première avec la verticale, on aura

. “1 +£t' + rv.

et de. cette équation, jointe à la précédente, on déduira

sf— s= f (« -f-€ + >)(«'— «)•

Toutes choses d’ailleurs égales, les différences / — s et m' — « seront donc proportionnelles l’une à l’autre; la première surpassera toujours la seconde; et si la seconde est sensible, on en conclura, avec certitude, que la température stellaire f n’est pas égale dans toutes les régions du ciel. Telle est donc l’expérience que je propose pour

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décider cette question dont on a vu toute l'importance dans la théorie des températures de la terre. C’est aux physiciens à juger si elle est praticable, et quel succès on en peut espérer. On pourrait remplacer le thermomètre placé au foyer du miroir par l’instrument beaucoup plus sensible, dont M. Melloni a fait usage dans ses belles expériences sur la transmission de la chaleur rayonnante à travers différentes matières, diaphanes ou opaques (*).

( 199). Cette expérience est, au reste, tout-à-fait analogue à celle que l’on a déjà tentée pour rendre sensible l’échange de chaleur rayonnante entre la terre et l’atmosphère, et l’inégalité du rayonnement des diverses colonnes atmosphériques, à raison de leur différence de longueur.

Supposons, en effet, que l’on change l'angle EO2 que fait l'axe OE du miroir avec la verticale Oa; les températures u, q, s, et les coefliciens « et € changeront aussi; et si l’on désigne par K> a<> ce qoe deviennent ces cinq quantités, on aura

Dans l’expérience que nous rappelons, on emploie un très fort miroir concave, dont la distance focale OF est fort grande par rapport au rayon du thermomètre ; ce qui permet de négliger y dans u et ut, relativement à a. et £, ou à et, et £,; on suppose aussi implicitement que le rapport de £, à a, reste le même que celui de £ à a; au moyen de quoi l’on a plus simplement

u = J'q -j- (1 — <f)r, u 1, = Sç, -h (1 — en faisant, pour abréger,

Mais nous ignorons si cette fraction J' diffère peu de l’unité ; nous

(*) Depuis l’impression du n° i5 de cet ouvrage , où «ont mentionnées les premières recherches de M. Melloni, l’auteur les a continuées et a été conduit à de nouveaux résultats, non moins intéressons .que ceux qu'il avait d’aboid obtenus. I, 'ensemble desea travaux a été l’objet d'un excellent rapport qucM. Piot a Tait à l'Académie , et que l’on trouvera en note à la fin de cet ouvrage.

ne savons pas non plus si les températures J et dont les grandeurs absolues nous sont inconnues, peuvent être négligées par rapport à 7 et q/, par conséquent, les équations précédentes ne sauraient faire connaître les valeurs de 7 et 7,, d'après les températures observées u et ur Toutefois, en ne négligeant pas s et st, mais eu faisant seulement abstraction de la différence r, — s , 011 aura

ce qui montre que les deux quantités 7, — 7 et u, — u seront de même signe et proportionnelles l’une à l’autre.

D’après les températures moyennes que 7 et 7, représentent , il est aisé de concevoir que la différence 7, — 7 sera positive et atteindra son maximum relativement à toutes les directions de la droite OE, lorsque la direction à laquelle répond ql sera horizontale , et qu’au contraire 7 répondra à la direction verticale. Dans ce cas, la différence u,—~u donnée par l'observation, doit donc être aussi positive et la plus grande possible. L’expérience fait voir, effectivement, que la température marquée par le thermomètre focal s’élève quand l’axe du miroir passe de la verticale à une direction horizontale; et il parait qu’alors la différence, w, — u des deux températures est assez grande pour être facilement mesurée. On attribue à Wollaston cette observation intéressante, qui mériterait bien d'être répétée.

L'expérience fait aussi voir que la température u , correspondante à la direction verticale de l’axe du miroir, est notablement inférieure à celle qui est marquée dans le même lieu et au même instant par un autre thermomètre exposé au rayonnement de la terre et de l’atmosphère entière; de sorte que la température u s'élève quelquefois de plusieurs degrés , dès qu’on supprime le miroir POQ et le corps G ; ce qui tient à ce que la température de la terre, même pendant la nuit, et la température moyenne de toute l’atmosphère, sont l’une et l’autre supérieure, à la température moyenne de la colonne d’air verticale.

200). En admettant l'inégalité de température des différentes régions du ciel , il en résulte que la quantité de chaleur stellaire qui tombe à chaque instant, suivant toutes les directions, sur un élément de la surface du globe, change avec cet élément, et qu’en un même lieu elle change aussi avec l’heure de la journée.

Ainsi, en menant par le point 0 (fig. 14)» un plan tangent à la surface de la terre, on voit que l’élément qui répond à ce point ne recevra de chaleur stellaire que des étoiles situées d’un seul côté de ce plan indéfiniment prolongé. La partie du ciel avec laquelle cet élément sera en communication calorifique et la quantité de chaleur qu’il en recevra, changeront donc aux différentes heures du jour sidéral, pour redevenir les mêmes au bout de chaque intervalle de temps égal à un jour entier ; par conséquent , il en résultera une inégalité diurne dans la température de la terre près de sa surface; son amplitude, comme celle de toute autre inégalité diurne, décroîtra très rapidement à partir du point 0 sur la verticale Ojt; mais, de plus, si la température stellaire passe un assez grand nombre de fois, ce qui parait vraisemblable, au dessus et au-dessous de sa valeur moyenne pendant la durée du jour entier, l'amplitude des inégalités diurnes à la surface même sera très, affaiblie par ces alternatives (n* ig5); par conséquent, la différence de température des diverses régions du ciel, qui ne peut déjà donuer lieu à aucune inégalité annuelle dans les températures de la terre, u’y produira non plus que de très faibles inégalités diurnes, dont on pourra faire abstraction.

Deux élémens de la surface du globe, situés sur un même parallèle, recevront des quantités égales de chaleur stellaire pendant la durée entière d’un jour sidéral; mais il n’en sera plus de même pour deux élémens qui répondront à des latitudes differentes, et, particulièrement , quand l’uue sera australe et l'autre boréale. Une partie des étoiles qui enverront de la chaleur à l'un des deux élémens, n'en enverront jamais à l'autre; ce qui aura lieu, par exemple, pour toutes les étoiles à l’égard des élémens situés aux deux pôles. Il suit de là que les quantités de chaleur stellaire reçues pendant chaque jour sidéral, par les surfaces entières des deux hémisphères, pourront être différentes l'une de l'autre ; le cas de leur égalité serait même tout- à -fait invraisemblable; et de leur différence , il résultera que les températures moyennes des deux hémisphères devront être inégales, toutes choses d'ailleurs égales.

On suppose, en général, la température moyenne de l’hémis-

phère austral inferieure à celle de notre hémisphère ; la différence pourrait donc provenir, en partie, de ce que le premier hémisphère recevrait moins de chaleur stellaire que le second. Ces deux parties du globe reçoivent pendant chaque année des quantités à peu près équivalentes de chaleur solaire; mais elles n’absorbent pas cette chaleur en même proportion , à cause de la nature différente de leurs surfaces, résultant de ce que la partie recouverte des eaux de la mer est plus grande au-delà de l’équateur que de notre côté; et par la même raison , le pouvoir rayonnant n’est pas non plus le même pour les deux hémisphères. Cette différence de l'état de leurs superficies, peut aussi contribuer à l’inégalité de leurs températures moyennes; caron sait qu’en général, les corps exposés aux rayons du soleil s’échauffent inégalement , quand leurs surfaces ne sont pas de la même nature. Nous reviendrons sur ce point dans- la suite.

(aoij. Après tous ces détails sur la chaleur stellaire, nous devrions maintenant nous occuper de la seconde source de chaleur d’où dépend la température extérieure , c’est-à-dire, de la chaleur atmosphérique (n" xg5); mais auparavant , il est nécessaire de considérer la température marquée par un thermomètre exposé à l’air libre et situé dans l’atmosphère, à une hauteur quelconque audessus de la surface de la terre.

On supposera que la boule du thermomètre soit une sphère d’un très petit rayon , que l’on représentera par i. Ce petit corps preudra à chaque instant la même température dans toute sa masse ; au bout du temps t, on désignera par v cette température variable. On supposera aussi que sa surface soit partout dans le même état. La couche d’air en contact avec cette surface, conservera,' en se renouvelant sans cesse, une température constante qui sera désignée par r, comme plus haut. La quantité de chaleur enlevée par cet air au thermomètre pendant l'instant dt, aura alors 4 »<*>(** — >i )dt pour expression ; y étant la mesure du pouvoir refroidissant de ce fluide.

Soit T (fig. 16) le centre de cette boule; de ce point T, abaissons uue perpendiculaire sur la surface AOB de la terre, qui la rencontre en 0; et faisons TO = h. Appelons l le rayon CO de la terre, La hauteur h sera toujours très petite par rapport à /; mais

DE LA CHALEUR. 44g

on supposera que cette élévation du thermomètre soit aussi toujours très grande par rapport à son rayon « ; en sorte que l’instrument ne sera ni en contact avec la surface de la terre, ni même à une hauteur h de quelques millimètres, si le rayon «est, par exemple, d’un millimètre.

Concevons un cône tangent à la fois à la surface de la terre et à celle du thermomètre, qui aura son sommet D au-dessus du point T sur le prolongement de la verticale OT, et qui sera représenté par ADB dans la figure. Soit K un point de l’atmosphère, situé en dehors de ADB, à une distance du point T assez grande par rapport à e pour que l'on puisse regarder à très peu près comme un cylindre, le cône tangent à la surface du thermomètre et qui aurait sou sommet au point K. On pourra en même temps considérer la portion de cette surface comprise dans ce cône, comme étant aussi à très peu près égale à la moitié de la surface entière, on à a tté*. Il y aura échange continuel de chaleur entre cet hémisphère et la portion d’atmosphère , de grandeur insensible, qui répond au point K; et de cet échange, il résultera pour le thermomètre une augmentation de chaleur pendant l’instant dt, que l’on pourra représenter par le produit vnt'Za P(p — II) dt, en désignant par <r le volume de la petite portion d’air que l’on considère, par n sa température, par P une quantité dépendante de sa densité, de son pouvoir cmissif et de l’absorption que la chaleur épronve dans le trajet de K à cet instrument, enfin par € une constante donnée, dont la valeur est proportionnelle au pouvoir absorbant de sa surface. Donc en représentant par ivrt'ÇEth, l’augmentation totale de chaleur du thermomètre, provenant de l’échange avec toutes les molécules de l’atmosphère, la valeur de E sera donnée par l’intégrale de la quantité a P (v — n), où l’on remplacera a par l’élément différentiel du volume, et que l’on étendra à tous les points K situés en dehors du cône ADB, en négligeant pour plus de simplicité, la portion d’air comprise entre AOB et l’instrument, qui est toujours très petite par rapport à la partie supérieure à ADB.

Si l’on désigne par r le rayon vecteur TK du point K, par S l'angle zTK qu’il fait avec la verticale T z, et par 4 l’angle compris entre le

45o théorie mathématique

plan, de ces deux droites et un plan fixe mené par la seconde , on aura

cr= r*sin8<fr<f3<f4*

Les deux quantités P et n seront des fonctions de r e 10, qui dépendront aussi de l’angle 4» lorsque le soleil étant sur l’borizon ou très peu au-dessous , échauffera et dilatera inégalement les parties de l’atmosphère autour de Tz. Soient encore X une fonction de 9 qui représentera la longueur de l’atmosphère suivant la direction TK, et j 7T -f- cf l’angle constant zTA ou zTB. Los limites de l'intégrale triple de — n) seront rs=oetr=X, 6 = oet 9 =±7f -{-<?, 4 = 0 et 4 = par conséquent, si l’on fait, pour abréger,

fi* ’ * 7TC/I* pr,<fr)8in = p*

y'1*+ fo (/‘Pnr-rfr)sinG^4=/^,

la valeur de E sera

et dans celte valeur, is exprimera une température moyenne de toutes les molécules atmosphériques situées au-dessus du cône ADB. L’angle S sera toujours très petit; quand la hauteur £ ne sera pas très considérable, on pourra négliger tout-à-fait cet angle, et considérer ADB comme un plan horizontal. A la rigneur, les intégrales relatives à r ne devraient pas s’étendre aux points K dont les distances au thermomètre ne sont pas très grandes relativement à son rayon «, et pour ces points l’échange de chaleur devrait être calculé différemment ; mais, vu la petitesse supposée de t, il n’est pas nécessaire d’avoir égard à cette différence.

Pour tenir compte de l’échange de chaleur entre le thermomètre et les étoiles, il est évident qu’il faudra ajouter au produit xrt‘GEch, une autre quantité semblable. Je la désignerai par 3 7re*£EWt; et la valeur de E' pourra être représentée par

DE IA CHALEUR. 45r

ta? étant nne température moyenne de la partie de l’enceinte stellaire, située au-dessus du cône ADB, et p un coefficient qui dépendra de l’absorption que la chaleur émanée des étoiles aura éprouvée successivement dans l'éther et dans l’atmosphère.

Maintenant , soient M un point de la portion AOB de la surface de la terre , et co l’élément de cette surface qui répond au point M. Si l’on conçoit un cône qui ait son sommet en ce point et qui soit tangent à la surface du thermomètre, la portion de cette surface comprise dans ce cône sera à très peu près celle d’un hémisphère et égale à airt*, à cause de la petitesse du rayon t, par rapport à la distance MT. 11 y aura échange de chaleur entre tous les élémens de cette demi-surface du thermomètre et l’élément a»; l’augmentation de chaleur qui en résultera pour l’instrument pendant l'instant dl, aura d’abord pour facteur air t‘Sdt, comme dans les échanges que l’on vient de considérer, et la quantité 6 sera la même que précédemment, puisque, par hypothèse, l'état de la surface du thermomètre ne change pas dans toute son étendue. Quant au second facteur de cette augmentation de chaleur, il se composera de trois parties distinctes, dont l’nne proviendra de la chaleur émise par la terre à travers u et les deux autres résulteront de la chaleur atmosphérique et de la chaleur stellaire réfléchies par cet élément. Pour former la somme de ces trois parties ou l’expression totale de ce second facteur, soient C le centre de la terre , et MN le prolongement de CM, ou la normale extérieure en M; menons dans le plan de MN et de MT une troisième droite MH , telle que MN coupe l’angle 1IMT en deux parties égales ; faisons

MT = j, NMT = <p;

et observons que toutes les droites qui vont du point M au thermomètre sont sensiblement égales et parallèles à MT. D’après le chapitre II , le second facteur dont il s'agit anra pour expression

[a (u-o) + (i — «)p (J,— v) .+ (?—«>' {,— »!fl, et l’augmentation de chaleur à laquelle il appartient sera , en

45a THÉORIE MATHÉMATIQUE

conséquence

On néglige ici l’absorption de la chaleur par l'air, dans le trajet de a au thermomètre; ce qui est permis lorsque 1 élévation h de l'instrument au-dessus de la surface de la terre n’est pas très considérable. On représente paru la température de cette surface au point M, par et la fraction de la chaleur rayonnante que l’élément a» laisse passer sous l'angle <p d’incidence, et conséquemment par i — -a la fraction qu’il réfléchit sous le même angle; q , est une température moyenne de la colonne d'air qui va , suivant la direction MH, de l'élément t» aux limites de l’atmosphère , et st la température stellaire correspondante à cette direction ; le coefficient p dépend des lois de la densité et du pouvoir émissif de l’air, et f1 de l’absorption qui a lieu dans l'éther et dans l’atmosphère, suivant cette même direction MH.

Pour déduire de la formule précédente l’augmentation de chaleur du thermomètre résultant de l’échange de chaleur entre cet instrument et tous les élémens de la portion de surface AOB , il faudra remplacer o> par l'élément différentiel de cette surface, puis intégrer dans toute son étendue. Soient donc 8 l’angle MCO, et 4/ l’angle que fait le plau de MCO avec un plan fixe passant par CO; on aura

u = Z*sin W8<f4’

Soit aussi fi l’angle ACO ou BCO, c’est-à-dire le complément de l'angle que les arêtes du cêna AD B font avec son axe DC; les limites de l’intégrale seront 4 =0 et 4 = air> ® — 0 et 0 = fi. Si donc on suppose que la température u et la nature de la surface ne changent pas dans l’étendue de AOB, et si l'on considère la fraction « comme indépendante de l'angle f, l’intégrale aura pour valeur

m'Ut [«(m — o) -f-(r — a) />,(«,— e)-4- (i —«)/>,'« — *)]» où l’on a fait, pour abréger.

>> l’ cos ® sio SdS

»» l'f cos 9 sin èrlSdj'

» cosÿ sin (dld<}>

/»/’»»■ /','cos 9 sin IcFld'r

/« p »» cos ç sin tdtd’i’

— nrp'B, , =

= i7rp'<v\

Les quantités «s r( et <ar' seront des températures moyennes distinctes de 'sr et <at’, quoiqu’elles répondent anx mêmes parties de l’atmosphère et de l’enceinte stellaire, c’est-à-dire aux parties situées audessus du cône ADB ; et les coefliciens p, et p] ne seront pas non plus les mêmes que p et p'.

On déterminera les valeurs de y et cos ip en fonctions de 6 , au moyen des équations

y' — p ( l -f- A)* — zl(l + h) cosQ , y cos <p = ( l + h) cos 0 — - / ,

qui sont faciles à former. On en déduit

cos 9 (f + à) cos 9 — l

J [/• 4. (I -f. hp— a/ (/+ S)cos6]’

on a d’ailleurs

(l -f h) cosp = l,

en prenant Z-fAau lieu de Z-f-A + e; et d’après cela on trouve

Tous ces détails étaient nécessaires pour parvenir à l’expression complète de l’augmentation de chaleur du thermomètre à chaque instant. S’il est placé à l’ombre et qu’il ne reçoive aucun rayon solaire, ni directement, ni par réflexion, il résulte de tout ce qui précède que la variation de sa quantité de chaleur pendant l’ins-

tant dt, sera

Tt‘dt[iÇp (<w — v) •+• a Sp' (V — v) — 4>( v — ji)

+ «£=(«— «J +(i — a)gpl («■,— e) -+- (1 — a) &p\ — *»)].

En l’égalant à zéro, on déterminera la température invariable que l’instrument atteindra finalement et que je désignerai par Ü, de sorte que v — U rende nulle la quantité précédente. De celte manière, on aura

Il C [«*» + a y* 4- a/aV' -Mi — ■)(/>.»•, + P !"',)] -4-

C[«* -f 2p + y>' + (I — *) Cp, H- p/jj + l\y\ ’ ' '

pour l’expression générale de la température marquée par un thermomètre exposé à l’air libre et au rayonnement de la terre.

(aoa). Cette formule met en évidence les divers élémens qui peuvent influer sur la valeur de U; et quoique la plupart des quantités qu’elle contient ne nous soient nullement connues, on en peut néanmoins déduire plusieurs conséquences générales.

Les vents et letat de l’atmosphère, plus ou moins chargée de nuages, influent sur la valeur de U : les vents, en amenant un air plus froid ou plus chaud au-dessus de l’horizon , font varier les températures «r, <&,, a, qui entrent dans la formule (8); les nuages augmentent les températures <tr et en interrompant l'échange de chaleur entre le thermomètre et les régions les plus élevées de l’atmosphère, qui sont aussi les plus froides, et le remplaçant par un échange entre les nuages et l’instrument; par la même raison, ils augmentent la température u de la terre pendant la nuit ; mais pendant le jour ils la diminuent en interceptant une partie des rayons du soleil. C’est 4 raison de ces causes variables et irrégulières, que la moyenne annuelle des valeurs de U diffère quelquefois d'un ou deux degrés, d’une année à la suivante, comme on le verra plus loin.

La valeur de U est , comme on l’a vu , indépendante du rayon t de la boule; il influe seulement sur la vitesse avec laquelle l’instrument indique les variations de température , et qui est en raison inverse de la grandeur de i, toutes choses égales d’ailleurs.

On voit aussi que quand la hauteur h du thermomètre au-dessus

de la terre, n'est pas très grande, elle n’influe pas sensiblement sur la valeur de U; car la valeur de s est alors à très peu prés égale à l’unité; chacune des intégrales que pt, p', plsrl , />',<»•/, représentent, est aussi à peu près indépendante de h , comme celle qui est désignée par z; et l’on peut négliger l’angle J', dépendant de h, qui entre dans les limites des intégrales représentées par p et p<®\ Si donc on excepte les cas particuliers où la température » de l’air même, varie sensiblement à de petites distances du sol, comme dans les phénomènes du mirage et de la rosée, un thermomètre élevé d’un décimètre, par exemple, ou de plusieurs mètres au-dessus de la terre, marquera la même température; ce qui est conforme à l’expérience. Toutefois, on ne doit pas oublier que la formule (8) n’a plus lieu quand l’instrument est en contact avec la terre , on seulement élevé à une hauteur qui n’est pas très grande par rapport au rayon i de la boule; en sorte que très près du contact, il n’est pas impossible que la hauteur h influe sensiblement sur la température U.

Lorsque la hauteur h est très grande , elle n’influe pas encore beaucoup sur la valeur de U , parce que celte hauteur est toujours très petite relativement au rayon de la terre. A une hauteur de 5ooo mètres, par exemple, la quantité z, qui est l’unité quand h= o, ne se trouve diminuée que d’environ un quatre-vingtième ; et de même, les autres intégrales contenues dans la formule (8) ne varient aussi que d’une petite partie. Mais la température n décroît considérablement à ces grandes hauteurs, et, par conséquent aussi, la valeur de U. De plus, il n’est plus permis de négliger, comme nous l’avons fait, l’absorption de la chaleur par l’air entre la terre et le thermomètre. L’effet de cette absorption doit être de diminuer l’influence de la chaleur du globe sur la température U, à mesure que l’on s’élève au-dessus de sa surface, et, peut-être, de la faire disparaître entièrement à de très grandes élévations. Il résulte de là que deux thermomètres également élevés au-dessus du niveau des mers, en dos lieux où la température x serait supposée la même, mais l’un isolé, en ballon, par exemple, et l’autre près de la surface du sol ; il s'ensuit, disons-nous, que ces deux thermomètres ne marqueront pas cependant la même température U, à raison de l’iufluence inégale du rayonnement de la terre sur ces deux instrumens. Les ob-

servations très nombreuses que l’on a faites à des hauteurs, au-dessus du niveau des mers, très grandes et très inégales, mais à de petites distances du sol, ne sont donc pas propres à faire connaître la loi du décroissement de U qui a réellement lieu dans l'atmosphère pour un thermomètre isolé. Jusqu’à présent la seule expérience concluante, d’où l’on puisse déduire la grandeur de ce décroissement , est celle que M. Gay-Lussac a faite à Paris en 1804. La hauteur à laquelle il s’est élevé en ballon a été de 6980 mètres. C’était un jour d’été : le thermomètre près de la surface de la terre marquait 3o®,75; à cette hauteur de 6980 mètres, il s’est abaissé à — 9*,5o, c'està-dire, de 4o”*a5 ; ce qui donne un décroissement moyen d’à peu près un degré pour 1 7 1 mètres. Nous ignorons si le décroissement de U sur chaque vertical est uniforme ; nous ne savons pas non plus s’il change avec la latitude et dans les différentes saisons.

A raison de la quantité € contenue dans la formule (8) , la valeur de U dépend de l'état de la surface du thermomètre ; mais elle ne croit pas toujours avec le pouvoir absorbant de cette surface. Si nous faisons , pour abréger,

a.zu + 2 pur -+- ap'-sr' 4- (1 — *) (/>,«■, 4- /»/•/) = 4«> az 4- a/> 4- ap' 4- (1 — *) ( P , + p,') — \b, la formule (8) pourra s’écrire ainsi

jt (a + yi

En la différentiant par rapport à 6, et observant que le coefficient y est indépendant de l’état de la snrface, de sorte qu’il ne varie pas avec £, on aura

dU y (a — A»)

dC — (Zb + ry :

ce qui montre qu’elle croîtra ou décroîtra avec S, selon que la quantité a — but sera positive ou négative; et comme on a aussi

Z(a — in) Cb+r ’

cela revient à dire que U croîtra ou décroîtra avec le pouvoir absor-

bant du thermomètre, selon que cette température sera plus haute ou plus basse que », qui est celle de l'air environnant. Dans le cas

de bn — a = o, ou de » = la valeur de U sera indépendante de G et égale à celle de ».

L’inégalité des températures marquées simultanément par des thermomètres dont les surfaces sont dans des états différens , fournit uu moyen de déterminer la température » de l’air environnant; mais il faut pour cela employer trois thermomètres, et non pas deux seulement, comme on a coutume de le dire. L'expression de U renfermant deux quantités a et b, qui ne nous sont pas connues, il faut d’abord deux observations pour les éliminer, et ensuite une troisième pour obtenir la valeur de ». Soient donc G, G', G1', des quantités proportionnelles aux pouvoirs absorbans des trois thermomètres, et U, U', U", les températures marquées au même instant par ces trois instrumeos. On aura , à la fois,

U ( Gb ■+■ y) = Ga -f- J'»,

U "(Cb + y) = G"a + >»;

et par l’élimination de a et de b , on eu déduit

Cf* U' (ü — ü*) 4- C'CÜ* (U' — V) + CT U (U* — ü')

* “ o* (ü — u*) + ce (U' — ü) + c v (U* — V’) K

Pour faire usage de cette formule , il faudra connaître avec précision les rapports numériques des trois constantes G, G', G", et mesurer dans chaque cas, aussi exactement qu’il sera possible, les trois températures U , U', U". Si le pouvoir absorbant de l’un des trois thermomètres est nul ou très faible , et que ce soit celui dont U est la température, on aura simplement » = U , comme il résulte immédiatement de la formule (8). 11 en sera de meme, quand on aura rendu très grand le pouvoir refroidissant de l’air, en agitant fortement le thermomètre (n* 3g); ce qui permettra de négliger, dans cette formule, G par rapport à y. Dans un grand nombre de questions, comme le calcul des réfractions et celui des quantités de vapeur contenues dans

l’air, c’est la température même de l’air, c’est-à-dire la valeur

de a et non pas celle de U, qu’il est nécessaire de connaître.

Cette formule (8) suppose le thermomètre placé à l’ombre. Mais il est facile de l’étendre au cas où les rayons du soleil tombent sur l'instrument directement ou par réflexion. Le rayon de la boule étant toujours très petit , la quantité de chaleur solaire qu’elle reçoit pendant l’instant dt pourra être représentée par un produit 4 ars\f g dt, dans lequel est la mesure du pouvoir absorbant du thermomètre, relativement a la chaleur solaire, et g la mesure de l’intensité de cette chaleur direote et réfléchie, au lieu où l’instrument est placé. Il faudra donc ajouter ce produit à l’augmentation de chaleur du thermomètre, que l'on a déterminée dans le numéro précédent*, et, par suite, il faudra ajouter 4 J’g au numérateur de la formule (8). Donc, si l’on appelle / l’élévation de la température marquée par cet instrument, en passant de l’ombre au soleil, on aura toutes choses d’ailleurs égales ,

Pour un second thermomètre, observé dans le même lieu, mais dont la surface-sera dans un état différent, si l’on représente par f , S' , Ç , ce que deviennent les trois quantités f,S', 6, relatives au premier, on aura de même

J —Cb + y

De ces deux équations, on déduit

r (r-*)yç+(i-C-K)bg J J— (Cb+y)(Cb + V)

Or, si les pouvoirs absorbans d’une même surface sont égaux, pour la chaleur solaire et pour toute autre chaleur rayonnante , ou bien s’ils sont diflërens , mais qu’ils croissent dans un même rapport en passant

d’une surface à une autre, on aura = ^ , ou — (fê'sœo, et, par

conséquent ,

f' — f— (<r — ^ yg .

DE LA CHALEUR. 45g

ce qui montre que dans cette hypothèse, c’est le thermomètre qui a le plus grand pouvoir absorbant, qui s’élève aussi le plus dans le passage de l’ombre au soleil. 11 en sera de même, à plus forte raison,

si l’on a gr > g ;maisie contraire pourrait arriver, si l’on avait gr < g.

On peut remarquer que dans le vide où l’on a y — o, les températures marquées par tous les thermomètres , s’élèveraient également par l’effet de la chaleur solaire, quel que fût l’état de leurs surfaces, dans le cas où leurs pouvoirs absorbans varient suivant un même rapport pour les deux sortes de chaleur rayonnante.

(ao3). La détermination de la température propre de l’air en un point et à un instant quelconque est liée à celle des mouvemens que l’inégalité de cette même température , en passant d’un point à un autre, produit dans l’atmosphère , soit dans le sens vertical, soit parallèlement à la surface du globe. Cette double détermination est un problème de la plus grande difficulté, dont les géomètres ne se sont point encore occupés. Dans l’état d’équilibre, on déduit aisément les lois des densités et des pressions , le long de chaque colonne verticale , de l’hypothèse que l’on fait sur la loi des températures. On peut ensuite vérifier cette hypothèse par la comparaison des formules, soit aux hauteurs barométriques mesurées à différentes distances de la terre , soit aux réfractions astronomiques observées à quelques degrés audessus de l’horizon. Mais il y a deux conditions auxquelles les températures de l’air doivent toujours satisfaire, et qui sont relatives aux deux extrémités de chaque colonne atmosphérique.

A l’extrémité inférieure, l’air en contact avec la surface de la terre, doit prendre une température moyenue égale à celle de cette surface, c’est-à-dire, à la moyenne des températures marquées pendant un long intervalle de temps, par un thermomètre très peu enfoncé dans la terre. A mesure que l’on s’élève , la densité et la pression diminuent ; mais pour que l’atmosphère se termine, il faut que sa force élastique décroisse dans un plus grand rapport que sa densité, afin que cette force soit tout- à-fait nulle à l’extrémité supérieure où la densité, quelque faible qu’on la suppose , doit encore exister. De là vient la nécessité d’un décroissement de la température qui s’ajoute à celui de la densité. Par suite de ce décroissement, la température, à l’extrémité

46o théorie mathématique

supérieure , doil être telle que l’air n’ait plus aucune tendance à se dilater, et soit réellement à lelat liquide. Or, une pareille température doit être extrêmement basse et beaucoup plus encore que celle qui serait nécessaire pour liquéfier l’air à la surface de la terre; car il y a lieu de croire que la température à laquelle un gaz devient liquide, est d’autaut plus basse que sa densité est moins grande. Ainsi, pour fixer les idées, on peut se représenter une colonne atmosphérique qui s’appuie sur la mer, par exemple, comme un fluide élastique terminé par deux liquides, dont l’un a une densité et une température ordinaires, et l’autre une température etune densité excessivement faibles.

L’égalité des températures de la terre à sa surface et de la couche d’air inférieure, n’a lieu qu'entre leurs valeurs moyennes et non pas entre leurs valeurs variables. Pendant le jour, la terre s’échauffe plus rapidement que l’air , parce quelle absorbe la chaleur solaire en grande quantité et l’air très faiblement, de sorteque la température de ce fluide ncselèvcsensiblemeut que par son contact avec la terre déjà échauffée. Au contraire, pendant la nuit la faculté de rayonner étant très faible pour l’air par rapporta celle de la terre, l’échange de chaleur avec les couches supérieures de l’atmosphère , refroidit la terre plus rapidement que la couche d’air inférieure dont la température ne s’abaisse principalement que par le contact de la terre. Cëst, comme on sait , sur cette inégalité de rayonnement qu'est fondée l'explication du phénomène de la rosée que M. Ch. Wels a donnée, et que nous placerons ici en peu de mots , comme un complément de ce qui vient d’être dit.

Le soleil étant au-dessous de l’horizon , et le ciel sans nuages, supposons que la terre et les corps posés sur sa surface aient d’abord la même température que l’air jusqu'à une hauteur de dix mètres, par exemple. Par le rayonnement, ces corps se refroidiront plus ou moins rapidement ; et bientôt , ils auront des températures inférieures à celles de la couche d’air, et d'autant plus basses que leurs surfaces seront plus rayonnantes. Par le contact avec ces corps, et aussi par le rayonnement , la couche d’air inférieure se refroidira , de manière que sa température sera croissante de bas en haut, dans cette hauteur d’une dixaine de mètres; en même temps, sa densité sera décroissante dans le même sens, de telle sorte que sa force élastique ne varie pas sensiblement et qu’elle puisse demeurer en repos. Or, on sait que la quantité de va-

DE LA CHALEUR. 4tJi

peur qui peut être contenue dans l’air ne dépend pas de sa densité, et diminue avec sa température ; celle que renfermait d’abord cette couche d’air, si elle approchait beaucoup de son maximum, se précipitera donc à l’état liquide, et formera la rosée qui se déposera en plus grande abondancesurles corps les plus rayonnans. La portion de vapeur qui restera dans cette même couche augmentera de bas en haut, à raison de l’accroissement de température ; par conséquent , si l’on élève un de ces corps refroidis, ou bien si l’on suspend dans la couche d’air dont il s’agit, d’autres corps qui se refroidissent par le rayonnement, il s’y déposera une nouvelle rosée, d'autant plus considérable que ces corps seront plus élevés.

Le phénomène de la rosée n’aura plus lieu , ou sera beaucoup diminué , lorsque l’atmosphère sera chargée de nuages qui interrompent l’échange de chaleur rayonnante avec les couches les plus élevées. Il ne se produira pas non plus , ou se produira faiblement sur les corps, comme les métaux polis, dont le rayonnement est très faible ; mais si une plaque métallique est posée sur la terre refroidie par le rayonnement nocturne, celte plaque se refroidira par le contact avec la terre, et la rosée pourra se déposer sur sa face supérieure.

(ao4). La température U marquée par un thermomètre exposé à l’air libre près de la surface de la terre, est l’élément le plus important de la Météorologie. C’est à cette température qne nous vivons , et que la végétation se développe en dehors de la terre ; sa valeur moyenne , pour chaque mois de l’année, nous sert à comparer les saisons sous le rapport calorifique. La moyenuc de l’année entière, que je représenterai par V, déterminera la différence des climats, par l’inégalité de ses valeurs dans les différentes régions du globe.

En un même lieu , cette température U varie à toutes les heures du jour et de la nuit. Une longue expérience a fait voir que c’est, en général, à l'instant du lever du soleil , quelle est la plus basse, et quelle atteint sa plus grande élévatiou vers trois heures après midi. Pour connaître la moyenne de la journée entière, il faudrait observer la valeur de U un grand nombre de fois, par exemple d’heure en heure, et diviser par a4 la somme des températures observées; mais on a aussi reconnu que la moyenne obtenue de cette manière diffère peu, en général, de celle que l’on trouve bien plus facile-

4(j3 THÉORIE MATHÉMATIQUE

nient en prenant la demi-somme des valeurs maxima et minima. En formant ainsi les moyennes de tous les jours de chaque mois, et divisant leur somme par le nombre de ces jours, on a les températures moyennes des douze mois de l’année, puis en divisant leur somme par la, on a la température moyenne V de l’année entière. Mais comme la température U est soumise à une foule de variations accidentelles, dues à l'état du ciel et à d’autres causes , il est nécessaire, pour avoir la véritable température de l’année ou d’un mois déterminé , de prendre encore la moyenne de leurs valeurs obtenues pendant plusieurs années consécutives. Cest ce qu’a fait M. Bouvard , en employant d’abord à la détermination de ces moyennes les températures observées à Paris, depuis 1806 jusqu’à 1826 inclusivement. La moyenne annuelle déduite de ces vingt-une années d’observations, a été de io°,8i4- Depuis la publication de son Mémoire (*) , M. Bouvard a étendu ses calculs aux huit années écoulées depuis 1826 jusqu’à i854; il a trouvé alors io°,8a2 pour la moyenne annuelle, conclue des observations des vingt-neuf dernières années. I<e peu de différence qui existe entre ce résultat et le précédent , montre que cette moyenne est maintenant bien déterminée; eu sorte qu’à Paris , la température climatérique V a pour valeur

V = io*,8aa.

Voici les résultats de ses derniers calculs, que M. Bouvard a bien voulu me communiquer , et qui n’ont point encore été publiés.

(*) Mémoire) de l Académie dei Science), tome VII.

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