I02 THEORIE MATHEMATIQUE

dFu

La valeur correspondante de k pourra s'écrire sous cette forme :

, I dFu

6fq du

ri -•Lr'dr

/ celle de l'intégrale qu'elle contient est le double de i — e ' ; mais la quantité/» devant être insensible à la limite r = l, on peut négli-

/ ger l'exponentielle e '; et l'on aura simplement

, 1 dFu

3fq du'

La fonction Fm étant la même pour tous les corps, ce ne sera donc qu'à raison du facteur — ou ê, que la conductibilité A- pourra

varier d'un corps à un autre pour une même température. Si />,, q,, k,, sont la densité, le pouvoir absorbant et la conductibilité d'un second corps, différent de A, on aura, à égalité de température,

équation qui fera connaître le rapport — des pouvoirs absorbans ,

lorsque celui des conductibilités aura été déterminé par l'expérience ,

et que le rapport des densités sera donné.

(56). D'après la valeur de Fu qu'on a trouvée dans le n° 26,

on a

dFu d./^" ^

'dû S du '

S étant une quantité de chaleur inconnue et commune à tous les corps, et fji le nombre constant 1,0077. La valeur précédente de Adeviendra donc

I d.fc"

^=3 S^^hT-,

DE LA CHALEUR. io3

au moyen de quoi celle de Y qui est donnée par 1 équation (12), prendra la forme :

Dans un corps solide ou liquide , la ligne £ est très petite (n" II); en désignant par v la température qui a lieu sur la normale MN', à la distance ^ « de M , on pourra donc remplacer, avec une approximalion suffisante, cette valeur de Y par celle-ci :

Y = giix" — f^'),

afin de la rendre plus facilement comparable à celle du flux de chaleur qui a lieu à la surface de A. Pour des températures w et ^ du corps et de l'enceinte où il est placé, l'expression de cet autre flux de chaleur est , en effet (n" 26) ,

Y = ngifx.^' — ix^),

n étant un nombre abstrait déterminé par la formule

n = - I ' a (i — (p) cos 6 sin ô<^6-

Si donc on représente par % le rapport de la première valeur de Y a la seconde , on aura

fi" — ft'

Or, la température i> différant extrêmement pende u, tandis que u peut différer beaucoup de Ç, il faut donc que 71 soit une fraction extrêmement petite , sans quoi le flux intérieur serait toujours incomparablement moindre que le flux extérieur, ce qui n'a certainement pas lieu.

Pour satisfaire à cette condition, il est nécessaire et il suffit que l'inconnue (p, contenue dans la valeur de n , et qui tient à la variation rapide delà température dans la couche superficielle de A (n° 21), soit très peu différente de l'unité ; ce qui montre de nouveau la nécessité d'avoir égard à cette variation rapide de température , près de la surface des corps qui s'échauffent ou se refroidissent. Dans la très

io4 THÉORIE MATHÉMATIQUE

petite épaisseur de la couche superficielle qui émet et absorbe la chaleur rayonnante, si la température variait très peu, comme à l'intérieur dans une égale épaisseur, on aurait cp = o; la surface étant supposée entièrement perméable à la chaleur ou dépourvue de réflexibilité, le facteur a. serait l'unité; la plus grande valeur de n serait tlonc

n = - I ' cos 6 sin ùdt z= ^ :

ce qui rendrait celle de x tout-à-fait inadmissible.

La quantité n étant donc une très petite fraction, à cause du facteur I — <p très peu différent de l'unité, il faut cependant que le flux extérieur dont ii est un facteur, ne devienne pas aussi extrêmement petit; et pour cela, il est nécessaire et il suffît que son autre facteur constant g soit une très grande quantité de chaleur. Ainsi , la considération des deux quantités (p et g est indispensable pour accorder entre elles les expressions des deux flux de chaleur qui ont lieu dans l'intérieur et à la surface d'un coi'ps , dont l'un résulte d'une très petite différence 11 — i> de température, l'autre d'une différence u — Ç', incomparablement plus grande en général, et qui doivent avoir néanmoins des valeurs du même ordre de grandeur.

L'expérience ne détermine pas séparément les deux facteurs n et g du pouvoir rayonnant ?ig ou A (n° 26) : Ti est très petit et variable , g est constant et très grand, et leur produit peut être en conséquence tout ce que l'expérience donnera dans chaque cas pour la valeur de À.

( 57 ). Nous pouvons encore considérer sous im point de vue différent de celui qui nous a conduit à l'équation (12), la commimication de la chaleur entres les deux parties contiguës B et B' du corps A.

Pour cela, élevons en dehors de B un cylindre perpendiculaire à la surface commune de ces deux parties, et ayant pour base l'élément co de cette surface, qui répond au point M situé, comme précédemment, à une dislance de la surface de A plus grande que l. On pourra représenter, pendant l'instant dt, par fïadt l'excès de la chaleur émanée de B et absorbée parce cylindre, sur la chaleur émanée de ce même cylindre et absorbée par B. La question qu'il s'agit maintenant de résoudre consiste à déterminer le coefficient fî, dont la va-

DE LA aiALEUR. ro5

leur coïncidera, comme on va le voir, avec celle de T qu'on a trouvée plus haut. '■' V •

Désignons toujours au bout du temps t, par n, et u', les températures des parties m, et m' qui répondent au point M, et M' de B et B', et par u celle qui répond au point M de la surface de séparation ; supposons actuellement que M' ((ig. 1 1) soit situé sur la normale MN', et que la partie m appartienne au cjlindre que nous considérons; du point M, abaissons une perpendiculaire M,P sur le plan tangent en M à la surface de B; et cela étant, faisons

M\l = r', MP = r, M.P = Ç, MM, = ;,;

nous aurons

Les coordonnées de M étant x, j, z, et l'axe des x étant dirigé, comme plus haut , dans le sens de la normale MN', les coordonnées du point M' seront Jc-\-r', y , z, et colles du point M, pourront être représentées par .r — ^ , j^- — /■ cos %{/ , z — r sin -vj/ , en désignant par ^1- un angle susceptible de ci-oître depuis >{/ = o jusqu'à ■\/ = 2.7r. En vertu du théorème de Tajior, on aura donc

du , du ... ^

^ r cos 4 -^- /■ sm 4 -|- etc. ,

du j.

du

du ,

+ etc

L'expression de cT du u' 5i sera l'augmentation de chaleur de m' , provenant de l'échange entre ;«' et m, pendant l'instant dt. On en déduira la valeur de Cladt par l'application immédiate des règles du calcul intégral (n° 46). Ainsi, en mettant dans cette expression de S'y à la place de v , le volume adr' d'une tranche infiniment mince du cylindre normal, et intégrant ensuite depuis r = o jusqu'à r'=l, on obtiendra d'abord l'augmentation de chaleur du cylindre entier provenant de l'échange avec une seule partie m, de B. Cela fait, on en déduira la valeur totale de D.codf par une intégrale triple, relative aux variables/', -^ , ^, dans laquelle on prendra pour le facteur V, de /, l'cléraent différentiel du volume de B, exprimé au

lp6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

moyen des différeoti elles de ces trois variables, lequel est rdrd^d'\>'. L'intégrale relative à ^ devra s'étendre depuis la valeur de cette variable en fonction de r et 4» ^^^ ^ ''eu à la surface de B, jusqu'à Ç = Z; on intégrera ensuite depuis ^f. = o jusqu'à -vj, = 27r , et depuis r=o jusqu'à r= l.

De cette manière on obtiendrait la valeur rigoureuse de Çlœdt; mais si l'on néglige dans ces calculs les puissances de ^, /', r', supérieures à la première, on pourra étendre l'intégrale relative à Ç depuis f = o, jusqu'à ^ = Z; on aura simplement

, du ,^ , ,, du , du . .

"V-" ~-^(?-t-0— ^'■cos^^ — ^rsin4,

et l'on réduira l'autre facteur R, de J' à une fonction àe t\, u, oc , j, z, qui sera la fonction V, du n" 52 , que nous désignerons par fi\ , attendu que nous aurons seulement besoin d'y considérer la variable r,. L'intégrale relative à 4 s'eft'ectuera immédiatement : elle fera disparaître j- et — j et en supprimant le facteur commun adt , il en résultera

■■ "^ 'a = ^\^rrr'^^±^/r.dr^d^dr. . ,„ ,

Il ne reste plus maintenant qu'à réduire cette intégrale triple à une intégrale simple ; ce que nous ferons dans le numéro suivant.

(58). [.a fonction y}',, facteur de la quantité soumise à l'intégration , est nulle pour toute valeur de r, , plus grande que l, et l'on a /■, >• /, dès que l'une des trois variables v , ^ , r', surpasse /; il s'ensuit donc que l'on peut étendre l'intégrale relative à chacune de ces variables au-delà de la limite l, et, si l'on veut, jusqu'à l'infini. Alors, si l'on met r^ et rr', à la place des variables ^ et /'', et conséquemment, rd^ et rdr' au lieu de leurs différentielles, les limites des intégrales relatives à 7-, ^ , /■', seront encore zéro et l'infini ; la valeur de r, deviendra

et celle de Cï prendra la forme

dxj o J o J o i + d-J- r'y-^ ' ''

DE LA CHALETIR. 107

Changeons actuellement la variable r et sa différentielle, et remplaçons-les par

r dr

les limites des intégrales demeureront encore les mêmes; on aura r, = r , et , par conséquent,

il = — 27r ^ dx

r r- ^±r)3<^jLr Jr.rUlr.

Dans l'expression de A^ du n° 49» on peut aussi étendre l'intégrale jusqu'à r :=co ; la quantité V qu'elle renferme est la même que fr; on a donc

En effectuant les intégrations, on a aussi

r» dr' / 5 = I>

et, par conséquent,

r" r=° {% + r')didr

,9'fif'!«fro3 n». , .'

;uil

On aura donc finalement.

en sorte que la valeur de fï. coïncide , comme on l'a dit plus haut , avec celle de T qui est donnée pour la formule (12).

(5g) Cette expression commune de Q. et T suppose les coordot»^^ nées du point M rapportées à des axes parallèles à la normale et au plan tangent en ce point à la surface de B; ce qui était propre, en effet , à simplifier les calculs ; mais maintenant il est bon de transformer la formule (12) en une autre, dans laquelle les axes des coordonnées soient indépendans de la direction de l'élément u. Si jc,j^, z,

io8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

représentent les coordonnées du point M , rapportées à des axes rectangulaires quelconques, et que a.fë,y, soient les angles que la nor^-, niale MN', extérieure à B, fait avec des parallèles à ces axes menées par ce point, on aura alors

formule qui sera aussi l'expression générale de fl.

En effet, soient x^, y^, z^, les trois coordonnées de M, ayant même origine que>r ^j-, z, et rapportées, la première x/a un axe qui a la même direction que MiN', les deux autres jr, et z^ à des axes perpendiculaires entre eux et à l'axe des x^, nous aurons

X z=: x^ cos a. -\- Ji COS a.' -\- z^ cos a", j = Xi cos ^ -\- Ji cos è' -\- z^ cos Ç," , z = x^ cos -y -f- y, cos y' + ~-, cos y" ;

o.' , C, y, et a", b", y,i étant les angles que font les axes des j-, et z^ avec ceux des x , j, z. Or, si l'on considère u comme une fonction de x^, Ji, z^ , on aura, en vertu de la formule (12),

Si, au contraire, on regarde « Comme; xine fonction de x , y, z, on aura , d'après les équations précédentes., ,

du du du -, . «fei i liiful -jiiof» r/lUB aO

X = T~ cos a -)- — cos b -h -r cos y ; dx^ dx ,\^ <fy dz ' '

et de ces deux dernières équations, on conclut immédiatement la formule (i 3) qu'il s'agissait d'obtenir.

(60). En prenant pour ù) l'élément différentiel de la surface de séparation de B et B' qiïi répond au point M, l'intégrale de Ta étendue à une pot'tioh quelcdnque de cette- surface et multipliée par dt ,ii exprimera îe flux instantané de chaleur à travers cette même portion de surface. Si B"eiitoure IV de toutes parts (fig. 12), et que l'on étende l'intégrale à la suffade entière de B', ce flux de chaleur sera l'augmentation totale We là chaleur de B' pendant l'instant rf«; ce qui sup-^

DE LA CHALtUR. log

pose, toutefois, qu'aucun point de la surface de B' ne soit à une distance de celle de A, moindre que /, et que les dimensions de B', aussi petites que l'on voudra d'ailleurs, surpassent toujours cette limite / du rayonnement intérieur: la première condition est nécessaire pour que Ton puis!?e faire usage de la formule j5) dans toute l'étendue de la surface de B'; la seconde doit être remplie pour que la chaleur émise par B à travers cette surface soit absorbée en entier par B'.

On trouvera encore l'augmentation instantanée de la chaleur de B', en prenant la somme des augmentations qui résultent des échanges entre B et les cylindres élevés dans l'intérieur de B', perpendiculairement sur tous les élémens de sa surface ; laquelle somme sera donnée par l'intégrale de £!&) étendue à la surface entière et multipliée par dt; ce qui coïncidera avec le résultat déduit de la considération du flux de chaleur F, en exprimant les valeurs de F et JQ par la même formule (i 3). A la vérité, les cylindres normaux, pour remplir entièrement et sans double emploi le volume de LV, devraient être remplacés par des filets qui se rétrécissent ou s élargissent à raison de la convexité ou de la concavité de cette partie de A ; mais il faut observer qu'en déterminant la valeur de fl, on a déjà négligé l'influence de la courbure de B', et que Ion doit, conséquemmeut , en faire encore abstraction dans les usages que l'on fera de cette valeur.

La considération de l'accroissement instantané de chaleur de B' peut aussi conduire à léquation générale du mouvement de la chaleur dans l'intérieur de A, par une méthode qu'il est bon de connaître, et qui difîère essentiellement de celle que nous avons suivie d'abord , en ce que la partie m de A dont on considérait l'augmentation instantanée de chaleur devait avoir des dimensions de grandeur insensible par rapport à l, tandis que maintenant les dimensions de B' devront encore être très petites , mais plus grandes que /.

f6i). Les intégrales des trois termes de la formule (j3) multipliée par Cl), pourront se déduire de l'une d'elles par des changemens de lettres : il sufiira, par exemple, de considérer l'intégrale correspondante au premier terme. Je supposerai, pour fixer les idées , l'axe des X vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, et la partie B' de A située en entier au-dessous du plan des j et :;. Si l'oa conçoit un

iio THÉORIE MATHÉMATIQUE

cylindre vertical , tangent à la surface de B', la ligne de contact divisera cette surface en deux parties qui auront une même projection horizontale : j'appellerai S' la partie supérieure, S^ la partie inférieure, et S leur projection commune; d'après la direction de l'axe desx et la position de B', l'angle a sera aigu dans toute l'étendue de S', et obtus en tous les points de S^. Or, l'élément a et sa projection horizontale dj-dz étant des quantités positives, liées entre elles par l'équation

dydz = zt <w cos a,

on devra donc prendre le signe supérieur ou inférieur selon que w appartiendra à S' ou à S^ , afin que rt cos a. soit toujours positif; par

conséquent , l'intégrale de — ^ 'T ^ ^'^^ * ' étendue à la surface entière de B', sera la différence de deux autres intégrales doubles, savoir :

qui s'étendront l'une et l'autre à tous les élémens dydz de S, mais dans lesquelles [k -J-j se rapporte à un point quelconque de S^, et k ^ , à un point quelconque de S'.

Cela posé, soient M, M', M^, trois points situés sur une même verticale, dont le premier appartient à l'intérieur de B', le second à S' et le troisième h S^. Ces trois points auront les mêmes coordonnées horizontales j^ et z; et si x est l'ordonnée verticale de M, on pourra représenter celles de M' et M^ par x — Ç' et x + t,- En développant suivant les puissances de 0' et Ç, , on aura alors

du

du

Or, si l'on suppose que les dimensions de B', toujours plus grandes que /, soient néanmoins très petites, les variables 0' et 0^ le seront aussi; et si l'on néglige , en conséquence , leurs puissances supérieures à la

DE LA CHALKUR. , , ,

première, on aura

en désignant par ^ la longueur de la droite M'M^, de sorte qu'on ait Ç'-f-Ç, = i- De cette manière, la diflërence des deux intégrales précédentes deviendra

A raison de la petitesse des dimensions de la surface S à laquelle cette

intégrale double doit s'étendre, on y pourra considérer —

comme une constante. De plus, si l'on appelle H le volume de IV, on aura

f/^djdz = H.

L'intégrale précédente , ou la valeur approchée de — 1 k y- a cos a,

. du

^- di sera donc enfin H — r--- On trouvera de même dx

pour l'intégrale des trois termes de la formule (i 3) , nmltipliés par co ; en sorte que cette expression multipliée par dt sera l'accroissement de chaleur de B' pendant cet instant. D'un autre côté, si l'on appelle c la chaleur spécifique de A, qui répond au point M , on pourra, à cause des petites dimensions de B', regarder c, aussi bien que la température u relative au même point, comme des quantités constantes dans toute rétendue de cette partie B' de A. Son accroissement de chaleur correspondant à la variation ffw de sa température, sera donc aussi Ucdu; et en l'égalant à la quantité précédente, multipliée par dt, nous aurons

pour l'équation générale du mouvement de la chaleur dans l'intérieur de A, qui coïncide, en effet, avec l'équation (7), qu'on a trouvée d'une autre manière.

A raison des différentes quantités que l'on a négligées, cette équation (14) n'est qu'approchée ; mais il est bon d'observer que l'approximation ne porte que sur la valeur de T dont on a fait usage : cette valeur étant donnée, les deux membres de l'équation (i4j peuvent être regardés comme les premiers termes de deux développemens d'une même quantité de chaleur, ordonnés suivant les puissances et les produits des dimensions de B'; et les deux développemens devant être égaux, quelles que soient ces dimensions, pourvu qu'elles surpassent / , il faut que le premier terme de l'un soit rigoureusement égal au premier terme de l'autre.

(62). On parvient encore à l'équation (i4)> en prenant pour B', un parallélépipède rectangle dont les côtés sont très petits et néanmoins plus grands que /.

Pour simplifier le calcul , je prendrai les axes des coordonnées parallèles aux côtés de ce parallélépipède, adjacens à un même sommet qui sera le point M. Ces coordonnées de M étant x, y, z, les trois côtés adjacens seront leurs prolongemens , et j'en représenterai les longueurs par h , h', h". Je supposerai , comme plus haut , l'axe des jc vertical et dirigé dans le sens de la pesanteur, et la partie B' de A située en entier au-dessous du plan desj^ et z; la hauteur de ce parallélépipède sera h , chacune de ses deux bases horizontales aura h'k' pour valeur, et H étant sou volume, on aura

H = hh'h".

La normale à sa base supérieure, comprise dans son intérieur, fera un angle zéro avec l'axe des x, et des angles droits avec ceux des j^- et z; par conséquent, en vertu de l'équation (i5), le flux

de chaleur correspondant au point M aura pour expression — ^ j~»

DE LA CHALEUR. ii3

et , à raison de la petitesse de h' et //", on pourra regarder cette quantité comme constante dans toute l'étendue h'h" de cette base. Mais une portion de la chaleur qui traverse les élémens de ce rectangle, dont les distances à ses côtés sont moindres que l, n'est pas absorbée par le parallélépipède B', et sort par ses faces latérales. Pour que le produit de — A: ^ • et de h'fî'dt puisse exprimer

l'aiigmentation de chaleur de B' pendant l'instant dt , due au flux de chaleur à travers sa base supérieure, il faudra donc que l'on néglige la partie de ce flux correspondante aux élémens dont il s agit, par rapport au flux entier ; ce qui exige que les côtés h' et h" , quoique très petits , soient néanmoins de très grands multiples de /.

Dans cette hypothèse, l'augmentation instantanée de chaleur de B', provenant du flux à travers sa base supérieure, étant

— k^h'h"dt, dx

on en déduira évidemijient son augmentation de chaleur provenant du flux à travers sa base inférieure, en y mettant x-f- ^ au lieu de x, et changeant ensuite le signe du résultat, parce que la normale intérieure à laquelle répondent les angles a, €, y, dans la formule (i5), change de direction en passant d'une base à l'autre. Si l'on néglige le carré de h, cette seconde augmentation de chaleur sera donc

k~h'h"dt+—^hh'h"dt.

dx ' dx

Donc aussi, en l'ajoutant à la première, et mettant H au lieu de hh'h", on aura

—^ndt,

dx '

pour l'augmentation de chaleur de B' pendant l'instant dt , due aux flux qui ont lieu à travers ses deux bases horizontales.

En changeant, dans ce résultat, x en ^ et en z successivement, on aura les augmentations de chaleur de ce parallélépipède, dues aux

,i4 THÉORIE MATHÉMATIQUE

flux qui ont lieu à travers ses autres faces parallèles; par conséquent, son accroissement total de chaleur pendant l'instant dt sera , comme plus haut ,

Mais maintenant, si l'on considère comme constantes, dans toute l'étendue de B', la température et la chaleur spécifique, et celle-ci étant c au point M, ce même accroissement de chaleur devra être égal à Hcrf«; ce qui donne de nouveau l'équation (i4)-

Cette manière de parvenir à l'équation générale du mouvement de la chaleur laisse quelque obscurité sur son degré d'approximation, à raison des quantités qu'on a été obligé de négliger près des côtés du parallélépipède. Elle n'aurait aucun sens, si l'on supposait cette partie B' de A infiniment petite; et même on a vu qu'il faut que ses trois dimensions h, /?',' K' , soient très grandes par rapport à l.

Les quantités désignées précédemment par F et Cl étant égales, cette même méthode peut aussi être présentée d'une autre manière. En décomposant le parallélépipède B' en prismes verticaux qui auront pour bases les élémens du rectangle h'h" , le produit

— k — h'ii'dt exprimera , pendant l'instant dt, le résultat des échanges

de chaleur entre tous ces prismes et la partie de A située au dessus du plan de la base supérieure de B' : pour cela, il suflira que l'on

regarde k -j- comme invariable dans toute l'étendue de cette base ,

et l'on n'aura pas besoin de rien négliger près de ses côtés. En né-

gligeant le carré de h, on en conclut que — ^ — Wdt exprimera de

même l'accroissement instantané de la chaleur de B', provenant des échanges entre ce parallélépipède et les parties de A situées , soit au-dessous du plan de la base inférieure de B', soit au-dessus du plan de sa base supérieure. Les quantités analogues qui répondent

DE LA CHALEUR. ii5

aux faces verticales de B' seront aussi — y^Hdt et — t — Hr// Mais

il faut observer que près des côtés du parallélépipède, une portion des parties environnantes de A influe à la fois sur deux de ces trois quantités de chaleur, et même sur toutes les trois près des sommets. Il y a donc double ou triple emploi à l'égard de ces portions extérieures; et pour que la somme des trois quantités précédentes exprime 1 augmentation totale de la chaleur de B' pendant l'instant dt , il faut qu'on puisse négliger l'eflet des portions extérieures dont il s'agit par rapport à l'effet total; ce qui exige encore, comme tout à l'heure , que les dimensions du parallélépipède soient de très grands multiples de l'étendue / dans laquelle s'exerce l'influence de ces mêmes portions extérieures sur B'.

On retrouve également la nécessité de cette même condition , lorsque l'on applique l'analjse du numéro précédent l\ la surface entière de ce parallélépipède, en considérant les arêtes vives comme des portions de surfaces cylindriques , tangentes aux faces adjacentes , et d un rayon extrêmement petit. A cause de la petitesse de ce rayon de courbure, l'analyse du n" Sa et l'expression de Y qu'on en a déduite ne sont point applicables, dans l'étendue /, de part et d'autre de chaque arête ; et pour pouvoir se servir de la formule (i3), comme on l'a fait dans le n° 6i , il faut encore qu'on puisse négliger cette étendue par rapport aux dimensions h, h', fi', de B'.

(G5). Si le corps A est une barre homogène , cylindrique ou prismatique, qui ne rayonne pns au dehors à travers sa surface latérale, et dans laquelle les points de chaque section perpendiculaire à sa longueur aient une même température, variable d'un instant à un autre, cette température u ne sera fonction que de t et de x, en prenant Taxe des x dans le sens de la longueur de A; par conséquent, les équations (7) et (i3) se réduiront à

d k — du ' dx ^ 1 du

dl dx dx

Les flux de chaleur à travers différentes sections planes de la barre, faites par un même point , seront donc entre eux , d'après la dernière

ii6 THÉORIE MATHÉMATIQUE

de ces équations, comme les cosinus des angles compris entre la direction de la barre et les normales à ces sectious. Relativement à la section perpendiculaire à cette section , on aura

d'où l'on conclut, ce qui est d'ailleurs évident, que le flux de chaleur aura lieu dans le sens oii la température est décroissante.

Si, de plus, les deux extrémités de cette barre sont entretenues à des températures constantes , tous ses points parviendront aussi , après un temps plus ou moins long , à des températures permanentes. A cette époque, l'inconnue u ne dépendant plus que de œ , on aura

C étant une constante arbitraire. Dans cet état, le flux de chaleur à travers chaque section normale de la barre sera donc constant , le même dans toute sa longueur, et égal à bC , en appelant b l'aire constante de la section normale.

La tempéi'ature permanente, déterminée par la seconde équation (i5), sera une fonction de 3C qui dépendra de la valeur de k en fonction de u. Ce n'est que dans le cas particulier où la conductibilité est indépendante de la température, que celle-ci croîtra ou décroîtra uniformément suivant la longueur de la bai-re. Dans ce cas, on aura

ku -)- Cx -f- C = o ,

C étant une seconde constante arbitraire. Supposons que la variable x soit comptée à partir de l'une des extrémités de la barre; appelons jT la température donnée qui répond à j::=o; prenons pour le zéro de l'échelle thjrmométrique la température, aussi donnée, qui a lieu à l'autre extrémité, et qui répondra à x=.h, en désignant par h la longueur de la barre. Nous aurons , d'après l'équation précédente ,

k^ -\- C = o, C/i + C = o , pour déterminer les valeurs de C et C; et il en résultera, en un

point quelconque de la barre parvenue à l'état permanent,

« = (, --^cT, ^C = '-5^. (.6)

Ainsi , dans le cas particulier où l'on suppose la conductibilité indépendante de la température, et dépendante seulement de la matière de la barre, cette matière, la section normale de la barre et la différence des températures extrêmes restant les même?, le flux constant de chaleur, d'après la dernière équation (iG), est en raison inverse des longueurs dans deux barres dilTércntcs.

En partant des équations (16), et en étendant la seconde, c'est-àdire, la loi du flux de chaleur en raison inverse de l'épaisseur de chaque tranche d'un corps, au cas où celte épaisseur est infiniment petite, ainsi que la diflerence des températures relatives aux deux faces de la tranche, on en déduit l'équation du mouvement de la chaleur dans l'intérieur d'un corps échauffé d'une manière quelconque. D'après cette considération, on a cru pouvoir présenter cette équation générale comme indépendante d'aucune hypothèse sur le mode de communication de la chaleur entre les molécules voisines, et l'égalité de ses deux membres comme une proposition rigoureuse que l'on a comparée aux théorèmes de la Statique et de la Dynamique. Mais on voit , par ce qui précède, que les équations (16), quelque simples qu'elles paraissent, n'ont réellement lieu que dans deux suppositions particulières : l'une qui consiste à regarder l'échange de chaleur entre deux molécules comme indépendant de la température absolue, et simplement proportionnel à leur température relative; l'autre concernant l'étendue du rayonnement intérieur, que l'on suppose de grandeur finie, mais tout à-fait insensible. En admettant la première hypothèse, on pourrait démontrer, à priori ^ que dans une barre parvenue à l'état permanent, la température varie uniformément suivant sa longueur, et que le flux constant de chaleur qui en résulte est en raison directe de la différence des températures extrêmes et en raison inverse de la longueur totale, quelles que soient la loi et l'étendue du rayonnement intérieur; mais le flux de chaleur étant ainsi proportionnel au premier coefTicient différentiel de la température , lorsque celui-ci ne varie pas, on n'en peut pas conclure que cela

ii8 THÉORIE MATHÉMATIQUE

ait encore lieu quand ce coefficient varie d'un point à un autre; et , au contraire , le flux de chaleur suit une autre loi , bien plus compliquée , si l'on a égard à l'étendue sensible du rayonnement. Les méthodes que j'ai suivies dans ce chapitre, pour parvenir à l'équation générale du mouvement de la chaleur, étant, sans aucun doute, moins simples que celles dont on avait d'abord fait usage, et qui semblaient donner à cette équation plus d'étendue qu'elle n'en a réellement , j'ai dû présenter ici quelques observations pour montrer la nécessité de mes calculs, et pour fixer les idées sur la nature véritable de cette équation fondamentale.

DE LA CHALEUR. ng

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