CHAPITRE YI

Digression sur les intégrales des équations aux différences partielles.

(71). Les équations du mouvement de la chaleur dans Tînlérieur et à la surface des corps étant maintenant démontrées dans toute leur généralité, il convient, avant de les appliquer à des problèmes particuliers, d'exposer les principes communs aux solutions de tous ces problèmes, et généralement de toutes les questions de Physique et de Mécanique, qui conduisent à des équations aux diflérences partielles. Ces principes essentiels sont relatifs aux intégrales de ces équations, aux diverses formes dont elles sont susceptibles, et à la manière d'exprimer les fonctions arbitraires qu'elles renferment; ils se trouvent déjà dans plusieurs de mes mémoires, et dans mon Traité de Mécanique ; ]e vais les réunir avec quelques développemens dans ce chapitre et dans les deux suivans.

L'intégrale d'une équation différentielle d'un ordre quelconque n doit contenir, pour être complète, un Tiombre 7i de constantes arbitraires.

En effet, soient t la variable indépendante et u la fonction de t, qui doit être déterminée par une semblable équation. Représentons cette équation par L = o, de sorte que L soit une fonction donnée

j du d'Ui d^u c- 1' j ' • 7 ,

de ?, u, ^ , —, , -^. î>i 1 on désigne par h une valeur particulière de ^ , et que l'on fasse

«=H'Ê^=H'' |r"=H'V ^ = H'",etc.,

pour cette valeur t=.h, le développement de u suivant les puis-

i3o THÉORIE MATHÉMATIQUE

sances de t — h sera, d'après le théorème de Taylor,

« = H -j- H' (^- ;i) + tI^ h"(«- a)'+ ^3 n"'{t-hy+etc. (o

Or, si l'on fait t=z:h dans la suite infinie d équations , dL d'h d'L

on en tirera les valeurs de tous les coefficiens de la série (i), à partir de H^"^ inclusivement, en fonctions des n premiers H, H', H",.-H^"~'\ qui resteront indéterminés : la première L = o donnera la valeur de

H'"'; on substituera cette valeur dans la seconde équation — =o, d'où l'on tirera ensuite la valeur de H^""^'^; on mettra ces valeui-s de H^°^ et H^""^'^ dans la troisième équation tt= o > puis on en déduira la valeur de H^""^'^j et ainsi de suite. La valeur de «/ expiimée par la série (i) renfermera donc finalement n constantes indéterminées et indépendantes entre elles; par conséquent, l'intégrale complète de l'équation L=;.0, sous quelque forme qu'on l'obtienne, devra contenir, pour répondre a la généralité de cette quantité u, un pareil nombre /^ de constantes arbitraires. Réciproquement, si I = o est une équation donnée entre t et ii, contenant en outre un nombie Ji de constantes arbitraires, on pourra toujours éliminer ces ?i constantes entre l'équation I = o et les n premières équations différentielles qui s'en déduisent ; ce qui conduira à une équation différentielle de l'ordre n dont I = o sera Tintégrale complète.

' Non-seulement la série (i) fait connaître, comme on voit, le degré de généralité de la quantité u déterminée par l'équation L ==0, mais elle peut aussi, par un procédé semblable à la méthode des quadratures, servir à déterminer les valeurs numériques de u qui répondent à toutes celles de t, lorsque les valeurs de u et de ses ra — 1 premiers coefficiens différentiels sont données pour une valeur particulière tz=h. On prendra d'abord pour S' une fraction trts petite, positive ou négative, et telle que la série (i) soit convergente pour t=zh-\- S'; cette série et ses différentielles feront connaître les valeurs

DE LA CHALEUR. i3i

de « , ^ , ^ , etc. , qui répondent à f = A + cT ; au moyen de ces

valeurs, la même se'rie fera connaître celles de u et de ses coefficiens diflérentiels qui rc'pondent a t = h -\-^ + S' , en y mettant h + ^ et h + S + ^' au lieu de h et /, et supposant S' une très petite fraction qui rende encore cette série convergente; et ainsi de de suite. En définitive les valeurs numériques de u dépendront de celles de II, 11', H",. . . H^"-'^, qui seront arbitraires; et l'usage de la série (i) ne peut laisser aucim doute sur le théorème qu'il s'agissait de démontrer, puisque celte série sera toujours rendue convergente, en donnant des valeurs assez petites à la dinérence t — h.

Lorequ'on passe aux équatoins aux différences partielles, les constantes arbitraires sont remplacées par des fonctions arbitraires; mais le théorème précédent n'a plus lieu , et leur nombre ne peut plus être déterminé à priori. Au-delà du premier ordre, l'intégrale complète d'une équation aux différences partielles peut renfermer un nombre de fonctions arbitraires moindre que celui qui marque l'ordre de l'équation donnée, c'est-à-dire, moindre que 2, 5, /^,.... quoique

cette équation contienne des difterences partielles du 2°, 3', 4^

ordre. Dans le petit nombre de cas où l'intégrale complète peut s'obtenir sous forme finie, sans le secours des intégrales définies, je ne connais aucun exemple de l'abaissement du nombre des fonctions arbitraires et indépendantes entre elles, au-dessous du nombre qui marque l'ordre de l'équation donnée; toutefois, il serait difficile de démontrer qu'un tel abaissement ne puisse jamais avoir lieu. Mais quand l'intégrale complète d'une équation aux différences partielles de l'ordie n est exprimée par des séries, et lors même que l'on parvient à réduire ces séries à des intégrales définies, le nombre des fonctions arbitraires peut s'abaisser au-dessous de n, et il peut être différent selon la forme des séries ou des intégrales définies par lesquelles on exprime son intégrale.

En général, soit u une fonction d'un nombre quelconque de variables indépendantes t, x,y, z, etc., qui doit satisfaire à une équation aux différences partielles de l'ordre n, représentée par L = o. Quelle que soit la valeur inconnue de u, on peut la concevoir développée suivant les puissances ascendantes de l'une de ces variables, diminuée

i5a THÉORIE MATHÉMATIQUE

d'une valeur particulière de cette même variable; car si l'on appelle h une valeur particulière de t, par exemple, et que l'on mette li-\-t — h au lieu de t dans la fonction u, ou pourra toujours la développer par le théorème de Tajlor, ou autrement, en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de < — h. Plus généralement, si l'on prend pour 9 une quantité dépendante d'une ou de plusieurs des variables t, x,j, z,etc. , on pourrasupposer la valeur de e^ développée suivant les puissances ascendantes de 6. Soit donc

« = PG"H-QÔ^+RÔ>-|-etc. ; (2)

les coefBciens F, Q, R, etc., étant des fonctions inconnues dont chacune dépend d'une variable indépendante de moins que u, et les exposans a, Q, , y, etc., formant une suite croissante de quantités constantes. Cela posé, si l'on substitue celte valeur de u dans l'équation L = o, que l'on ordonne son premier membre suivant les puissances de 9, et que l'on égale ensuite séparément à zéro le cotflTicient de chacun des termes de la série qui en résultera, on aura ainsi une suite infinie d'équations différentielles ou aux différences partielles, dont chacune renfermera une variable indépendante de moins que L=o; et si l'on parvient à obtenii- les valeurs les plus générales de a, Ç> , -y, etc., P, Q, R, etc., qui satisfont à cette suite d'équations, la série (2) sera aussi la valeur la plus générale de u qui satisfera à l'équation donnée L = o. Selon la quantité 6 que l'on choisira, on aura ainsi différentes expressions de u en séries qui seront, sous des formes équivalentes, l'intégrale complète de L=o, de telle sorte que si cette intégrale était coiniue sous forme finie, chacune de ces séries en serait un développement qui pourrait la lemplacer.

Or, l'équation L = o restant la même, les coefficiens P, Q, R, etc. , déterminés de la manière la plus générale, pourront néanmoins contenir des nombres inégaux de fonctions arbitraires, selon que la série (2) ^era ordonnée suivant les puissances de telle ou telle variable 9. Généralement, il y aura telle valeur de 6 pour laquelle le nombre de ces fonctions sera égal à n, et telle autre pour laquelle il sera moindre d'une ou de plusieurs unités; et si 1 équation L = 0 est linéaire, il pourra uièméiarri ver que toutes les fonctions arbitraires disparais-

sent de la série (2), qui ne rcufcrniera plus alors que des constantes arbitraires, et n'en sera pas moins Tintégrale complète de cette équation L=:o. Cette forme singulière de l'intégrale complète, sans aucune fonction arbitraire , d'une équation linéaire aux différences partit-Iles, mérite une attention toute particulière, à cause des nombreux usages qu'on en pourra faire pour la résolution des problèmes; son caractère distinctif consiste en ce que tous les termes de la série (2) se déterminent, dans ce cas, indépendamment les uns des autres, et satisfont séparément à l'équation L = o, de manière que la valeur générale de l'inconnue 11 est la somme d'un nombre infini de valeurs particulières.

iNous allons maintenant appliquer ces considérations générales à des exemples propres à montrer les diverses circonstances que peut présenter la série (2), et comment on peut la réduire à des intégrales définies, dans beaucoup de cas où l'intégrale de l'équalion L^o ne peut pas s'exprimer sous forme finie sans leur secours. Toutefois, relative!i;ent à cette réduction, je renverrai, pour de plus grands détails, à deux mémoires que j'ai publiés sur ce sujet, l'un sur l'intégration des équations linéaires à coefficiens constans (*), l'autre sur celle des équations linéaires à coefficiens variables (**).

(72). Je prends pour premier exemple l'équation linéaire et du second ordre

du d'u ..

dans laquelle a est une constante donnée.

Soit h une constante à laquelle on n'attribue aucune valeur déterminée; faisons d'abord G = ^ — /i , et considérons les coefliciens de la série (2) comme des fonctions de jc. En la substituant dans les deux membres de l'équation (3), nous aurons

ng{t-hr + a '^it-/^^ + Oie.

{*) Mi'moires de V Académie des Sciences, tome III. (**) Journal de r École Poljlechnique, 19'caliier.

Les exposans a. , € , y , etc., formant par hypothèse une suite croissante, il faut, pour que ces deux séries puissent (tre identiques, que l'on ait d'abord

a = o,C^i,y=2, etc.,

et pour qu'elles le soient efTectivement, il faut que l'on ait ensuite

Le premier coefficient P demeurera indéterminé; tous les autres s'exprimeront au moyen de celui-là; et en mettant une fonction arbitraire <px à la place de P, la série (2) deviendra

u = <pa: + ait -h)-^ ~^-^—-L-^ + etc.; (4)

résultat que l'on peut aussi déduire de la série (i), combinée avec l'équation (2), et que l'on peut regarder comme la valeur la plus générale de u tant que l'on n'y détermine pas la constante /i, puisque alors la valeur quelconque de u est certainement développable, en vertu du théorème de Taylor, suivant les puissances entières et positives de la difTérence t — h.

Il est bon d'observer qu'il n'en serait plus de même si l'on donnait à h une valeur déterminée, si l'on faisait h = o, par exemple, c'est-à-dire, si l'on supposait la valeur de u développée suivant les puissances croissantes de t. En effet, toute fonction dune variable t n'est pas développable suivant ses puissances ascendantes : il y a des fonctions qui ne peuvent se développer que suivant les puissances descendantes de la variable; et la fonction u étant incoimue, elle peut être de cette espèce. Par conséquent, si l'on faisait h = o dans l'équation résultant de la substitution de la série (2) dans l'équation (5) , il faudrait supposer successivement croissante et décroissante la suite des exposans a, ^, y, etc.; on en conclurait deux systèmes difïërens de valeurs de ces exposans et des coefficiens P, Q, R, etc.; et pour avoir la valeur la plus générale de u, on devrait prendre la somme des deux expressions correspondantes de la série (2). La même remarque .s'applique à tous les cas semblables, et en parti-

DE LA CHAl-EUR. ,55

culier, à la valeur suivante de u, dans laquelle on devra aussi laisser la constante h indéterminée pour que cette valeur conserve toute sa généralité.

Soit actuellement ^=x — h. Les coefïïciens de la série (i) étant alors des fonctions de x, si on les substitue dans l'équation (3^, on aura

-(x — hf Ji-^ (x-hy + -(jc — hy + etc. =

Puisque les exposans a, S, > , cT, etc., forment une suite croissaute, il faut, pour que ces deux séries puissent être identiques, que le premier terme de la seconde disparaisse, ce qui exige que l'on ait a = o ou a = I. Dans le cas de a = o , il faudra que les autres exposans €, y, ^, etc., soient les nombres pairs 2, 4> 6, etc., et dans le cas de a= i , qu'ils soient les nombres impairs 3,5, 7, etc. Ensuite on aura, dans le premier cas,

i.2.rtQ=:^, 3.4.aR = ^, j.0.aS= ^,efc., et, dans le second,