CHAPITRE V

Mouvement de la chaleur à la surface d'un corps de forme

quelconque.

(64)- Indépendamment de l'équation (7) du n° 49 > commune à tous les points du corps A , solide ou liquide, homogène ou liétérogène, il en existe une autre qui n'a lieu que pour les points de sa surface, ou, plus exactement, pour les points situés à une profondeur très petite, mais néanmoins plus grande que l'étendue / du rayonnement intérieur, augmentée de l'épaisseur de la couche superficielle d'où émane et oii est absorbée la chaleur rayonnante proprement dite (n° 18). On doit distinguer cette épaisseur et cette étendue l'une de l'autre, ainsi qu'on l'a dit à la fin du n° 4> > parce que la loi des températures, et, par suite, celle de l'absorption de la chaleur, ne sont pas les mêmes dans l'intérieur et pi es de la surface d'uu corps qui s'échauffe ou se refroidit.

A une distance de la surface moindre que l'épaisseur de la couche superficielle , les variations de chaleur d'une partie matérielle de grandeur insensible, provenant des échanges, soit avec les parties environnantes du même corps, soit avec celles des corps voisins et de l'air environnant, ne sont plus exprimées par des intégrales entières, c'est-à-dire , par des intégrales relatives aux distances , que l'on puisse étendre depuis zéro jusqu'à l'infini, comme dans l'intérieur. Pour cette raison, la température varie très rapidement près de la surface dans le sens normal , et peut être très différente à la surface même et à une très petite profondeur. La loi de cette variation n'est pas déterminée; l'expérience ne nous la fait pas connaître; mais elle confirme la différence indiquée par la théorie, entre cette variation et celle qui a lieu en dehors de la couche superficielle (n° 40- Heureuse-

I20 THÉOraE MATHÉMATIQUE

lîient l'équation qu'il s'agit d'obtenir est indépendante des lois inconnues de l'absorption de la chaleur et de la température dans l'épaisseur de celte couche.

(65). Soit M un point de A très voisin de sa surface ; appelons x , r, z, les trois coordonnées rectangulaires de M; et désignons par u la température de A qui répond à ce point au bout du temps quelconque t. Du point M, abaissons sur la surface de A une perpendiculaire qui la rencontre au point 0 ( fig. i5 ) ; et soit h la longueur de MO, que nous supposerons extrêmement petite, mais de grandeur sensible, et dont nous fixerons plus bas la limite. Par le point 0 , menons un plan tangent à la surface de A , et par le point M , un plan parallèle au pi'emier. Ce plan divisera A en deux parties que nous appellerons B et B'; et la partie B', qui compi-end la perpendiculaire MO , sera un très petit segment , ajant pour flèche cette droite MO. Soit « l'élément de ce même plan , de grandeur insensible et qui comprend le point M. Appelons C le cjlindre perpendiculaire à B , contenu dans B', dont la base, la hauteur, le volume, sont «, /^, coh, et qui interceptera sur la surface de A un élément comprenant le point 0, que l'on pourra regarder comme appartenant aussi à ce plan tangent et comme égal à oj.

Je représenterai par Lladt l'augmentation de chaleur de C pendant l'instant dt, provenant des échanges entre C et les parties de B, et par ù^cadt celle qui provient des échanges entre C et les parties de B'. Je désignerai de même par Tcedt, la diminution instantanée de chaleur de C, due au rayonnement extérieur, c'est-à-dire, l'excès de la chaleur que tous les points de C émettent pendant l'instant dt , et qui atteint et traverse la surface de A, sur la chaleur venue du dehors, qui traverse cette surface, atteint ensuite C , et est absorbée par cette partie de B'. L'augmentation de chaleur de C pendant le même instant dt, sera alors

Clcûdt ■+■ Lcùdt — Yocdt.

D'un autre côté, si l'on appelle c la chaleur spécifique moyenne de C, et jtt la plus grande valeur de la vitesse b (n° 44) *!"' ^m-va lieu , au bout du temps t, dans toute l'étendue de ce cylindre, son augmentation de chaleur sera moindre que ciÀ^aihdt; par conséquent, la quan-

tite n +A — r, abstraction faite du signe, devra être plus petite que cu.h. Or, quelles que soient les températures inconnues des points de C , nous admettrons que les vitesses de leurs variations ne sont pas extrèmemenl grandes , sauf un cas d'exception dont il sera question plus bas. JNous pourrons donc négliger le produit Cfx.h , à cause de l'extrême petitesse de son facteur h ; et nous aurons , en conséquence ,

équation d'où l'on déduira celle qu'il s'agit d'obtenir, en y substituant les valeurs de H, A, T.

(G6). La première de ces trois quantités a déjà été déterminée ; on prouvera que la deuxième peut être négligée; et quant à la troisième, elle est équivalente, comme ou va aussi le démontrer, au flux de chaleur rapporté aux unités de temps et de surface , qui a lieu du dedans au dehors de A , et qui répond au point 0 de sa surface.

I . D'après ce qu'on a vu dans le a° 5-, et en vertu de la formule (i3) du n' 59, on a

^ , /du , du f, . du \

fl = — A- (^^cos a H- ^ cos G + ^ cos y y,

k désignant la conductibilité de la matière de A qui répond au point M, et a.,Ç,,y , étant les angles que fait le prolongement extérieur OiN de la normale MO avec des parallèles aux axes des x , y , z, menées par le point 0. Mais cette formule suppose que dans toute l'éte-idue des échanges de chaleur entre les parties de C et celles de B , on a pu développer 1 expression de la température en série convergente , ordonnée suivant les puissances des coordonnées dont lorigine est au point M; ce qui exige que dans toute cette étendue la température ne varie pas très rapidement; et pour satisfaire à cette condition, il faudra que la hauteur A de C surpasse la ligne / du u° 45, de toute 1 épaisseur de la couche superficielle dans laquelle la température varie très rapidement, et qui a été désignée par e dans le n° 18. Nous admettrons que cela puisse avoir lieu, sans que la distance h ou MU du point M à la surface de A, cesse d'être exlrêraement petite, corauie nous l'avons supposée.

2°. Soient M' et M^ des points de W très voisins l'un de l'autre, et dont le premier appartient à la normale MO. Abaissons de M^ la perpendiculaire M^O, sur le plan tangent en 0 , et faisons

Menons aussi par les points M, et M' des parallèles M,M" et M'M^, à ce plan tangent, qui coupent en M" et M^^ les perpendiculaires MO et M,0^. Soient m', m", in^ , m^^ , des parties matérielles de grandeur insensible , qui répondent à ces quatre points M', M", M^ , M^^ ; soient it', u", u^. u^^ , leurs températures au bout du temps t. Les points M' et M^, étant très rapprochés l'un de l'autre , et pouvant être considérés comme également éloignés de la surface de A , on aura, à très peu près, m' = u^^; il en sera de même à l'égard des points M" et M^ , pour lesquels on aura aussi u" = u^. Si donc on suppose, de plus, les masses m' et //i,^ égales, ainsi que ni' et m^, tout sera semblable dans le couple m^ et m', et dans le couple m^^ et 7?/'; par conséquent, l'échange de chaleur entre m^ et m' sera le même qu'entre ni' et ;«,j, soit qu'il ait lieu directement, soit qu'il se fasse par une réflexion intérieure sur la surface de A. Il suit de là que si la chaleur de ni est augmentée par l'échange avec m^, la chaleur de ni^^ sera augmentée de la même quantité par l'échange avec ni' , et , conséquemment, celle de ni' éprouvera en même temps une diminution égale à cette augmentation. Ainsi, les variations de chaleur de ni et ni' , provenant des échanges avec m^ et m,,, étant toujours égales et de signes contraires , la chaleur de C n'en sera point altérée ; et comme cette conclusion convient également à tous les couples de parties matérielles de C et B', il en résulte que la quantité A , provenant de tous les échanges entre C et B', sera égale à z(''ro.

3°. Après avoir tiré la droite M,p, menons par le point M' une parallèle M'O' à cette ligne, qui rencontre au point 0' la surface de A , et soit U)' l'élément de cette surface qui répond à 0'. La chaleur émise au dehors par la partie ni^^ à travers l'élément «, correspondant au point 0, sera égale à celle qui émane de ni à travers le second élément co' ; car il est évident que tout est semblable dans les deux cas ; les parties ni^^ et ni étant celles que l'on a considérées tout à l'heure.

DE LA CHALEUR. laS

qui sont égales et également éloignées de la surface, et les distances INl'O' et JM,,0 pouvant être regardées comme égales, vu que le point 0' ne s'écarte pas sensiblement du plan tangent en 0. La même chose ayant lieu pour toutes les parties de C et deB', prises deux à deux, on en conclut que la chaleur émise au dehors par toutes les parties de B', à travers un seul élément co de la surface de A , est équivalente à la chaleur émise à travers tous les élémens de cette surface , par une seule portion C de B' ; et comme cette conclusion convient aussi aux quantités de chaleur qui traversent la surface de A , de dehors en dedans , il s'ensuit que le flux total de chaleur qui a lieu h chaque instant à travers l'élément cù , est égal à celui que l'on a désigné plus haut par Tû)dt; égalité pareille à celle de deux semblables quantités, à laquelle le calcul nous a conduits dans les n"' 5- et 58.

(67). Dans ce flux de chaleur à travers «, on comprend ici, nonseulement la chaleur rayonnante proprement dite, qui traverse cet élément suivant toutes les directions du dedansau dehors et dudchors en dedans , mais encore la chaleur communiquée ou enlevée à A à travers ce même élément, par la couche d'air très mince en contact avec ce corps (n° 5g). La valeur complète de F dépendra de diverses circonstances qui auront lieu autour de A, ainsi qu'on l'a vu dans les chapitres II et III; mais on pourra touj oins la représenter par

p étant un coeflTicient positif, et Ç une température positive ou négative, qui sera la valeur de u pour laquelle le flux de chaleur serait nul. Sans la définir autrement , nous l'appellerons, en général , la température extérieure. Elle pourra varier avec la position du point 0 auquel F se rapporte ; elle pourra aussi varier avec le temps; en sorte que ^ sera une fonction de t et des trois coordonnées de ce point 0, qui devra être donnée dans chaque exemple. Il en sera de même à l'égard du coefllcient p, qui variera d'un point à un autre avec l'état de la surface, et qui pourra aussi dépendre des températures u et Ç' : dans chaque cas, ce coefficient devra être donné en fonction de u, de Ç et des trois coordonnées du point 0 ; mais si les températures u et Ç ne sont pas très élevées, on pourra supposer que la valeur y? en est indépendante.