II

a bh / 1

tt sin u sin y — a*Q) e

et, par couséquent.

H' = Ile

équation qui fera connaître la valeur de a, d’après les valeurs de H' et H données par l’observation.

J’ajoute membre à membre les deux équations (aa); les quantités z et z, se détruisent à cause de z + zt = o, et l’on en conclut, pour la valeur de J' en degrés,

»- 2 2 a y flr-J

Mais d’après les valeurs de D sin «T et D cos «f , on a

(b + tang <f =

il en résultera donc

b = ^'{cot[I(Ô+8()— — ij , (37)

pour la valeur de b déduite de celle a , et des valeurs de 8 et 6 données par l’observation à une même profondeur connue x.

Les valeurs numériques de a et de b étant ainsi déterminées, on calculera celle de h au moyen de l’équation (a3) et de la valeur de H donnée par l’observation à la profondeur z ou a toute autre distance de la surface. Mais cette température h provenant de la chaleur qui a traversé 1 atmosphère, elle pourra varier d’une année à une autre, selon que le ciel aura été plus ou moins chargé de

5oo THÉORIE MATHÉMATIQUE

nuages; et pour avoir sa ve'ritable valeur en un lieu déterminé, il faudra prendre la moyenne "de plusieurs années consécutives, ou, ce qui est la même chose, il faudra employer dans l’équation (a5) la moyenne des valeurs de II qui auront eu lieu pendant ces années. Cette valeur de h devra augmenter quand la latitude m diminuera , parce que le ciel est plus pur , en général , quand on s'approche de l’équateur, et aussi parce que les rayons du soleil traversent l’atmosphère dans une moindre épaisseur. Par la même raison , cette température h augmentera, toutes choses d'ailleurs égales, avec la hauteur des lieux au-dessus du niveau des mers; elle ne dépendrait pas de la nature du terrein en chaque lieu, si le pouvoir rayonnant de la surface du sol et la faculté d’absorber la chaleur solaire, qui entrent dans l’expression de h (n* 213), augmentaient ou diminuaient dans un même rapport.

(221). M. Aragoa fait placer à l'Ohservatoire plusieurs thermomètres, enterrés dans le jardin, à des profondeurs différentes où les inégalités annuelles de température sont encore très sensibles. La tige de chaque instrument s’élève jusqu’à la surface du sol et un peu au-dessus ; et c’est sur la division adaptée à la partie extérieure de cette tige , que l’on mesure les variations de température , ce qui dispense de retirer le thermomètre de la terre, à chaque observation que l’on veut faire. Mais il en résulte que la température ainsi mesurée sur cette échelle extérieure dépendra de la température de la boule, qui est celle de la terre à la profondeur où l’instrument est enfoncé, et des températures différentes des points de la tige , dans toute sa longneur égale à cette profondeur. La température de la boule est celle que nous avons désignée par u à la profondeur jc ; pour la comparer à la température observée, il faudra donc faire subir à celle-ci une certaine correction dépendante du rapport des volumes de liquide que renferment la tige et la boule de chaque thermomètre. On s’occupe actuellement du calcul de cette correction. Afin de pouvoir faire usage des observations non corrigées que M. Arago m’a communiquées, je supposerai que leurs corrections soient peu considérables ; quand elles auront été faites, il faudra en effectuer de semblables sur les valeurs suivantes des constantes a, b, h , ou les calculer de nouveau. Il n’est pas non plus

DE LA CHALEUR. 5ot

impossible que les aéros des échelles tbermométriques aient un peu changé, soit quand les instrumens ont été enterrés, soit graduellement pendant la durée des observa lions. C’est pourquoi je n’emploierai dans les calculs suivans que des différences de température observées, et je ne ferai point usage des températures absolues.

A des profondeurs qui varient depuis deux jusqu’à huit mètres, le maximum et ‘le minimum se sont succédés à un intervalle d’à peu près six mois, et leurs époques ont peu varié d’une année à une autre, pour chaque profondeur. Pendant quatre années d’observations, l’excès du maximum sur le minimum s’est un peu écarté de sa valeur moyenne ; cet écart s’est élevé à un degré en plus et en moins, à la moindre profondeur, et seulement à un dixième de degré, à la plus grande; on doit l’attribuer, en grande partie , aux variations que la température h, provenant de la chaleur solaire , éprouve d’une année à une autre ; et c’est pour cela qu’il diminue à mesure que la profondeur augmente.

D’après la moyenne de ces quatre années , l’excès du maximum sur le minimum annuels a été de i*,4(4> à la profondeur de 8“, i a i , et de a°, 48a, à celle de 6”,497- En prenant le mètre pour unité, on fera donc

x= 6,497, a-'sS.iai, H = a0)48a, H'=i%4i4, dans l’équation (a6) , qui deviendra alors

i.faj. y6r

d’où l’on tire

Terme moyen, le maximum et le minimum ont eu lien vers le . 18 décembre et le i3 juin à la plus grande profondeur, et vers le i5 novembre et le io mai à la plus petite; ou autrement dit, les maxima sont arrivés à peu près 373 et 33g jours après le a 1 mars que l’on peut prendre pour le jour de l’équinoxe, et les minima, à peu près 84 et 5o jours après la même époque. Les temps fl et fl, étant comptés à partir de cette époque, et exprimés en fractions de l’année ,

5oa

oii aura donc

et si l’on désigne par V et ô',, ce que ces temps deviennent à la profondeur x1 , on aura aussi

I — fl- 84

En substituant successivement ces premières et ces dernières valeurs dans l’équation (27), et prenant toujours le mètre pour unité, on eu déduit

Ces deux résultats s’accordent d’une manière satisfaisante; en en prenant la moyenne , on a

pour la valeur numérique de b qui a lieu à Paris, et qui est rapportée, comme celle de a, à Tannée et au mètre pour unités de temps et de longueur.

Si nous faisons

H = 48*5o', Q = 0,66662, Q( = o,oo253,

dans l’équation d’où dépend la valeur de q , on en déduira

pour cette valeur à la latitude de Paris. D’après les valeurs de a et b on trouve aussi

er=i3“52', D= 1,44573, <^=17*34', D, = 1,62282.

Je substitue ces différentes valeurs dans la formule (24); je désigne par z' ce que z devient quand on change Jt en x'; on en déduit ensuite

2 = o,oo456, pour .r = 6**,497, z'=o,oo55t, pour a/ = 8", 121.

DE LA CHALEUR. 5o5

Ayant ainsi désigné par 6' et 0,' ce que deviennent les temps 0 et 0, par ce changement de a: en x' , les équations (aa) donneront les valeurs de ces quatre quantités exprimées en fractions de l’année, ou bien en jours après les avoir multipliées par 365, a5. Cela étant, si l’on représente les nombres de jours écoulés depuis le ai mars jusqu’aux époques du maximum et du minimum , par y et y, à la profondeur x, et paryv et y ' à la profondeur x?, on aura

Or, d’après les observations citées plus haut , ces nombres sont

ce qui s’accorde d’une manière remarquable avec les résultats du calcul, puisque les différences entre les nombres calculés et observés, n’excèdent pas un ou deux jours en plus ou en moins, malgré la difficulté d’assigner d’une manière précise par l’observation, le jour du maximum ou du minimum. S’il était possible de déterminer ce jour avec exactitude, la moyenne de ces différences, divisée par 365,a5, serait la valeur de la quantité J1', déduite des équations (ai), en y faisant i=fO, ou, à très peu près, la valeur de

*Vln£; mais les différences dont il s’agit étant de très petites parties

du nombre 365, a5, on en peut conclure que la quantité A, doit être une très petite fraction de X , comme nous l’avons supposé. En général, les comparaisons que j’ai pu faire des résultats du calcul à ceux de l’observation, montrent que l’échange de chaleur rayonnante entre l’atmosphère et la terre , et le pouvoir refroidissant de l’air en contact avec le sol, que nous avons négligés, ont effectivement très peu d’influence sur les inégalités annuelles de la température de la terre.

Je mets actuellement dans l’équation (a3) les valeurs connues des constantes qu’elle renferme; puis j’y substitue successivement 6", 497 et a°,482, 8“,iai et i°,4i4> à k place de x et H; il en résulte deux équations , d’où l’on tire

5o/, THÉORIE MATHÉMATIQUE

valeurs qui ne diffèrent pas sensiblement l’une de l’autre, et dont je

prends la moyenne

pour la température provenant de la chaleur solaire , en partie absorbée par la terre à Paris, après avoir traversé l'atmosphère.

Je substitue dans la formule (a5) cette dernière valeur de h , et les valeurs de toutes les autres constantes que cette formule renferme; en désignant par G' ce que la quantité G devient par le changement dex en x , on en déduit

G = ■ — o°,ooi33, pour x =6", 497,

G'= o°,ooa02, pour xf=8m, lai;

d’où il résulte qu’à chacune de ces deux profondeurs, la demi-somme des températures extrêmes de l’année ne diffère pas sensiblement de la température moyenne.

Il résulte aussi des observations de M. Arago, que l’excès du maximum sur le minimum annuel de température a été de 7", 800 à la profondeur de 3", 348, et qu’il s’est élevé à i3*,oi7 à celle de i",6a4; or, si l’on fait successivement, dans la formule (a3),

on en déduit

II = 7°, 649, H = i3“,4a5;

ce qui diffère peu des valeurs observées. Cet accord de ces deux observations avec la formule est une confirmation des valeurs numériques dea, b, h, qu’elles n’ont pas servi à déterminer.

(222). On fera coïncider l’expression de £” avec la formule (3), en prenant d’abord les multiples 1 , 2, 3, etc., de 4» pour les angles mt -f- «, m't -f- e', etc., c’est-à-dire, les multiples du nombre aw(565,a5), pourm, m ', etc., et ceux de aw(365,25)r, pour — t, t— etc. On fera, en outre

A = AV„ A' = AV„, A" = h\HI, etc.

Si l’on désigne ensuite par u" la partie de la température « à la profondeur x, qui renferme les inégalite'sdiurnes, et quel’on fasse, pour

abréger,

on aura, en vertu de la formule (4),

w" = ~ ” cos (4- — xea — F)

' + ’Ç* e ~ ” cos(a4 — ara* — «T) ^

+ -gy* e ~’xm ^ coe (34 — xo. v/5 —J'"’)

H- etc. ;

où l’on a fait

* + «\/î=D« cos JW, » v/î' = D«> sin/w, et, par conséquent,

D® as y/ b‘ -f- aèa> %/*+ ai'»*, pour un indice quelconque i.

D'après la valeur de d trouvée dans le numéro précédent, on a ai as 6,6ao5 1 ;

la valeur de l’exponentielle e~ ” est donc peu différente de o,ooi ; d’où il résulte qu’à un mètre de profondèur, la valeur de «" est déjà . très petite, et les inégalités diurnes peuvent être regardées comme insensibles, ou à très peu près.

A la surface où l’on a x 3= o , fa série (28) sera peu convergente ; il en faudra prendre un grand nombre de termes pour calculer les valeurs numériques de u"; et la loi des variations diurnes sera très compliquée. Mais à une distance peu considérable de la surface , ce calcul et cette loi seront beaucoup plus simples ; si l’on prend , par exemple, un demi-mètre au moins pour la profondeur x, on aura une expression de «/" suffisamment approchée en réduisant la série (28) à son premier terme; ce qui donne

u"=~-'e- ftfao*0' cos [4- — (3790 20') x — F],

DE LA CHALEUR. * 5o5

5o6 ‘ THÉORIE MATHÉMATIQUE

en observant qu'exprimée en degrés , la valeur de ta est

ta = (6,6ao5i) = 3-q»2o'.

Il résulte de là qu’à cette profondeur d’un demi-mètre et au-delà, le maximum de température de chaque journée aura lieu quand l’angle 4 — (379*30') x — J1' sera égal à zéro ou à 180% selon que la quantité V, sera positive ou négative. Le maximum et le minimum arriveront toujours à douze heures l’un de l’autre. Leurs époques seront les mêmes dans tous les lieux où les quantités a et b , et par suite l’angle S4 ont les mêmes valeurs; elles ne dépendront ni du jour de l'année, ni de la latitude du lieu de l'observation ; ou du moins, cette latitude et ce jour, en déterminant le signe de V,, ne pourront que changer l’heure du maximum dans celle du minimum, et réciproquement. A cause de

tang =

on a , d’après la valeur de ta en nombre et celle de b du numéro précédent ,

le maximum de température à la profondeur d’un demi-mètre , par exemple , arrivera donc lorsque l’angle horaire 4 aora P°ur valeur 23o*a6', ou 5o0a6', selon que la quantité V, sera positive ou négative, c’est-à-dire à environ huit heures et demi après-midi, ou trois heures et demie auparavant.

Si l’on appelle E l’excès du maximum sur le minimum , on aura, à cette même profondeur ,

MiS, — 3,3im6 I y e •

en employant toujours les valeurs précédentes de b et et, on aura d’ailleurs

et ensuite

D' = io,i38ot ;