aQi=:^, 4.5.flR=-^, e.y.aS ^ ^, etc

La formule (i) donnera donc pour u deux séries, dont l'une procédera suivant les puissances paires àe x — h, et l'autre suivant les puissances impaires. Dans chacune d'elles le premier coefficient P restera indéterminé; tous les autres s'exprimeront au moyen deP; et en désignant celui-ci par "\,t dans la première série, par "^t dans la seconde, et prenant pour u la somme des deux séries, nous aurons

, , [X—hy dit , r— /; t d^-ll . ^

" = -^^ + 77^ ^ + T^Ts^:^- -i^ + ^t^- 1 ^^^

ce qui sera la valeur la plus générale de u, que l'on pourrait aussi déduire de la série (i).

Désignons par e la base des logarithmes népériens , et faisons enfin

i56 THÉORIE MATHÉMATIQUE

G = C". En considérant les coefïïciens de la série (2) comme des fonctions de t, et la substituant dans l'équation (3), on aura

-r e +-^e +-re* + etc. = di dt ^ di '

rta^Pe*" + aÇ'Qe^' |- a>»Re^^ + etc.

Or, pour que les deux membres de cette équation soient identiques , il est nécessaire et il suflit qu'on ait

-^=ax^?, -^ = aC'Q, -^=ay'K, etc.;

en sorte que tous les termes de la série (2) se détermineront indépendamment les uns des autres et formeront autant de valeurs particulières de II, qui satisferont isolément à l'équation (5), ainsi qu'on l'a dit plus haut. Les exposans a, €,y , etc. , resteront indéterminés; en désignant par A, B, C, etc., des constantes arbitraires, on aura

P = Ae" "'' , Q = ^e" ^'' , R = Ce" >'' , etc. ; et la valeur générale de u sera

u = Ke" ^" e*" + Be" ^" e^' -+- Ce''>"e>" -+- etc. (6)

On obtiendrait la même expression de u en prenant 6 = e' dans la série (2), considérant alors ses coefiîciens comme des fonctions de .r, et changeant dans le résultat les constantes arbitraires a, C, y, etc., en ad", rt^', ay', etc. Ces constantes pourront être réelles ou imaginaires, aussi bien que les coefiîciens A, B, C, etc., de sorte que la formule (6) est une série d'exponentielles, de sinus et de cosinus. Si l'on veut, on peut aussi écrire la valeur de u sous cette forme :

u = Ae-""'' cos ax + A'g-"*'' sin a'x -f. Be-"*^'' cos ëx + B'e-"^"' sin ë'x ■+■ etc.,

dans laquelle les coefficiens A, A', B, B', etc., et les exposans a, a', S, &' , etc., sont des constantes réelles ou imaginaires, ce qui fait que

cette expression de u ne diffère pas essentiellement de la précédente. Dans tous les cas, chaque terme de la valeur de u est une intégrale particulière de l'équation (5), et son intégrale complète est la somme d'un nombre infini de ces intégrales particulières.

(75) Voilà donc les trois séries (4), (5), (G), qui expriment également, mais sous des formes différentes, l'intégrale complète de l'équation (3). La première contient une seule fonction arbitraire poc, la seconde en contient deux '\t et '^t , et la troisième ne renferme que des constantes arbitraires en nombre infini et formant deux suites différentes A, B, C, etc., et a, è, y-, etc. Puisque ces valeurs de u ont toutes trois le même degré de généralité, il s'ensuit qu'elles doivent être équivalentes, et que chacune d'elles doit pouvoir se transformer dans les deux autres; ce qu'on peut en effet vérifier de la manière suivante.

Quelle que soit la fonction arbitraire (px, on peut la développer suivant les puissances entières et positives de x — h. Soit donc

(px = A + B (x — h)-\ !^ ^-j -^ — ^4- etc.;

A, B, C, D, etc., désignant des constantes arbitraires. Nous aurons

^^=CH-D(.^)4:.M + etc.,

^ = E + ^^"-^^ + etc etc.; au moyen de quoi la série (4) deviendra

u = \ + Ca{t—h) + ^^^ + etc.

+ [B-t- l)a{t — h) + ïl^-I^Vetc.^a:

-\-[C+ Ea(t —h) + etc.] ^"^ -\-[D + ¥a{t-h) + etc.]^

etc.

t38 théorie mathématique

Or, si l'oQ fait

A + Ca(^ — h) + li!!lf=^ + etc. = 4^

B + Da{t — h) + If^l^^ + etc. = -^t,

■^t et "ift seront deux fonctions arbitraires et indépendantes l'une de l'autre; on en déduira