C -{- Ea(t — h) + etc

D +.Fa(t - h) + etc. = ^, etc.;

et la valeur précédente de u coïncidera avec la série (5). Réciproquement on transformera de même cette série (5) dans la série (4).

En développant la série (6) suivant les puissances de t — h, et remplaçant, pour abréger, Ae""' , Be"^''', Ce"^''', etc., par d'autres constantes arbitraires A', B', C, etc., on a

u = A'e*^ ■+. B'/^ + C'e^'- ■+■ etc.

H- (A'a'e*" + B'ê"/' -+- C>»e>' +etc.)aC^— ^)

+ (A'a^ e" + B' ê^ é' 4- C y'' e>^ + etc.) ^^' + etc.;

et si nous faisons

A'e"^ 4- B'e^' -f- C'e>" + etc. = <px,

(px sera une fonction arbitraire de jt : il en résultera

Ma\f^ -f- R'ë-é' + C'>'e>'' H- etc. = ^,

A'a^e"^ + B'ê^/'^ 4- C'>^e>' + etc. =^, etc.;

ce qui fera coïncider la valeur précédente de u avec la série (4). On

DE LA CHALEUR. iSg

fera coïncider semblablemeiit la série (G) avec la série (5), en développant la première suivant les puissances de x — h.

Il n'y a pas de doule que l'expression précédente de (pjc en séries dexponeiiliclles réelles ou imaginaires ne puisse représenter une fonction quelconque de x. Elle peut représenter, par exemple, la puissance quelconque x"; car, en désignant par s une constante intiniment petite, on a

JC"

quantité développable par la formule du binôme en une série d'exponentielles.

(74). Maintenant il s'agit dé réduire à des intégrales définies la série (6), et ensuite les séiies (4) et (5); transformations qu'on eflectuera au moyen de formules connues dont je rappellerai cependant les démonstrations.

rœ , e " dco. En changeant successivement a> en jretj-, nous aurons

/ é~'^^ dx = k, I e~^* dj = k,

et, par conséquent,

^ e—' dx .f^ e-"" dj = J^ f J~''~'^' dxdj = k\

Or, si l'on considère la surface de révolution dont l'équation est, en coordonnées rectangulaires.

l'intégrale double qui exprime la valeur de k* sera évidemment le volume compris entre cette surface et le plan des x ei j prolongé à l'infini en tous sens. Mais on peut aussi décomposer ce même volume en tranches cylindriques et infiniment minces, dont l'axe commun est celui des z; le rayon d'une tranche quelconque étant r, son volume sera le produit de sa base oTTidr et de sa hauteur e~'^°; le

i4o THÉORIE MATHÉMA î IQUE

volume total sera donc l'intégrale de ce produit prise depuis r = o jusqu'à r=cxD; en l'égalant à k', on aura donc

et il en résultera

e aco = \/7r,

pour la valeur de k ou de l'intégrale donnée.

Quelle que soit la constante a, réelle ou imaginaire, les limites de cette intégrale ne changeront pas, si l'on y met co — a, \/at à la place de o) ; on aura donc aussi

le "^ dû) t^. S/ ■-!(•,

J — ce

d'où l'on tire

On exprimera de même les autres exponentielles relatives à t , qui sont comprises dans l'équation (6); laquelle deviendi'a, en conséquence^

^(.^v(. + ..V/^)^ etc.] e-'-^do,.

Mais si l'on désigne par <px une fonction arbitraire de jt, et que l'on fasse

Ae"^ 4- Be*^" + Ce>' + etc. = <px, on aura , en même temps ,

+ Ce> (■' + >-V/^) + etc. = (p{x-i-2cv yât) , et il en résultera

M =: 77= r <p(j:'+ ■2U)\'at)e"'^dco. (7)

Cette équation est, sous forme finie et la plus simple, l'intéerale complète de l'équation (3). Elle ne renferme, comme on voit , qu'une seule fonction arbitraire , qui se déterminera immédiatement d'après la valeur de u relative à ^ =: o. Toutefois cette forme de l'intégrale complète suppose que cette valeur de u, qui sera celle de '^.x , croisse avec la variable x dans un moindre rapport que e^', et que le produit e~^'<px s'évanouisse pour x = ± co , sans quoi la quantité comprise sous le signe f croîtrait indéfiniment avec i) pour toutes les valeurs de t différentes de zéro, et l'intégrale définie, dont les limites =ont û) = zfc 00 , aurait généralement une valeur infinie , ce qui serait inadmissible. Avec cette restriction, il est facile de vérifier que l'équation (7) satisfait à l'équation (5).

En effet, si nous faisons, pour un moment,

nous déduirons de l'équation (7)

du '^ C^' ^'( , /— \ — "• ada

en intégrant par partie, et supposant que le produit de ?~"' et ?' \x H- 24) s/ at) s'évanouisse aux deux limites, on a

ce qui fait coïncider la valeur de ~ avec celle de a -r^ , et satis-

de dx"

fait par conséquent à l'équation (3\

(75). Si l'on désigne par g une constante positive, et que l'on mette S/gco et \/g dco à la place de « et do dans l'intégrale e dûù, ses limites ne seront pas changées ; et en divisant par Vg, on aura

e doù Z=. :r.

Vs

En différentiant n fois de suite par rapport à g^, et faisant ensuite

g = I , on en déduit

/» —a» 2« I 3.5.,2« I ,~ e co dco z= \/7r;

d'ailleurs on a évidemment

/^ —M' 2n + 1 e « aco = o;

et au moyen de ces deux dernières équations, la formule (4) peut s'écrire ainsi :

Or, en vertu du théorème de Tajlor, cette expression est, sous forme finie,

u = —pz I <p[x -^ 20) ya[^t — /i)]e dct).

y TT J — »

Si l'on veut que la fonction arbitraire (p.x soit la valeur de ;/ qui répond à i = o, on fera hz=o, et cette formule coïncidera avec l'équation (7), déduite de la série (6).

On peut mettre ce résultat sous une autre forme, en désignant par eu' une nouvelle variable, et faisant