X := q-ye-"' + qy'e

x' = (p — m)ye-"" -\- (p — m')y'e-'^''.

On désigne ici par e la base des logarithmes népériens, par m et m' les deux racines d'une équation du second degré, dont les valeurs sont

= UP + p') +1 \\f - P'Y + 477', m' = 1 (p + p') - ï \'\p - P'Y + ^qq',

et par y et y' les deux constantes arbitraires que l'on déterminera d'api'ès les valeurs de x et x' qui répondent à. tz=.o.

Les valeurs de m et m' sont évidemment réelles. De plus , les quatre quantités p, p', q, q', étant positives, et la quantité contenue sous le radical étant la même chose que

ip-^pJ - Aipp' -qq),

on voit que les valeurs de m et m! seront aussi toutes deux positives, si pp' surpasse qq' , ce qui a effectivement lieu. En effet, si l'on compare les intégrales d'où dépendent les valeurs de èA(i -{- f) et b'&\ et celles de b'x'{\ + f) et bQ , il sera facile de s'assurer, en ayant égard à leurs limites, que l'on a toujours

bx{,+f) > bV, b'x'{i+f') > bCi

d'où l'on conclut pp' >• qq' , en observant que la quantité A contenue dans p et p' est positive. Il s'ensuit qu'après un certain temps les exponentielles e""" et e"""'' sont sensiblement nulles; les valeurs de X et x' le sont donc aussi, et les températures u et u! des deux corps A et AJ ne diffèrent plus sensiblement de la température Ç' de l'enceinte, quelles qu'aient été leurs valeurs initiales; ce qui est conforme à l'expérience. L'exponentielle qui répond à la plus grande des deux quantités m et m s'évanouira la première; et quand elle aura disparu, les températures de A et A' varieront toutes deux suivant une même progression géométrique , le temps croissant par des intervalles égaux. Si le cas particulier de pp' = qq' n'était pas impossible , l'une des quantités m et m' serait zéro quand il aurait lieu, et alors les variables x et x' convergeraient vers des valeurs constantes, qui ne seraient pas nulles; au bout d'un certain temps, les températures de A et A' deviendraient donc constantes , mais inégales et différentes de la température de l'enceinte; ce qui ne saurait arriver ; et, effectivement, le cas de pp' = qq' est impossible, comme celui de pp' <.qq'} d'après l'origine des quantités p, p', q, q' .

Cette analyse pourra s'étendre au cas de trois ou d'un pins grand nombre de corps contenus dans une même enceinte fermée , dont la température est invariable. On formera toujours des équations différentielles du premier ordre, en nombre égal à celui de ces corps, qui seront non linéaires et non intégrables sous forme finie. Dans le cas des températures ordinaires, on réduira ces équations, comme les précédentes , à la forme linéaire ; on les intégrera ensuite sans difliiculté; et l'on conclura de la forme de leurs intégrales, qu'au bout d'un certain temps les températures de tous les corps varieront, à très peu près, suivant une même progression géométrique, pour des temps équi-différens , et qu'après un temps encore plus long, elles cesseront de varier, et seront alors toutes égales entre elles et à la température donnée de l'eqceinte.