Î24 THÉORIE MATHÉMATIQUE

Cela posé, si l'on substitue cette valeur de F et celle de D. du numéro précédent, dans l'équation ( i ), et qu'on y fasse A = o, nous aurons

pour l'équation relative à la surface qu'il s'agissait d'obtenir.

Rigoureusement , elle appartient, d'après la manière dont elle a été formée, au point M de A et non au point 0 de sa surface même ; mais après que l'on aura déterminé la valeur de u en fonction des coordonnées jr, j, z, et du temps t , qui satisfait à l'équation (7) du n° 49» relative aux points intérieurs de A, on pourra en employant cette valeur dans l'équation (2), y mettre pour jc, j-, z, les coordonnées de 0 au lieu de celles de M, à cause de l'extrême proximité de ces deux points.

(68). Il faut aussi remarquer que quand on place le corps A dans un milieu dont la température est plus grande ou plus petite que celle des points voisins de sa surface, l'équation (2) n'a pas lieu dans les premiers momens de réchauffement ou du refroidissement de ce corps; car à cette époque, les températures de tous les points sont données tout-à-fait arbitrairement, et par conséquent , la valeur initiale de ?/, en fonction de jc, y, z, ne satisfait pas, en général, à l'équation (2). Cependant la quantité A est toujours nulle, d'après la démonstration du n° 66; ce sont donc les flux de chaleur F et H, relatifs aux deux extrémités de C , qui ne sont pas égaux pendant uti certain intervalle d(,' temps; ce qui exige que la vitesse des variations de température soit d'abord extrêmement grande, dans l'étendue de ce cylindre, dont on a supposé la longueur extrêmement petite. Or, on peut admettre qu'en vertu de cette grande vitesse, le cylindre C parvient bientôt à un état où les deux flux extrêmes de chaleur sont égaux et oîi l'équation (2) commence , par conséquent , à exister. On peut aussi supposer que pendant l'intervalle de temps, sans doute très court, mais nécessaire pour que cette égalité s'établisse , les températures des points intérieurs de A ne changent pas sensiblement; d'où il résulte que si l'on compte le temps t à partir de la fin de cet intervalle, on pourra, sans erreur sensible, prendre pour la valeur de u qui répond

à / = o, l'expression initiale et donnée de u en fonction de a , 7-, z. C'est sur cette supposition qu'est fondée, dans chaque question particulière, la détermination au moyen de l'état initial de A, des constantes ou des fonctions arbitraires contenues dans la valeur de h en fonction de t, x,jr,z, qui satisfait à l'équation (7) du n° 49 et à l'équation (2), quoique celle-ci n'ait pas lieu pour cet état même.

Cette équation (2) est encore susceptible d'une autre restriction. A quelque époque que ce soit, elle n'est point applicable à un point O, pour lequel ou près duquel la courbure de la surface de A est extrêmement grande, de sorte qu'entre les points 0 et 0', par exemple, les raj'ons de courbure soient extrêmement petits, et comparables à la distance MO ; car alors les distances M'O' et M"0 ne seraient plus sensiblement égales, et les points M' etM^^, M^ et M", également éloignés du plan tangent en 0, ne pourraient plus être regardés comme également éloignés de la surface; ce qui met en défaut la démonstration du n° 66 et ne permet plus d'admettre l'équation (2) qui en était la conséquence. Il en résulte que si A est un polyèdre, un cylindre, ou un cône , on ne pourra pas supposer que l'équation (2) ait lieu près de ses arêtes, du contour de sa base, on de son sommet, et l'on ne devra l'employer qu'à des distances de ces parties saillantes , plus grandes que la ligne désignée précédemment par h.

(69). L'équation générale relative à la surface d'un corps de forme quelconque, c'est-à-dire l'équation (2), sous les restrictions qu on vient d'expliquer, a été démontrée , pour la première fois , dans mes Mémoires sur la Distributio?i de la Chaleur dans les corps solides. Auparavant, on l'avait donnée pour l'extrémité d'une barre, et pour une surface sphérique dans le cas particulier où la température de la sphère est la même en tout sens, à égale distance du centre; puis on l'avait étendue, par induction, à un corps de forme quelconque, échauffé aussi d'une manière quelconque. Les géomètres qui ont ensuite cherché à la démontrer généralement , ont pris pour l'expression du flux de chaleur à travers chaque élément de la surface extérieure, celle que l'on a trouvée pour l'élément d'une surface située dans l'intérieur, et qui dépend de l'accroissement de la température dans le sens normal à cette surface et dans une épaisseur infiniment petite ^ divisé par cette épaisseur (n° 62); expression qu'ils ont égalée imnié-

diatement au flux de chaleui- donné par l'expérience et supposé proportionnel à la différence des températures extérieure et intérieure; ce qui les a dispensés d'avoir égard au cjlindre normal que j'ai désigné par C. Mais lexpressiou du flux de chaleur qui dépend du coefficieut différentiel de la température ne convient qu'à un élément de surface intérieure, et nullement à la surface extérieure; car elle suppose que ce flnx provient des échanges entre deux parties contiguëà du corps A, dans une étendue où sa matière et sa température sont très peu variables, tandis que le flux de chaleur à travers un élément de la surface extérieure , résulte des échanges entre les molécules de ce corps et celles du milieu dans lequel il est placé, ou même celles d'autres corps plus ou moins éloignés. Le flux extérieur n'a pas d'autre expression que celle qui dépend de la différence de grandeur flnie, entre les deux températures, l'une extérieure et l'autre intérieure ; et pour former l'équation du mouvement de la chaleur à la surface d'un corps de forme quelconque , il faut prouver, comme je l'ai fait par l'intermédiaire du cylindre normal C, que ce flux est constamment égal à celui qui a lieu à l'extrémité intérieure de ce cylindre, sauf l'exception relative aux températures initiales et aux premiers momens du refroidissement.

(70). Si le corps A est formé de deux parties juxtaposées, solides ou liquides, le flux de chaleur à travei's chaque élément de leur surface de séparation , proviendra des échanges entre leurs molécules ti'ès voisines de cet élément ; et il en résultera, pour le mouvement de la chaleur, de chaque partie dans l'autre , une équation analogue à la précédente; ce qui fournira deux équations relatives à cette surface, que l'on obtiendra de la manière suivante.

Appelons B et B' ces deux parties de A ; appelons aussi M un point de B, M' un point de B', 0 un point de la surface de séparation, situés, tous les trois, sur une normale en 0 à cette surlace. Supposons chacune des distances MO et M'O plus grande que l'étendue du rayonnement intérieur dans la partie de A à laquelle elle appartient, augmentée de l'épaisseur de la couche superficielle de la même partie , où la température peut varier très rapidement. Au bout du temps t , soient u et u' les températures qui répondent aux points M et M'. Nous pourrons représenter le flux de chaleur qui a lieu pendant Tins-

DE lA CHALEUR. 127

tant dl, à travers l'clëment où do la surface de séparation de R et R', correspondant au point 0, par q [u — u) axit, de R dans R', et consëquemment, par — q(ii — u')c»dt, de R' dans R; le coedîcient q étant une quantité positive, dépendante de la matière de R et de celle de R', qui pourra aussi être une fonction symétrique de u et u'.

Cela posé, l'équation (i) et les démonstrations du n° 66 s'appliqueront, d'une part, à R et au cylindre normal dont la base est eo et la hauteur MO, et dune autre part, à R' et au cylindre normal, qui a la même base o) et M'O pour hauteur; et l'on en conclura ces deux équations :

A(^cosa-|-g.cosg + J^cos>) + 9(«-M') = o,]

,, /du' , du' P , du \ , , /N \^

^ Kdi ^"^ "^ + Z7' ^°^ ^ + & ^^^ >; H- y (" — " ) = o » j

qui sont celles qu'il s'agissait d'obtenir. Les quantités k et k' sont ici les mesures de la conductibilité des matières de B et de R' aux points M et M'; les angles a, ë, y, sont ceux que fait la partie M'O de la normale MOM', avec des parallèles aux axes desa',^, s, menées par le point O: les valeurs de m et «'en fonctions de ^ et des coordonnées d'un point quelconque, se déduiront de l'équation (7) du n* 49 > appliquée successivement à R et à B', et l'on y mettra ensuite pour ces coordonnées .r, y, z, celles du point 0 de la surface de séparation.

Ces équations (5)se déduisent l'une de l'autre, comme cela doitétre, par la permutation des lettres u et 11, k et A"', et en changeant les angles a, &,y, dans leurs supplémens. Quand les parties R et R' auxquelles elles se rapportent, sont de la même matière, on aura À' = A,- on fera aussi u' = 11, dans la partie multipliée par k ou k' ; et l'on prendra toujours, pour la partie q{u — u'), le flux de chaleur rapporté aux unités de temps et de surface, à travers l'élément ù) de la surface de R : ce qui réduira ces deux équations à une seule, qui coïncidera, comme cela devait aussi arriver, avec l'équation (i5) du n° 5g, relative à un point intérieur de A. Si ce corps se réduit à sa partie R, et qu'on remplace B' parle milieu extérieur dans lequel A est placé, on supprimera la seconde équation (3), et l'on mettra dans la première p et ^ à la place de q et u' , ce qui

la fera coïncider avec l'équation (2) qui répond à la surface extérieure.

Dans tous les cas, on se souviendra que ces équations (3) n'ont pas lieu pour les températures initiales et données arbitrairement, de B et B' ; elles n'existent qu'après un intervalle de temps qu'on suppose très court, et dont on pourra faire abstraction dans les usages auxquels on les emploiera. On n'oubliera pas non plus qu'elles ne sont point applicables aux points de la surface de séparation de B et B', s'il en existe , pour lesquels ou près desquels la courbure est extrêmement petite, de sorte que les rayons de courbure y soient très petits et comparables à l'étendue du rayonnement intérieur; elles n'ont lieu qu'à des distances de ces points particuliers, plus gi'andes que cette même étendue.

^.v^v\^'^Av^\^t\\^w^/v\^^%\\\%AA/^Avv^lv«x^-A,\\^^^4,\vv\v^A^hV>'Vv\^\v^AA\^vv\vv^\^^^\^,v\^\/v^^v\\\\^AAM.\^^\vv%.^