CHAPITRE IV

Mouvement de la chaleur dans ïintérieur des corps solides ou

liquides.

(44) • Il y a toujours de la chaleur en mouvement dans tous les corps, lors même que les températures de tous leurs points sont invariables, soit que chaque point ait une température particulière , soit qu'ils aient tous une même température. Mais l'expression mouvement de la chaleur est prise ici dans un autre sens; elle signifie la variation de température qui a lieu d'un instant à l'autre dans un corps qui s'échauffe ou se refroidit ; et la vitesse de ce niouvement , en chaque point du corps, est le premier coefficient différentiel de la température par rapport au temps.

J'appellerai A le corps solide ou liquide, homogène ou hétérogène, dans lequel nous allons considérer le mouvement de la chaleur. Soient M un point quelconque de A, et m une partie de ce corps, de grandeur insensible (n° -), et comprenant le point M. Au bout d'un temps quelconque t, désignons par oc , y , z, les trois coordonnées rectangulaires de M, par v le volume de m, et par f sa densité , de sorte qu'on ait

= Vf.

Soient aussi , au même instant , u la température et b la vitesse du mouvement de la chaleur qui répondent au point M-

La quantité u sera une fonction de t, x, y, z, dépendante d'une équation aux différences partielles par rapport à ces quatre variables qu'il s'agira de former. Si A est un corps solide , et qu'on fasse abstraction de ses petites dilatations , positives ou négatives , produites par les variations de u relatives au temps, les coordonnées ce, y, z.

seront indépendantes de i , et l'on aura simplement

dl

Si au contraire on a égard aux petits déplacemens du point M provenant de ces dilatations, ou bien, si A est un fluide dans lequel l'inégalité' des températures, ou toute autre cause, donne lieu à des niouvemcns de ses molécules , les coordoimées x , j, z, seront des fonctions de t ; et l'on aura alors , par les règles connues de la différentiation des fonctions de fonctions,

^ du ^^ dx du dj du dz du , ^

di'^TlTx'^dtd^'^'dtdi' ^^J

expression dans laquelle ~ , -^ , j , seront les composantes de

la vitesse du point M, parallèles aux axes des x, j , z.

L'inconnue u ne sera pas la seule qu'il faudra déterminer, pour connaître complètement l'état calorifique du corps A à un instant quelconque. Supposons que l'on divise ce corps en deux parties B et B', par une surface quelconque , tracée dans son intérieur. Soit (d un élément de cette surface (n° g) comprenant le point M, il y aura continuellement, à travers w , un /lux de chaleur semh\ah\e à celui de la chaleur rayonnante qui a lieu à travers un élément de la surface de A , et que je représenterai par Vadt pendant l'instant dt , de manière que ce produit, positif ou négatif, soit l'excès de la chaleur qui traverse <y en passant de B en B', pendant cet instant , sur celle qui le traverse en même temps, en passant de B' dans B. Le coelTicient F, ou le flux de chaleur rapporté aux unités de temps et de surface, dépendra de la matière et de la température de A au point M, et de la direction de Ci) ; il s'agira aussi de le déterminer , en fonction de t , x ^ y, z , pour chaque direction donnée de oo. Ainsi, m et F seront les deux inconnues du problème dont nous aurons à nous occuper dans ce chapitre. Quand le corps A est soumis à l'influence de foyers constans de chaleur, toutes ses parties parviennent généralement , après un certain temps, à des températures variables d'un point à un autre, mais indépendantes du temps. Dans cet état permanent de A , la vitesse y est nulle en tous ses points ; mais le flux de cha-

leur r existe encore, et seulement sa valeur est indépendante de t, comme celle de u.

(45). Soient M' un second point de A très voisin de M, et m' une partie de A de f^raudeur insensible, comme m, qui comprendra M'. Au bout du temps t, appelons x' , y' , z' , les coordonnées de M' rapportées aux mêmes axes que a:, y, z, et désignons par ni la température de m' ; soit aussi r la distance IMM'.

D'après riijpolbèsc générale sur laquelle est fondée la théorie mathématique de la chaleur (n° '7), il j aura un échange continuel de chaleur entre m et n\! . Je représenterai par cT l'augmentation de chaleur qui en résultera pour m pendant l'instant dt , c'est-à-dire, l'excès positif ou négatif, pendant cet instant, de la chaleur émanée de m! et absorbée par m , sur la chaleur émanée de m et absorbée par m!. On pourra supposer cet excès proportionnel au produit mm'clt , ou à vv'fp'dt, en appelant c' et p' le volume et la densité de m', de sorte qu'on ait m' = i''p', comme on a déjà jn=i'p. Il sera nul dans le cas de 11 =u, el de même signe que la diflérence u' — u, quand elle ne sera pas zéro; dans le vide, il varierait en raison inverse du carré de r ; et généralement sa valeur sera de la forme

J" = ^R(u' — u)dt, (2)

en désignant par R un coefficient positif, dans lequel nous comprenons le facteur pp', qui décroîti'a très rapidement pour des valeurs croissantes de /•, qui pourra aussi dépendre des matières et des températures de m et m', et variera avec la direction de MM', lorsque l'absorption de la chaleur ne sera pas la même en tous sens autour de M.

Dans la supposition la plus générale, R sera donc une fonction de r, u, u', et des coordonnées de M et M'; en sorte que l'on aura

Mais si l'on appelle J' la diminution de chaleur de iti' pendant l'instant dt, provenant de l'échange entre m et m', on aura évidemment cl' = — S' ; d'ailleurs, la valeur de eT' devra se déduire de celle de cT par la permutation des quantités relatives à l'un des points M

et M', et des quantités analogues qui répondent à l'autre ; par conséquent , il faudra que la fonction ^ soit symétrique par rapport à u et u', jc et x'j, j et j', z et 2! .

Le corps A étant un solide ou un liquide , cette fonction $ variera très rapidement avec r et sera insensible ou nulle , dès que r aura atteint une très petite grandeur. Je désignerai cette limite par l, de sorte que cette fonction $ soit zéro, dès qu'on aura /■ > Z ou seulement r =il. Cette ligne l sera donc très petite , mais de grandeur sensible et mesurable (n° /^i), et, par conséquent, extrêmement grande par rapport aux dimensions de m et m'.

(46). L'augmentation totale de chaleur de m pendant l'instant dt sera la somme des valeurs de ^, étendue à tous les points M' dont la distance au point M est moindre que /. J'indiquerai une telle somme par la caractéristique 2. Le facteur vdt étant commun à toutes les valeurs de cT, leur somme sera

vdtl ^ {u' — uy.

Mais pendant l'instant dt, la température de m augmente de Hdt; si donc on appelle c sa chaleur spécifique, cvUdt sera aussi son augmentation de chaleur pendant cet instant; donc en supprimant le facteur commun vdt, on aura

pour l'équation du mouvement de la chaleur, également applicable à un corps solide et à un liquide, en y substituant l'expression convenable de y.

La somme 2, contenue dans cette équation, ne dépend en efl'et que de l'état calorifique de m et des parties circonvolsines de A, qui existe au bout du temps t, eten aucune manière du changement qui pourrait avoir lieu l'instant d'après; en sorte qu'il n'était pas nécessaire de chercher, comme des géomètres l'ont pensé, une équation particulière pour le mouvement de la chaleur dans les liquides, distincte de celle qui répond aux corps solides hétérogènes, et qui avait été donnée depuis long-temps.

i La valeur d'une somme 2 relative à des parties de grandeur insen-

sible, telle que la precédenle, peut s'exprimer par une série dont le premier terme est une intégrale prise entre les mêmes limites que cette somme, et dont les autres termes procèdent suivant les dimensions de ces parties, élevées à des puissances croissantes. Ces dimensions étant insensibles par hypothèse, il s'ensuit que la série est, en général , extrêmement convergente, et peut èti'e réduite à son premier ferme. Ainsi, en désignant par ch>' l'élément difi'érentiel du volume de A, qui répond au point M', on aura, sans erreur appréciable,

l'intégrale s'étendanl à tous les élémens ch', dont la distance /• au point M est moindre que /.

A la vérité, j'ai remarqué dans d'autres occasions que la réduction d'une somme à une intégrale n'est plus permise dans un certain cas qui se présente, par exemple, dans le calcul des forces moléculaires; mais pour que cette exception ait lieu, il faut que la fonction dont on veutsommer les valeurs, varie très rapidement et change de signe entre les limites de cette sommation; or, ici le coefficient R varie bien en effet très rapidement avec la variable r, mais sans jamais changer de signe; et, pour cette raison, l'exception dont il s'agit n'est pas à craindre. Dans tous les calculs de quantités de chaleur qui résulteront d'échanges entre les parties d'un corps, de grandeur insensible, on pourra décomposer immédiatement son volume en élémens infiniment petits, et remplacer les sommes par des intégrales , comme si ce coi'ps était formé d'une matière continue et non pas de molécules disjointes, séparées par des pores ou espaces vides.

(47). Du point M comme centre et d'un rayon égal à l'unité linéaire, décrivons une surface sphérique; soit ds l'élément différentiel de cette surface, auquel aboutit le rayon dont la direction est celle de MM', nous aurons

di>' = r*drds;

et d'après la valeur de la somme 2, l'équation (3) deviendra c^=//h{u' —u)drds. (4;

On y a mis, pour abréger — au lieu de 5; mais on se souviendra que ce coefficient différentiel doit être pris par rapport a t et a tout ce qui en dépend ; en sorte qu'il faudra remplacer -j- par la formule ( i ) , lorsque les coordonnées x^j", z, du point M varieront avec le temps.

La limite relative à r de l'intégrale contenue dans cette équation (4) ne sera pas la même , selon que la distance du point M à la surface de A surpassera l ou sera moindre que cette petite ligne. Dans ce chapitre on supposera que ce soit le premier cas qui ait lieu; l'intégrale relative à r devra alors être prise depuis 7'=o jusqu'à /•= l, dans toutes les directions autour de M ; on pourra donc écrire l'équation (4) sous la forme

"IF =Jjf^(i^'-")^s-]dr; (5)

l'intégrale relative à ds devra s'étendre à tous les éiémens ds de la surface sphérique, et par la réduction en série, on en obtiendra facilement la valeur approchée.

(48). Pour cela, je désigne par a, S, y, les angles que la droite MM' fait avec des parallèles aux axes des x, j, z, menées par le point M. A cause de MM' = r, il en résultera

x' — x=^rco?,ct, y — jz=rcosQ, z' — zz=rcosy,

et, d'après le théorème de Tajlor, on aura

, du .au a . du

u — M = -r- r cos a -\- -y~ /' cos » + "^ '' cos y

I d''u . I d''u . . io ■ I d'u ,

+ --3-T r*cos»a-+--Tn.^ cos'& + --^r*cos'>

. d^u . ft , d^u . , d^u p

+-J—T- r*cosacosb+ j-^ r''cosacos^+ j-j r* cos b cos y + etc.

Si l'on développe de même Pi suivant les puissances et les produits de m' — u, x' — 3c,j' — j, z' — z, on aura aussi

les parenthèses indiquant ici que l'on doit faire u' = u, x =-X, y=j, z'=:z, après les diflërentiations qui supposent r invariable, et V désignant ce que devient en même temps la (onction 0 du n" 1^5, de sorte que l'on a

Au moyen de ces développemens de R et de u' — u, celui du produit R («' — u) se composera de termes de cette forme

H/° cos' et cos'' è cos'" y ;

H désignant un coefficient indépendant de a, ê, > , et les exposans /, /', /", étant des nombres entiers et positifs qui ne seront pas nuls tous les trois à la fois, et dont l'exposant n est la somme i + 1' -\-i'. Or, en ayant égard aux limites de l'intégrale relative à rfj', on aura

f cos' a cos'' é' cos'" yds = o ,

toutes les fois que l'un des trois nombres /, /', «", sera impair; car alors cette intégrale se composera d'élémens qui seront deux à deux égaux et de signes contraires. Quand aucun des nombres /, i' , i", ne sera impair, l'intégrale ne sera pas zéro; les règles ordinaires en donneront les valems exactes , quels que soient ces trois nombres; et de CL'lte niniiière on aura

R («'-«) = H,r« + H,r4 + u,r' ■+- etc.: (6)

les quantités Hj, H^, H^, etc., étant des fonctions différentielles de forme connue, dans chacune desquelles les différences partielles de u seront prises par rapport à x, j , z, et s'élèveront à l'ordre marqué par son indice inférieur. --^.;<~ — ) - ^ '/jr^/l

Pour une température u qui varierait très rapidement, de sorte qu'elle ait des valeurs très différentes dans l'étendue du rayonnement

^ THÉORIE MATHÉiMATlQUE

intérieur, les coefliciens H,, H^, Hg, etc., formeraient une série très rapidement croissante, à cause des différences partielles de u dont ils dépendent. La série (6) cesserait alors d'ê(re convergente, malgré la petitesse de r' ; mais ce cas n'a pas lieu en un point M suiïisanîment éloigné, comme on le suppose, de la surface de A; et nous pourroiis, en conséquence, regarder la série (6) comme extrêmement convergente.

En s'arrétaut à son 71''"" terme , l'équation aux différences partielles du mouvement de la chaleur sera de l'ordre 2?i; mais son intégrale complète renfermera certaines parties qui varieront très rapidement, et que l'on devra supprimer pour cette raison, dans la valeur de m, cbmine étrangères à la question ; ce qui réduira toujours cette valeur au même degré de généralité) quel que soit son degré d'approximation , dépendant des termes de la série (6) que l'on aura conservés. C'est ce que nous ferons voir par la suite, sur un exemple particulier, dans lequel nous montrerons aussi l'inflaence que peut avoir l'étendue sensible du rayonnement intérieur sur la valeur de u. Mais pour réduite l'équation générale du mouvement de la chaleur à la forme la plus simple, c'est-à-dire, à la forme d'une équation aux difféi'ences partielles du second ordre, ainsi qu'on le fait ordinairement, nous bornerons l'approxifnation au premier terme de la série (6); ce qui revient <a considérer comme insensible l'étendue du lajonnement dftDS rint.«pçur des corps solides et des liquides. '"(4t)).^ Dans éette hypothèse, on arrêtera le développement de R aux termes dépendans du carré de /' exclusivement. A cause de la symétrie de R par rapport à u et m', jc et jc\ y et y' , z et z', et de ce que V représente, on a évidemment

\dû') 2 "5ir ' \d^') 2 177 ' \dy) i~d^' \ dz)

I rfV 'i dz

'•'■-> r. ,i ; 'il >' , ;'

i\ idn^tiéàultejta donc

;rj!'ir,riT •j':!"!0.

«=v+iS:(,.'-.)+:^(.w)+if(y,.;+JÏ(»'-);

ctde'tette Valeur joiritè à celle de m' — u, on conclura

DiE LA CHALEUR. g,>

H.=j[vS+(^è+^)r;]/««;«'^

, I r,j. d'u , / rfV du dV \ du-\ ^ . ,

ou plus simplement

les différences partielles de V par rapport a. oc , y , z, étant prises en considérant u comme une foaction de ces trois coordonnées, et sans faire varier r.

On a d'ailleurs

/cos* ads = fco^*Ç,ds =: /cos* yds.

De plus, si l'on appelle 4 l'angle que fait le plan de la droite MM' et d'une parallèle à l'axe des x menée par le point M, avec un plan fixe mené par cette parallèle, on aura

ds = sin ada.d'^ ;

et l'intégrale relative à ds devant s'étendre à toute la surface sphérique à laquelle cet élément appartient, il en résultera

/cos* ads = j cos* a sin a dxf^''d'\ = ^.

Donc en réduisant la valeur de K{ii' — u) au premier terme H,r* de la série (6), l'équation (5) deviendra

3 Vc

, 1-^ fd'u rl^j^i . du rldV ^j\

La fonction V étant nulle pour toutes les valeurs de r plus grandes que l, on pourra maintenant étendre les intégrales relatives à /• audelà de cette limite, et si l'on veut jusqu'à r = qo . Si l'on fait alors

• f Yr'dr=k,

k sera une fonction de u, x, j, z, et l'on aura

S J n dx dx'

■2,r r'^d.Y , , dk

tJo d^'"^''=dj>

2^ r"" dv , , dk

/ -r- r^dr = -T- ; J o dz az

par conséquent, l'équation générale du mouvement de la chaleur deviendra finalement

, , du , du du

du dx dj dz , ,

'^ ~dt dx ' '^ ' dr~' ^7)

Quand tous les points de A sei'ont parvenus à un état stationnaire,

du

di

on aura -^^ = o , et il en résultera

f f)9ri

dx j^ dy dz

dx •" ~^ ' dr~ ^'

pour l'équation relative à cet état permanent.

(5o). L'équation (7) coïncide avec celle que j'ai trouvée autrefois pour le cas d'un corps hétérogène (*), mais en ue supposant point alors que la quantité k dépendît de la température u.

Si A est un corps homogène, k ne dépendra que de u, et l'équation (7) se changera en celle-ci :

du , /d^u d'u d-u\

^'dt ^ "^ w "^ 57 "T" 'd^O

dk /du' du' du'-\ (8)

■r" dli \d7^ "^ dj' "^ ~dzO'

(*) Journal de l'École Polytechnique , 19' cahier, page 87.

DE LA CHALEUR. g5

En supposant que cette quantité k soit indépendante de «, on aurait 1 équation

du , /d'u , d'u , d'u\ .

"" 71 = ^{dJ' + dr + dFj' ^9)

que l'on donne ordinairement, et qui se réduit, dans le cas de l'état permanent, à une équation indépendante des deux quantités cet A-, savoir :

dF' "^ ip '^ dF ~ '^'

Après avoir obtenu l'équation (9), en considérant c et k comme des quantités constantes, on supposait qu'elle conservera la même forme lorsque ces quantités seront variables, qu'il suffira d'y mettre

pour - une fonction donnée de u, et que l'équation relative à l'état

permanent n'éprouve aucun changement. Mais on voit que ces suppositions ne sont point admissibles : l'équation (9) et celle qui s'en déduit dans le cas de-;- = o, ne sont point, dans le cas même d'un

corps homogène, l'équation exacte du mouvement de la chaleur et celle de l'état permanent; et la formule (S) montre qu'indépendamment des difle'rences partielles de u , du second ordre par rapport à X, y, z, les véritables équations doivent aussi contenir les carrés de ses différences partielles du premier ordre.

Pour avoir égard aux déplacemens des points de A, produits par les dilatations et condensations dues aux variations de température, ou par d'autres causes, on remplacera, comme on Ta dit plus haut,

j- par la formule (1), et l'équation (7) deviendra

(du du dx du dy du dz\

dt'^'dbcdt'^'^-dt'^dl dï)

dx djr dz

C'est cette équation (10) que l'on devra joindre, par exemple, aux équations ordinaires du mouvement des liquides, pour les compléter.

ainsi que je l'ai déjà proposé dans mon Traité de Mécanique et dans

un mémoire précédent.

(5i). Occupons-nous maintenant de la détermination du flux de chaleur F (n° 44) > correspondant à l'élément a d'une surface qui divise A en deux parties B et B'.

Supposons que le point de la surface auquel répond l'élément co soit le point M de A, que nous avons considéré précédemment, qui est situé à une distance de la surface de ce corps plus grande que /, et dont la température et les coordonnées sont z^ , x, j, z, au bout du temps t; prenons dans B un point M, et dans B' un point M', très voisins l'un et l'autre de M, et appartenant avec M à une ligne droite M, MM' (fig. lo); soient m, et m' des parties de B et B', de grandeur insensible, et qui comprennent les points M, et M'; appelons u, et u' leurs températures au bout du temps t; soient aussi v, et v' leurs volumes; jj, , J^, z, les coordonnées de M,, et x' , y', z' celles de M'; faisons

et désignons par cT la diminution de chaleur de m, , provenant de l'échange entre m, et m' pendant l'instant dt. D'après la formule (2), nous aurons

R, étant ce que devient la fonction <& du n° 45 , quand on y met les quantités qui répondent aux points M, et M', de sorte que l'on ait

Cela posé, si nous concevons un cône circonscrit à l'élément co et ayant son sommet au point M, , et si nous appelons A la somme des valeurs de S" x'elatives à toutes les parties de B' comprises dans ce cône , nous aurons

A = v^dt ff R, (lit — "') dr,ds,

en remplaçant la somme par une intégrale (n° 4^^ ^^ v' par l'élément différentiel r,^di,ds, du volume de B' qui répond au point M';

dans lequel clément, ds est celui d'une surface sphërique décrite du point M, comme centre avec un rayon égal à l'unité. La distance du point M, à la surface de A étant plus grande que l, nous prendrons en conséquence l'intégrale relative à r, , depuis /•, = r jusqu'à r, = l. Quant à l'intégrale relative à ch , elle devra s'étendre à la portion de surface sphérique interceptée par le cône , et que nous représenterons par ix.

Maintenant on obtiendra la somme des valeurs de A relatives à toutes les paities de B, telles que m,, au moyen d'une nouvelle intégrale triple, dans laquelle on prendra pour v, l'élément différentiel du volume de B correspondant au point M,. Si l'on mène par le point M , une normale N,MN' à la surface de séparation de B etB', dont MN, soit la partie comprise dans B ; que l'on fasse

M.MN, = e,

et que l'on désigne par -^ l'angle que fait le plan 'de MN, et MM,, avec un plan fixe passant par MN,, cette expression différentielle de v, sera r' sin Bdrdùd^y. L'intégrale relative à r s'étendra depuis ;• = o jusqu'à /■ = l; on intégrera depuis -vf, = o jusqu'à 4 = 27r, et seulement depuis G = o jusqu'à la valeur de ô qui a lieu à la surface de B, et que je représenterai par 6 — i, de sorte que i soit un très petit angle dépendant de la courbure de cette surface au point M. • Or, cette somme des valeurs de A sera évidemment la valeur du flux de chaleur Tcedt à travers l'élément a; car, d'après l'éloignement du point M, de la surface de A , toute la chaleur émise par chacune des deux parties B et B' est absorbée par l'autre ; par conséquent, nous aurons

Tù) = /R, («, — m') /-* sin yrdr.dsdM-^.

'L'intégrale relative à ds étant une intégrale double, il s'ensuit que la valeur rigoureuse de F dépend d'une intégrale sextuple ; ce qui devait être, puisque ce flux de chaleur dépend de l'action réciproque des parties de B et de B' ; mais sa valeur approchée se réduira, comme on va le voir, à une intégrale simple.

(Sa). D'abord, à cause de la petitesse des dimensions de w, que l'on suppose insensibles par rapport à / , nous pouvons considérer u'

et R, comme étant sensiblement invariables dans l'intégration relative

à ds , qui se réduira alors à changer ds en (7. Par la même raison, et

en observant que w cos 6 est la projection de ca sur un plan mené par

le point M perpendiculairement à la droite MM,, on pourra aussi

prendre

r^(7 = a cos G ,

même pour les valeurs de r comparables aux dimensions de a>, sans qu'il en puisse résulter aucune erreur sensible dans la valeur totale de Tco.

A T'aison de ce facteur cos 6, qui sera introduit sous le signe/", la partie de r dépendante de l'angle /, ou de la forme de B, aura pour coefficient le carré de la fonction des rayons de courbure qui entre dans l'expression de l'action capillaire ; en sorte que la courbure des surfaces influe beaucoup moins sur le flux de chalcir que sur les phénomènes de la capillarité. Son influence sera tout-à-fait nulle au degré d'approximation où nous allons nous arrêter.

Après avoir développé le produit R, («, — u') en série, nous bornerons l'approximation comme dans le n° 49> "^u premier terme de ce développement. Cela étant, nous pourrons négliger / , et étendre l'intégrale relative à 9, depuis 0 = o jusqu'à G = i '^. H n'y aurait d'exception que si les rayons de courbure de la surface de B au point M, étaient très petits et comparables à /; mais nous supposerons que ce cas n'ait pas lieu. De cette manière, en supprimant le facteur commun a , nous aurons

T^f'f T'Y'^R. ( ". — "') cos Gsin Mrdr.dfid^. (i i)

I oj O J O i/o

Pour simplifier le calcul , je prends l'axe desx parallèle à la normale N,MN'; je le suppose aussi dirigé dans le sens de la partie MN' comprise en dehors de B , et le plan d'où l'on compte l'angle -^ , parallèle à celui des x ely ; en sorte que cos G, sin G cos ■\|, , sin 6 sin %}/, soient les cosinus des angles que fait la ligne MM' avec les prolongemens des coordonnées x , j, z, du point M, ou ceux des supplémens des angles compris entre MM, et ces mêmes prolongemens. On aura alors

;r, = jr — r cos G , j\=x — /■ si n 9 cos -4/ , z,-=z — rsinSsinv}/, ^•' ;= j: -|- r' cos 9 , y =j-l-r'sin G cos 4 . r' = 2-|-r'sin G sin 4,

pour les coordonnées de M, et M'. En négligeant les carrés de r et r', il en résultera

u.=^u ^ r cos 9 ,r sin â cos 4 — t- r sin 9 sin 4 >

' <f X dj- ' dz •

u' = u +j- r' cos G + ^ r* sin 6 cos 4 "h j^ ''' sin 6 sin 4 ,

et, par conséquent,

u^ — u'z=. — -^ i\ cos 6 — j- r, sin fl cos 4 — -j- fi sin G sin 4 ,

à cause de r, = r-\- r. Eu même temps, on réduira dans R, les températures et les coordonnées de M, et M' à leurs premiers termes , c'està-dire, à la température u et aux coordonnées x, j, z, de M; ce qui donnera R, = V,, en désignant par V, ce que devient la quantité V du n° 48, quand on y met r, au lieu de r. Cela étant, les intégrations relatives à G et 4 s'effectueront immédiatement dans l'expression de

r ; les termes dépendans de -3- et j- disparaîtront, et l'on aura simplement

Je fais, pour un moment,

de sorte que/r soit une fonction qui s'évanouira pour r= Z, et telle qu'en la différentiant par rapport à r, on aura

^ - - Vr dr

En intégrant par partie, on a généralement,

j'frdr = rfr — j^%rdr;

donc, puisque le produit rjr s'évanouit aux deux limites r= o et r= /,

g8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

on aura

dfr et en remettant pour^r et ^ leurs valeurs précédentes, il en résultera

fl (/•' V.'-.rfr,)^/- = y^' \,-dr ;

pur conséquent, en ayant égard à l'expression de la quantité â: du n° 49 > 01 aura finalement

quantité qui sera négative ou positive, comme cela doit être, selon que la température croîtra ou décroîtra près du point M, dans le sens de la normale MN' extérieure à B.

(55). Abstraction faite du signe, cette formule fait voir que les flux de chaleur rapportés aux unités de surface el de temps , et relatifs à un même point IM, qui ont lieu à travers différens élémens de surfaces passant par ce point, sont entre eux comme les décroissemens de température suivant les directions perpendiculaires à ces élémens et relatifs à une même épaisseur infiniment petite. Pour une même valeur dn rapport du décroissement de température à l'épaisseur correspondante, le flux de chaleur est proportionnel à la quantité k. La communication de la chaleur entre deux parties contiguës d'un corps a donc lieu, toutes choses d'ailleurs égales, avec plus ou moins de facilité, selon que cette quantité est plus ou moins grande ; c'est pourquoi l'on prend la quantité k pour la mesure de la conductibilité de la chaleur dans l'intérieur d'un corps dont les différentes parties sont inégalement échauffées.

La valeur de k est très différente dans les diverses matières , et ne peut êlre déterminée que pari-expérience pour chaque matière en particulier. Elle dépend aussi de la température; sous ce rapport, il y a lieu de croire que sa variation est plus grande, dans les corps solides , que celle de la chaleur spécifique, qui n'est sensible qu'à des températures très élevées. C'est , en général , dans les métaux que la conduc-

DE LA CHALEUR. gg

tibillté k est la plus grande. Dans les liquides , elle est presque nulle ; ainsi, lorsqu'un liquide en repos est échaufle à sa partie supérieure, ses couches inférieures s'échauffent très lentement; en sorte qu'il faut un temps très grand pour que sa température s'élève d'une manière sensible, à une profondeur peu considérable. Si, au contraire, le liquide est échauffe par en bas, ses parties inférieures se dilatent et s'élèvent, en conséquence, à raison de leur diminution de densité; en même temps, ses parties supérieures descendent; puis elles s'échauffent quand elles sont parvenues au bas du liquide , et remontent ensuite vers la surface. lise produit ainsi, dans tout le liquide, un mouvement très compliqué et qu'il serait très difficile de soumettre au calcul, mais dont l'effet, quant à la chaleur, est de sujjpléer au défaut de conductibilité et de produire assez promptement une température égale dans la masse entière. Les mêmes choses ont lieu à l'égard des fluides aériformes : la conductibilité de la chaleur de proche en proche est à peu près nulle dans les différens gaz. Quand un gaz est en contact avec un corps chaud , il n'y a guère qu'une couche extrêmement mince du fluide qui s'échauffe directement; au-delà de cette couche, la chaleur se transmet dans le fluide, non-seulement par le déplacement de ses parties, mais aussi par l'absorption, en petite proportion , de la chaleur rayonnante émanée du corps chaud. Peut-être réchauffement direct de la couche fluide , en contact avec ce corps , n'est-il que l'effet de cette absorption augmentée dans un très grand rapport par la condensation que produit l'attraction du corps , et qui rend la densité de cette couche beaucoup plus grande que la densité naturelle du fluide.

Dans l'intérieur des corps solides, comme le verre par exemple, qui sont traversés dans de grandes épaisseurs par la clialeur rayonnante émanée d'une source dont la température est très élevée , la chaleur se propage à la fois, de proche en proche en vertu de la conductibilité propre à chacun de ces corps, et par l'absorption plus ou moins grande de cette chaleur rayonnante.

(5/|). Il est possible que dans certains corps la conductibilité de la chaleur ne soit pas la même suivant toutes les directions autour de chaque point. Cela peut avoir lieu dans le bois, composé de fibres juxtaposées, et où la propagation de la chaleur est peut-être plus

loo THÉORIE MATHÉMATIQUE

facile dans le sens de ces fibres que dans le sens perpendiculaire à leurs directions. De même, dans l'intérieur des cristaux, il n'est pas impossible que la conductibilité de la chaleur soit diflerente dans le sens du clivage et suivant d'autres directions.

Pour que cette anomalie ait lieu dans le corps A , il faut que sa nature intime varie sensiblement dans l'étendue du rayonnement intérieur, c'est-à-dire dans une épaisseur égale à /. En calculant la valeur approchée de la formule (i i), on ne poun'a plus alors, comme on l'a fait tout à l'heure, réduire les coordonnées des points M, et M' à celles du point M, dans l'expression de R,. Mais si la température n'éprouve pas de changement brusque, et qu'elle soit au contraire sensiblement la même tout autour de chaque point M, dans l'étendue du rayonnement intérieur, on pourra encore mettre u à la place de M, et u' dans R,, et développer l'autre facteur il, — u' , compris sous le signe f, suivant les puissances de /"et /■'. De cette manière, R, sera une fonction de u, r, r , 6, -^ , àe forme inconnue, non-seulement par rapport à /■ et r', mais aussi par rapport à 6 et -xj, ; les intégrations relatives à ces angles ne pourront donc plus s'effectuer comme dans le cas général; et la valeur approchée de F, déduite de l'équation (i i), prendra la forme

•p 7 fl^ __ // ^ ;» ^

dx dj' dz '

en arrêtant toujours le développement de u, — u' aux premières puissances de r et /', et désignant par h, h', h", trois quantités positives , dépendantes de la tempéi'ature u et de la constitution intime de A autour du point M.

Cette expression du flux de chaleur à travers l'élément « est moins simple que la formule (12), et ne dépend plus seulement de l'accroissement de température dans le sens perpendiculaire à cet élément. L'équation du mouvement de la chaleur serait aussi plus compliquée que l'équation (7). Mais dans cet ouvrage je ferai abstraction de l'inégalité de conductibilité en différens sens, qui peut quelquefois exister; et sur ce point, je renverrai à un mémoire de M. Duhamel, inséré dans le 21' caliier du Journal de l'Ecole polytechnique.

(55). Je vais maintenant faire voir le rapport qui existe entre la conductibilité A et le pouvoir absorbant , dont on a représenté la me-

DE LA CHALEUR. loi

sure par q dans le n" 1 1 ; je comparerai ensuite les flux de chaleur qui ont lieu dans l'intérieur et à la surface des corps.

La quantité ^ contenue dans l'équation (2) de ce chapitre, est égale et de signe contraire à la quantité désignée par la même lettre dans l'équation (2) du n" i5. De ces deux équations, on conclura, en conséquence,

i>^'K{u' - u) = -^ pmm' {qW — q'U).

On a d'ailleurs

et, en vertu de la formule (3) du numéro cité,

n = ^Fw, n' = q'Yu; la valeur de R, déterminée par l'équation précédente, sera donc

Pour en déduire la quantité ^ qui entre dans l'expression de ^, il y faut faire (n° 48) «' = u, et les coordonnées du point M' égales à celles de M, sans changer la distance r ou MM' d'où dépend le facteur p. On aura donc

Fu' — Fu dFu I ,

u' — u ~ ~dûl' f — f ' ^ — l'y

et en même temps on devra prendre pour p la valeur de cette quantité qui a lieu dans un corps homogène dont la matière et la température sont partout les mêmes qu'au point M de A ; laquelle va- . leur est (n° ii)

en désignant par e la base des logarithmes népériens, et faisant

fi ~

Par conséquent, la valeur de V sera