II

", etc. , désignant, au bout du temps t, les températures intérieures des corps réfléchissans , très près des points 0', 0", 0'", etc., de leurs surfaces, et tp', <p", (p'", etc., étant des inconnues qui pourront dépendre de la matière de ces corps et des angles d'incidence.

De cette manière, et à cause de Z = F^, la valeur précédente de A prendra la forme :

A = —j- [(i ç))(F?/ — FO — a'(i — (p) (Fm' — FC)

— a" (i — a') (I — <p") (Fw" — FÇ) (?)

— a'" (i — a') (i a") (i — (?'") (Fm'" — FC) — etc. ] .

(39). Si les températures de tous les corps réfléchissans, excepté une seule, sont invariables et égales à celles de l'enceinte, ou autrement dit, si toutes les réflexions ont lieu à la surface de l'enceinte, excepté une seule , qui sera la /i"""" et se fera à la surface d'un corps dont la température varie, toutes les températures u' , u", 11', etc., excepté M^"\ seront égales à ^ , et la formule (7) se réduira à

aaa COS 9 COS V r-, ^ ,„ -,^,,

aW(i — a')(i —a") (,ct("-0)(, — (p«) (F«t°J — F^] ;

ce qui comprend les valeurs de A données dans le n° 27.

n y a un autre cas particulier que l'on peut encore remarquer. Il a lieu lorsque les élémens u> et où' sont tous les deux perpendiculaires à la ligue 00' qui va de l'un à l'autre. Dans ce cas, il est évident que les points 0", 0'% etc., de rang pair, coïncideront tous avec 0, et les points G'", 0", etc. , avec 0'. On aura alors

u = u" = u'^ = .,., a = a" = a'" =..., <p = <p" = cp"..., u' = u"'= W = ..,, «.' = a'" = a' =..., <p'= (p'" = ?)'...;

la quantité comprise entre les crochets dans la formule (7) deviendra donc

(i-(p)(F«-FO{i—a(i—a')[i+(^-'*)(i— *')+(!— «)*(i—a')'+etc.]} — «'( I -<p')(Fu'—FO[ I +( 1 — a)( 1 —«')+( ' — «)'( I -a')'+etc.] ;

et comme on a

>+(i-^)(i-*')+(i-«)'(ï-*')'-f-etc.=-^-^^-i^-^, i-a(i-ali+(i-a)(r-aO+(i-a)-(i-«0'H-etc.]=^^^';^^^^,^,

il en résultera

^ = 4^n;H^-^)K^-'P) (F«-FO - (.-<p'j {iu'-FO}.

(3o). Cette formule (7) servira à résoudre tous les problèmes relatifs à la Catoptrlque de la chaleur. Par des intégrations, on déduira, comme dans le n° 2'\, de la valeur de A celle du flux total de chaleur Tcù à travers l'élément « de la surface de A; je me bornerai à former l'expression générale de F dans le cas où la température intérieure de chacun des corps réfléchissans est la même en tous ses points : il sera alors facile de l'obtenir; mais les quantités «,«,', a", etc., (p, <p', cp", etc. , n'étant pas connues en fonctions des angles d'incidence, cette expression de F renfermera des coeiïiciens dépendans de l'état des surfaces de A, de l'enceinte et des corps réfléchissans, qui ne pourront être déterminés que par l'expérience.

Je suppose d'abord que tous les corps réfléchissans aient une même température, variable avec le temps, et convergente vers la température constante ^ de l'enceinte extérieure où ils sont placés; je suppose aussi qu'aucun des points 0', 0", 0", etc. , où se font les réflexions successives, n'appartienne à la surface de cette enceinte, ni à celle de A; et ces suppositions ayant lieu pour tous les points 0 de la surface de A, et pour toutes les directions de la droite 00', ce corps sera compris dans une autre enceinte, fermée de toutes parts , et ayant partout une même température, comme la première enceinte. Si l'on désigne par u cette température, qui sera la valeur commune de u, m", m"', etc., et qu'on fasse

a'( I (p')-t-a"( I — «■■) ( I -(?>")+*'"( I — a') ( I —«■") ( i -(?'")+ etc . = > ,

la formule (7) deviendra simplement

^ ^ w co^^O^cos r ^^^ ^^ (F,. -FO - y (F«' - FC)].

Par une intégration semblable à celle du n° 24, on en déduira immédiatement

F = « (¥u— FO — n' (Fi/ — FÇ) ,

en faisant pour abréger,

i f'" a (i — ®) cos B sin M = n, iPT^ > cos 9 sin 9rfôJ4 =//;

et si l'on a ëeard à l'expression de la fonction F, trquvée dans le n" 26, et qu on lasse aussi , ,

ng — X, n'g = À', il en résultera

r = A (jt*" — /x') — A' (/*"' — a').

Le flux de chaleur à la surface de A dépendra donc en général, nou-seulemeut de la température variable u de l'enceinte intérieure , mais de la température constante '( de l'enceinte extérieure qui pourra être aussi éloignée qu'on voudra de la première. Son expression renferme, comme on voit, deux coeflicicns A et A' qui devront être déterminés par l'expérience. Le premier est la mesure du pouvoir rayonnant de la surface de A au point 0 (n° 26); le second dépend en outre de l'état de la surface de l'enceinte intérieure, à raison des fractions et.', a", et'", etc., qui sont contenues généralement dans la quantité y. Pour qu'elles en disparaissent, il faut que toutes les inconnues <p', (p", <p"', etc., soient égales; auquel cas y se réduit à l'une des quantités égales i — (?', i — (p", i — p'", etc., multipliée par une série infinie dont la somme est l'unité. L'égalité de ces inconnues, relatives à une température variable de l'enceinte, exige qu'elles soient indépendantes des angles d'incidence, et qu'elles ne dépendent pas non plus de la matière des corps dont l'enceinte est formée, à moins qu'ils ne soient tous de la même matière. En supposant que ces conditions soient remplies, ce que l'expérience seule pourrait nous apprendre, et en outre, que la valeur commune de ç', (p", <p"', etc., est celle de (p qui a Heu pour le corps A, nous aurons

et la formule précédente se réduira à

jji

5o THÉORIE MATHÉMATIQUE

t résultat semblable à la formule (6), (jui re'poud au cas d'une température invariable de l'enceinte.

(3i). Je suppose actuellement que les températures communes à tous les points de chaque corps réfléchissant, varient d'un corps à un autre et avec le temps. IjCS réflexions successives auront lieu à leurs surfaces, à celle de l'enceinte dont la température est ^ , et à la surface du corps A dont la température u sera aussi supposée la même en tous ses points.

Cela étant, du point 0 comme centre et d'un rayon pris pour unité, je décris une surface sphérique, et je désigne par ds son élément différentiel perpendiculaire à la ligne 00' qui va de ce point 0, d'où part la ligne des réflexions successives, au point 0' où a

ïksu la première réflexion; je mets ds à la place du facteur ^^—r^ — de

la formule (7); j'intègre ensuite cette formule par rapporta (^^.ç pour avoir la valeur de Tct>; et en supprimant le facteur co , il en résulte

r = -7Î- (Fm — Ff) /a(i — <p) cos ^s

■ (Fu' — FO /aa'(i — (p') cos ys

^, JL (Yu" — FO fctoL"(i — a') (i — cp") cos GA } (8)

' (F«"' — FÇ)/aa'"(i— et') (1— a") {1 ~(p"') cos Us — etc.

Si l'on mèue par le point 0 un plan tangent à la surface de A , l'intégrale contenue dans le premier terme de cette formule devra toujours s'étendre à tous les élémens ds delà surface hémisphérique, terminée à ce plan , et à laquelle aboutissent les lignes 00' qui font des angles aigus 9 avec la normale extérieure ON. Ce premier terme exprimera la valeur de T qui aurait lieu si le corps A était convexe au point 0, et qu'aucun autre corps ne fût renfermé dans l'enceinte avec A. En ayant égard à l'expression de la fonction F, et désignant

DE I,A CHALEUR. 5c

toujours par ?. la mesure du pouvoir rayonnant de A au point O, ce premier terme sera donc A (|M." — fi^). En mêmetems, la valeur entière de r deviendra

r=A(/A"— /-t^)— .«r'(;t"'— /*^)--zjr"(;^""— f^')— ^"'(/*"'*- f«^) — etc. (9)

en faisant, pour abréger,

^ /»:'.'( I — (P')COS Ms = 'Zr',

-f- /aa*(i — a') (i — (p") cos 9* = <sr",

-^ /aa"'(i — «') (i — a") (i — <P"') cos 9r/^ = 'sr'" , etc.

Dans chaque cas , on fixera les limites des intégrales contenues dans les coefficiens ût', <z3-", tv'", etc., d'après les formes et les positions respectives de A et des corps réfléchissans renfermés dans l'intérieur de l'enceinte. Mais les valeurs même de ces coefficiens, à raison des quantités inconnues dont elles dépendent , ne pourront être déterminées que par l'expérience. Elles varieront, en général, avec la position du point 0 à la surface de A. Lorsqu'on aura formé l'expression de r relative à un point 0 quelconque, on la multipliera par dt et par l'élément différentiel de cette surface; l'intégrale du produit étendue à cette surface entière exprimera la diminution totale de chaleur de A pendant l'instant ^f. Tous les coefficiens 'sr', ^"^tw"', etc., étant positifs, on voit que la vitesse du refroidissement de A sera augmentée ou diminuée par l'influence de chacun des corps réfléchissans , selon que la température de celui-ci sera plus petite ou plus grande que celle de l'enceinte ; et pour comparer entre elles les influences de l'émission directe et des réflexions successives de chaleur, il sufTn-a généralement de considérer les limites des intégrales d'où dépendent les valeurs de nsr' , rsr" , fsr'", etc. , ainsi qu'on le verra par les exemples suivans, dans chacun desquels nous supposerons, pour ne pas compliquer la question, qu'il n'y ait qu'un seul des points qu'on a désignés parO', 0", 0'", etc., qui n'appartienne pas à la surface de l'enceinte, ce qui réduira chacune des formules (8) et (()) à deux termes seulement.

(32). Si A est concave au point 0 , le premier point 0' appartiendra, suivant certaines directions de la ligne 00', à la surface de ce corps. On aura n' = u en ce point 0'; et tous les autres points 0", 0'", etc. , appartenant par hypothèse à la surface de l'enceinte, la formule (8) se réduira à ses deux premiers termes, savoir,

r = y^ ÇEu—YO [/a{i—<p) cos G^^ /aa'(i— <p') cos ys\.

La première inte'grale s'étendra toujours à toute la surface hémisphérique, teiininée au plan tangent en 0, et comprenant la normale extérieure ON; et la seconde, à la partie de cette surface comprise entre ce plan tangent et le cône tangent à la surface de A, qui a son sommet au point 0. En admettant que la quantité <p' soit indépendante de l'angle d'incidence et de la matière de A, ou seulement de l'angle d'incidence, et supposant alors que A est un corps homogène, on aura (p' = (p. Si l'on a de plus a' = i , les deux intégrales se réduiront à une seule, laquelle s'étendra à la portion de surface hémisphérique, comprise dans l'intérieur du cône que l'on vient d'indiquer, de sorte qu'en ayant égard à l'expression de la fonction F, et faisant

y- /à (i — cp) cos ^ds = ijsr, nous aurons simplement

. 'Si A était convexe au point 0, il faudrait étendre jusqu'au plan tangent en 0, c'est-à-dire à la surface hémisphérique entière, l'intégrale contenue dans la quantité 'zzr qui coïnciderait alors avec le coefficient A de la formule (G). Le flux de chaleur que nous considérons ne diffère donc de celui qui aurait lieu dans le cas de la convexité de A, que par le coefficient «zër qui remplace A; et comme ces deux eoefficiens dépendent d'une même intégrale, prise entre des limites différentes, qui sont moins étendues pour ct que pour A, il s'ensuit qu'on a '(ZP < A, et que l'effet de la concavité de A est de ralentir, toutes choses d'ailleurs égales, la vitesse de son refroidissement. Pour second exemple, supposons qu'il y ait avec A un autre corps

A' contenu dans l'enceinte fermée, que le premier point 0' appartienne à la surface de A', et que tous les autres points 0", ()'", etc., soient situes à la surface de l'enceiote. La formule (9) se réduira à celle-ci :

r = À (^" - /*^') — <ar' (;*" — /*«) ,

dans laquelle on aura

^' = Çfaa'ii — <p') CCS ys.

Pour fixer les limites de cette dernière intégrale, je mène par le point 0 un plan tangent et une normale extérieure ON à la surface de A ; je conçois un cône ayant son sommet en 0 et circonscrit k la surface de A' ; et je désigne par s' la portion de la surface hémisphérique , comprise dans l'intérieur du cône, et située du même côté du plan tangent que la normale ON. C'est à cette portion / de surface, dont le centre est en 0 et le rayon égal à l'unité, que l'on devra étendre l'intégrale contenue dans la valeur de ^' . Si les dimensions de A' sont très petites par rapport à sa distance de A , la surface s' sera aussi très petite ; ce qui rendra également très petite la valeur de 'sr' , et , par suite , l'influence directe de A' sur la température de A , à moins que la température n' de A' ne soit extrêmement différente de Ç. Mais quoique A' soit un corps d'un très petit volume, son influence sur le refroidissement de A , par la réflexion de la chaleur à la surfiace de l'enceinte , sera quelquefois très considérable.

En effet, prenons pour troisième exemple le cas où c'est le second point 0" qui se trouve à la surface d'un corps A", compris avec A dans l'intérieur de l'enceinte, et où tous les autres points 0', 0'", etc., appartiennent à la surface de l'enceinte. La formule (9) se réduira alors à celle-ci :

r = A(Fk — F^ — -za-"(F«" — FO, où l'on aura

^" = f /«a"(i — et') (i — <p") cos ys. Pour fixer les limites de cette dernière intégrale, je mène par le

point 0, comme précédemment, un plan tangent et une normale extérieure ON à la surface de A ; d'après la position du point 0 , la figure de l'enceinte, la forme et la position de A', je détermine, dans chaque exemple, une portion S de la surface de l'enceinte qui comprenne tous les points 0' pour lesquels la condition du cas que nous considérons est remplie ; et je conçois un cône circonscrit à S et ayant son sommet au point 0. En appelant s" la portion de surface hémisphérique, comprise dans l'intérieur de ce cône et située du côté du plan tangent où se trouve la normale ON, l'intégrale contenue dans ter" devra s'étendre à tous les élémens ds de s". Or , si la surface de l'enceinte est, par exemple, celle d'un ellipsoïde de révolution, et que A et A' soient deux corps d'un très petit volume, placés à ses deux foyers, S sera alors la surface entière de l'enceinte; par conséquent, s" sera aussi la surface hémisphériqiie entière; ce qui rendra très grande l'influence de A" sur la température de A. En supposant a' = o dans toute l'étendue de la surface de l'enceinte, et, au contraire, a," = I en tous les points de la surface de A"; en admettant aussi que l'inconnue (p" soit indépendante de l'angle d'incidence , et égale à ip, il en résultera fsr" i= A, et conséquemment

r = A (F;^ — Fu") ;

en sorte que le flux de chaleur à la surface de A et son refroidissement seront les mêmes, dans ces hypothèses particulières, que si l'enceinte avait dans toute son étendue la température u" du très petit corps A", et un degré quelconque de réflexibilité.

Pour dernier exemple, je suppose que le troisième point 0'" soit situé à la surface d'un corps A'" compris dans l'enceinte avec A , et que tous les autres points 0', 0", 0'% etc., sont situés à la surface de l'enceinte. Je réduis, en conséquence, la formule (9) à

r = A(F« — FO — 'Z!r"'(Fu"' — Fr),

le coefficient <iir"' ayant pour valeur

<Z5r"'= f /««'"(! — *') (i — a") (i — <p')coBys.

Pour fixer les limites de cette intégrale, je mène toujours pat* le

point 0 une normale extérieure ON et un plan tangent à la surface de A ; je détermine, dans chaque exemple, la portion S de la surface de l'enceinte où se trouvent tous les points O' qui remplissent, avec un autre point 0" de cette même surface, la condition relative à l'expression de F que je considère -, cela fait, je circonscris à S un cône qui ait son sommet au point 0, et j'appelle s'" la portion de la surface hémisphéiique comprise dans l'intérieur de ce cône et située du même côté que la normale ON par rapport au plan langent. L'intégrale contenue dans «zër'" devra s'étendre à tous les élémens ds de s'". Maintenant, si A et A'" sont deux très petits corps, placés aux foyers F et F' ( fig. y ) de deux miroirs conjugues M et M', dont les surfaces sont censées faire partie de celle de l'enceinte , S sera la surface de M, et s'" aura pour valeur cette même surface divisée par le carré du rayon de ce miroir , ou du double de sa distance focale. Elle sera donc indépendante de la distance de A'" à A j par conséquent, le coefficient 'ZJr'" et l'influence de A'" sur la température de A, n'en dépendront pas non plus. En comparant la valeur de s'" à celle de / qui avait lieu dans le second exemple de ce numéro, on voit que, malgré les deux réflexions que la chaleur subit sur la surface de l'enceinte, et qui donnent lieu aux facteurs i — a' et 1 — a", par lesquels l;i valeur de 'sr'" est affaiblie , cette influence de A'" sur le refroidissement de A , est généralement beaucoup plus grande que celle qui est exercée directement par ce même corj>s A'". Ce corps étant donné, son influence par réflexion atteindra son maximum lorsque les miroirs M et M' n'auront qu'un pouvoir absorbant nul ou insensible, et qu'on aura, en conséquence, a' = o et c/' = o. On supposera aussi a"'= i, afin de n'avoir pas à considérer dans la valeur complète de F, une série infinie de réflexions, semblable à celle du second exemple du n° ag. C'est de cette manière que l'on explique en Physique, d'après M. Pierre Prévost, la réflexion apparente du froid. Si la température de A est égale à celle de l'enceinte, et qu'on ait u'" <i(,, ce corps est eu effet refroidi par l'action de A'" transmise par réflexion ; il est au contraire échauffé quand on a u = C et «'"> Ç.

(53). Dans tout ce qui précède , le corps A a été placé dans une enceinte vide d'air; on va maintenant supposer cette enceinte rem-

plie d'air ou d'un gaz quelconque ; et il s'agira de déterminer , en ayant égard à l'absorption et à l'émission de chaleur dues à ce fluide, la valeur de la quantité A du n" 22.

Pour cela, considérons de nouveau le cône dont le sommet est un point de A très voisin du point 0 de sa surface, ou , si l'on veut, ce point 0 lui-même (u" 20), et qui est circonscrit à l'élément m, de la surface de l'enceinte, correspondant au point 0,. Menons par ces points 0 et 0, les normales ON et 0,N, (fig. 8) aux deux surfaces , et faisons toujours

00, = h, o.oN = G, oo,N, = e,.

Soit M' un point quelconque de la droite 00, , situé à une distance t' de 0, , de sorte qu'on ait

Appelons m' une portion d'air de grandeur insensible et correspondante au point M', et désignons par Wm'dt la quantité de chaleur émise en tous sens par m' pendant l'instant dl ; on aura

"^ j-U'm'dt (n° g) pour la partie de cette chaleur qui atteindrait dans le vide l'élément a de la surface de A correspondant au point 0.

Cela posé , je prends pour m' la tranche très mince du cône dont il s'agit, perpendiculaire en M' à la droite 00,. En appelant b' sa base, r son épaisseur, et p' la densité de l'air au point M', on aura

m' = f'h'yi'.

Si l'on compare cette section b' du cône à la section parallèle , faite par le point 0„ et qui est égale à a, cos 6,, on aura aussi

// = (1) <»i cos 6,.

Soient, de plus, ^' la température de m' au bout du temps i, et q' la mesure de son pouvoir absorbant. D'après l'équation (5) du n" i5, nous aurons

et au moyen de cette valeur jointe à celles de m' et b' , la quantité de chaleur précédente deviendra

Je représente actuellement par

aa, COS â COS Ô,

Z'dt,

la quantité de chaleur, émise ou réfléchie, qui part de o), pendant l'instant dt , el qui viendrait tomber tout entière sur a, s'il n'y avait pas d'air interposé entre ces deux éléniens; quantité dans laquelle le facteur Z' serait égal, dans le vide, à la fonction F^ de la température ^ de l'enceinte , d'après ce qu'on a vu précédemment. Je suppose que cette quantité de chaleur soit augmentée , à la distance r de <y,, dans le rapport de p' à l'unité; en négligeant le carré de »', elle sera augmentée , à la dislance r' -f- )i', dans le rapport de

p' -\- -y-v »' à l'unité; par conséquent, l'accroissement positif ou négatif qu'elle éprouvera en traversant m' , aura pour valeur

au, COS Ô COS â, rji dp' , , 4îrA" dr

Or, cet accroissement résulte de la chaleur envoyée par m! 'a. a> pendant l'instant dt, dont on vient de former l'expression, et dont il faudra retrancher la portion de chaleur alisorbée par cette même partie matérielle m'; d'ailleurs, cette portion de chaleur est égale à la chaleur incidente sur m' , multipliée par l'épaisseur >i', la densité p' et le pouvoir absorbant q' (n° 10), c'est-à-dire au produit

*«, COS«COS«, rj, , , I , .

j^, Zpq'f'y^dt;

. , /. ^ aie. COSÔ COS 9, . , ,

en supprimant les facteurs v-rj et r\dt, communs aux

trois quantités que l'on considère, on aura donc

J'intègre cette équation, et je détermine la constante arbitraire, de sorte qu'on ait p' = i quand r' = o; il en résulte

p'Z' = Z'e--^"''''''" -t- e-^''''''ye^''''''''''F^'.q'p'd,',

où l'on suppose que les intégrales indiquées commencent avec /•', et l'on représente par e la base des logarithmes népériens.

Je désigne par k' la valeur de p' qui répond au point 0 , c'est-àdire , h r' = h.En faisant

e J'" ' ^h!, /y''''''''Fr.9'pW=:g'FC,

nous aurons

A-'Z' = Z'A' + A'g'FÇ.

Ce sera cette valeur de A'Z' qu'il faudra mettre à la place de liL dans la formule (4), après que la valeur de Z' aura été déterminée : h' et g' sont des nombres abstraits, dont le premier dépendra de la distance h. et de la nature du fluide dans lequel le corps A est plongé, et dont le second dépendra, en outre, des températures du fluide et de l'enceinte.

(54). Le facteur Z' de la quantité de chaleur envoyée par &;, à u>, se trouve donc augmenté dans le rapport de k' à l'unité, par l'air interposé entre ces deux élémens. En désignant par Z" ce que devient cette inconnue Z' relativement au point 0» (fig. 4) de la surface de l'enceinte et à la direction 0,0,, l'inconnue Z" sera aussi augmentée par l'air dans un rapport de A' à l'unité , déterminé par une équation semblable à la précédente; en sorte que l'on aura

en appelant /t, la distance 0, 0, , faisant ensuite

et supposant que q', f', Ç', se rapportent, dans ces intégrales, à un point quelconque de la ligne 0,0,, situé à la distance r' de 0,. Si

DE LA CHALEUR. 5g

l'on désigne de même pour Z'", ce que devient l'inconnue Z' relativement au point O3 et à la direction O3O,, que l'on suppose l'inconnue Z'" augmentée par l'air dans un rapport de A'" à l'unité , et que l'on fasse

Ofi^=h,, e ^ "" =h"', f\^'''''"Y^'.q'r'dr' = g"'FC, on aura également

k"'Z"' = h"'Z"' H- A"'g"'FÇ ;

et ainsi de suite.

D'un autre côté, on verra, par un raisonnement semblable à celui du n° 23, que la quantité Z' se composera d'une partie a,F^ provenant de l'émission à Iravei's l'élément co,, et d'une partie /t'Z* (i — a,) provenant de la réflexion sur ce même élément : la quantité Z' se composera aussi de deux parties ci^F^ et A"'Z"'(i — a,), qui résulteront de l'émission et de la réflexion; et de même pour chacune des inconnues suivantes Z'", Z'% etc. On aura donc cette série infinie d'équations :

Z' = a.FC 4- A-"Z" (i~a,), Z" = a,FÇ -h A"'Z'"(i — aj, Z'" = «sFÇ -^ A:-Z"(i— «3), etc..

a laquelle il faudra joindre la série précédente, savoir :

k'Z' = h'Z' + A'g'FÇ, )

A"Z" = h"Z" 4- h"g"Fi:, i ( ^

etc. ; )

et ces deux systèmes d'équations serviront à déterminer les deux suites d'inconnues Z', Z", Z'", etc., k', k", k'", etc.

(55). Les quantités g', g", g'", etc., que ces dernières équations renferment , supposent connue la température 0', en tous les points de l'air ou du gaz contenu dans l'enceinte où le corps A est placé. Près de la surface de A, cette température ç' sera modifiée par celle de ce corps et variera avec le temps ; mais quand la surface de A

6o THÉORIE MATHÉMATIQUE

a peu d'étendue l'elativement à celle de l'enceinte, le fluide prend, à peu près dans toute sa masse, la température invariable de l'enceinte , et l'on peut supposer, sans erreur sensible dans les inte'grations d'où dépendent g', g^", g'", etc., que l'on a partout §' = ^. Cela étant, on aura

fef^'f'dr p^/ ^,^'^lj, ^ (^g f'i'f'dr' , ) F^ ,

à cause que les intégrales indiquées doivent s'évanouir avec /•'. En étendant successivement l'intégrale fq'f'dr' jusqu'à r =-h, = h,, = h^, etc., et ayant égard aux valeurs de h', h", h", etc., on en conclura

//„' = 1 //, h" g" = I //', h"'g'" = I — à'", etc. ;

au moyen de quoi les équations (i i) deviendront

k'Z' = (Z' — FÇ)// + FÇ,

rZ" = (Z" — FO h" + FC,

k"'Z"' = (Z'" — FO/i'" + FÇ, etc.

Or, on satisfait, quelles que soient les quantités //, //', h'", etc., aux équations (lo) et à ces dernières équations, en prenant l'unité pour chacune des inconnues k', k", k", etc. , et faisant chacune des inconnues Z', Z", Z'", etc., égale à Fi^; ce qui est la seule solution de toutes ces équations, puisqu'elles sont linéaires, en y regardant Z', Z", Z", etc., k'Z', k"Z", k^Z", etc., comme les inconnues.

Dans ce cas, la valeur de k'Z' ^ qu'il faudra mettre à la place de kZ dans la fonnide (4), sera donc FC, comme dans le cas du vide. Lors donc que le fluide, homogène ou hétérogène, dans lequel le corps A est plongé, a pris la température invaiiable de l'enceinte, il n'influe plus sur la valeur de A, ni sur celle du flux de chaleur Tcc à travers chaque élément de la surface de A; ce qui tient à ce que chaque partie du fluide envoie alors à cet élément une quantité de chaleur rayonnante, égale à celle qu'elle intercepte, et qui serait envoyée par l'enceinte à ce même élément. Il ne s'ensuit pas que le fluide n'ait aucune influence sur le relroidissement du corps A : il

DE LA CHALEUR. g,

enlève ou communique, comme on sait, directement par le contact, de la chaleur à ce corps; mais cet efll't n'étant pas relatif à la chaleur rayonnante, c'est dans un autre chapitre qu'il en sera question.

(56). Voici, en terminant celui-ci, le résultat gene'ral de l'échange de chaleur entre deux parties matérielles m et m' , de grandeur insensible, appartenant à un même corps ou à des corps difl'érens et pouvant avoir lieu dans le second cas, après une ou plusieurs réflexions intermédiaires sur les surfaces d'autres corps.

Supposons que m réponde au point M du corps A , très voisin du point 0 de la surface (h'g. G). Soit Umdt la quantité de chaleur émise en tous sens par m pendant l'instant cit. Désignons par s- l'ouverture d'un cône extrêmement aigu, ayant son sommet an point M, et comprenant la droite MO. Dans le cas du vide, la portion de Umdt qui se propagerait suivant ce cône, serait aUnidt; supposons qu'elle soit diminuée par l'absorption due à la matière de A, en allant de M à 0, dans le rapport de p à l'unité, et ensuite par la réflexion intérieure, dans le rapport de a. à l'unité, en traversant la surface de A au point 0; la portion aptiUindt de la chaleur émanée de m se propagera alors en dehors de A, et formera un filet extrêmement mince dont j'indiquerai la direction par la droite 00'. Pour plus de généralité, je supposerai que cette ligne ne soit pas le prolongement de MO; ce qui aura lieu efi'ectivement si la chaleur éprouve ime réfraction analogue à celle de la lumière, en passant d'un milieu dans un autre.

Soit 0' le point où la droite 00' rencontrera la surface d'un second corps A'; faisons 00':= h, et supposons qu'eu parcourant cette distance h, la chaleur soit diminuée dans le rapport de H à l'unité par l'absorption dans l'air. Désignons par et' la fraction de la chaleur incidente \\ap7Ï\mdt qui pénétrera dans l'intérieur de A'; le surplus (i — :t']ï[a.p7Umdt sera réfléchi , et formera encore un filet très mince dont je représenterai la direction par la ligne 00", de sorte que les deux droites O'O et O'O" feront, avec la normale O'N' à la surface de A', des angles OO'N' et O'O'N' égaux et compris dans un même plan.

Soient de même 0" le point où la droite O'O" rencontre la surface d'un troisième corps A", et h' la distance O'O"; supposons qu'en par-

courant cette distance, la chaleur soit diminuée dans le rapport de H' à l'unité par l'absorption dans l'air; appelons a" la fraction de la chaleur incidente sur la surface de A", qui pénétrera dans l'intérieur de ce corps; la portion de chaleur réfléchie au point 0" sera (i — a.")H'(i — a.')ïia.p7nm(it , et sa direction, que j'indiquerai par la droite 0"0"', fera, avec la normale 0"N" à la surface de A", un angle égal à 0'0"N", et compris dans le même plan.

Soient encore 0'" le point où la droite 0"0"' rencontrera la surface d'un qualrième corps A'", et h" la distance O'O'". Supposons que la chaleur soit diminuée dans le rapport de H" à l'unité, en parcourant dans l'air cette distance //; la chaleur incidente au point 0'" de la surface de A", savoir, ïl"(i — ct*)H'(! — et'^UcLptrUmdt, se divisera en deux parties, dont l'une pénétrera dans l'intérieur de A'", et l'autre sera réfléchie. Il sera facile de voir ce que deviendra la seconde partie, après un nombre quelconque d'autres réflexions subséquentes; mais, pour fixer les idées, je ne prolongerai pas plus loin cette série de réflexions, et je vais considérer la portion de chaleur qui pénétrera dans l'intérieur de A'".

Je suppose que cette portion soit la fraction a!" de la chaleur incidente; elle formera dans l'intérieur de A'" un filet très mince dont j'indiquerai la direction par la droite 0"'M', distincte du prolongement de 0"0"', s'il y a réfraction au point 0'". Soit / la section de ce filet, perpendiculaire à sa longueur, et faite par le point M'. Je prendrai pour m' la partie de A'" qui a s' pour base, et une très petite épaisseur y\' ; de sorte qu'en appelant jc' la densité de A'" au point M', on aura

Je supposerai aussi que la chaleur , en parcourant la distance 0"'M', soit diminviée dans le rapport àe. p' à l'unité, par l'absorption due à la matière de A'". En désignant par q' la mesure du pouvoir absorbant de iii! , la chaleur absorbée par cette partie matérielle se déduira de la chaleur incidente sur sa base s' , en la multipliant par le produit vi'pV (n" lo); si donc on la désigne par G, elle aura pour expression, d'après ce qui précède,

G = HH'H"(i —a') (i —a") acc"'ppWf'q'<Tnmdt,

où l'on voit clairement l'oiigine de chacun des facteurs, et l'efl'et auquel il répond.

Cette portion de chaleur, e'manée de m et absorbc'e par m', a suivi la route indiquée par la ligne brisée MOO'0"0"'M', en formant un (ilet dont la section normale varie dans toute sa longueur, mais qui est toujours extrêmement petite et proportionnelle à l'ouverture conique que l'on a désignée par (7. Réciproquement, une portion de chaleur émanée de m' suivra la route indiquée par M'0"'0"0'OjM , et sera absorbée par m. Elle formera aussi un filet très mince dont la section normale, variable d'un pointa un autre, sera proportionnelle, dans toute sa longueur, à une ouverture conique extrêmement petite que je désignerai par o', et qui appartiendi-a à un cône ayant son sommet en tel point M' que l'on voudra de m' . Or, je désigne aussi par s la section normale de ce filet correspondante au point M; je prends pour m la partie de A qui a s pour base, et une très petite épaisseur », de sorte qu'on ait

m = snf>,

en appelant p la densité de A au point M : si l'on représente en outre par cj la mesure du pouvoir absorbant de m, par Wm'dt la quantité de chaleur émise en tous sens par ni' pendant l'instant dt, et par G' la portion de cette chaleur qui atteindra m et sera absorbée par cette partie matérielle, nous aurons

G' = HH'H" (i «') (i a'j act"'pp'y,fqa'n'?n'dt.

Dans ces valeurs de G et G', les neuf premiers facteurs sont les mêmes, savoir: H, H', H", /j, p' , parce que l'absorption que la chaleur éprouve est égale, soit en allant d'un point à un autre', soit en allant de ce second point au premier (n" 12); et et a'", parce que la chaleur est aussi diminuée dans la même proportion, en traversant sous un angle donné une même surface, de dedans en dehors ou de dehors en dedans; i — a' et i — a", parce qu'ils répondent, dans ces deux formules, à des réflexions sur les mêmes surfaces et sous des angles d'incidence qui sont égaux.

Les ouvertures coniques tr et a' étant arbitraires, pourvu qu'elles soient l'une et l'autre extrêmement petites, on peut supposer qu'elles

sont entre elles comme les sections normales / et s des deux filets de chaleur que nous \enons de considérer, et faire, en conséquence,

/ étant une ligne dont la longueur demeurera arbitraire. On aura alors

Je substitue ces valeurs dans celles de G et G' que je retranche ensuite l'une de l'autrej en désignant par ^ l'excès positif ou négatif de G sur G', il vient

J^ = ^ HH'H"(i— «') (i— a") OLx"'pp'{q'n-qU')dt;

ce qui exprimera, pendant l'instant dt, la diminution de chaleur de m, ou l'augmentation de chaleur de m', provenant de l'échange entre ces deux parties matérielles.

Si ces parties appartiennent au même corps A , ou supprimera dans cette formule les facteurs H, H', H", ceux qui dépendent des fractions a, a.', a", a'", et le facteur p' ; et si l'on suppose la ligne l égale à la distance r ou MM' qui sépare ces deux parties, cette formule coïncidera, comme cela doit être dans cette hypothèse, avec la formule (2) du n° i3. Elle s'appliquera aussi sans difficulté à l'échange de chaleur entre une partie m de A et une partie m' de l'air environnant, aussi bien qu'entre deux parties m et m' de ce fluide.

En admettant, comme dans le n° i5, que les pouvoirs émissifs de deux matières différentes soient entre eux comme leurs pouvoirs absorbans, on aura

n = qVu, W = q'Yi^;

u et II' étant les températures de m et m' au bout du temps t, et F désignant une fonction indépendante de la nature des corps auxquels ces pai'ties matérielles appartiennent; la formule précédente deviendra alors

-> mm

gj: HH'H"(i-a') (i — a"^ ctu"'pp'qq' (Fu—Yu')di;

et dans le cas de u'=zu, on aura a = o, quelles que soient les matières de m et m', et les absorptions et réflexions intermédiaires. On conclut de là que quand les températures seront primitivement égales, ou quelles le deviendront après un certain temps, entre tous les points d'un système de corps, de forme et de nature quelconques, solides, liquides ou gazeux, cet équilibre de température subsistera indéfiniment entre les parties de ce système, prises deux à deux et aussi petites que Ion voudra , pourvu qu'elles contiennent toujours, comme m et m' , des nombres extrêmement grands de molécules.

Les formules générales que l'on a réunies dans ce numéro mettent en évidence toutes les hypothèses que nous avons faites précédemment sur l'émission , l'absorption et la réflexion de la chaleur. Elles renferment l'expression analytique de ces hypothèses, et montrent comment ces suppositions satisfont , de la manière la plus générale, à la condition de l'équilibre de température. Les lois de la chaleur rayonnante exposées dans ce chapitre en sont le développement et las conséquences.