N' = OjO'N

J'appellerai aussi u' la température de A' au bout du temps t , près du point 0' et à la limite intérieure de la couche superficielle, qui émet et absorbe la chaleur rayonnante. La fraction a et la quantité de chaleur Q répondant, comme plus haut, au point 0 de la surface de A et à l'angle G , je désignerai par et' et Q' ce qu'elles deviennent relativement au point 0' de la surface de A' et à l'angle G'; je représenterai toujours la quantité Q par la formule (2), et je ferai de même

Q' = F«' -f- (p' (FC — ¥u) ;

(p' étant une quantité inconnue qui ne pourra dépendre que de la matière de A' et de l'angle G'.

Cela posé, en conservant toutes les autres nolations précédentes, on trouvera sans difiicullé, par le raisonnement du n° 25, que la quantité kZ, comprise dans la formule (4), a pour valeur

/■Z = a,Z + (i — a,) a'Q' + ( i — a,) (' — ^') «sZ + (i — a,)(i — a'j(i — a3)a4Z + etc. ;

laquelle ne diffère de celle du numéro cité qu'en ce que les quantités a, et a.Z y sont remplacées par a! et a'Q'. On aura toujours , comme dans ce numéro,

a,+(T a,)a'+(i—a,Xi—a')a3+^i— a. )(i — «•')('— «'3)a4+<^*^-='' d'où il résultera

AZ = Z + (i - «,)'^'(Q' — Z);

et au moyen de cette valeur, jointe à celles de Q, Q', Z, la formule (4) deviendra

A = tîîi^^l^ [(x ^) (F« FÇ)

a'(i - a,) (i - cp') (F«'- FOJ.

Cette formule s'appliquera au cas où la ligne des réflexions successives vient l'encontrer la surface du corps A , après une première réflexion à la surface de l'enceinte : on prendra alors pour A' le coips A lui-même, et 0' sera un point de la surface de A, distinct du point 0. A raison de la quantité a, contenue dans la valeur de A, on voit comment l'état de la surface de l'enceinte influera sur le flux de chaleur à la surface de A , et par suite sur la vitesse de son refroidissement. On voit aussi que la rencontre en un second point 0' de la surface de A , pouvant avoir lieu ou ne pas exister, selon la place que ce corps occupe dans l'enceinte , il en résulte que l'enceinte restant la même , le déplacement de A peut influer sur la loi de son refroidissement ou de son échauffement, jusqu'à ce que la température soit devenue partout égale à ^, et que l'on ait, par conséquent, u =u , u = ^ , A = o.

On formera de même l'expression de kZ que l'on devra employer

dans la formule (4), lorsque la ligne des réflexions successives qui part du point 0 rencontrera une ou plusieurs fois la surface de A , de A' et d'autres corps contenus dans l'enceinte , après ou avant un nombre quelconque de réflexions à la surface de cette enceinte. Si , par exemple, ces rencontres n'ont lieu qu'une seule fois au point 0' de la surface de A', et avant toutes les réflexions à la surface de l'enceinte, la valeur de A sera

A = '"""'^°;;^"ii' [(!-<?) (F«-FÇ) - a'(i - <?') (F«'- FÇ)] ,

cû désignant l'élément de la surface de A qui répond au point 0', h la longueur de la droite 00', G' l'angle aigu que fait celte droite avec la normale en 0' à la surface de A', et les autres notations étant les mêmes que précédemment. Ou voit que , dans ce cas , la valeur de A dépendra encore do l'état des surfaces de A et A', à raison des fractions a, et a' , mais qu'elle ne dépend plus , comme la précédente, de l'élat de la surface de l'enceinte. Ce cas comprend celui que nous n'avons pas considéré dans le n" 24, c'est-à-dire, le cas où la surface de A, étant nomnalc au point 0, la ligue 00' vient la rencontrer en un second point 0', avant toutes les réflexions à la surface de l'enceinte.

(28). Pour comprendre tous les cas en un seul , je suppose que les réflexions successives aient lieu en des points 0', 0", 0'", etc. (fig. tij, appartenant à la surface de l'enceinte ou à des corps difl^éremment échauffés, au nombre desquels le corps A peut être compris, et que, pour celte suite de réflexions, les quantités désignées par a et Q relativement au point 0 de la surface de A et à l'angle d'incidence 6, deviennent a' et Q', a" et Q", a'" et Q'", etc. La valeur de KL relative à ce cas général sera

^Z = «'Q' H- ( I — ajyq' + ( 1 — a') ( , a" ) a"'Q"' -f- etc. ; mais comme on a toujours

a'-f-(i ct')a"+ VI — «0(1 — a")«."' + etc. = i , on pourra écrire cette valeur de AZ sous la forme AZ=Z+a'(Q'— Zj-HCi— ^-')a"(Q"— Z)+(i-a')(i— <i'>"'(Q"'-Z)H-etc.;

46 THÉORIE MATHÉMAIIQUE

au moyen de quoi la formule (4) deviendra

A=li:fL^ll°iI[Q Z-«'CQ'-Z)-a"(i-«')(Q"-Z)

— a'"(i tt') (i — a") (Q'"— Z) — etc.],

et ne contiendra que des différences de quantités de chaleur. Les élémens de surface co et a' sont toujours ceux qui répondent au point 0 de la surface de A , d'où part la ligne des réflexions successives, et au point 0', où a lieu la première réflexion; h est la distance 00' de ces deux élémens; 6 et 9' sont les angles O'ON et OO'N' que cette droite 00' fait avec les normales extérieures ON et O'IN'.

Il pourra arriver que les corps réfléchissans interceptent toute communication entre A et l'enceinte que nous avions d'abord considérée, et forment autour de A une autre enceinte fermée de toutes parts, dont la température variera d'un point à un autre et avec le temps. Mais si l'enceinte dont la température ^ est jinvariable, existe réellement derrière ces corps, ils finiront toujours par prendre tous cette température Ç après un temps plus ou moins considérable. Cela aurait encore lieu lors même que cette enceinte s'éloignerait à une distance immense ; ce qui tient, ainsi qu'on l'a dit plus haut, à ce que l'étendue de l'enceinte croissant comme le carré de la distance, et l'intensité de la chaleur qui en émane décroissant suivant le même rapport, l'action échauffante ou refroidissante de l'enceinte demeure toujours la même, sa température étant supposée invariable.

D'après cela, on exprimera toujours la quantité Q par la formule (2) ; on fera pareillement

Q' = Fm' + (p'(F^ — Fu'), Q" = Fu" H- ?>"(Fr — Fu") , Q"'= Fu"'-h <P"'(FC— Fu'"), etc. ;