CHAPITRE III

Lois du refroidissement des corps qui ont la même température en tous

leurs points.

(Sy). Les lois du refroidissement ou de réchauffement d'un corps dépendent, en général , d'une équation aux diflërences partielles, commune à tous ses points, et d'une équation relative à sa surface , que nous donnerons dans la suite, mais qu'on ne parvient à résoudre simultanément que dans des cas très peu nombreux. La question devient beaucoup plus simple, et ne conduit plus qu'à des équations différentielles du premier ordre, en nombre égal à celui des corps soumis à leur influence mutuelle , lorsque la température de chacun d'eux est la même en tous ses points et seulement variable avec le temps. C'est de ce cas le plus simple que nous allons d'abord nous occuper.

Pour qu'il ait lieu, il faut que le corps A, qui se refroidit ou s'échauffe, ait de petites dimensions. Les températures initiales de SCS différens points seront égales ou inégales j la chaleur sera d'abord distribuée arbitrairement dans toute sa masse ; mais après un temps peu considérable, les températures de tous ses points seront devenues égales , excepté près de la surface , dans l'épaisseur de la couche d'où émane la chaleur rayonnante, et où la température varie toujours très rapidement suivant chaque normale (n° i8). Toutefois, quelque peu étendu que soit le corps A, l'égalité de température en tous ses points exige qu'il n'y ait pas de causes qui entretienueirt certaines parties de ce corps , ses extrémités par exemple , à des tempéiatures données : dans ce chapitre, nous supposerons donc que A ne soit pas soumis à l'action constante de semblables causes.

Ce corps A pourra être un solide, homogène ou hétérogène, d'un petit volume ; il pourra aussi consister en un fluide contenu dans

une enveloppe très mince; et, dans ce dernier cas, l'égalité de température s'établira plus proraptement ou dans une plus grande étendue, à raison des mouvemens qui seront produits dans le fluide par la diflférence des températures et des densités initiales, et qui la feront bientôt disparaître , en mêlant les parties inégalement échauffées. Un thermomètre , ou du moins la boule de cet instrument , qui en forme la partie principale, est im corps de cette espèce, que l'on suppose également échauffé à chaque instant dans toute son étendue. (38). Au bout du temps quelconque t, désignons par u la température intérieure de A , au-delà de sa couche superficielle d'où émane la chaleur rayonnante , et après les premiers momens de son refroidissement; par hypothèse, u sera simplement une fonction de t, qu'il s'agira de déterminer. La vitesse du refroidissement de A à cette époque sera la diminution de sa température pendant l'instant dt , divisée par dt ; en la désignant par V, on aura donc

V — ^• dt'

et selon que cette quantité V sera positive ou négative, il y aura, en effet, refroidissement ou échauffement de A. Dans la pratique, on prendra pour V la diminution de température pendant un temps très court, donnée par l'observation et divisée par cet intervalle de temps.

Soient a le volume de A et c sa chaleur spécifique , s'il est homogène, ou la moyenne des chaleurs spécifiques de ses différentes pallies, s'il est hétérogène. La diminution de sa quantité de chaleur pendant l'instant dt sera — acdu (n" 5) ou acYdt , en supposant que les dimensions de ce corps, quoique très petites, sont néanmoins fort grandes eu égard à l'épaisseur de sa couche superficielle où la température n'est pas la même que dans son intérieur, et négligeant , en conséquence , la variation de la quantité de chaleur qui appartient à cette petite portion de A.

D'un autre côté, cette diminution de chaleur acWdt proviendra du flux de chaleur Tadt (n" 17), qui aura lieu à travers chaque élément CD de la surface de A pendant l'instant dt, et de la chaleur enlevée directement à ce corps, pendant ce même instant, par l'air en

contact avec toute sa surface. En ajoutant cette dernière quantité de chaleur à la somme des valeurs de Tcecït , relatives à tous les élémens co , on aura donc une quantité équivalente à acSdt; ce qui servira à déterminer la valeur de V, et fournira l'équation différentielle d'où dépendra la valeur de u.

Or , quelque petit que soit A , si ce corps est soumis à l'influence d'un ou de plusieurs autres corps dont la température varie avec le temps, le coefficient F ne sera pas le même en tous les points de sa surface, et son expression sera difierente selon les différens cas qui pourront se présenter. Je supposerai, en premier lieu, que A soit contenu seul dans une enceinte fermée de toutes parts, dont la température est invariable et partout la même; en la désignant par f, par fJL le nombre constant 1,0077, et par A le pouvoir rayonnant qui répond à l'élément oo , on aura alors (n" 26)

Si l'état de la surface de A n'est pas le même dans toute son étendue, A variera d'un point à un autre; mais on pourra toujours le regarder comme constant, en prenant pour ce coefficient la moyenne des valeurs du pouvoir rayonnant en tous les points de cette surface; et de cette manière, si l'on appelle b la surface entière, la partie àeacYdt qui provient du flux de chaleur dans toute son étendue, sera bTdl. Quant à l'autre partie de la valeur deacYdt, l'observation montre que la chaleur enlevée à un corps par le contact de l'air est indépendante de la matière de ce corps et de l'état de sa surface, de sorte qu'en désignnnt par F, un coefficient qui ne dépend ni de cet état, ni de cette matière, la quantité de chaleur enlevée à A pendant l'instant dt, par l'air en contact avec sa surface entière, pourra être représentée par bT,dt. La perte totale de la chaleur de A pendant cet instant sera donc b{T-\-T ,)dt ; et en l'égalant à son autre expression acYdt, il en résultera

ce qui fait voir que, toutes choses d'ailleurs égales, la vitesse du refroidissement du corps A que nous considérons est en raison directe

de rétendue de sa surface et en raison inverse du produit de son volume et de sa chaleur spcci/îque.

Ce re'sultat est conforme à rexpérience; mais pour qu'il ait réellement lieu, il faut que le corps A soit convexe en tous ses points; car si sa surface présentait une ou plusieurs concavités, la valeur de r ne serait pas la même dans toute son étendue ; et d'après la remarque du n° 32, les vitesses du refroidissement de deux corps de même volume et de même matière, ne sont pas entre elles comme leurs surfaces, quand l'un d'eux a une partie concave. Il faut aussi qu'aucune portion de la chaleur émanée de A ne soit réfléchie vers ce corps par l'enceinte, sans quoi la valeur de T ne serait pas non plus la même pour tous les élémens de la surface.

(3g). Avant d'aller plus loin, il est nécessaire de se former une idée précise de la chaleur enlevée à un corps par le contact immédiat de l'air, et distincte de celle qu'il perd en même temps par le rayonnement.

Cette perte de chaleur par le contact résulte de l'échange entre les molécules du corps comprises dans la même couche superficielle d'où émane la chaleur rayonnante, et les molécules d'air appartenant à une couche de ce fluide dont l'épaisseur est aussi très petite. Elle est nulle quand la température du corps est égale à celle de l'air; elle se change en une augmentation de chaleur, lorsque la seconde température surpasse la première ; et généralement si l'on appelle n la température de l'air, la diminution de chaleur positive ou négative du corps A pendant l'instant clt, due au contact de l'air dans toute l'étendue b de la surface, que l'on a désignée par bV.dt, devra être représentée par b':!r{ii — Y[)dt; de sorte que l'on aura

rsr étant un coefficient positif qui pourra encore dépendre des températures u et M.

Le corps A étant placé dans une enceinte fermée ou exposé à l'air libre, je suppose qu'il se trouve dans un courant d'air ou d'un gaz quelconque, dont la température et la vitesse sont constantes. La couche d'air en contact avec A se renouvelant sans cesse, on prendra pour » la température donnée du fluide en mouvement; et, pour un

même gaz, le coefficient (W sera proportionnel à sa densité, et croîtra, en outre, avec la vitesse du courant. A la vérité, l'air en mouvement et en contact avec A se comprime et s'échauflfe d'un côté de ce corps, tandis qu'il se dilate et se refroidit de l'autre côté; mais en prenant y\ et tB- comme nous l'indiquons , on suppose implicitement que ces deux effets contraires se compensent sur la surface entière de A. La même chose aura lieu si l'air est en repos et A en mouvement ; sa vitesse, dans ce second cas, ou celle de l'air dans le premier cas, pourra être assez grande pour que cette cause de refroidissement on d'échaufïement de A soit prépondérante , et l'emporte de beaucoup sur d'autres causes qui agissent en même temps , c'est-à-dire , sur le ravonnement de A et sur l'influence calorifique d'autres corps voisins. Cela étant , lorsque la température de A sera devenue stationnaire , elle sera celle de l'air dans lequel il se trouve. C'est sur cette considération qu'est fondé le procédé qu'on emploie pour connaître la température de l'air, et qui consiste à agiter fortement un thermomètre dans ce fluide, jusqu'à ce que la température indiquée par l'instrument ail cessé de s'élever ou de s'abaisser. On prend pour la température de l'air environnant celle que le thermomètre marque à cet instant; on peut aussi la déterminer, mais moins promptement , au moyen d'un thermomètre dont la surface est sensiblement imperméable à la chaleur , ou douée d'une réflexibilité aussi parfaite qu'il est possible; en sorte que l'instrument ne puisse s'échaufFer ou se refroidir que par le contact immédiat de l'air, dont l'effet est indépendant de l*état de sa superficie.

Lorsque l'air est calme et le corps A en repos , la couche d'air en contact avec sa surface s'échautTe ou se refroidit ; sa densité et sa force élastique changent : elle se déplace, en conséquence, et est sans cesse i-enouvelée. Il se produit alors près de la surface de A un mouvement de l'air qui peut s'étendre à la masse entière de ce fluide , quand elle est peu considérable , et dont la vitesse dépend de la différence entre les températures de A et du fluide. La détermination de ce mouvement particulier de l'air, et par suite de la variation de température de A à laquelle il donne lieu , est un problème que l'on est loin de savoir résoudre. La loi de cette variation doit donc être empruntée de l'expérience; or, on conçoit qu'elle sera diffé-

renie, selon que le coi-ps A, d'un petit volume, est placé dans un vaisseau clos, comme dans les expériences de MM. Dulong et Petit, ou qu'il est expose à l'air libre, ou, du moins, suspendu dans un grand appartement.

Dans le premier cas, la température de la masse d'air est inconnue; elle n'est sans doute pas partout la même; et à chaque instant elle doit dépendre de la température du vaisseau où elle est renfermée , que l'on peut rendre invariable , et de la température variable de A. Il en résulte qu'en définitive le coefficient r, doit aussi dépendre de ces deux températures, dont il est une fonction qui ne peut être déterminée que par l'observation. Sur ce point, je renverrai au mémoire de MM. Dulong et Petit, où sont consignés les résultats de leurs nombreuses expériences sur le pouvoir refroidissant de différens gaz, pris à différentes températures et sous différentes pressions.

Si , au contraire , A est placé dans un grand appartement ou tout-à-fait exposé à l'air libre , on peut admettre que la couche d'air en contact à chaque instant avec la surface de ce corps , a une température propre et donnée dans chaque exemple ; ce qui re-, vient à dire qu'une couche d'air, après avoir enlevé ou communiqué à A une petite quantité de chaleur, et s'être détachée de sa surface est remplacée par une autre couche dont la température est celle que la première avait d'abord; que cette deuxième couche est de même remplacée par une troisième, celle-ci par une quatrième, et ainsi de suite. Ces couches successives vont perdre ou reprendre dans la masse d'air environnante la chaleur qu'elles ont enlevée ou perdue sans que le fluide soit sensiblement échauffé ou refroidi par cette cause , non plus que par l'absorption d'une petite partie de la chaleur rayonnante émanée de A; ce qui fait rentrer le cas que l'on examine actuellement dans celui d'un courant d'air d'une température donnée, dont on a parlé tout à l'heure.

Pour un corps A exposé à l'air libre ou suspendu dans un grand appartement, l'expérience n'a pas encore fait connaître, en fonction de sa température et de celle de l'air, la loi de la perte de chaleur que ce corps éprouve par le contact immédiat de l'air; généralement on suppose cette perte proportionnelle à l'excès de la température de A

sur celle de l'air environnant; ce qui revient à représenter, comme plus haut, le coefficient T, par un produit <ut{u — >i), et à regarder le facteur -î» comme une quantité indépendante des températures « et u de lair et de A; h)'pothèse qui doit peu s'écarter de la vérité, dans le cas des températures ordinaires. Mais, pour plus de commodité dans les calculs , nous supposerons à F, la même forme qu'au coefficient F qui l'épond à la perte de chaleur par le rayonnement et qui est exprimé par la formule (i); nous ferons donc

/\, désignant une quantité de chaleur indépendante des températures u et -A. Le nombre /* différant peu de l'unité, cette valeur de F, sera, en effet, à 1res peu près proportionnelle à la diflërence u — n, quand ces températures ne seront pas Irès-élevées. Le coefficient A, ne dépendra pas non plus de la nature de A ni de l'état et de l'étendue de sa surface qu'on suppose très petite; il sera proportionnel à la densité de l'air; et si ce fluide est en mouvement, ou si A se meut dans ce fluide, ce coefficient devra être augmenté en raison de la vitesse relative de A et de l'air ; ce qui pourra , quand cette vitesse sera très-grande, rendre A, beaucoup plus grand que le coefficient A de la formule (i). Enfin, si A est exposé à l'air libre, on prendra pour >i la température de l'air environnant , donnée dans chaque cas, et déterminée par le moyen qu'on a indiqué plus haut, ou autrement : si A est suspendu dans un grand appartement , dont les parois ont partout la même température , on la prendra pour la valeur de Y\.

(40). Je reviens actuellement à l'équation (2) , qui suppose le corps A contenu seul dans une enceinte fermée de toutes parts, et dont la température constante est ^. Cette enceinte étant aussi supposée très grande, on fera, d'après ce qu'on vient de dire, »= 1^ dans la formule (3); en la substituant à la place de F, et la formule (i)

au lieu de F dans l'équation (2), mettant — -r- à la place de V, et faisant , pour abréger.

on tirera de cette équation

J'intègre, et je suppose qu'on ait « = >, quand <== o; il vient

kt = log.

d'oii l'on déduit, en désignant par e la base des logarithmes népériens ,

résultat qui montre que quand la température initiale y est égale àÇ, on a constamment u=y, comme cela doit être, et que si cette température y est plus grande ou plus petite que Ç, la température u diminue ou augmente sans cesse, jusqu'à ce qu'elle ne diffère plus sensiblement de ^.

Si les températures ^ at y sont peu élevées, u le sera aussi; en développant alors les exponentielles fi> , jjy , f/^ , suivant les puissances de Ç log jW., y logytt, u log jtt, on pourra négliger les carrés et les produits de ces quantités, qui seront de petites fractions à cause du facteur log yu, , moindre que 0,0077; ^^ cette manière, la formule précédente devient, en réduisant,

et, en même temps, la valeur de k se change en celle-ci: "i

^ __ b{x + A,) lofi f^ ^ ac

Par conséquent, le temps croissant par des intervalles égaux, la température de A variera suivant une progression géométrique dont la raison est indépendante de la température ^ de l'enceinte ; ce qui est , en efi'et, conforme à l'expérience dans le cas des températures ordinaires.

Cette loi du refroidissement des corps d'un petit volume est celle

qui résulte du principe de Newton, d'après lequel la chaleur communiquée par un corps à un autre est simplement proportionnelle à la différence de leurs températures; principe que l'on a admis pendant long-temps , mais dont les conséquences s'écartent de plus en plus de l'observation , à mesure que les températures sont plus élevées. En adoptant cette loi, à cause de sa simplicité, lorsqu'il s'agit de températures ordinaires, et désignant par ô le temps pendant lequel la température de A s'alaisse de sa valeur initiale y, à une valeur donnée ê, nous aurons

^(A ~jr A,)log/* = logf^|,

en vertu des expressions pi'écédentes de u et de k. Pour un autre corps placé dans la même enceinte, dont la surface est dans le même état que celle de A, et dont la température emploiera un temps 6, à s'abaisser de y a ë , nous aurons de même

bfi,

(A -f A,)logAi == log|-zr|;

b,, a,, c,y désignant la surface, le volume et la chaleur spécifique de ce second corps. En divisant ces deux dernières équations l'une par l'autre , on aura donc

bâj ~ c '

équation très simple, sur laquelle est fondé le procédé dont les physiciens ont fait usage pour comparer les chaleurs spécifiques de deux corps d'un petit volume , d'après les temps de leurs abaissemens égaux de température.

(4i). Ces deux corps étant de matières différentes, pour que leurs surfaces soient dans le même état, comme le suppose cette dernière équation, on les recouvre l'un et l'autre d'une couche très mince formée d'une même matière. Or, relativement à l'épaisseur de cette couche, l'expérience a fait connaître un résultat propre à nous éclairer sur l'étendue du rayonnement de la chaleur dans la matière des corps solides.

Si l'on recouvre ainsi la surface entière de A, d'une couche dont le-

paisseur soit très petite , eu égard aux dimensions de ce corps , ot qui soit formée d'une matière telle que le noir de fumée, par exemple, dont le pouvoir rayonnant est très grand, A augmentera,/, ne changera pas, et les autres quantités b, a, c, contenues dans k, ne varieront pas sensiblement. La variation de température de A deviendra donc plus rapide; mais l'expérience prouve qu'il laut que la couche additive ait atteint une certaine épaisseur, pour que la vitesse do réchauffement ou du refroidissement parvienne à sou maximum et devienne stationnaire. Ainsi , en faisant croître graduellement l'épaisseur de celte couche, sans qu'elle cesse néanmoins d'être fort petite, on observe que la température de A varie de plus en plus vite, jusqu'à ce que cette épaisseur ait atteint une limite que l'expérience fait connaître, et que je désignerai par s. Parvenue à cette grandeur s, si l'épaisseur de la couche additive augmente encore, en demeurant toujours très petite, la vitesse du refroidissement ou de réchauflTement ne varie plus. Dans le cas des températures ordinaires, l'expérience montre aussi que pour une épaisseur donnée, plus petite ou plus grande que s, la température de A s'abaisse ou s'élève en progression géométrique, le temps croissant par des intervalles égaux.

Quand la couche de noir de fumée que j'ai citée pour exemple a atteint ou dépassé l'épaisseur i , elle absorbe à peu près toute la chaleur qui tombe du dehors sur sa surface extérieure, et son degré de réflexihilité est sensiblement nul. Au contraire, pour une épaisseur moindre que s, elle réfléchit une partie de la chaleur incidente, dans une proportion qui diminue à mesure que cette épaisseur approche de i. Lorsque la couche additive est formée d'une autre matière, la limite ê a une autre grandeur; à cette limite, la vitesse dn refroidissement, devenue stationnaire, est généralement moindre que celle qui a lieu dans le cas du noir de fumée, et la couche conserve encore un degré de réflexibilité relatif à l'état de sa surface. L'expérience n'a pas fait connaître si cette vitesse est ou n'est point toujoui-s la même pour deux couches additives de matière différente, parvenues à leur limite d'épaisseur, pour lesquelles cette limite i sérail égale, et qui absorberaient, à cette limite , toute la chaleur incidente, ou qui la réfléchiraient en égale proportion.

lO..

En admettant ces résultats comme des données de l'observation , il s'ensuit que le pouvoir rayonnant A de la couche additive dépend, en général, de son épaisseur, de l'état de sa surface, et peut-être aussi de la matière dont elle est formée. Or, d'après les n°' 24 et 26, l'expression de cette quantité est

À = - g I ' a(i — (p) cos9 sin Qd^;

g désignant une quantité invariable de chaleur, a étant une fraction qui exprime, sous l'angle d'incidence â, la proportion suivant laquelle la chaleur extérieure pénètre à travers la surface du corps auquel A se rapporte, et <p représentant une inconnue dont la valeur peut varier, non-seulement avec l'angle 0, comme celle de a, mais aussi avec la matière de ce corps. On peut supposer, ainsi que nous l'avons déjà dit (n° 17), que le phénomène de la division de la chaleur incidente en deux parties, dont l'une est réfléchie au dehors et l'autre pénètre dans l'intérieur, se passe dans l'épaisseur tout-à-fail, insensible de la couche qui termine tous les corps et dont la densité varie très rapidement, de sorte qu'il n'y ait plus aucune réflexion de chaleur à la profondeur à laquelle la densité est regardée comme constante, ou ne varie plus qu'à raison de la température. Dans cette hypothèse, qui paraît la plus naturelle, la fraction a, relative à un angle donné 9, se rapporte uniquement à la surface même de la couche additive, et ne saurait varier avec son épaisseur, de grandeur sensible. C'est donc l'inconnue <p qui doit changer de valeur avec cette épaisseur; et, pour cela, il est nécessaire que les points de la coviche additive, qui émettent au dehors la chaleur rayonnante, et qui absorbent, en échange, la chaleur extérieure après qu'elle a traversé la surface, s'étendent à une profondeur dont la limite est i.

A la vérité , si la fraction a ne varie qu'avec l'état de la surface extérieure, et que le degré de réflexibilité de cette surface soit insensible , comme dans l'exemple du noir de fumée , lorsque l'épaisseur de la couche a atteint la limite ê, il semble qu'il devrait aussi disparaître, et qu'il n'y aurait plus de chaleur réfléchie, contrairement à l'observation, dès que cette épaisseur aurait une grandeur sensible. Mais il faut observer que la fraction a de la chaleur in-

DE LA CIIALELR. ^^

cidente , qui a traversé la surface extérieure de la couche artiiùive n'est pas absorbée en entier par la matière de cette couclie, lorsque son épaisseur est moindre que s : une portion do cette chaleur atteint donc la surface du corps A recouvert par celte couche j et si cette surface a un degré quelconque de réflexibilité, cette portion de chaleur sera en partie réfléchie : elle traversera une seconde fois la couche additive , sans être entièrement absorbée. La portion c[ui atteindra la surface extérieure de cette couche se divisera de nouveau en deux parties, dont l'une sera émise au dehors, et l'autre renvoyée vers la surface de A j et ainsi de suite. De cette manière , la totalité de la chaleur réfléchie au dehors de la couche additive se compose de deux parties distinctes : l'une ne dépend que de l'état de sa surface, et nullement de son épaisseur; l'autre diminue a mesure que l'épaisseur augmente, et s'évanouit quand l'épaisseur a atteint la limite t. La première n'a éprouvé qu'une seule réflexion, qui a eu lieu à la surface extérieure de la couche ; la seconde en a éprouvé une ou plusieurs à la surface du corps A.

Ces considérations montrent la nécessité de la quantité (p , que nous avons introduite dans l'expression du pouvoir rayonnant, et dont l'existence lient à ce que la température varie très rapidement près de la surface d'un corps qui s'échauffe ou se refroidit (n° 21}. En général, toutes les circonstances que présentent l'émission et la réflexion de la chaleur rayonnante s'expliqueront au moyen des deux quantités a et (p, d'où dépend la valeur de A, et dont la première est uniquement relative à l'état de sa surface, c'est à-dire, à sa coloration et à son degré de poli, tandis que la seconde en est indépendante, et varie, au contraire, avec la matière des corps, ou du moins avec la limite é qui répond à chaque matière.

La conclusion générale de ce qui précède est que l'épaisseur de la couche superficielle, d'où émane la chaleur rayonnante émise au dehors par les diCférens corps, et où la chaleur extérieure qui les pénètre est absorbée, n'a point une grandeur insensible, et qu'elle a, au contraire, une grandeur sensible, quoique très petite, qui peut changer d'un corps à un autre. On peut supposer que le rayonnement moléculaire s'étend à des distances sensibles dans l'intérieur des corps solides et liquides, aussi bien que dans leurs couches su-

pgrf jo^rtilles , et que cette étendue sensible peut influer sur les lois de la communication de la chaleur qui se fait de pi'oche en proche dans chacun de ces corps. Toutefois, à cause de la variation rapide de température, qui a lieu près de la surface et n'existe pas dans l'intérieur, il est possible que, pour une même matière, la limite du rayonnement intérieur diffère de celle que nous avons désignée plus haut par «.

(42). Supposons actuellement qu'un second corps A', d'un petit volume , est contenu avec A dans l'enceinte fermée , dont la température invai-iable sera toujours représentée par ^. Au bout du temps t , la température de A sera désignée par u, comme plus haut, et celle de A' par u'. Cela étant, concevous une surface développable , tangente aux surfaces de ces deux corps, qui sera, par exemple, un cylindre à base circulaire, lorsque A et A' seront des sphères égales. Soient EHF et E'HT' (fig. g) les parties de leurs surfaces, comprises entre ces corps et terminées à la surface développable. Il y aura un échange de chaleur entre A et A', à travers deux élémens quelconques, appartenant l'un à EHF, l'autre à E'H'F'. Je désigne par Aclt la perte de chaleur de A pendant l'instant dt, résultant de l'échange à travers les deux élémens a> et &>' qui répondent aux points 0 et 0' de ces poitions de surface. En conservant les notations du n° 27, la valeur de A sera donnée par la dernière formule de ce numéro, ou par la formule (7) du n" 28 , réduite à ses deux premiers termes, savoir :

A = — -^^^^^^[(i-'P)(F«-FO-«'(i -<!>') {Vu -TOI

Son premier terme est la valeur de A qui aurait lieu si A' n'existait pas; le flux de chaleur qui en résultera, pendant l'instant rlf, à travers la surface entière /; de A, sera donc, comme plus haut, égal H bVdt ; le coefficient T élant donné par la formule (i). Si donc on remplace co et ca', dans le second ferme de A, par les élémens différentiels ds et ds' des surfaces de A et A' qui répondent aux points 0 et 0', le flux total de chaleur à travers cette même surface h sera

bTdt — ~ (Fm' — Yl)ffxa.'{ I — cp'j cos 9 cos G' dsds' ;

l'intégrale double s'étendant aux deux portions de surface EHF et E'H'F'.

DE LA CHALEUR. jf^

Si les quantités a et a.' ne sont pas toutes deux égales à l'unité , il y aura, en outre, entre les élémens de EHF et E'H'F' des séries de réflexions de chaleur qui cliangeront , sons le signe //, le facteur aa'(i — (p') en un autre que je désignerai par a,. En ajant égard à l'expression de la fonction F ( n" 26 ), on pourra faire

j^^ (Fu — FO/r«. cos ôcos 6'* d/ = bëifi" — fji,^) ;

è étant une quantité de chaleur dépendante de l'état des surfaces EHF et E'H'F', de la quantité <p', et de la distance qai sépare les deux corps A et A'. Si cette distance est très grande par rapport à leurs dimensions, la quantité S sera très petite relatirement à la quantité A de même nature, qui entre dans la formule (i), et elle variera, à très peu près, en raison inverse du carré de cette distance. Pour tenir compte de la série de réflexions qui a changé aix'(i — ip') en a,, il faudra aussi changer le facteur A de cetlje formule (i) en un autre Facteur A(i + f) , dans lequel f est une fraction très petite, comme

-, dans le cas où la distance de A' à A sera très grande. On supi-

posera que leurs surfaces ne présentent aucune concavité , et qu'aucune portion de chaleur émise par ces corps ne leur est renvoyée par l'enceinte. L'expression précédente du flux de chaleur à travers la surface b sera complète; en sorte qu'en y ajoutant la perte de chaleur bT,(it, produite par le contact de l'air, on aura la valeur totale de la quantité caVdt du n° 42.

Cela posé, d'après l'équation précédente et les valeurs de T et T, ,. nous aurons

acV = è [A (i + /) -H A.] (^" ^?) bQ (^"' - fj,^). ,.; 1. : .

Si l'on désigne par f, è', A', ce que deviennent les quantités /-j Q, \, relativement au coi-ps A'; si l'on représente par a', b', c' , V', son volume , sa sui'face , sa chaleur spécifique , la vitesse de son refroidissement ; et si l'on observe que A, ne change pas en passant de A à A', puisque ces deux corps sont placés dans un même fluide , on aura de même

a'c'y = b'[A\i+f') -f- A,] (/-i"' - ^0 - b'SW - /*')•

8o THÉORIE MATHÉMATIQUE

En mettant, dans ces équations, — j~ ^^ T ^ '^ place des vitesses V et V, et faisant , pour abre'ger ,

on aura ces deux équations différentielles du premier ordre, mais non linéaires,

dans lesquelles on ne pourra pas, en général, effectuer la séparation des variables. On y parviendra seulement dans le cas particulier oîi l'on a pp' = qq' , en supposant que cette égalité soit possible. Si l'on ajoute alors la seconde de ces équations, multipliée par ^, à la première multipliée par p' , on aura

p'du -\- qdu' = o; d'où l'on tire

y étant une constante arbitraire. En substituant cette valeur de «' dans la première équation , on en déduira ensuite une valeur de dt de la forme \}du; le coefficient U étant une fonction de u, de sorte que les variables seront maintenant séparées. Pour que \}du soit inté-

grable sous forme finie , il faudra que — puisse s'exprimer par le rapport de deux nonibres entiers; ce qui sera toujours possible, exactement ou à tel degré d'approximation que l'on voudra. Lorsque la distance comprise entre A et A' sera très grande , les quantités q et q' seront très petites par rapport à p et p', et l'on intégrera les équations précédentes par la méthode des approximations successives.

DE LA CHALEUR. 8i

(43). Si les températures u et u' ne sont pas très élevées, on réduira ces deux équations à la forme linéaire, en développant les exponentielles fJL," et //."' suivant les puissances de u et u' , jusqu'à la seconde exclusivement. En développant aussi fjj^ , faisant

et comprenant le facteur log fx dans les coefficiens p, p' , q, q', on aura alors

— + px — qx = O , -^+px— qxz=o;

équations dont les intégrales sont