II
Q, = 37^7- {[F'(c)E(c,<p)— E’{c) F(p,«p)] (a 4- sin» cos> sin^
4- (a — sin»cos^E’(c) — (a ços*} cos*/»4-sin<} sin/t tangw) F'(c)}.
A l’égard des quantités Q,,, Qu/, etc., il nous suffira de connaître une limite de leurs valeurs. Or, en intégrant par partie, on a
*. * * . *.n— v* ai * t. , 1 » .. ' .
• — If\i I), ( || I r
l’expression générale de Q, peut donc se changer en celle-ci :
^ y. L Tp . s ) n*y tin aie* i ’w v' ' "
Q 1 o L*V co»> — sin’j-.inV
(cOs SiV* cos v 4- afsin 21V ï\tiv) «in> sin’y' — . (41« — «a •
Q cos vdv j
mais si l’on met dans cette formule l’unité au lien de sin aiV et cosaiV , et qu’on y change le signe du terme divisé par A , il est évident quelle sera augmentée en grandeur absolue; on aura donc, abstraction faite du signe.
pi n’y sin v cos v dv l/ co»> — sin’ysinV
as sin*/» /* sin'y sin v cos v dv
sin’y oosVdv"
Les deux premières intégrales s’obtiennent par les règles ordinaires, et ont pour valeurs
— «■ sin*^ sin ^ co&v'dv
M " >iu / biu r vus r u y + \ IIP - t
7/ TTJT7 = cosft — Va»*/* — sm*>
0 y cos 'fi — stn*j. sinV r r- t
/•; » sin*y sinf' cos vdd i i t / sin«\~l
0 a »in^ L» \ cos yJJ
En fonctions elliptiques la valeur de la troisième est
*sin*y cos*/ dv
COS ft \ • J COS A*
ou bien , en vertu de la formule (17),
//'■“> = fgr t»)- :s? [F'W E(C,,) - E'FM)].
Pour tous les indices < differens de zéro, on aura donc fo <£ (cosf*- \Zcos>— sin>)+|^^V-/*-arC(COs=^)] + 47Îr7{tang^ sia‘>F' (c)— cos>[F'(cJE(c,î>)— E’(c)F(c,(p)]}. A l’équateur , où l’on a /& = o , on aura Q — “ E* (c) ,
Qc = [(> -t-cos*^^) — acos^F'(c)],
et généralement
Si l’on avait y = o , cette limite de Q, serait zéro; il faudrait doue que Q, le fût aussi ; ce qui résulte, eu effet , de la valeur de Q, du numéro précédent, quand on y fait /a=o et y = o. Le module c est tiny dans le cas de fx, = o ; en développant les fonctions elliptiques contenues dans la valeur précédente de Q(, suivant les puissances de c* ou de sin’y, on a
E*(c) = ’- — g sin 'y + etc. , F'(c) = \ + g sin*> + etc. ;
ce qui réduit aussi à zéro cette valeur de Q, dans le cas de y = o , et celle de Q à l’unité. Mais on a réellement
c s= sin j. = sina3°a8';
les tables de Legendre donnent , en logarithmes ordinaires , logE'(c) = 0,1779800, logF'(c) = o, a i4663g, et l’on en déduit
Q =r 0,95910, Q, = o,o4i3a, Qi < 7 (o,o5a65).
Si l’on prend pour p la latitude de Paris , on aura
H sb 48° 5o', y = a3* a8', <p=4i‘,io', c= ^ = «n37° 14';
et, d’a'près les mêmes tables,
d’oùj'on conclut
Q =r o, 6666a , Q( = o,ooa53.
DE LA CHALEUR; On aura, en même temps,
J(0,2ll45)+ 0,14720 4«* - I »
d’où l’on déduit
Q„ < 0,08070 , Q,„ < o,o5o8o , etc. ;
mais les valeurs de ces quantités sont encore beaucoup au-dessous de ces limites.
(217). L’expression de V changera de forme dans le cas des latitudes circompolaires , pour lesquelles on a > go° — y, la latitude fi étant toujours supposée boréale. D’après ce qu’on a dit dans le n“ 214» chacune des intégrales que contient la formule (i5) devra être divisée en cinq parties; <7 désignant, comme dans ce
numéro, l’angle aigu dont le. cosinus est , ces cinq parties auront pour limites zéro et ±yr — vt , — vt et jvr+u,, \yr~ \-v,
et Jvr — *>,, Î7r-^-^ et JttH-i», et jt; dans la pre-
mière , la troisième et la cinquième, l’angle 4, sera déterminé par l'équation ((2); dans la seconde, on aura 4, — 7r, et dans la quatrième , 4, = o. Ces intégrales se transformeront , comme dans le cas précédent, en fonctions elliptiques; mais l’expression de V qui en résultera étant très compliquée et sans applications utiles, je me dispenserai d’effectuer ces transformations en général, et je me bornerai à considérer les deux cas extrêmes qui répondent à c( = o et i>t =b [ yr.
Le premier cas a lieu quand on a pi = 90* — y , c’est-à-dire lorsque le point O appartient au cercle arctique , dont la distance au pôle nord est égale à l’obliquité de l’écliptique. La seconde et la quatrième partie de chaque intégrale s’évanouiront, puisque la différence au, des limites de chacune d’elles sera zéro ; les trois autres parties se réuniront eu une seule intégrale qui s’étendra depuis v' = o jusqu’à v = itt ; et dans toute cette étendue , la quantité 4, sera déterminée par l’équation (12), en y faisant jt= 90° — y, par conséquent, dans ce premier cas, la valeur de V s’exprimera encore par la formule (16) appliquée à cette valeur de u.
4ga THÉORIE MATHÉMATIQUE
On aura, pour cette valeur particulière.
Qi *in y /■; / . eos'y \ ...
= I ( I H r— r-r~, } CO S V dv ,
r J a \ i — sin’ y sinv / ’
Q4»iny/'â'f~ . , , ( i + asin’ v')co»’ y~l ...
. = - — - i — a sin* v — V,- - . , ' cosvWj
' * J o L. 3(i — wn,ysm*i/)-J
ou bien, en effectuant les intégrations indiquées,
Q = l ( sin y + cos ■> log ,
3» sin j.
^a — si n*^ •
(a 4- *>"’>) eos’y sin y
C’est aussi ce que l’on trouve, au moyen des expressions générales de Q et de Q, en fonctions elliptiques , qu’on a obtenues dans le numéro précédent ; car, dans le cas de /i = 90* — y-, on a
c= si, <P=?, E'(c) = i, E(c,<p)=sin>, F(c,<p)=log
ce qui fait disparaître de ces expressions de Q et Q(, la fonction F‘(c) qui deviendrait infinie, et les réduit aux valeurs précédentes de ces deux quantités.
L’autre valeur extrême jv de l'angle v, a lieu au pôle où l’on a fi = goa ; ce qui donne cosv, = o et v, = £ •*. Ce sont les première , troisième et cinquième parties de chacune des intégrales contenues dans la formule (i5) qui s’évanouissent, parce que les deux limites de chacune de ces parties sont égales. Dans la quatrième partie, on a 4/ =0, ce qui la fait également disparaître; dans la seconde, on a 4^ = 7r; et les limites étant 90° ±4 1 r, c’est-à-dire, zéro et^, il en résulte
V = ^ siny £ Ç’ sin v'dv' -f- cos i(v — v') sin
pour ce que devient la formule (i5) dans le cas de ju = 90°. On peut remarquer que cette valeur de rend nulles toutes les quantités V(, V„, etc., que renferme la formule («4), et n’y laisse subsister que V;
de sorte qu’en y substituant la valeur de V et effectuant les intégrations relatives à v1, on trouve pour l'expression complète de T, en série de quantités périodiques,
T= Asinyfi -+■ aacos(f — tt sint» -+- i — a X J ; (^)
la somme 2 s’étendant toujours à toutes les valeurs du nombre entier/, depuis i= i jusqu’à i — oo .
En faisant ftz=go° dans la formule (1 1), et y mettant, comme dans la formule (t4)> wà au lieu de h , on a
T= 7rh siny sin v[i *+- set cos(i> — er)]r
depuis t>=ojusqu’à v=r> r. Pour les valeurs de v comprises depuis v—7r jusqu’à c== sit , on doit avoir T= o; pour que ces valeurs de T coïncident avec la formule (18), il faut donc qu’on ait
