n — I 1 . 2 . 3 . . . n efi

par une suite d'intégrations par partie, on a

en désignant par c une constante réelle, qui ne soit pas nulle, et faisant pour abréger

/•^ e ' aa i

ce terme général deviendra donc

■ .2.3. ..hL 4« J dL- J -.r.{c + ^V-^)"^'''

et d'après le théorème de Tajlor, on en conclura, pour la première partie de la série (i),

i44 THÉORIE MATHÉMATIQUE

La seconde partie de cette même série se déduit de la première, en

différentiant celle-ci par rapport à x, multipliant para, et mettant

"^t au lieu de ~j-; en ajoutant donc l'une à l'autre ces deux parties

de la série (5), on aura

pour l'intégrale complète et sous forme finie de l'équation (3), à laquelle on peut en effet vérifier que cette valeur de u satisfait. Les deux fonctions arbitraires -vj-f et "^t qu'elle renferme sont les valeurs de m et ^

qui répondent h a: = h.

(76). Le procédé qui nous a conduit h la série (6) et ensuite à l'intégrale de l'équation (5) donnée par la formule (7), peut s'étendre sans difficulté à l'équation

du d'u , 1 d^u , d'ti ,

Il "= "^ d^ + ^ dr + ' 5F + «♦'=•'

qui contient un nombre quelconque de variables indépendantes t, X, y, z, etc., et dans laquelle a, b, c, etc., sont des coefficiens constans.

Eu développant d'abord, comme précédemment, la valeur de u suivant les puissances de e'' , développant ensuite le coefficient de chaque terme suivant les puissances de e^, puis le coeflicient de chaque terme de ce second développement suivant les puissances de e'', etc. , l'inconnue u se trouvera développée suivant les puissances et les produits des exponentielles e% e^, e^, etc., et l'on pourra représenter par

Te^'e'^^e^' etc.,

un terme quelconque de cette série; T étant une fonction de t, et a, Q,y, etc., des quantités constantes. Si l'on substitue cette série à la place de u dans les deux membres de l'équation donnée, on

DE LA CHALEUR. i45

trouvera que chacun de ses termes doit satisfaire séparément à cette équation, que les constantes a, Q, y, etc., resteront iodéterramées, et que l'on aura

'^ = T («a* + b&* + f>* + etc.),

pour déterminer le coefficient T d'un terme quelconque. En désignant par A une constante arbitraire, la valeur de T tirée de cette équation sera

rp __ ^ '<!»> + iC' +c>.' + etc.) t .

par conséquent la valeur de u en série aura pour expression Il = 2Ae'"'"e*'^V^'' etc. e^Z-^e^^ etc. ;

2 indiquant une somme qui s'étend à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de A, a, Q , y , etc.

Si l'on représente par h, h', H' , etc., des constantes quelconques, on pourra, si l'on veut, sans augmenter la généralité de la valeur de u, remplacer le coefficient A par Ae~"°''''e-*^''''e-"'^'''", etc. Alors en faisant subir la transformation du n° 74 à chacune des exponentielles e''«'('-A)^gJf(«-A')^ ^cy\t-h")^ g^g ^ gj comprenant dans A les

diviseurs s/tt, il en résultera

Or, si nous faisons

2Ae*'^/^e^" etc. = (p(a:, j-, z, etc.),

(p sera une fonction arbitraire; par le changement des variables, on en conclura

a [x+2« \/a (i— A)]+e[ •^+2«V'Â(irp)]-j.^[j+aa \/c(t-A"')]+ etc.

= ip (x + 2« \/a{i — h) ,j-+ 2a \/b{i — N) , z + a« \/c(t — h^, etc.) ;

on aura donc finalement

i46 THÊOME MATHÉMATIQUE

ttîii/ 7 '. ...(p>(a;+2r»V/û'('— 'i)? .y+Sf» J^^('— ^')) elc.)e' "'^ ''' '^' dada etc. ,

pour l'intégrale complète sous forme finie de l'équation donnée. Elle ne contient, comme on voit quNane seule fonction arbitraire; laquelle est relative à autant de variables indépendantes, moins une, 'qft^l'sîen trouve dans l'équation donnée. Pour que cette fonction puisse se déterminer d'après la valeur de u qui répond à une valeur donnée de t, il faudra prendre toutes les constantes h, h' , H' , etc., égales entre elles et à cette valeur de t; la fonction (p(.r , j, z, etc.), sera la valeur correspondante de it , divisée par une certaine puissance de V t^-

Si l'on considère, du moins dans une première approximation, la chaleur spécifique c et la conductibilité /?; comme des quantités constantes, et qu'on fasse - = a°, l'équation (7) du n° 49 deviendra

^fd'u d'u d'u\

Son intégrale complète sous forme finie sera donc cbriiprise dans la formule précédente. Pour que la fonction arbitraire qu'elle renferme s'exprime immédiatement au moyeu de la température initiale, on y supprimera les constantes h, h', h"; cette intégrale sera alors

w=^ — —- \ I I <p{x-\-7.aay' t ,j-\-7.aa'\/ l,z-^iaà"\^t)e'° '" '" dada du";

(p(jx,j, z) désignant la valeur de u qui répond à ^ = 0. (77). Prenons encore pour exemple l'équation

d'il

dtdx

du second ordre comme l'équation (3), mais d'une forme (liifïerente , et dans laquelle «est toujours une constante donnée.

Je désigne, comme précédemment, par h une constante à laquelle je n'attribue aucune valeur particulière; je fais G = ^ — h dans la série (2) dont les coefficiens seront alors des fonctions de a:; en la

substituant dans l'équation (8), on aura

= aP{t — hY + nÇl{t—hf -j- aR(t — hy + etc.

Les exposans a, ^, >, etc., forpiant par hypothèse une suite croissante, il faut, pour que ces deux séries puissent être identiques, que a soit zéro et que ë, y , S' , etc., soient la suite des nombres naturels i, 2, 3, etc. Cpla étant, il faut qu'on ait, en outre,

j^ = aV, 2-7- = aO, 3 -r- = rtl\, etc. dx ' dx ^' </.r

Le premier coefficient P restera une fonction arbitraire de o" que je représenterai paryjr. Tous les autres coefticiens Q, R, S, etc., se déduiront de P par des intégrations successives, et il en résultera

pour l'intégrale complète de l'équation (8) , en série ordonnée suivant les puissances de t — h.

Elle ne contient explicitement qu'une seule fopction arbitraire yir;

mais la suite des intégrales /jxÉir, jjjxdx*, rrjjbcda:^, etc., renferme des constantes arbitraires en nombre infini, qui équivalent à une seconde fonction arbitraire.

En etï'et , désignons par A- une constante quelconque, comme la constante h; par A, B, C, D, etc., des constantes arbitrair,es , et par ^x une fonction arbitraire; faisons

fÇjcdx == Ç^ûc, /(Ptxdjc = (p^JC, f(p^xdx = (PgX, etc.;

et supposons que toutes ces intégrales f^x, (p^x , (PsX, etc., s'évanouissent pour X = k. Sans resti'eindre la généralité de la valeur précédente de u, nous pourrons faire

fx =z k ->r (p,x , Cfxdx = B -f- A(x — A) -h (P.X,

i48 THÉORIE MATHÉMATIQUE

ff/œdx' = C + B(^ A) + ^^^f^ + tp,^,

ffffccdoc^ = D + C(x k) + ?(^+é^ + ,,., etc. ;

au moyen de quoi cette valeur de u pourra s'écrire ainsi :

U = A [i + a(^ A-) {t -h) + \^ [\J- +,;,.3 :..^+etc.J -]r<V,x~{-a{t — h)(p^x + -i— -i(p3ar + -^^^-^(p^xH-etc. + Ba(.-/.) +2i^:^^+^|).+5^V etc.

+ 4^A0 |^^ + -l^:7y-4--7;b:/+ etc.]